Symetryczny odbiornik o układzie gwiazdowym

(1)

Wykład XVIII. SZCZEGÓLNE KONFIGURACJE OBWODÓW TRÓJFAZOWYCH.

POMIARY MOCY W OBWODACH TRÓJFAZOWYCH

Symetryczny odbiornik o układzie gwiazdowym

W symetrycznym odbiorniku „gwiazdowym”, zasilanym napięciem symetrycznym (na rys. – układ oraz wykres dla ϕ^>⁰^):

ϕ

ej

Z Z Z Z

Z₁ = ₂ = ₃ = = ⋅ ^;

wartości skuteczne napięć i prądów - U

U U

U₁₂ = ₂₃ = ₃₁ = ,

3 3

2 1

U U U U

U = = = _f = ; I

I I

I₁ = ₂ = ₃ = ,

Z U Z

I U^f

= 3

= ;

moce - =³ ⋅ ^cosϕ = ² ⋅^cosϕ Z

I U U

P _f , ³ ⁱⁿϕ ² ^sⁱⁿϕ

Z s U

I U

Q= _f ⋅ = ⋅ ;

ϕ cos 3U I

P= , ^Q= ³^U ^I ^sⁱⁿϕ ; U I

Z I U U Q

P

S 3 _f 3

2 2

2 + = ⋅ = =

= .

Symetryczny odbiornik o układzie trójkątowym

W symetrycznym odbiorniku „trójkątowym”, zasilanym napięciem symetrycznym (na rys. – układ oraz wykres dla ϕ^>⁰^):

ϕ

ej

Z Z Z Z

Z₁₂ = ₂₃ = ₃₁ = = ⋅ ; wartości skuteczne napięć i prądów -

U U U

U₁₂ = ₂₃ = ₃₁ = ;

Z I U I I

I₁₂ = ₂₃ = ₃₁ = _f = ,

If

I I I

I₁ = ₂ = ₃ = = 3 ,

Z I 3U

= ;

moce - =³ ⋅ ^cosϕ =³⋅ ² ⋅^cosϕ Z

I U U

P _f , ³ ⁱⁿϕ ³ ² ^sⁱⁿϕ

Z s U

I U

Q= ⋅ _f = ⋅ ⋅ ;

ϕ cos 3U I

P= , ^Q= ³^U ^I ^sⁱⁿϕ ; U I

Z I U

U Q

P

S 3 _f 3 3

2 2

2 + = ⋅ = ⋅ =

= .

Przełączenie symetrycznego odbiornika z gwiazdy na trójkąt, lub odwrotne

W celu zmiany prądu i mocy symetrycznego odbiornika trójfazowego, można przełączać jego elementy fazowe z gwiazdy na trójkąt, albo na odwrót. Z zapisanych wyżej wzorów dla gwiazdy (indeks Υ^):

Z I U

= 3

Υ ,

Z S U

= 2

Υ , i dla trójkąta (indeks ∆^):

Z I 3U

∆ = ,

Z S U

2

3⋅

∆ = ,

wynikają związki: I_∆ =3I_Υ ^,S_∆ =3S_Υ ( oraz P_∆ =3P_Υ ^;Q_∆ =3Q_Υ ^).

L1

L2

L3

Z U1

Z U2

Z U3

I1

I2

I3

U31

U12

U23 I1 U12

ϕ U23

U31

U1

I2

U2

I3

U3

ϕ

ϕ ϕ

I12

Z Z I23

I31

Z I1

I2

I3

U31

U12

U23

L1

L2

L3

U12

ϕ U23

U31 I3

-I23

I31

ϕ

I1

-I31

I12

ϕ ϕ -I12

ϕ ^Iϕ²³ I2

ϕ

(2)

Przerwa w fazie odbiornika „gwiazdowego” zasilanego czteroprzewodowo

Przy przerwanej jednej fazie w symetrycznym odbiorniku „gwiazdowym”, zasilanym czteroprzewodowo napięciem symetrycznym (rys. – przerwa w fazie 1.; wykres dla ϕ^>⁰^{) :}

∞

1 =

Z , Z₂ =Z₃ =Z =Z⋅e^j^ϕ ^; wartości skuteczne napięć i prądów -

U U U

U₁₂ = ₂₃ = ₃₁ = ,

3 3

2 1

U U U U

U = = = _f = ;

1 =0

I , I₂ = I₃ =I_N =I ,

Z U Z

I U^f

= 3

= ^.

