Parameterstudie voor formulering van een equivalente effectieve veerconstante voor het plaat op veren model.

(1)

I

i

I

GRONDMECHANICA

DELFT

(2)

PARAMETERSTÜDIE VOOR

FORMULERING VAN EEN EQUIVALENTE

EFFECTIEVE; V^ERCONSTTVNTE VOOR

HET PtAAT OP VEREN MODEL

(3)

stieltjesweg 2 Postbus 69, 2600 AB Delft Telefoon 0 1 5 - 6 9 3 5 0 0 Telex 38234 soil nl Telefax 015-610821 Postgiro 234342 Bank Mees en Hope NV Reknr. 25.92.35.911 K.v.K. S 146461 Delft

GRONDMECHANICA

DELFT

PARAMETERSTUDIE VOOR FORMULERING

VAN EEN EQUIVALENTE EFFECTIEVE VEERCONSTANTE VOOR HET PLAAT OP VEREN MODEL

CO-336530/6 november 1992 Rr/Om/Ark O p g e s t e l d i n o p d r a c h t van: D i e n s t Weg- en Waterbouwkunde namens p r o j e c t g r o e p TAW-A4 P r o j e c t b e g e l e i d e r DWW: i r . R . ' t Hart AFDELING GEOFYSICA p r o j e c t l e i d e r : i r . P. Ruygrok p r o j e c t b e g e l e i d e r : d r . G. Greeuw a f d e l i n g s h o o f d : d r . J . K . van Deen

Vestigingen in België en Engeland

Op alle aanbiedingen en op alle te sluiten overeenkomsten alsmede de daaruit voortvloeiende leveringen van diensten en produkten en de daaruit voortvloeiende uitvoeringen van werkzaamheden, zijn van toepassing de Algemene Voorwaar den voor opdrachten aan de Stichting Grondmechanica Delft. welke zijn gedeponeerd ter Griffie van de Arrondissements rechtbank te 's-Gravenhage en bij de Kamers van Koophandel en Fabrieken

(4)

bladnummer : - 2 - 1 ^ ^ G R O N D M E C H A N I C A

ons kenmerk ; CO-336530/6 ^ ^ ^ ^ 1 D E L F T datum : november 1992

INHOUD: blz.:

1. INLEIDING 1 2. MATERIAALMODEL 2 2.1. Schematisering van de bekledingsstijfheid 2

2.2, Schematisering van de ondergrondstij fheidsparameters 2

3. PROCEDURE 5 3.1. Overzicht 5 3.2. Gebruik van materiaalmodel 5

3.2.1. Circulariteit materiaalmodel 5 3.2.2. Eindige Elementen Methode 6 3.3. Koppeling met plaat op veren model 6

4. PARAMETERKEUZE 9 5. RESULTATEN 10 6. CONCLUSIES EN OVERWEGINGEN 14

7. LITERATUUR 15 APPENDICES 16

(5)

bladnummer : 1

-ons kenmerk : CO-336530/6 datum : november 1992

1. INLEIDING

Het doel van de uitgevoerde parameterstudie is het aanreiken van gegevens waarmee richtlijnen worden opgesteld ten behoeve van een verantwoorde keuze van de benodigde ondergrondparameters in het

dimensioneringsmodel voor de op een zandbed gelegen asfaltbekledingen van zeedijken. Één en ander is uitvoerig toegelicht in een notitie van

't Hart [1], gericht aan projectgroep A4 van de T.A.W.

De complicatie bij de toepassing van het voor de dimensionerings-procedure gekozen plaat op veren model is, dat de te selecteren veerstijfheid geen constante, maar een configuratie-afhankelijke waarde is. Dit wordt veroorzaakt door de vrij sterke spannings-afhankelijkheid van de stijfheid van, in dit geval, ongecementeerd zand [2].

Bijkomende aspecten die motiveren om een beter dan gebruikelijke schatting van de veerstijfheid na te streven zijn:

- de gevoeligheid van de in het dimensioneringsmodel geïmplemen-teerde vermoeiingsregel voor de in te voeren buigtrekspanningen die onderin de bekleding optreden

- de omstandigheid dat de door de golfbelasting in het zand direct onder de belaste sector geïntroduceerde spanningen beduidend hoger kunnen zijn dan de initiële spanningen als gevolg van het 'eigen gewicht' (gravitatie). De belastings-afhankelijkheid van de stijfheid van de directe ondergrond kan daardoor plaatselijk veel hoger zijn in vergelijking met

gevallen waarbij de initiële spanningstoestand sterk domineert. Deze argumenten maken het plausibel waarom de gezochte veerstijfheid configuratie-afhankelijk is. Die configuratie houdt in:

- de belastingsverdeling (grootte en vorm)

de belastingsoverdracht (dikte en stijfheid van de bekleding) de vastheid (structuur, pakkingsdichtheid) van het zandbed, waarmee tegelijk de te analyseren invloedsparameters zijn gegeven. De aard van het probleem maakt het noodzakelijk deze parameteranalyse met een numerieke methode (eindige elementen model) te verrichten.

I^m GRONDMECHANICA

(6)

bladnummer ons kenmerk datum 2 -CO-336530/6 november 1992

GRONDMECHANICA

DELFT

2. MATERIAALMODEL

De basisconfiguratie in de studie bestaat uit een laag asfalt op een zandbed. De belasting van golven op het asfalt wordt beschouwd als een statische belasting en is geschematiseerd tot een driehoeksvorm.

zand

Figuur 1. Asfaltbekleding op zandbed

De uitkomsten van het plaat op veren model worden vergeleken met resultaten van eindige elementen berekeningen. Gebruik is gemaakt van vlakke vervorming beschrijving van een lineair elastische laag

(asfaltbekleding), ondersteund door een medium (zandbed) dat op niet-lineaire wijze wordt beschreven.

2.1. Schematisering van de bekledingsstijfheid

Voor de bekleding is de stijfheid geschematiseerd als

lineair-elastisch, De te hanteren stijfheidsparcuneters (G en v) zijn gekozen op basis van bestaande informatie bij een representatief geachte temperatuur en 'effectieve' frequentie voor de golf(klap)belasting, Ten aanzien van de koppeling bekleding-»zand wordt de no-slip conditie

(perfecte hechting) gehanteerd.

2.2. Schematisering van de ondergrondstij fheidsparameters

Voor het pseudo-elastisch gedrag van zand, welke schematisering tot vervormingen van omstreeks 0.2% toelaatbaar wordt geacht, is er keuze uit diverse mogelijkheden. Uit literatuurbronnen (onder andere [3],

[4]) blijkt dat in een elastisch raamwerk waarbij niet-lineariteit door middel van iteratieve aanpassing wordt benaderd, het beste kan worden geopereerd met secantmoduli (G en K of y), omdat aangetoond kan worden ([4], [5]) dat bij een incrementele procedure één a twee extra moduli vereist zijn.

