Wykład Wykorzystanie rachunku różniczkowego do badania monotoniczności funkcji i wyznaczania ekstremów lokalnych

1

Wykład

Wykorzystanie rachunku różniczkowego do badania monotoniczności funkcji i wyznaczania ekstremów lokalnych

Przypomnienie:

Definicja 21. Funkcję f: X Rnazywamy rosnącą (silnie rosnącą) jeżeli zachodzi implikacja:

) ( )

( _{1 2}

2 1 2

1x X x x f x f x

x    



Czyli, inaczej mówiąc, większemu argumentowi odpowiada większa wartość funkcji.

Analogicznie można zdefiniować funkcję malejącą, w której większemu argumentowi odpowiada mniejsza wartość.

Na ogół spotykamy się z funkcjami, które są rosnące bądź malejące niekoniecznie w całej swojej dziedzinie, lecz na jej podzbiorach (czyli przedziałach). Nauczymy się lokalizować te przedziały.

Monotoniczność funkcji w danym przedziale ustalamy w oparciu o znak pochodnej (patrz wniosek z tw. Lagrange’a)

W praktyce korzystamy z warunku dostatecznego, który pozwala wnioskować o ścisłej monotoniczność badanej funkcji w przedziale.

Twierdzenie 23. Warunek dostateczny monotoniczności funkcji w przedziale.

Jeżeli funkcja f jest określona i ciągła w przedziale X oraz różniczkowalna wewnątrz tego przedziału i jej pochodna f'(x)0(f’(x)<0) z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby wartości x, dla których zachodzi warunek f’(x)=0, to funkcja f jest rosnąca (malejąca) w tym przedziale.

 Wyznaczanie ekstremów lokalnych funkcji Definicja 22.Niech f:X R.

Funkcja f osiąga maksimum lokalne w punkcie xo, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu xo

X x

x  ; _o )

( ₀   , że dla wszystkich punktów tego otoczenia spełniona jest nierówność:

f(x)<f(x0)

Zaczynamy poszukiwania ekstremów lokalnych funkcji od wyznaczenia punktów stacjonarnych, czyli takich punktów dziedziny funkcji, w których spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum tj.: f’(x)=0,

Uwaga : Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji podaje w pełnym brzmieniu twierdzenie Fermata.

Następnie sprawdzamy dla punktów stacjonarnych warunek dostateczny istnienia ekstremum.

2 Twierdzenie 24.Warunek dostateczny istnienia ekstremum.

Niech w pewnym otoczeniu (x₀;x₀) punktu stacjonarnego x0 istnieje pochodna skończona f’(x), która na lewo i na prawo od punktu x0 zachowuje stały znak.

Wówczas;

1. jeżeli f’(x)<0 dla x<x0 i f’(x)>0 dla x>x0, to w punkcie x0 istnieje minimum lokalne funkcji f, 2. jeżeli f’(x)>0 dla x<x0 i f’(x)<0 dla x>x0., to w punkcie x0 istnieje maksimum lokalne funkcji f.

Uwaga: Krótko, acz niezbyt formalnie można sformułować warunek dostateczny istnienia ekstremum następująco:

Jeżeli pochodna funkcji przejściu przez punkt stacjonarny x0 zmienia znak z ujemnego na dodatni, to w punkcie tym istnieje minimum lokalne.

Jeżeli pochodna funkcji przejściu przez punkt stacjonarny x0 zmienia znak z dodatniego na ujemny, to w punkcie tym istnieje maksimum lokalne.

Jeżeli zaś funkcja nie zmienia znaku przechodząc przez punkt stacjonarny, to funkcja nie osiąga ekstremum w tym punkcie.(patrz przykład )

Przykład

Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji ) 1

( ₂



  x x x x f

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny, która w tym przypadku stanowi zbiór licz rzeczywistych (pozostawiam Czytelnikom do sprawdzenia)

Następnie wyznaczamy pochodną

  



2 2 2

2

1 1 1

) 1 2 ( ) 1 (

) 1

(  



 













 



x x

x x

x

x x x

x x f

Wyznaczamy jej miejsca zerowe





2 







 x x

x

0

2 1

x

1

1 ₂

1  x 

x i to są punkty stacjonarne („podejrzane o ekstremum”)

Znak pochodnej w otoczeniu punktu stacjonarnego

x₀

x₀

Minimum lokalne Schemat monotonicznosc i

funkcji

3 Badamy następnie znak pochodnej, o ile to możliwe staramy się naszkicować wykres obrazujący jej znaki w poszczególnych przedziałach. W tym przypadku z postaci funkcji pochodnej można wnosić, że o jej znaku będzie decydować licznik (ponieważ mianownik jako pełny kwadrat jest stale dodatni). Wykres znaków pochodnej zamieszczony jest poniżej.

;

Tak więc oba punkty stacjonarne zostały pozytywnie zweryfikowane, w obu przypadkach pochodna przy przejściu przez nie zmienia znak .

I pozostało sformułowanie wniosków:



f dla x(;1)



f dla x(1;1)



f dla x(1;) 1 ) 1

min  f( 

f

3 1 1 1 1 ) 1 1

max ( 



 

 f f

Uwaga. Podane wyżej twierdzenia podają metody poszukiwania ekstremów w punktach, w których funkcja jest różniczkowalna. Teoria ta „milczy” na temat ekstremów w punktach, w których funkcja nie posiada pochodnej. W takich przypadkach ekstremum należy badać na ogół bezpośrednio z definicji. (Np. dla f(x) x w punkcie x=0)

Następny przykład (banalny obliczeniowo) powinien Was nauczyć, że nie każdy punkt stacjonarny staje się punktem ekstremalnym.

Przykład

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x)x³

I to zadanie pozostawiam Czytelnikowi do samodzielnego opracowania.

opracowanie dr E. Badach na podstawie: Fichtencholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowyPWN Warszawa 1985

-1 1

Minimum lokalne

Maximum lokalne