Po przerwaniu jednej fazy: napięcia wszystkich faz oraz prądy faz „zdrowych” nie ulegają zmianie, zaś prąd w przewodzie neutralnym ma wartość skuteczną taką samą, jak prądy faz „zdrowych”.

Przerwa w fazie odbiornika „gwiazdowego” zasilanego trójprzewodowo

Przy przerwanej jednej fazie w symetrycznym odbiorniku „gwiazdowym”, zasilanym trójprzewo- dowo napięciem symetrycznym (rys. – przerwa w fazie 1.; wykres dla ϕ^>⁰^{) :}

∞

1 =

Z , Z₂ =Z₃ =Z =Z⋅e^j^ϕ ; wartości skuteczne napięć i prądów -

U U U

U₁₂ = ₂₃ = ₃₁ = ,

U U = ⋅

2 3

1 , I₁ =0 ;

3 2

2

U U

U = = ;

Z I U

I² = ³ = 2 .

Przed przerwaniem fazy 1. było:

3 3

2 1

U U U

U = = = ,

Z I U

I

I¹ = ² = ³ = 3 , a więc po przerwaniu jednej fazy: napięcie skuteczne fazy „chorej” wzrasta 1,5-krotnie, a napięcie oraz prąd faz

„zdrowych” maleją do 0,866 2

3 ≅ wartości wcześniejszych.

Zwarcie w fazie odbiornika „gwiazdowego” zasilanego trójprzewodowo

Przy zwartej jednej fazie w symetrycznym odbiorniku „gwiazdowym”, zasilanym trójprzewodowo napięciem symetrycznym (rys. – zwarcie w fazie 1.;

wykres dla ϕ^>⁰^{) :}

1 =0 Z ,

ϕ

ej

Z Z Z

Z₂ = ₃ = = ⋅ ;

L1

L2

L3

N

Z U1

Z U2

Z U3

I1

I2

I3

U31

U12

U23

IN

U12

ϕ U23

U31

U1

I2

U2

I3

U3 ϕ

ϕ

L1

L2

L3

Z U1

Z U2

Z U3

I1

I2

I3

U31

U12

U23 U12

U23 ϕ

U31

U1

I2

U2

I3

U3

ϕ

L1

L2

L3

Z U1

Z U2

Z U3

I1

I2

I3

U31

U12

U23 U12

ϕ U23

U31 =U3

-I1

I2

I3

ϕ ϕ U21 =U2

U31

I1

(3)

wartości skuteczne napięć i prądów - U

U U

U₁₂ = ₂₃ = ₃₁ = , U₁ =0, U₂ =U₃ =U ;

Z I U

I₂ = ₃ = ,

Z I₁ = 3 U .

Po zwarciu jednej fazy symetrycznego odbiornika „gwiazdowego”, zasilanego trójprzewodowo:

napięcia oraz prądy faz „zdrowych” mają takie same wartości, jak napięcia i prądy fazowe w symetrycznym układzie „trójkątowym”, a prąd w fazie „chorej” – jak prąd liniowy w tym układzie.

Przerwa w fazie odbiornika „trójkątowego”

Przy przerwanej jednej fazie w symetrycznym odbiorniku „trójkątowym”, zasilanym napięciem symetrycznym (rys. – przerwa w gałęzi L1-L2; wykres dla ϕ^>⁰^{) :}

∞

= Z12 ,

ϕ

ej

Z Z Z

Z₂₃ = ₃₁ = = ⋅ ^; wartości skuteczne napięć i prądów -

U U U

U₁₂ = ₂₃ = ₃₁ = ;

12 =0 I ,

Z I U I

I₂₃ = ₃₁ = _f = , If

I

I₁ = ₂ = , I₃ = 3I_f .

Po przerwaniu gałęzi L1-L2 symetrycznego odbiornika „trójkątowego”: napięcia wszystkich faz oraz prądy faz „zdrowych” i prąd w przewodzie L3 nie ulegają zmianie, natomiast prądy w prze- wodach L1 i L2 (zasilających „chorą” gałąź) maleją do wartości równej wartości prądów fazowych.

Pomiar mocy czynnej odbiorników trójfazowych

Do pomiaru mocy czynnej, przesyłanej lub odbieranej w obwodach trójfazowych, używa się watomierzy. Poniżej podano schematy układów pomiarowych i wzory na moce odbiorników.

Pomiar mocy czynnej odbiorników niesymetrycznych:

P=P_W₁ +P_W₂ +P_W₃ P=P_W₁ +P_W₂ +P_W₃

3 2

1 W W

W P P

P

P= + + P=P_W₁ +P_W₂ Z

Z I23

I31

Z I1

I2

I3

U31

U12

U23

L1

L2

L3

U12

ϕ U23

U31

ϕ I3

-I23

I31

I1 =-I31

ϕ I2 =I23

a) b1)

W2

W1

W3

odbiornik niesyme- tryczny

cztero- zaciskowy L1

L2 L3 N

W2

W1

W3

odbiornik niesyme-

tryczny trzy- zaciskowy L1

L2 L3 N

b2) c)

W2

W1 odbiornik

niesyme- tryczny

trzy- zaciskowy L1

L2 L3

(układ Arona) W2

W1

W3

trzy- zaciskowy L1

L2 L3

(4)

Uwaga. Ze wzorów dla odbiornika „gwiazdowego” zasilanego trójprzewodowo (trzyzaciskowego):

* 3 3

* 2 2

* 1

1 I U I U I

U

S = ⋅ + ⋅ + ⋅ oraz I₃ =−I₁−I₂ , U₁₃ =U₁−U₃ , U₂₃ =U₂ −U₃ , otrzymuje się zależność

* 2 23

* 1 13

* 2 3 2

* 1 3 1

* 2

* 1 3

* 2 2

* 1

1 I U I U ( I I ) (U U ) I (U U ) I U I U I

U

S = ⋅ + ⋅ + ⋅ − − = − ⋅ + − ⋅ = ⋅ + ⋅ ,

a więc P=ReS =Re(U₁₃⋅I^*₁)+Re(U₂₃⋅I^*₂), co odpowiada sumie wskazań watomierzy w ukła- dzie Arona (rys. c):

2

1 W

W P

P

P= + . Nie jest przy tym ważne, jak w rzeczywistości połączone są ze sobą elementy odbiornika, albowiem trójfazowy odbiornik o dowolnym układzie można zastąpić równoważnym odbiornikiem „gwiazdowym”.

Pomiar mocy czynnej odbiorników symetrycznych:

P=3P_W P=3P_W P=3P_W

Uwagi. 1. W układzie „e2” dołącza się dwie rezystancje RWn o wartościach równych rezystancji cewki napięciowej watomierza W, aby stworzyć sztuczny punkt neutralny.

2. Oczywiście, podane wcześniej układy do pomiaru mocy odbiorników niesymetrycznych mogą być stosowane w przypadku odbiorników symetrycznych, ale wtedy używa się więcej przyrządów i dokonuje więcej odczytów.