(7)

bladnummer : - 3 - 1 ^ ^ G R O N D M E C H A N I C A

ons kenmerk : CO-336530/6 ^ ^ ^ ^ ^ D F I F T

datum : november 1992

In deze paragraaf wordt het model voor het zand beschreven. Dit model is gebaseerd op de karakterisering met G en v. Voor kleine

veranderingen vanuit een gegeven spanningstoestand worden nu mogelijkheden om de G-modulus spanningsafhankelijk te kiezen aangegeven.

Beide manieren gaan uit van:

Yr

-fi

8 „-C

W^

(2)

y " x' ^ 1 xy

Hierin is G„,^ de maximumwaarde, die hoofdzakelijk wordt bepaald door de relatieve dichtheid (D,) en het gemiddeld spanningsniveau (p'). De manifeste G-waarde neemt echter af bij waarden van de

vervormingsamplitude 7 (of amplitude van de deviatorische belasting). Dit verloop wordt gekarakteriseerd door een referentieamplitude 7,, welke parameter eveneens afhankelijk is van de relatieve dichtheid D, en het gemiddelde spanningsniveau (dus inclusief de geïnduceerde spanning.) Formulering (2) geldt voor de toestand van vlakke vormverandering.

Er zijn daarna verschillende beschrijvingen van G„„ en 7, mogelijk, namelijk uitgaan van relatieve dichtheid of van porositeit.

Bij keuze van de relatieve dichtheid wordt gesteld [7]:

G^-(a+h-exp(D,))|-^j'" (3)

Y^-q(l+exp{-D^))f-^J (4)

met voor de effectieve spanning:

/ X '*'0 y + 0 ^ f f |g.

(8)

bladnummer : 4

De constanten hebben hierin de waarden: a = 20 MPa

b = 50 MPa c = 0.00035 m = 0.5 a 0.55 p,„ = 100 kPa,

Bij keuze voor de porositeit wordt gesteld: G - AJ^l£ll n'«

^' l-n^[pref}

De constanten zijn hier:

A = 3220 B = 2.97 C = 0.000457 m = 0.5

p,,, = 100 kPa.

Verder geldt e = n/(l-n), met n het poriëngehalte. Een vrij recent [6] alternatief voor (6) is hier nog:

r' 6 3 0 _0.57, /. 0.43

^aax. „ ^ ^ , Pref vP )

0.3+0.7e^

Als materiaalmodellering is gekozen voor de beschrijving door vergelijkingen (1), (3) en (4).

Het bleek niet eenvoudig mogelijk om de spanningsafhankelijke

compressiemodulus van de ondergrond te simuleren. Hiervoor zijn twee hoofdredenen:

(1) Er is niet veel bruikbare informatie aanwezig om een formulering in termen van dichtheid en spanningstoestand voldoende betrouwbaar over een groot bereik te fitten. (2) Het implementeren van een per iteratiestap aangepaste

poissonmodulus bleek in deze PLAXIS-versie niet zonder meer mogelijk.

De tweede complicatie kan mogelijk deels worden ondervangen door gebruik te maken van de mogelijkheid om een beperkt aantal (10) waarden per run in te voeren. Er zou overwogen kunnen worden om via een selectiealgoritme de best passende waarde uit de discrete databank in te voeren (pseudo-continue iteratieve aanpassing).

De poissonmodulus v is wegens het bovenstaande in deze studie vast gekozen.

^ ^ GRONDMECHANICA

DELFT

(9)

bladnummer : 5

3. PROCEDURE 3.1. Overzicht

De gang van zaken wordt in dit hoofdstuk behandeld. In de eerste plaats wordt ingegaan op de wijze waarop het gekozen materiaalmodel gebruikt wordt in een statische berekening. De manier waarop de statische berekening middels het eindige elementen-pakket PLAXIS is geïmplementeerd, komt daarna aan de orde.

Het verband tussen de resultaten hiermee en met het plaat op veren model wordt vervolgens gelegd.

3.2. Gebruik van materiaalmodel

Het niet-lineaire materiaalmodel maakt een iteratieve werkwijze met lineair elastische problemen mogelijk. De lineair elastische problemen worden met het eindige elementen pakket PLAXIS opgelost. Hiertoe is de uitvoering van een berekening met PLAXIS vanuit een overkoepelend

'Shell' programma gerealiseerd. 3.2,1. Circulariteit materiaalmodel

Het materiaalmodel wordt in beginsel toegepast in een statische lineair elastische berekening, waarbij de spanningstoestand bij de gegeven belasting wordt gebruikt in de functionele verbanden voor G en

V. Echter volgt de spanningstoestand bij de gegeven belasting uit de berekening zodat hier sprake is van een cirkelredenering.

Dit probleem is opgelost door een reeks opeenvolgende lineair elastische berekeningen uit te voeren met steeds per element een nieuwe waarde van G volgens:

g'"^^'- g.^(p'"')-g'"' y'"' (9)

Y r (P )

Dit voorschrift is gebaseerd op (1). Bij convergentie wordt aan deze relatie voldaan.

Vanuit een initiële toestand met spanning en pakking gegeven, kan met het bovenstaande een startwaarde voor de G-modulus worden bepaald. De 7 wordt als eerste schatting gelijk aan nul gekozen. De iteratieve verbetering van de G modulus wordt afgebroken als aan een geschikt criterium is voldaan.

De tweede parameter, de poissonmodulus v, is vast gekozen. Het bleek in de gekozen aanpak niet goed mogelijk ook hierin

spannings-afhankelijkheid aan te brengen. Dit punt is in het slot van paragraaf 2.2 kort behandeld.

GRONDMECHANICA

DELFT

(10)

bladnummer : - 6 - I T W G R O N D M E C H A N I C A

ons kenmerk : CO-336530/6 ^^m^m ^ E l E T

3,2.2. Eindige Elementen Methode

De lineair elastische berekeningen kunnen met één van de vele eindige elementen pakketten worden uitgevoerd. De keuze is gemaakt voor PLAXIS versie 4.01. Voor de berekening voor een groot aantal varianten was het noodzakelijk om een geautomatiseerde werkwijze te hebben. Door de in en uitvoer van PLAXIS te bestuderen, bleek het mogelijk om een Shell rond PLAXIS aan te brengen. Deze shell is gerealiseerd, zodat de rond 2000 eindige elementen berekeningen van de hele studie zonder menselijke tussenkomst konden worden afgewerkt.

Van de resultaten is vooral het verloop van de spanning onderin de asfaltlaag van belang. De levensduur van de bekleding is namelijk evenredig met circa de vierde macht van deze trekspanning. De maximum trekspanning onderin het asfalt wordt daarom gebruikt om een

veerstijfheid van het plaat op veren model te bepalen. Hierop wordt in de volgende paragraaf ingegaan.

Binnen de beperkingen van PLAXIS is, gebruikmakend van de symmetrie, een aantal meshes samengesteld. Een voorbeeld van een mesh is

bijgevoegd als bijlage 18. Het mesh is een compromis tussen het zo groot mogelijk kiezen van het gebied, het niet te smal maken van de elementen, het voldoende fijn maken van het rooster aan de onderkant van het asfalt, en het op het rooster laten passen van de toegepaste breedten van de belasting. Op de zijrand van het gebied zijn de normale verplaatsing en de tangentiële tractie gelijk aan nul gezet. Aan de onderzijde is de verplaatsing gelijk aan nul opgelegd. De

initiële spanning is gedefinieerd met de mogelijkheid van PLAXIS om een K^-toestand te maken.

Voor iedere beschouwde dikte van het asfalt is een afzonderlijk mesh gemaakt. In deze meshes is alleen de dikte van de asfaltlaag

gewijzigd.

3.3. Koppeling met plaat op veren model

Uit een eindige elementen benadering volgt een maximum trekspanning onderin de asfaltbekleding. Uit toepassing van het plaat op veren model voor een gegeven keuze van de veerstijfheid k van de ondergrond volgt eveneens een waarde voor de maximum trekspanning. Door keuze van k kan ervoor worden gezorgd dat deze beide trekspanningen gelijke waarden hebben. In het vervolg wordt besproken hoe de waarde van k wordt bepaald.

De basis hiervoor vormt de uitdrukking voor het plaat op veren model uit [8]:

jj _ l-e-PMcos(Pz)+sin(Pz)] .^Q.

(11)

bladnummer : - 7 - g ^ G R O N D M E C H A N I C A

ons kenmerk : CO-336530/6 I ^ ^ H D E L F T datum : november 1992

met:

p. _ i£UiiiL (11)

E.hl

De betekenis van de parameters is hieronder gegeven: M buigmoment ter plaatse x=0 (symmetrieas)

qo maximum van de driehoeksbelasting (ter plaatse x=0) k veerconstante in het plaat op veren model

z halve belastingsbreedte (halve golfhoogte) h, plaatdikte.

De aanname van projectgroep TAW-A4 dat de belastingsbreedte gelijk wordt gesteld aan de golfhoogte, is hier gebruikt.

De maximum trekspanning hangt hiermee samen volgens:

o^-M (12)

6

Door herschrijven kan dit worden omgevormd tot:

2 WM'

3 goV z J

l-e'P^ [cos (Pz) +sin{^z) ] (13)

(pz)^

Het blijkt dat de uitdrukking in het rechterlid als functie van fiz

strict monotoon is. Het gevolg hiervan is dat het rechterlid

inverteerbaar is en een numerieke invertering met bijvoorbeeld een programma gebaseerd op een functie uit referentie [9] mogelijk is. Als in (11) de G, modulus conform:

E, - 2(l+v,)G, (14)

wordt ingevuld, is het resultaat: „4 _ l-^a 2k

(12)

bladnummer : 8

GRONDMECHANICA

DELFT

Dit kan worden geschreven in een vorm waarin direct Pz kan worden gesubstitueerd:

(13)

bladnummer : 9

4. PARAMETERKEUZE

In overleg met de opdrachtgever is uiteindelijk onderstaande selectie van parameters opgesteld.

ASFALT moduli : E. = 2.5, 5, 8.75 GPa, j«=0.25 dichtheid: p, = 2350 kg/m' dikten : h,= 0.15m, 0.25m, 0.35m. ZAND dichtheid(relatief): D, = 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 droog volumegewicht: p^ = 1600 kg/m' (gemiddeld)

moduli: »^0.33 (vast), G volgt uit formuleringen (1), (3) en (4). BELASTING

golfhoogten : H = 0.8m, 1.2m, 1.6m en 2.4m. belastingsbreedte: gelijk aan de golfhoogte. stootfactor : S = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

De maximumwaarde van de hydraulische belastingsdruk volgt uit:

Q<,-S{p„q)H (17)

met /0„ = soortelijke massa water (1000 kg/m') en g = gravitatieversnelling (-10 m/s^).

De initiële spanningstoestand is opgebouwd met Ko-0.7. Het beschouwde gebied heeft als afmetingen:

diepte 5 m (ondergrond) - breedte 6 m.

Dit betreft een compromis, waarbij de volgende aspecten een rol speelden:

- beperking van de invloed van de rand

- noodzaak tot het vermijden van te slanke elementen op kritische posities

- wens tot het toepassen van één uniform mesh voor alle voorgenomen belastingsbreedten

- maximum van negentig aan het aantal elementen.

^ ^ GRONDMECHANICA

DELFT

(14)

bladnummer : 10

5. RESULTATEN

Het resultaat van de in de 'shell' uitgevoerde iteratieve eindige elementen berekeningen voor één keuze van de parêuneters is de maximumwaarde van de trekspanning onderin de asfaltbekleding. Dit maximum wordt gebruikt om de veerconstante zo te bepalen, dat het plaat op veren model dezelfde maximumwaarde heeft. Hoewel op deze manier de maxima dus gelijk zijn, hoeft in beginsel het verloop van de trekspanning niet overeen te stemmen. Om inzicht in de mate van

overeenstemming te krijgen, is het verloop in twee situaties vergeleken. Het resultaat is opgenomen als bijlagen 16 en 17. De trekspanningen komen, zeker in het gebied met hogere waarden waar het van belang is, goed met elkaar overeen.

Het totaalresultaat met de trekspanningen en equivalente

veerstijfheden voor E, = 5 GPa is opgenomen in bijlagen 1 tot en met 15. In ieder van deze vijftien grafieken is een reeks resultaten samengevat voor één keuze van asfaltdikte en relatieve dichtheid van het zand. De volgende tabel geeft aan welk resultaat in iedere bijlage te vinden is. h,=0,15m h.=0.25m 1 h.=0.35m D=0.4 bijlage 1 bijlage 6 bijlage 11 D=0.5 bijlage 2 bijlage 7 bijlage 12 D=0.6 bijlage 3 bijlage 8 bijlage 13 D=0.7 bijlage 4 bijlage 9 bijlage 14 D=0.8 bijlage 5 bijlage 10 bijlage 15 |

Tabel 1. Verwijzing naar de bijlagen met grafieken met resultaten Het zoeken naar een beschrijving hiervan met een functie heeft een goed resultaat opgeleverd. Met een programma voor de algemene lineaire kleinste kwadraten fit is in eerste instantie bereikt dat:

1 6 5 . 8 2 8 - 8 6 . 1 8 8 1 h ^ - 7 1 . 4 9 2 7 / / +45.2181», - 1 2 . 6 1 4 6 S ( 1 8 ) - 5 4 . 1 2 9 7 i 3 | + 6 7 . 2 2 4 8 H h , - 1 6 5 . 587 £>^, +17.2375SJ2, +11.5379H2 - 7 . 4 4 6 6 6 D ^ + 0 . 0 0 6 8 3 7 2 8 5 / / +125.857D^ + 0 . 6 3 0 6 6 1 S D , + 0 . 4 8 7 5 7 1 5 ^

GRONDMECHANICA

DELFT

(15)

bladnummer ons kenmerk datum 11 -CO-336530/6 november 1992

GRONDMECHANICA

DELFT

De eenheden zijn meters voor h, en H, D, S is ook dimensieloos. De waarde voor k

is een dimensieloze fractie en is in MPa.

De maximale afwijking is 5% van k. Het geldigheidsbereik wordt bepaald door het bereik van de parameters dat in de studie werd gebruikt. Het is een verband dat niet bedoeld is voor extrapolatie buiten dit

bereik.

De beschrijving in (18) is aangepast tot:

kih^.H.D^.S) 166 - 8 5 . Sh^ -71.5H +4SDj. - 1 2 . 6 5 ~5Ahl •'•eiHh^ - 1 6 6 D ^ , +11.2Sh^ + 1 1 . 5 / / ^ -1 .5D^ + 126Dr + 0 . 6 5 0 , + 0 . 5 5 2 (19)

De methode van aanpassen bestond uit het achtereenvolgens afronden en fixeren van steeds één factor meer, gevolgd door het fitten met de nog niet gefixeerde factoren. De afwijking werd hierdoor nauwelijks

groter. De waarden van de functie en de waarden uit de eindige

elementen berekeningen zijn vergeleken. De volgende figuur geeft, voor een gegeven afwijkingspercentage, het deel van de punten dat binnen het afwijkingspercentage ligt. Hierin is te zien dat circa de helft van de berekende punten minder dan 1% afwijkt. Meer dan 80% heeft een afwijking kleiner dan 2%.

% error

(16)

b l a d n u m m e r : - 12 - I ^ S GRONDMECHANICA

o n s k e n m e r k : C O - 3 3 6 5 3 0 / 6 ^ ^ ^ H DELFT

d a t u m : november 1992 ^^^^M l^Ekr •

De resultaten voor deze en de andere stijfheden van de

asfaltbekleding, te weten E,=2.5GPa (G,=lGPa) en E,=8.75GPa (G.=3.5GPa) zijn opgenomen als tabellen in bijlage 19. De beschrijving van de resultaten met soortgelijke functies als gebruikt voor het geval met alleen E,=5GPa (G,=2GPa) leidt nu tot de volgende vormen

k{G,.h,.H.D^.S)

-1 9 7 . 6 8 8 - 2 2 . 5 4 6 6 G - 4 3 . -1 3 -1 9 / J - - 8 6 . 9 4 3 8 / / + 8 8 . 7 6 2 D - - -1 6 . 5 2 8 5 „„

, • • ' ( 2 0 ) +3. 6 3 8 4 3 G f - 1 6 . 5262(?,h,+5.6098G,//-21.3728G^£>,+l. 49847 G,5

-29 . llOhf+59 . 4625h^i/-164 . 053h,D,+16 . 6407i3„S + 12 . 8129i/2-8 . 20928HD,+ 0 .175211H5 i 2 . +133.433D,+0.426659D,5 +0.5378435^ k{G,.h,.H,D^.S) 19 8 . 6 - 2 2 . 6 G ^ - 4 4 / l , - 8 7 / / + 8 6 i 7 , - 1 6 . 5 5 ( 2 1 ) -2 +3 . 6Ga-16 . 5G^h^+5 . 6GaH-21G,D,+ l . 5G,5 , 2 29ha+6 0h^//-164h^£>,+ 16 . 6 ^ , 5 + 12 . 8H2-8 . 2HD,+ 0 . XISHS 5DJ+0.43 + 0 . 5 4 5 2 + 135DJ + 0.43I»,5

Het tweede verband is ontstaan door een getrapte afrondingsprocedure waarvan het principe al beschreven is. De de mogelijke afwijking bij gebruik van het laatste verband is groter dan bij de fit met de enkele asfaltstijfheid. Meer dan 90% van de waarden heeft een afwijking van minder dan 5%. In een enkel geval kan de afwijking maximaal 17% zijn. De statistiek van de afwijking wordt geïllustreerd in figuur 3.

Het succes van de beschrijving van de meetresultaten als een lineaire combinatie van functies is afhankelijk van de keuze van die functies. Het blijft mogelijk dat een betere keuze dan die uit de voorliggende studie een betere beschrijving van de resultaten geeft.

In de bijlage 19 is per combinatie van parameters naast de maximale trekspanning en de hieruit volgende k ook aangegeven wat de afwijking bij gebruik van de formule (21) is.

(17)

bladnummer : 13

GRONDMECHANICA

DELFT

• B Q o B B B B B 1 I -1 \ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I r-2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 % error

(18)

oifkeZrk '' ;o'tJ„o/6

^ S

GRONDMECHANICA

ons kenmerk : CO-336530/6 ^^^^^^ f%CI E ^

datum : november 1992 ^ ^ ^ ^ B I ^ E L i I

6. CONCLUSIES EN OVERWEGINGEN

Het is mogelijk gebleken om de spanningsafhankelijke

ondergrondreactie (stijfheid) te simuleren via een iteratieve werkwijze, welke was geïmplementeerd in een shell rond een

lineair elastische eindige elementen subprogramma (PLAXIS: ELAS386)

Gebleken is dat op eenduidige wijze een vertaling van de

'effectieve' grondstijfheid naar een equivalente veerconstante voor het plaat op veren model kan worden verkregen op basis van het criterium van overeenkomende buigtrekspanning onderin de bekleding.

- Het is eveneens gelukt om de configuratie-afhankelijkheid van deze equivalente veerstijfheid in termen van de

bekledingsparameters (stijfheidsmoduli en dikte), ondergrondparéuneters (dichtheid, poissonmodulus) en belastingsparameters (golfhoogte, belastingsbreedte en stootfactor) in een multivariate vorm samen te vatten. - Bovendien is als meevaller te constateren, dat het door het

plaat op veren model voorspelde buigtrekspanningsverloop onderin de bekleding betrekkelijk weinig afwijkt van het via het iteratieve rekermiodel berekende verloop. Dit is een gunstig aspect ten aanzien van toepassing van de vermoeiingsregel voor de bijdrage van excentrische buigtrekspanningen in het

dimensioneringsmodel.

Van het aan de spanningstoestand afhankelijk maken van de

poissonmodulus is afgezien. Er lijkt ten aanzien van dit punt enige vordering mogelijk. Deze aanpassingen zijn van belang indien een

analyse van verplaatsingen (als bij de valgewichtdeflectometer) nuttig wordt geacht. Dit aspect heeft mede betrekking op de opmerking inzake operationalisering van meetmethoden, genoemd onder de paragraaf

(19)

bladnummer : - 15 - ^ ^ G R O N D M E C H A N I C A

ons kenmerk : CO-336530/6 ^^^H DELFT

7. LITERATUUR [1] 't Hart, R.

Parameterstudie stijfheid ondergrond voor

golfklapdimensioneringsmodel, TAW-A4 (23 juni 1992). [2] a) Chang, Ch.S.

Properties of granular packings under low amplitude cyclic loading

b) Chang C., Hisra A., Sundaram S.

Micromechanical modeling of cemented sands under low amplitude oscillations

Geotechnique, vol 11. no 2 (June 1990), pp 251-265. [3] Pappin J.W., Brown S.F.

Stress strain behaviour of crushed rock

Proceedings International Symposium Soils, Cyclic and Transient loading (Swansea 1980), pp 169-177.

[4] Boyce H.R.

A nonlinear model for elastic behaviour of granular materials under repeated loading

Proceedings International Symposium Soils under Cyclic and Transient loading (Swansea 1980), pp 285-295.

[5] a) Atkinson, J.H. and Salfors, G.

Determination of stress-strain-time characteristics in laboratory and in situ tests

Proceedings lO"' European Conference on Soil Mechanics and

Foundation Engineering, Florence, vol. 3 (May 1991), pp 915-959 b) Atkinson J., Richardson D.

Elasticity and normality in soils experimental examination Geotechnique 35 (1985), no 4, pp 443-449.

[6] Acar, Y.B. and El-Tahir, A.

Low strain dynamic properties of artificially cemented sand Journal of Geotechnical Engineering (A.S.C.E.), vol. 12, no. 11

(nov. 1986), pp 1001-1015. (7] Ruygrok, P.

Voorbereidend grondmechanisch onderzoek Deltagootproef op dijkmodel TAW-A4

Grondmechanica Delft, CO-327010/3 (sept. 1991).

[8] 't Hart, R.

Vergelijking numerieke resultaten driehoeksbelasting met analytische resultaten van het lijnlastmodel en het model met driehoekig verdeelde belasting

TAW-A4-subgroep DIM (13-2-1991).

[9] Press, W.H., Flannery, B.P., Teukolsky, S.A., Vetterling, W.T.

Numerical recipes in C, the art of scientific computing. Cambridge university press, 1988.

(20)

(21)

E

120 -110 100 -90 80 > O-®l jj 70 60 50 40

Golfhoogte

D H-0.8m

+ H-1.2m

o H-1.6m

A H-2.4m

1 r

Stootfactor

356 662 975 1510

Parameters

asfaltdikte 0.15m

relatieve dichtheid zand Dr - 0.4

Vaste parameters van asfalt

G-modulus G - 2 G P a

Poisson modulus v - 0.25

Vaste parameters van zand

Poisson modulus v

0.33 Parameters van belasting

belastingsbreedte B

H

GRONDMECHANICA DELFT Postbus 69, 2600 AB Delft Telefoon (015)69 35 00 Telefax (015)6106 21 Telex 38234 soil nl d.d.

92-10-07

get.

Om

Parameterstudie Ondergrond

Veerstijfheid bij aangegeven parameters

Maximale trekspanningen onderin asfalt in kPa

CO-336530

gez.

_Rr

BIJL. 1

form,

(22)

140 130 -120

E

Q-> 100

o-} 90 H 80 -70 60

Golfhoogte

D H-0.8m

+ H-1.2m

o H-1.6m

A H-2.4m

Stootfactor

" T " 4 339 620 896 1328

Parameters

asfaltdikte 0.15m

relatieve dichtheid zand Dr - 0.5

Vaste parameters van asfalt

G-modulus G - 2 GPa

Poisson modulus v - 0.25

Vaste parameters van zand

Poisson modulus v - 0.33

Parameters van belasting

belastingsbreedte B - H

GRONDMECHANICA

DELFT

Postbus 69, 2500 AB Delft

Telefoon (015) 69 35 00 Telefax (015) 6108 21 Telex 3B234 soil nl

d.d.

92-10-07

get,

Om

Parameterstudie Ondergrond

Veerstijfheid bij aangegeven parameters

Maximale trekspanningen onderin asfalt in kPa

CO-336530

BIJL 2

gez.

Rr

form.

A4

(23)

150 -140 130 E "cS" 120 QL > 110 O" ®l J 100 90 80 70 Golfhoogte D H-0.8m + H-1.2m o H-1.6m A H-2.4m 577 819 1154 2

Stootfactor

Parameters

asfaltdikte 0.15m

relatieve dichtheid zand Dr - 0.6

Vaste parameters van asfalt

G-modulus G - 2 GPa

Poisson modulus v - 0.25

Vaste parameters van zand

Poisson modulus

0.33 Parameters van belasting

belastingsbreedte B - H

GRONDMECHANICA DELFT Postbus 69, 2600 AB Delft Telefoon (015) 69 35 00 Telefax (015) 61 08 21 Telex 38234 soil nl d.d.

92-10-07

get

Om

Parameterstudie Ondergrond

Veerstijfheid bij aangegeven parameters

Maximale trekspanningen onderin asfalt in kPa

CO-336530

BIJL 3

gez. Rr form.

A4

(24)

170 160 150

-v

(MPa/m

)

8

1

1 1 3 ® l j ^ ' 120 110 100 -an a 4 7

^ " N , . «

^"^~~S446 ^ \ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 0 - 2 5 0 ^ N < I 6 3 ^ ^ ^ ^ ^ ^ 8 5 ^ ^ ^ M T O Golfhoogte ^^"~~^~^>v Ads ^ ^ ^ ~ ^ ^ 603 D H - 0 . 8 m -^^-446^^^^^ « ^ + H-1.2m ^^^^^^416^ o H - 1 . 6 m ^ ^ ^ ^ - - T i ^ A H - 2 . 4 m " " 1 1 1 1 1 i 0 2 4

Stootfactor

Parameters

asfaltdikte 0.15m

relatieve dichtheid zand Dr - 0.7

Vaste parameters van asfalt

G-modulus G - 2 GPa

Poisson modulus v - 0.25

Vaste parameters van zand

Poisson modulus v - 0.33

Parameters van belasting

belastingsbreedte B - H

^ ^ E GRONDMFCHANirA Postbus 69, 2600 AB Delft Telefax (015) 61 08 21

^ S E DELFT Telefoon (015) 69 35 00 Telex 38234 soil nl

Parameterstudie Ondergrond

Veerstijfheid bij aangegeven parameters

Maximale trekspanningen onderin asfalt in kPa

^ ^ ~ ~ - H 3 0 3 ^"~~^--f 535 " ^ ^ • - ^ 7 4 1 "~~~'~~~~A 9 9 3 1 6 d.d

92-10-07

CO-336530

BIJL 4

get

Om

gez.

Rr

form.

