Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów dotychczasowych gimnazjów woj. śląskiego
w roku szkolnym 2018/2019
Przykładowe rozwiązania zadań i schemat punktowania
Stopień szkolny
Przy punktowaniu zadań otwartych należy stosować następujące ogólne reguły:
Oceniamy rozwiązania zadań zgodnie z podanym niżej schematem, tzn. przyznajemy daną liczbę punktów, jeżeli rozwiązanie zawiera wszystkie wskazane na danym poziomie elementy.
Punktując rozwiązania zadań, przyznajemy tylko całkowitą liczbę punktów.
Nie jest wymagana pisemna odpowiedź, ale jednoznaczne wskazanie wyniku lub rozstrzygnięcia problemu.
Za każdy, inny niż podany w kluczu, poprawny sposób rozwiązania zadania przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
W przypadku, gdy zadanie rozwiązywano innym sposobem, niż podany w kluczu, ale popełnione zostały błędy lub nie dokończono rozwiązywania, należy przyznać punkty w zależności od poziomu wykonania zadania.
Liczba punktów umożliwiająca kwalifikację do kolejnego stopnia wynosi co najmniej 51.
Zadanie 1.
Za każde poprawnie zapisane hasło w krzyżówce 1 punkt, czyli w sumie 18 punktów.
1) A R G U M E N T
2) T R A P E Z
3) L I C Z B A Z Ł O Ż O N A
4) U Ł A M E K
5) Ś R E D N I C A
6) H E K T A R
7) P Ó Ł P R O S T A
8) O D C I Ę T A
9) K W A D R A T
10) K Ą T P R O S T Y
11) C Y F R A
12) W I E L O K R O T N O Ś Ć
13) W S P Ó Ł R Z Ę D N A
14) L I C Z B Y O D W R O T N E
15) R Ó Ż N I C A K W A D R A T Ó W
16) D Z I E L E N I E
17) W Y C I N E K K O Ł A
18) P O D S T A W A P O T Ę G I
Zadania zamknięte – klucz punktowania
Za każde poprawnie zaznaczone wskazanie 1 punkt, czyli w sumie 27 punktów.
Zadanie 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Odpowiedź I P P P P P F P P P
Odpowiedź II F P P P P P P P F
Odpowiedź III P P F F F P F F F
Zadania otwarte - przykładowe rozwiązania
Zadanie 11.
I sposób
Wyższy brat Niższy brat
w – długość kroku wyższego brata
x – liczba kroków zrobionych przez wyższego brata w drodze z domu do szkoły (w czasie t)
s w x – droga przebyta przez wyższego brata z domu do szkoły
0,8 w – długość kroku niższego brata
1,25x – liczba kroków zrobionych przez niższego brata (w tym samym czasie t)
' 0,8 1,25
s w x – droga przebyta przez niższego brata (w tym samym czasie t)
'
s w x s II sposób
d – dystans pokonany po postawieniu jednego kroku przez wyższego brata
W tym samym czasie niższy brat zrobi 1,25 kroku i pokona: 0,8d + 0,25 · 0,8d = 1d.
Wniosek: w tym samym czasie bracia pokonują ten sam dystans.
Odp. Bracia przybyli do szkoły razem (po tym samym czasie).
Zadanie 12.
x – długość trzeciego boku trójkąta; założenie:x0
(3x – 2) – długość drugiego boku trójkąta; założenie: 3x – 2 > 0 => x >
3 2
10 – długość pierwszego boku trójkąta
Dla każdej pary boków spełniona jest nierówność trójkąta, zatem:
10 3 2 6
x x
x
(3 2) 10
3 x x x
10 (3 2)
4
x x
x
Zatem x > 3 i x < 6.
x może przyjąć dwie wartości naturalne: 4 lub 5, wtedy drugi bok trójkąta ma odpowiedni długość:
3 4 2 10 lub 3 5 2 13 .
Odp. Trzeci bok trójkąta może być liczbą jednocześnie większą od 3 i mniejszą od 6.
Istnieją dwa trójkąty, spełniające warunki zadania, których boki są liczbami naturalnymi.
Zadanie 13.
I sposób
ACO jest równoboczny.
2
6 3 2
6 6 3 2
1 1 6 3
6 6 18 9 3
2 2 2
6 3
18 9 3 18 4
6 18 108
ACB
ABCO ACO ABC
OP
PB OB OP
P PB AC
P P P
P
II sposób
ACO jest równoboczny.