Pomiar mocy biernej odbiorników trójfazowych

Do pomiaru mocy biernej, przesyłanej lub odbieranej w obwodach trójfazowych, używa się również watomierzy. W tym celu, na cewki napięciowe watomierzy podaje się napięcia przesunięte w fazie o kąt -π/2, względem napięć podawanych na nie w analogicznym układzie do pomiaru mocy czynnej, co wynika ze wzorów: sinϕ =cos(ϕ−90ô)^;ϕ =ψ_u −ψ_i ; (ϕ−90ô)=(ψ_u −90ô)−ψ_i . Niżej podano schematy przykładowych układów pomiarowych, wykresy wskazowe objaśniające wybór napięć podawanych na watomierze (z przesunięciem w fazie o kąt -π/2 i 3 -krotnym zwiększeniem bądź zmniejszenie wartości skutecznej), oraz wzory na moce bierne odbiorników.

Pomiar mocy biernej odbiorników niesymetrycznych:

w obu układach

3 ) 1 ( 1 + 2 + 3 ⋅

= P_W P_W P_W Q

(na cewkach napięciowych – napięcia międzyfazowe)

d) e1) e2) W1

odbiornik symetrycz-

ny cztero- zaciskowy L1

L2 L3 N

W1 odbiornik symetrycz-

ny trzy- zaciskowy L1

L2 L3

N RWn RWn

W1 odbiornik

symetryczny trzy- zaciskowy L1

L2 L3

a) b)

U23

U1

W2

W1

W3

cztero- zaciskowy L1

L2 L3 N

trzy- zaciskowy W2

W1

W3

L1 L2 L3

(5)

w obu układach 3 ( )

2

1 W

W P

P

Q= ⋅ +

(na cewkach napięciowych – napięcia fazowe)

Uwaga. Cewki napięciowe watomierzy W₁ i W₂ oraz rezystancja dołączona do układu „c2” muszą mieć jednakową rezystancję, równą RWn (tworzą sztuczny punkt neutralny).

Pomiar mocy biernej odbiorników symetrycznych:

w obu układach Q= 3P_W (na cewkach – napięcia fazowe;

w każdej fazie – ta sama moc;

zatem mnożnik: 3 3= 3 ) Q= 3⋅(P_W₁ −P_W₂) Uwaga. W układzie „f” (układ Arona z odbiornikiem symetrycznym) można mierzyć jednocześnie moc czynną i bierną. Możliwość pomiaru mocy biernej wynika z następujących zależności:

) 30 cos(

) 30

1 cos(

1 13

o

o = −

−

⋅

=Û Î ϕ Û Î ϕ

P_W , ^PW₂ =Û₂₃⋅Î₂ ⋅cos(ϕ+30ô)=Û Îcos(ϕ+30ô), ϕ

ϕ ^sin( ³⁰ ⁾ ^sin sin

2 2

1 P U I U I

P_W − _W =− ⋅ − ô = , ^Q= ³Û Î^sinϕ .

Oczywiście, otrzymuje się również: P_W₁ +P_W₂ =²U I côsϕ⋅^cos(−³⁰ô⁾= ³U I côsϕ =P^.

Określanie wskazań przyrządów na podstawie wykresu wskazowego

Wcześniej pokazano, że obwody trójfazowe, których gałęzie są przyłączone bezpośrednio do prze- wodów zasilających (tzn. są zasilane napięciami liniowymi – fazowymi lub międzyfazowymi), można rozwiązywać z powodzeniem na podstawie starannie narysowanego wykresu wskazowego, bez stosowania rachunku symbolicznego.

Poniżej podano przykłady rozwiązań obwodów trójfazowych na podstawie wykresów wskazowych.

Chodzi o określenie wskazań idealnych przyrządów pomiarowych, włączonych do obwodu. Ampe- romierze i woltomierze wskazują wartości skuteczne. Wskazania watomierzy są iloczynami warto- ści skutecznych napięcia i prądu cewek, i wartości kosinusa kąta równego różnicy początkowych kątów fazowych napięcia i prądu cewek.

c1) c2)

U23 –U1

U2

U13

(z układu Arona) W2

W1 odbiornik

niesyme- tryczny

trzy- zaciskowy L1

L2 L3 N

W2

W1 odbiornik

niesyme- tryczny

trzy- zaciskowy L1

L2 L3

RWn

d) e) f) W1

odbiornik symetrycz-

ny cztero- zaciskowy L1

L2 L3 N

W1 odbiornik symetrycz-

ny trzy- zaciskowy L1

L2 L3

U23

U1

W2

W1 odbiornik

symetryczny trzy- zaciskowy L1

L2 L3

(układ Arona)

U23

U1

U2

U13

I1

I2

I3

U3

ϕ ϕ ϕ

(6)

Przykłady. Zostaną określone wskazania przyrządów w dwóch obwodach zasilanych napięciem symetrycznym 3×230/400 V (obliczenia dla: U_f=231 V i U=400 V). Wartości elementów obwodu: R=115,5 Ω, X_L = X_C =200 Ω.

Do wykresu wskazowego:

231 200

5 ,

115 ² + ² ≅ ,

arc 60^o

5 , 115 tg−200 ≅−

,

arc 60^o

5 , 115

tg 200 ≅ ;

3 231

2

1 =Z =Z =

Z Ω,

60o 2 1 =ϕ =−

ϕ ^,ϕ₃ =60^o^; 231 1

231

3 2

1 =I =I = =

I A;

5 , 115 1 5 ,

2 115

1 = _R = ⋅ =

R U

U V,

200 1

2 200

1 = _C = ⋅ =

C U

U V.

Z wykresu wskazowego:

73 , 1

3 3

2

1+ + = ≅

= I I I

I_N A,

5 , 2 115 1 1

1 =231⋅ ⋅ =

PW W,

4 , 2 346 1 3

2 =400⋅ ⋅ ≅

PW W,

5 ,

2 =115

= _R

V U

U V

(z trójkąta równoramiennego).

Wyniki: I_A₁ =I_A₂ =I_A₃ =1 A; I_N =1,73 A; U_V =115,5 V; P_W₁ =115,5 W; P_W₂ =346,4 W.

Oznaczenie prądu na wykresie: I₁₂ =I₁₂_._a +I₁₂_._b .

Do wykresu wskazowego: I₁₂_.a =2 3 A; I₁₂_._b =I₂₃ =2 A; I₁₂ =4 A; I₁_N =1 A; I₃_N =2 A.

Wyniki (z wykresu): I_A₁=I₁ = (2 3)² +(2−1)² ≅3,61 A; I_A2=I₂ = 4² −2² =2 3≅3,46 A;

IA3 =I₃ =2 3 ≅3,46 A; IAN =I_N =2−1=1 A; P_W1 =²³¹⋅

(

⁴⋅⁰^,⁵+¹⋅⁰^,⁵

)

=⁵⁷⁷^,⁵ W;

8 , 692 5 , 0 3 2

2 =400⋅ ⋅ ≅

PW W.

a)

b) L1

L2

L3

N

I1

I2

I3

R C

IN

V A2

A1

A3

AN

W2

W1

C R

R L UR1 UC1

UC2 UR2

U1 U13 UV

I1

I1+I2

ϕ ^U^R1

U13

U1

I2

U2

UV

UC2

I3

U3

ϕ1

ϕ2

UR2 UC1

ϕ³ _I

N

L1

L2

L3

N

I1

I2

I3

IN

A2

A1

A3

AN

W2

W1

I12.a

R I1N

R

L U1 U13

I12.b

C I23

C I3N

R

I12.a

I3 I3N

I23

I1N

I1

I12

ϕ U23

U13

U1

U12

-I23

I2

U3

ϕ^1N

I12.b

-I12

IN

I12.a