A4

(25)

E

190 -180 170 160 -> 150 • 3 O-® l J 140 130 120 110

Golfhoogte

D H-0.8m

+ H-1.2m

o H-1.6m

A H-2.4m

T

Stootfactor

i~ 4 494 668 847 6

Parameters

asfaltdikte 0.15m

relatieve dichtheid zand Dr - 0.8

Vaste parameters van asfalt

G-modulus G - 2 GPa

Poisson modulus v - 0.25

Vaste parameters van zand

Poisson modulus v - 0.33

Parameters van belasting

belastingsbreedte B - H

i a ~

92-10-07

GRONDMECHANICA DELFT Postbus 69, 2500 AB Delft

Telefoon (015) B9 35 00 Telex 38234 soil nl Telefax (015) 61 08 21

get.

Om

Parameterstudie Ondergrond

Veerstijfheid bij aangegeven parameters

Maximale trekspanningen onderin asfalt in kPa

CO-336530

gez

_Rr

(26)

E

110 -100 90 • | 60 70 60 -50

Golfhoogte

D H-0.8m

+ H-1.2m

o H-1.6m

A H-2.4m

2 228 449 697 1181

Stootfactor

"T" 6

Parameters

asfaltdikte 0.25m

relatieve dichtheid zand Dr - 0.4

Vaste parameters van asfalt

G-modulus G - 2 GPa

Poisson modulus v - 0.25

Vaste parameters van zand

Poisson modulus

0.33 Parameters van belasting

belastingsbreedte B - H

GRONDMECHANICA DELFT Postbus 69, 2600 AB Delft Telefoon (015) 69 35 00 Telefax (015) 61 08 21 Telex 38234 soil nl

92-10-07

get

Om

Parameterstudie Ondergrond

Veerstijfheid bij aangegeven parameters

Maximale trekspanningen onderin asfalt in kPa

CO-336530

BIJL 6

gez.

Rr

form.

A4

(27)

E

120 110 100 -• | 90 O80 70 -60 Golfhoogte D H-0.8m + H-1.2m o H-1.6m A H-2.4m 219 427 657 1088 2

Stootfactor

Parameters

asfaltdikte

relatieve dichtheid zand

0.25m

Dr - 0.5

Vaste parameters van asfalt

G-modulus G - 2 GPa

Poisson modulus v - 0.25

Vaste parameters van zand

Poisson modulus v - 0.33

Parameters van belasting

belastingsbreedte B - H

dïï~

92-10-07

Telefoon (015) 69 35 00 Telefax (015) 6108 21 Telex 38234 soil nl

get.

Om

Parameterstudie Ondergrond

Veerstijfheid bij aangegeven parameters

Maximale trekspanningen onderin asfalt in kPa

CO-336530

gez.

_Rr

(28)

E

130 120 -110 -> • 3 O-jj 100 90 80 Golfhoogte D H-0.8m + H-1.2m o H-1.6m A H-2.4m 1^ 2

Stootfactor

"T" 4 210 405 617 994 6

Parameters

asfaltdikte 0.25m

relatieve dichtheid zand Dr - 0.6

Vaste parameters van asfalt

G-modulus G - 2 GPa

Poisson modulus v - 0.25

Vaste parameters van zand

Poisson modulus v - 0.33

Parameters van belasting

belastingsbreedte B - H

GRONDMECHANICA DELFT Postbus 69, 2600 AB Delft Telefoon (015) 69 35 00 Telefax (015) 6108 21 Telex 38234 soil nl d.d.

92-10-07

get.

Om

Parameterstudie Ondergrond

Veerstijfheid bij aangegeven parameters

Maximale trekspanningen onderin asfalt in kPa

CO-336530

gez.

_Rr

BIJL 8

form.

(29)

150 140 -^^ • 1 . 130 -2 • | 120 -• ^ 110 100 -on [ 3 ^ -KM ^ ^ ^ ^ ^ ^ S J 3 2 ^N<121 <3^7 ^ ^ - ^ ^ A 4 ^ ^^-^^.276 ^^"^^Z? ^^~~~^©.,474 Golfhoogte ^ ^ ^ - ! M 2 8 D H-0.8m ^^^"~~"~^-&-583 + H-1.2m ^ ^ ^ ^ ~ ~ - ^ & j w o H-1.6m ^ ~ ^ A H-2.4m " " 1 1 1 1 1 1 0 2 4

Stootfactor

Parameters

asfaltdikte 0.25m

relatieve dichtheid zand Dr - 0.7

Vaste parameters van asfalt

G-modulus G - 2 GPa

Poisson modulus v - 0.25

Vaste parameters van zand

Poisson modulus v - 0.33

Parameters van belasting

belastingsbreedte B - H

J ^ 5 GRONDMECHANICA Postbus 69, 2600 AB Delf t Telefax (015) 61 08 21 i ^ ^ E DELFT Telefoon (015) 69 35 00 Telex 38234 soil nl

Parameterstudie Ondergrond

Veerstijfheid bij aangegeven parameters Maximale trekspanningen onderin asfalt in kPa

^ ^ B 2 0 1 ^ ^ ~ ^ ^ 4 - 3 8 4 ~~~~^~^577 ^ ^ ^ ~ T ! ^ 9 0 4 6 cl.d.

92-10-07

CO-336530

BIJL 9

get.

Om

gez.

Rr

form.

A4

(30)

170 160 .f. 150

-2

• | 140 - O130 120 -R31 -k57 ^ ~ ~ ^ ~ ~ - S 4 2 6 _ ^ ^ N < 1 1 5 Golfhoogte ^5^-257^^^^ ^--^-442^ D H-0.8m ^ ^ - ~ ^ ^ r - 3 a 2 ^ ^ + H-1.2m ^ ^ ^ é ^ ^ a o ^ ^ ^ ^ 0 H-1.6m ^~^~T^*Z2_ A H-2.4m ' " • > \ 1 1 1 1 1 0 2 4

Stootfactor

Parameters

asfaltdikte 0.25m

relatieve dichtheid zand Dr - 0.8

Vaste parameters van asfalt

G-modulus G - 2 GPa

Poisson modulus v - 0.25

Vaste parameters van zand

Poisson modulus v - 0.33

Parameters van belasting

belastingsbreedte B - H

^ ^ S GRONHMFCHANIfA Postbus 69, 2600 AB Delf t Telefax (015) 61 08 21 l ^ m GHUNUMbCHANILA ^^^^^^^ ^^^^^ ^^ ^^ ^^ ^^1^^ 38234 soil nl

Parameterstudie Ondergrond

Veerstijfheid bij aangegeven parameters

Maximale trekspanningen onderin asfalt in kPa

~ - € ] 1 9 2 "~~~^~^362 ""^^--^537 ^ ~ - A 8 1 6 1 6 d.d.

92-10-07

CO-336530

BIJL 10

get.

Om

gez.

Rr

form.

A4

(31)

E

o.

> • 3

cr

100 95 -90 85 80 75 70 -65

Golfhoogte

D H-0.8m

+ H-1.2m

o H-1.6m

A H-2.4m

Stootfactor

4 167 338 536 937

Parameters

asfaltdikte 0.35m

relatieve dichtheid zand Dr - 0.4

Vaste parameters van asfalt

G-modulus G - 2 GPa

Poisson modulus v - 0.25

Vaste parameters van zand

Poisson modulus

0.33 Parameters van belasting

belastingsbreedte B - H

GRONDMECHANICA

DELFT

Telefoon (015) 69 35 00 Telefax (015) 51 08 21 Telex 38234 soil nl

d.d.

92-10-07

get.

Om

Parameterstudie Ondergrond

Veerstijfheid bij aangegeven parameters

Maximale trekspanningen onderin asfalt in kPa

CO-336530

BIJL 11

gez.

Rr

form.

A4

(32)

J

110 105 -^ -^ 100

E

•ïï

o.

5 95 > 3 O" (D 90 85 -80 75

Golfhoogte

D H-0.8m

+ H-1.2m

o H-1.6m

A H-2.4m

324 510

Stootfactor

Parameters

asfaltdikte 0.35m

relatieve dichtheid zand Dr > 0.5

Vaste parameters van asfalt

G-modulus G - 2 GPa

Poisson modulus v - 0.25

Vaste parameters van zand

Poisson modulus

0.33 Parameters van belasting

belastingsbreedte B - H

GRONDMECHANICA

DELFT

d.d.

92-10-07

get.

Om

Parameterstudie Ondergrond

Veerstijfheid bij aangegeven parameters

Maximale trekspanningen onderin asfalt in kPa

CO-336530

gez.

_Rr

BIJL 12

form.

(33)

E

Q. 125 -120 115 110 105 -> 3 O-"l J 100 95 -90 85

Golfhoogte

D H-0.8m

+ H-1.2m

o H-1.6m

A H-2.4m

310 484 824

Stootfactor

"T" 6

Parameters

asfaltdikte 0.35m

relatieve dichtheid zand Dr - 0.6

Vaste parameters van asfalt

G-modulus G - 2 GPa

Poisson modulus v - 0.25

Vaste parameters van zand

Poisson modulus

0.33 Parameters van belasting

belastingsbreedte B - H

M~

92-10-07

get

Om

Parameterstudie Ondergrond

Veerstijfheid bij aangegeven parameters

Maximale trekspsinningen onderin asfalt in kPa

CO-336530

gez

_Rr

(34)

140 -135 130 'E "S- 125 H O.

2

^ 120 -• 3 sr ®i J 115 110 105 100

Stootfactor

Golfhoogte

D H-0.8m

+ H-1.2m

o H-1.6m

A H-2.4m

149 295 458 765

Parameters

asfaltdikte 0.35m

relatieve dichtheid zand Dr - 0.7

Vaste parameters van asfalt

G-modulus G - 2 GPa

Poisson modulus v - 0.25

Vaste parameters van zand

Poisson modulus v - 0.33

Parameters van belasting

belastingsbreedte B - H

GRONDMECHANICA DELFT Postbus 69, 260D AB Delft Telefoon (015) 69 35 00 Telefax (015) 6108 21 Telex 38234 soil nl

92-10-07

get.

Om

Parameterstudie Ondergrond

Veerstijfheid bij aangegeven parameters

Maximale trekspanningen onderin asfalt in kPa

CO-336530

BIJL 14

gez.

Rr

form.

A4

(35)

160 155 150 2 140 -> i 135 -® l 130 125 120 -4 -4 C G ^

\ ^

-K45 ^ ~ ^ ~ ^ - B - 9 4

N ^ ^

<XM ^ " " ^ ^ . . ^ ^ ^ ^ 9 4 3 9 ^^^^^~~~~~-~--K233 A 4 1 4 ^ ^ ~ ~ ~ ^ ^ . . 2 a 4 ^^^^:z?r^31__^ • • - 1 1 1 1 1 1 0 2 4

Stootfactor

Parameters

asfaltdikte 0.35m

relatieve dichtheid zand Dr - 0.8

Vaste parameters van asfalt

G-modulus G - 2 GPa

Poisson modulus v - 0.25

Vaste parameters van zand

Poisson modulus v - 0.33

Parameters van belasting

belastingsbreedte B - H

^ ^ » GRONDMECHANICA Postbus 69, 2600 AB Delft Telefax (015) 61 08 21

^ ï ^ DELFT Telefoon (015) 59 35 00 Telex 38234 soil nl

Parameterstudie Ondergrond

Veerstijfheid bij aangegeven parameters

Maximale trekspanningen onderin asfalt in kPa

Golfhoogte D H-0.8m + H-1.2m o H-1.6m A H-2.4m ~-~Q143 ~ - - ( - 2 8 0 ~~"~—~^432 • A 709 6 d.d.

92-10-07

CO-336530

BIJL 15

get.

Om

gez.

Rr

form.

A4

(36)

ns O.

5 E

g>

'v>

x(m)

-B— resultaten elementenmodel

plaat op veren model

3 : d ~

92-10-07

GRONDMECHANICA

DELFT

Telefoon (015) 69 35 00 Telefax (015) 61 08 21 Telex 38234 soil nl

get.

Om

Parameterstudie Ondergrond

Vergelijking van trekspanning aan onderzijde asfaltlaag

asfaltdikte .15m, breedte belasting 2.4m, stootfactor 6, dichtheid

CO-336530

gez.

_Rr

(37)

x(m)

resultaten elementenmodel

plaat op veren model

GRONDMECHANICA

DELFT

d.d.

92-10-07

get.

Om

Parameterstudie Ondergrond

Vergelijking van trekspanning aan onderzijde asfaltlaag

asfaltdikte .35m, breedte belasting .8m, stootfactor 6, dichtheid

CO-336530

gez.

_Rr

BIJL 17

_A4

form.

(38)

asfalt

zand

Mesh Scale (m)

— — i ^mi^m I

O 0.5 1.0 1.5 2.0

GRONDMECHANICA DELFT Postbus 69, 2600 AB Delft Tetefoon(015)69 35 00 Telefax (015) 5108 21 Telex 38234 soil nl d.d.

92-10-07

get.

Om

Parameterstudie Ondergrond

Mesh voor berekeningen met asfaltdikte 0.25m

Breedte van de belasting 1.2m

CO-336530

gez.

_Rr

BIJL 18

_A4

form.

(39)

^m GRONDMECHANICA

^ ^ DELFT

BIJLAGE 19.

Tabellen met alle berekeningsresultaten voor de gekozen parameters De volgende bladzijden bevatten in compacte vorm een aantal relevante resultaten van de parameterstudie. De indeling is dat per pagina de resultaten voor één combinatie van asfaltstijfheid en asfaltdikte worden gegeven. Deze voor de pagina vaste keuze staat steeds

linksboven. Daarna komen vijf blokken van boven naar beneden van links naar rechts met in ieder blok de relatieve dichtheid D^ constant. De waarde van D, staat steeds in de tweede kolom. Binnen ieder blok varieert dan nog alleen de belasting die gekarakteriseerd is met de parameter H voor de golfhoogte in meters en S voor de stootfactor in kolommen 1 en 3. In de vierde kolom 'sig' staat de maximum

trekspanning onderin de asfaltbekleding in kPa die afgeleid is uit de numerieke berekening. De vijfde kolom 'k' is voor de waarde van k in kPa zoals die in het plaat op veren model leidt tot deze maximum trekspanning. De laatste kolom tenslotte is de afwijking bij gebruik van het verband in vergelijking (21) in dit rapport.

(40)

fi s H 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 H 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 1 GPa, Dr 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 Dr 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 h. S 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 S 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 -0.t5 sig 37 78 121 166 213 261 62 133 210 292 379 471 82 179 287 405 533 672 103 230 378 550 747 973 sig 36 74 115 157 201 246 58 124 195 271 351 435 76 164 262 368 483 606 94 205 332 477 642 827 • keq 145975 132154 122492 114865 108539 103127 123315 108553 98431 90538 84051 78547 108484 94067 84042 76196 69741 63961 93003 80184 70398 62317 55186 48956 keq 162994 148529 138417 130415 123762 118053 138291 123131 112660 104429 97612 91785 122369 108246 97556 89399 82607 76459 106258 94354 84489 76149 68614 62012 X 1.6 -0.7 -0.9 -0.2 0.7 1.5 -0.3 -4.2 -5.4 -5.3 -4.8 -4.3 0.6 -3.5 -4.7 -4.6 -4.0 -3.8 5.0 2.7 2.2 2.6 2.8 2.6 X 2.3 -0.1 -0.6 -0.3 0.2 0.6 -0.4 -4.3 -5.7 -6.1 -6.1 -6.1 -0.3 -3.8 -5.6 -6.0 -6.1 -6.6 3.4 2.1 1.5 1.4 0.8 -0.2 H 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 H 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 Dr 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 Dr 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 S 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 S 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 sig 34 70 108 148 189 231 55 115 181 250 323 399 70 150 238 333 433 540 85 181 289 411 545 694 sig 32 66 102 139 177 216 51 107 167 230 295 364 65 137 214 297 385 478 76 159 250 349 457 575 keq 182682 167724 157269 148982 142070 136119 155767 141047 129838 121398 114349 108274 138720 124848 114679 105885 98878 92795 122156 111337 102504 93775 86380 79570 keq 205492 191032 180504 171195 164128 158032 176186 161708 151278 142167 135043 128855 157995 144889 135111 127041 120088 113361 141799 132399 124707 117060 109960 103262 X 2.8 0.4 -0.2 -0.2 0.1 0.2 -0.7 -3.8 -5.6 -6.1 -6.4 -6.7 -1.2 -4.1 -5.3 -6.3 -6.6 -7.1 2.1 1.8 2.2 1.7 1.4 0.3 X 3.4 1.6 1.0 0.5 0.6 0.6 -0.8 -3.4 -4.3 -5.2 -5.5 -5.9 -1.7 -3.8 -4.4 -4.7 -4.8 -5.8 1.8 2.5 3.8 4.3 4.5 3.9 H 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 Dr 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 S 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 sig 30 62 96 130 165 202 48 99 153 209 268 328 59 124 192 264 340 419 68 139 214 294 379 470 keq 231956 217532 207075 198729 191705 184680 200069 186334 176396 168327 161427 155351 181420 169113 160263 152804 146247 140350 164742 159294 153867 147494 141324 135320 X 4.2 2.7 2.3 2.3 2.5 2.0 -0.4 -2.2 -2.8 -2.8 -2.8 -3.0 -1.2 -2.5 -2.5 -2.2 -1.9 -2.0 1.9 4.9 7.4 8.8 9.7 10.0

Ha

m

n

>

n

>

(41)

6 • f 6Pa, II. « 0.25 • H 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 H 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 Dr 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 Dr 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 S 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 S 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 sig 26 53 81 110 140 171 48 99 153 210 269 329 69 146 228 315 406 501 104 223 356 498 652 818 sig 25 51 78 106 134 163 45 94 145 199 254 311 65 137 214 295 379 466 96 206 326 454 591 736 keq 135469 127148 120630 115273 110725 106773 120314 109335 101675 95660 90695 86462 108137 96943 88735 82605 77568 73273 92607 81983 74128 68157 62878 58311 keq 151430 142542 135600 129904 125069 120872 134563 123030 114992 108674 103452 98992 121220 109641 101523 94763 89502 85004 104479 93864 85947 79876 74457 69906 X -0.6 -0.2 0.9 2.1 3.3 4.0 1.3 -0.5 -0.5 0.2 0.9 1.3 2.6 0.5 -0.1 0.5 1.2 1.5 2.1 -0.0 -0.4 0.3 0.5 0.1 X 0.8 0.8 1.5 2.3 3.1 3.5 1.6 -0.4 -0.7 -0.5 -0.2 -0.1 2.2 -0.2 -0.6 -0.9 -0.7 -0.8 1.2 -0.9 -1.4 -1.1 -1.2 -1.7 H 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 H 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 Dr 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 Dr 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 S 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 S 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 sig 24 49 74 101 128 155 43 89 137 187 239 292 61 128 200 274 351 431 89 189 296 410 530 658 sig 23 46 71 96 121 147 41 84 129 176 224 273 58 120 186 254 324 397 82 172 267 367 473 582 keq 169879 160467 153140 147139 142050 137634 151087 139115 130785 124235 118812 114172 136471 124688 116419 109940 104562 99936 118468 108182 100842 94468 89335 84489 keq 191244 181382 173736 167489 162201 157616 170283 158643 149556 142880 137349 132609 154278 142547 134324 127863 122480 117831 134973 125463 118645 113078 107786 103408 X 1.8 1.5 1.9 2.4 2.8 3.0 1.6 -0.6 -1.1 -1.1 -1.1 -1.3 1.4 -0.9 -1.6 -1.6 -1.6 -2.0 -0.1 -1.7 -1.7 -1.8 -1.7 -2.5 X 2.6 2.2 2.3 2.6 2.9 2.9 1.5 -0.2 -1.2 -1.3 -1.4 -1.7 0.7 -1.4 -2.0 -2.1 -2.1 -2.5 -1.2 -2.1 -1.7 -1.1 -1.2 -1.4 H 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 Dr 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 S 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 sig 22 44 67 91 115 139 38 79 121 165 209 254 54 112 172 234 298 363 75 156 240 327 417 512 keq 216038 205837 197978 191580 186180 181500 192621 180966 172596 165995 160504 155782 175099 163781 155886 149678 144491 139995 154980 147035 140548 135747 131542 127247 X 3.6 3.1 3.1 3.3 3.5 3.4 1.7 0.1 -0.3 -0.4 -0.4 -0.7 0.3 -1.4 -1.7 -1.6 -1.5 -1.7 -1.5 -1.3 -0.7 0.4 1.2 1.1

n

>

n

>