0, 5 3
1 2
16 3 9 2
12 9 108
OBA
OBA
PA AC
P OB PA
P P
Odp. Pole dwunastokąta wynosi 108 cm2.
Zadanie 14.
w – liczba wiśni w sadzie c – liczba czereśni w sadzie I sposób
0, 24 1, 03 1
7
7 87, 5%
1 8
7
w w c w c
w c
c c
w c c c
II sposób
24% 3%
1 7
7 87, 5%
1 8
7
w w c
w c
c c
w c c c
Odp. Czereśnie stanowią 87,5% wszystkich drzew w sadzie.
Schemat punktowania
Zad. Poziom wykonania Schemat punktowania Liczba
punktów
11
Poziom 6: pełne rozwiązanie.
Interpretacja wyników. Podanie poprawnej odpowiedzi na pytanie zadania wraz z uzasadnieniem.
3 p.
Poziom 4: zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale rozwiązanie nie zostało dokończone lub dalsza część rozwiązania zawiera poważne błędy merytoryczne.
Zapisanie wyrażeń algebraicznych
opisujących drogę, którą przeszedł każdy z braci w tym samym czasie.
2 p.
Poziom 2: dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane.
Zależność liczby kroków i długości kroków
dla każdego z nich. 1 p.
Poziom 0: rozwiązanie niestanowiące postępu; brak rozwiązania.
0 p.
12
Poziom 6: pełne rozwiązanie. Podanie liczby trójkątów o naturalnych
długościach boków. 5 p.
Poziom 5: zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale dalsza część
rozwiązania zawiera usterki (błędy rachunkowe, niedokonanie wyboru właściwych rozwiązań itp.).
Wskazanie przedziału, w którym mieści się
długość trzeciego boku trójkąta. 4 p.
Poziom 4: zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale rozwiązanie nie zostało dokończone lub dalsza część rozwiązania zawiera poważne błędy merytoryczne.
Wyznaczenie warunków na długość
trzeciego boku wynikających z zastosowania nierówności trójkąta dla trzech par boków (z uwzględnieniem, że długości boków są liczbami dodatnimi).
3 p.
Poziom 2: dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane.
Rozwiązanie nierówności trójkąta dla jednej lub dwóch par boków
ALBO
Zapisanie nierówności trójkąta dla trzech par boków
2 p.
Poziom 1: dokonano niewielkiego, ale koniecznego postępu na drodze do całkowitego rozwiązania.
Zapisanie wyrażenia przedstawiającego zależność między długością drugiego i trzeciego bok trójkąta.
1 p.
Poziom 0: rozwiązanie niestanowiące postępu; brak rozwiązania.
0 p.
Zad. Poziom wykonania Schemat punktowania Liczba punktów
13
Poziom 6: pełne rozwiązanie. Obliczenie pola dwunastokąta. 4 p.
Poziom 4: zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale rozwiązanie nie zostało dokończone lub dalsza część rozwiązania zawiera poważne błędy merytoryczne.
Obliczenie pola 1/6 dwunastokąta (sumy trójkąta ACO i trójkąta ABC)
ALBO
obliczenie pola 1/12 dwunastokąta (trójkąta OBA).
3 p.
Poziom 2: dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane.
Obliczenie wysokości trójkąta ABC ALBO
obliczenie wysokości trójkąta OBA 2 p.
Poziom 1: dokonano niewielkiego, ale koniecznego postępu na drodze do całkowitego rozwiązania.
Podanie wysokości trójkąta równobocznego
AOB. 1 p.
Poziom 0: rozwiązanie niestanowiące postępu; brak rozwiązania.
0 p.
Zad. Poziom wykonania Schemat punktowania Liczba
punktów
14
Poziom 6: pełne rozwiązanie. Obliczenie, jaki procent wszystkich drzew w
sadzie stanowią czereśnie. 3 p.
Poziom 5: zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale dalsza część
rozwiązania zawiera usterki (błędy rachunkowe, niedokonanie wyboru właściwych rozwiązań itp.).
Obliczenie zależności pomiędzy liczbą wiśni i
czereśni. 2 p.
Poziom 4: zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale rozwiązanie nie zostało dokończone lub dalsza część rozwiązania zawiera poważne błędy merytoryczne.
Zapisanie wyrażenia pozwalającego obliczyć
zależność pomiędzy liczbą wiśni i czereśni. 1 p.
Poziom 0: rozwiązanie niestanowiące postępu; brak rozwiązania.
0 p.
