1 | S t r o n a
ALGORYTM LICZENIA EKSTREMÓW WARUNKOWYCH
funkcji( )
przy warunku( )
przy użyciu metody mnożników Lagrange’a
1. Tworzymy funkcję Lagrange’a
( ) ( ) ( )
2. Rozwiązujemy układ równań
{
( ) ( ) ( )
( )
3. Tworzymy funkcję
( )
( )
( )
4. Obliczamy:
( ) ( )
( ) ( )
Zadanie:
Zbadaj istnieje ekstremów warunkowych
( )
przy warunku( )
metodą Lagrange’a.1. Tworzymy funkcję Lagrange’a
( ) ( )
2. Rozwiązujemy układ równań
{
1)
2)
3. Tworzymy funkcję
( )
4. Obliczamy:
( )
2 | S t r o n a Zadanie:
Zbadaj istnieje ekstremów warunkowych
( )
przy warunkumetodą Lagrange’a.
( )
1. Tworzymy funkcję Lagrange’a
( ) ( )
2. Rozwiązujemy układ równań:
{
1)
2)
3. Tworzymy funkcję:
( ) ( )
4. Obliczamy:
( ) ( )
Zadanie:
Zbadaj istnieje ekstremów warunkowych
( )
przy warunku( )
metodą Lagrange’a.1. Tworzymy funkcję Lagrange’a
( ) ( )
2. Rozwiązujemy układ równań:
{
3 | S t r o n a 1)
2)
3. Tworzymy funkcję:
( )
3) Obliczamy:
( ) ( ) ( )
( )
OPTYMALIZACJA
Zadanie:
Dany jest prostokąt i z rogów prostokąta wycinamy kwadraty o wymiarach x. Zaginamy boki, aby stworzyć pudełko. Jakie musi być x, aby pudełko miało największą objętość?
( )( ) ( )
Szukamy ekstremum powstałej funkcji
( )
√
7
5
𝟕 𝟐𝒙
𝒙 𝒉 x
x – wyrzucamy
Strona 4 z 6 Jaką liczbą może być x?
Odpowiedź: Punkt jest optymalny.
Zadanie:
Z drutu o długości 24 zrobić szkielet prostopadłościanu o największej objętości.
( ) ( ) ( )
Szukamy ekstremum powstałej funkcji:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{
{ ( ) ( ) ( ) {
Zadanie:
Na płaszczyźnie
znajdź punkt (P), którego odległość od punktu
( )
jest najmniejsza.( ) ( )
| | √( ) ( ) ( )
Punkty płaszczyzny mają współrzędne:
( ) ( ) √( ) ( ) ( ) (√ ) √
𝒙
𝒉
Strona 5 z 6
( ) ( )
√
( ) ( )
√
{
{ ( ) {
{ ( ) {
(
)
(
)
TYPY ZADAŃ JAKIE MOGĄ POJAWIĆ SIĘ NA KOLOKWIUM (7 ZADAŃ, TRZEBA WYBRAĆ 5 ZADAŃ):
1. Szereg Taylora dla funkcji jednej zmiennej
2. Różniczka dla funkcji dwóch zmiennych (przybliżone wartości) 3. Elementy badania funkcji jednej zmiennej:
a) ekstrema i monotoniczność, b) punkty przegięcia i wypukłość, c) asymptoty.
4. Najmniejsza i największa wartość dla funkcji jednej zmiennej w zbiorze domkniętym (ekstremum globalne)
5. Ekstrema lokalne dla funkcji dwóch zmiennych 6. Ekstrema warunkowe dla funkcji dwóch zmiennych 7. Optymalizacja
POWTÓRKA ZADAŃ
:RÓŻNICZKA (przybliżona wartość) Zadanie:
Korzystając z różniczki I i II rzędu oblicz przybliżoną wartość
( )
w punkcie (0,05 ; 0,98).( ) ( )
Strona 6 z 6
( )
( )
( ) ( ) (
) ( )
Ekstremum globalne funkcji jednej zmiennej Zadanie:
Oblicz najmniejszą i największą wartość
( ) | |
w przedziale| | {
1.
( ) ( )
( )
Wewnątrz przedziału:
( )
( ) | |
( ) | |
2.
) ( ) ( )
( )
Wewnątrz przedziału:
