Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów woj. śląskiego w roku szkolnym 2016/2017 Przykładowe rozwiązania zadań i schemat punktowania Etap szkolny

(1)

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów woj. śląskiego

w roku szkolnym 2016/2017

Przykładowe rozwiązania zadań i schemat punktowania

Etap szkolny

Przy punktowaniu zadań otwartych należy stosować następujące ogólne reguły:

 Oceniamy rozwiązania zadań zgodnie z podanym niżej schematem, tzn. przyznajemy daną liczbę punktów, jeżeli rozwiązanie zawiera wszystkie wskazane na danym poziomie elementy.

 Punktując rozwiązania zadań, przyznajemy tylko całkowitą liczbę punktów.

 Nie jest wymagana pisemna odpowiedź, ale jednoznaczne wskazanie wyniku lub rozstrzygnięcia problemu.

 Za każdy, inny niż podany w kluczu, poprawny sposób rozwiązania zadania przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

 W przypadku, gdy zadanie rozwiązywano innym sposobem, niż podany w kluczu, ale popełnione zostały błędy lub nie dokończono rozwiązywania, należy przyznać punkty w zależności od poziomu wykonania zadania.

 Liczba punktów umożliwiająca kwalifikację do kolejnego etapu wynosi co najmniej 51.

Zadanie 1.

Za każde poprawnie zapisane hasło w krzyżówce 1 punkt, czyli w sumie 21 punktów.

1) W Y S O K O Ś Ć

2) C Y F R A

3) M I A R A K Ą T A

4) H E K T A R

5) R Ó Ż N I C A

6) J E D N O M I A N

7) D Z I E L N I K

8) Ś R E D N I C A

9) N I E W I A D O M A

10) K W A D R A T

11) L I C Z N I K

12) R Ó W N O L E G Ł O B O K

13) D W U S I E C Z N A K Ą T A

14) O B J Ę T O Ś Ć

15) R O M B

16) W Y K Ł A D N I K

17) P R O M I E Ń

18) L I C Z B A

(2)

Zadania zamknięte

Za każde poprawnie zaznaczone wskazanie 1 punkt, czyli w sumie 24 punkty.

Zadanie 2 3 4 5 6 7 8 9

Odpowiedź I ^PRAWDA ^FAŁSZ ^FAŁSZ ^PRAWDA ^PRAWDA ^PRAWDA ^PRAWDA ^PRAWDA Odpowiedź II ^FAŁSZ ^PRAWDA ^FAŁSZ ^PRAWDA ^PRAWDA ^FAŁSZ ^FAŁSZ ^FAŁSZ Odpowiedź III ^PRAWDA ^FAŁSZ ^FAŁSZ ^FAŁSZ ^PRAWDA ^PRAWDA ^FAŁSZ ^PRAWDA

Zadania otwarte

Przykładowe rozwiązania:

Zadanie 10.



_XCB _CYA _AZB



XYZB

ABC P P P P

P_   _  _  _



 



        





  6 4

2 3 1 2 3 3 1 2 7 7 1

ABC 6 P

15 PABC

Odp. Pole trójkąta ABC wynosi 15 j².

(3)

Zadanie 11.

1 5 

 k

a ,

2 5 

 m

b ,

3 5 

 p

c ,

gdzie k, m, p są liczbami całkowitymi.

a) a²b²c² 



5k1

 

² 5m2

 

² 5p3



²  ^⁵



_⁵^k_² _^²_^k_^⁵_^m_²_^_⁴^m_^_⁵_^p²_^_⁶^p_^__²



^⁴

liczba całkowita

Odp. Reszta z dzielenia sumy kwadratów liczb a, b, c wynosi 4.

b)



ac

 

²  5k15p3



² 



⁵ ⁵ ¹⁰ ⁸ ⁸ ³



¹

5 ²  ²     

 kpkpkp

liczba całkowita

Odp. Reszta z dzielenia kwadratu sumy liczb a, c wynosi 1.

Zadanie 12.

Objętość części akwarium niezapełnionej wodą wynosi: 450,12 dm³. Objętość kulki wynosi: 1,575

2 15 , 3 2

1  [dm³] lub 2

2 4 2 

 [dm³].

Odp. Objętość kulki jest mniejsza niż objętość części akwarium niezapełnionej wodą, zatem po zanurzeniu kulki woda nie wyleje się z akwarium.

Zadanie 13.

Czas Prędkość Droga

I etap trasy Wojtka 2,25 h 6 km/h 13,5 km

II etap trasy Wojtka 25 min =

12

5 h – –

III etap trasy Wojtka x 5,5 km/h 5,5x [km]

I etap trasy Ani

(czyli I+II etap Wojtka) 2,25+

12 5 =

3

22h 4,5 km/h 12 km

II etap trasy Ani

(czyli III etap trasy Wojtka) x 4,5 km/h 4,5x [km]

(4)

Łączna długość drogi przebytej przez Wojtka i Anię od momentu rozpoczęcia powrotu przez Wojtka do momentu spotkania wynosiła 1,5 km, stąd:

5,5x + 4,5x = 1,5 x = 0,15 [h]

Łączny czas treningu do momentu spotkania:

60 249 15 , 3 0

22  [h] = 2 h 49 min

W czasie x Ania przebyła 0,154,50,625[km], zatem cała droga Ani i jednocześnie odległość od miejsca rozpoczęcia treningu do miejsca spotkania wyniosła:

12 + 0,675 = 12,675 [km]

Odp. Czas, jaki upłynął od momentu wyruszenia na trening do momentu spotkania Ani i Wojtka wyniósł 2 h 49 min, a odległość od miejsca wyjścia do miejsca spotkania – 12,675 km.

II sposób

Droga Wojtka do momentu odpoczynku: 6 13,5 4

21  km.

Czas Wojtka do momentu wyruszenia w drogę powrotną: h 2h40min 3

22 min 25 4h

21    .

Droga Ani do momentu wyruszenia przez Wojtka w drogę powrotną: 12 2 9 3 5 8 , 3 4

22    km.

x - droga Ani do momentu spotkania, od chwili wyruszenia przez Wojtka w drogę powrotną.

t – czas do momentu spotkania, od chwili wyruszenia przez Wojtka w drogę powrotną.









 t x

t x

5 , 5 5

, 1

5 ,

4 lub od razu 10t = 1,5

60 9 20

3 100

15  



t h = 9 min

Łączny czas treningu do momentu spotkania: 2 h 40 min + 9 min = 2 h 49 min droga:   

2 9 60

12 9 12,675 km

Odp. Czas, jaki upłynął od momentu wyruszenia na trening do momentu spotkania Ani i Wojtka wyniósł

A W

x 1,5 – x

(5)

Schemat punktowania:

Zad. Poziom wykonania Schemat punktowania Liczba

punktów

10

Poziom 6: pełne rozwiązanie. Poprawne obliczenie pole trójkąta

15

PABC [j²]. 3 p.

Poziom 4: zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale rozwiązanie nie zostało dokończone lub dalsza część rozwiązania zawiera poważne błędy merytoryczne.

Zapisanie poprawnych wyrażeń arytmetycznych prowadzących do obliczenia pola trójkąta ABC.

2 p.

Poziom 2: dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane.

Przyjęcie do obliczeń prawidłowego

prostokąta XYZB (na rysunku albo w zapisie wzoru na pole prostokąta).

1 p.

Poziom 0: rozwiązanie niestanowiące postępu; brak rozwiązania.

Rysunek trójkąta ABC w układzie

współrzędnych. 0 p.

11

Poziom 6: pełne rozwiązanie.

Uzasadnienie obu poprawnie wyznaczonych reszt: r = 4 oraz r = 1 (zauważenie

całkowitych składników przekształconego wyrażenia albo inne uzasadnienie

wyznaczonej reszty, np. rachunek reszt).

4 p.

Poziom 5: zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale dalsza część

rozwiązania zawiera usterki (błędy rachunkowe, niedokonanie wyboru właściwych rozwiązań itp.).

Zapisanie sumy kwadratów liczb a, b, c ORAZ

zapisanie kwadratu sumy liczb a, c – w postaci przekształconego wyrażenia pozwalającego wyznaczyć szukaną resztę.

3 p.

Zapisanie sumy kwadratów liczb a, b, c ALBO

kwadratu sumy liczb a, c

– w postaci przekształconego wyrażenia pozwalającego wyznaczyć szukaną resztę.

2 p.

Poziom 2: dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane.

Wykorzystanie informacji o resztach z dzielenia liczb przez 5 (np. zapis odpowiednich wyrażeń).

1 p.

0 p.

(6)

Zad. Poziom wykonania Schemat punktowania Liczba punktów

12

Poziom 6: pełne rozwiązanie. Podanie poprawnego wniosku. 3 p.

Oszacowanie objętości kulki pozwalające na dokonanie porównania z objętością części akwarium.

2 p.

Poziom 2: dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane.

Obliczenie objętości części akwarium

niezapełnionej wodą . 1 p.

Podanie wzoru na objętość prostopadłościanu,

obliczenie objętości akwarium. 0 p.

Zad. Poziom wykonania Schemat punktowania Liczba

punktów

13

Poziom 6: pełne rozwiązanie.

Poprawne obliczenie odległości od miejsca wyjścia do miejsca spotkania Ani i Wojtka (12,675 km).

5 p.

Poziom 5: zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale dalsza część

rozwiązania zawiera usterki (błędy rachunkowe, niedokonanie wyboru właściwych rozwiązań itp.).

Poprawne obliczenie czasu, jaki upłynął od momentu wyruszenia na trening do

momentu spotkania Ani i Wojtka (2 h i 49 min).

4 p.

Obliczenie czasu, jaki upłynął od momentu rozpoczęcia drogi powrotnej Wojtka do

spotkania z Anią. 3 p.

Poziom 2: dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane.

Obliczenie drogi Ani w I etapie jej trasy. 2 p.

Poziom 1: dokonano niewielkiego, ale koniecznego postępu na drodze do całkowitego rozwiązania.

Obliczenie drogi Wojtka w I etapie jego trasy. 1 p.

0 p.