Przeksztaªcenia liniowe
Przykªady
1. Pokaza¢, »e przeksztaªcenie T : R2→ R2, postaci T (x, y) = (x + 4y, x − 6y) jest
przeksztaªceniem liniowym. Rozwi¡zanie
Sprawdzimy najpierw addytywno±¢ przeksztaªcenia T . Niech v = (x1, y1), w =
(x2, y2) ∈ R2. Obliczmy T (v + w) = T ((x1, y1) + (x2, y2)) = T (x1+ x2, y1+ y2) = = (x1+ x2+ 4 (y1+ y2) , x1+ x2− 6 (y1+ y2)) = = ((x1+ 4y1) + (x2+ 4y2) , (x1− 6y1) + (x2− 6y2)) = = (x1+ 4y1, x1− 6y1) + (x2+ 4y2, x2− 6y2)) = = T (x1, y1) + T (x2, y2) = = T (v) + T (w) .
Zatem T (v + w) = T (v)+T (w), a wi¦c T jest przeksztaªceniem addytywnym. Sprawdzimy teraz jednorodno±¢ przeksztaªcenia T . Niech a ∈ R.
Obliczmy
T (av) = T (a (x1, y1)) = T (ax1, ay1) = (ax1+ 4ay1, ax1− 6ay1) =
= a (x1+ 4y1, x1− 6y1) = a T (x1, y1) = a T (v)
Zatem T (av) = a T (v) , co oznacza, »e T jest przeksztaªceniem jednorodnym. Skoro T jest przeksztaªceniem addytywnym i jednorodnym, to jest przeksz-taªceniem liniowym.
2. Wyznaczy¢ baz¦ j¡dra i baz¦ obrazu przeksztaªcenia liniowego T : R4
→ R3 danego wzorem
T (x, y, z, t) = (x + 2y + z + t, −x + y − 2z − 2t, 0) . Poda¢ wymiary j¡dra i obrazu tego przeksztaªcenia.
Rozwi¡zanie
Wyznaczymy najpierw baz¦ j¡dra przeksztaªcenia T.
Z de nicji j¡dra wynika, »e nale»¡ do niego te wektory przestrzeni R4, których
wspóªrz¦dne speªniaj¡ ukªad równa«
x + 2y + z + t = 0, −x + y − 2z − 2t = 0.
Przyjmuj¡c y = α, t = β, otrzymujemy x = −5α, z = 3α − β. Zatem dowolny wektor nale»¡cy do j¡dra ma posta¢ (−5α, α, 3α − β, β) . Wektor ten mo»na przedstawi¢ w postaci
(−5α, α, 3α − β, β) = α (−5, 1, 3, 0) + β (0, 0, −1, 1) .
Z de nicji bazy wynika, »e ukªad ((−5, 1, 3, 0) , (0, 0, −1, 1)) stanowi baz¦ j¡dra, a z de nicji wymiaru wynika, »e wymiar j¡dra jest równy 2. Poniewa» wymiar dziedziny przeksztaªcenia liniowego jest równy sumie wymiarów j¡dra i obrazu, to wymiar obrazu naszego przeksztaªcenia jest równy 2.
Wyznaczymy teraz baz¦ obrazu przeksztalcenia T. Oznaczmy T (x, y, z, t) = (y1, y2 , y3) .Wtedy (y1, y2 , y3) = (x + 2y + z + t, −x + y − 2z − 2t, 0) = = x (1, −1, 0) + y (2, 1, 0) + z (1, −2, 0) + t (1, −2, 0) = = x (1, −1, 0) + y (2, 1, 0) + (z + t) (1, −2, 0) . Wyznacznik 1 −1 0 2 1 0 1 −2 0 utworzony z wektorów (1, −1, 0) , (2, 1, 0) , (1, −2, 0) jest równy 0. Widzimy wi¦c, »e te trzy wektory s¡ liniowo zale»ne i w zwi¡zku z tym nie mog¡ stanowi¢ bazy. Liniowo niezale»ne s¡ np. wektory (1, −1, 0) , (2, 1, 0) .Zatem ukªad ((1, −1, 0) , (2, 1, 0)) stanowi baz¦ obrazu naszego przeksztaªce-nia, gdy» wektory (1, −1, 0) , (2, 1, 0) stanowi¡ uklad liniowo niezale»ny generu-j¡cy obraz.
3. Przeksztaªcenia liniowe L1 : R3→ R3, L2 : R3→ R3 okre±lone s¡ wzorami:
L1(x, y) = (−x − 2y − z, x − 3y + z, y − z) ,
L2(x, y) = (2x − 4y, −x + z, x + y + z) .
Znale¹¢ macierze tych przeksztaªce« w bazach standardowych odpowiednich przestrzeni oraz poda¢ macierze nast¦puj¡cych przeksztaªce« liniowych (w odpowied-nich bazach standardowych tych przestrzeni):
(a) 5L1; (b) L1− L2; (c) 3L1+ 2L2.
Rozwi¡zanie
Macierze przeksztaªce« L1 L2 w bazach standardowych przestrzeni R3 maj¡
odpowiednio posta¢ L1 : −1 −2 −1 1 −3 1 0 1 −1 , L2 : 2 4 0 −1 0 1 1 1 1 .
Macierz przeksztalcenia 5L1 w bazach standardowych ma posta¢
5 · −1 −2 −1 1 −3 1 0 1 −1 = −5 −10 −5 5 −15 5 0 5 −5 .
Macierz przeksztaªcenia L1− L2 w bazach standardowych ma posta¢ −1 −2 −1 1 −3 1 0 1 −1 − 2 4 0 −1 0 1 1 1 1 = −3 −6 −1 2 −3 0 −1 0 −2 .
Macierz przeksztaªcenia 3L1+ 2L2 w bazach standardowych ma posta¢
3 −1 −2 −1 1 −3 1 0 1 −1 + 2 2 4 0 −1 0 1 1 1 1 = 1 2 −3 1 −9 5 2 5 −1
4. Przeksztaªcenia liniowe L1 : R2→ R3, L2 : R3→ R2,okre±lone s¡ wzorami:
L1(x, y) = (6x − 2y, x − 3y, −y) ,
L2(x, y) = (2x − y + z, −x + 2y) .
Znale¹¢ macierze tych przeksztaªce« w bazach standardowych odpowiednich przestrzeni oraz poda¢ macierze nast¦puj¡cych przeksztaªce« liniowych (w odpowied-nich bazach standardowych tych przestrzeni):
(a) L2◦ L1; (b) L1◦ L2.
Rozwi¡zanie
Macierze przeksztaªce« L1 oraz L2 w bazach standardowych maj¡ odpowiednio
posta¢ L1 : 6 −2 1 −3 0 −1 , L2 : 2 −1 1 −1 2 0 .
Zatem szukane macierze L2◦ L1 oraz L1◦ L2 w bazach standardowych maj¡
posta¢ macierz L2 ◦ L1 : 2 −1 1 −1 2 0 · 6 −2 1 −3 0 −1 = 11 −2 −4 −4 , macierz L1 ◦ L2 : 6 −2 1 −3 0 −1 · 2 −1 1 −1 2 0 = 14 −10 6 5 −7 1 1 −2 0 .
5. Poda¢ wzory przeksztaªce« L2◦ L1 oraz L1◦ L2 z przykªadu 9.
Rozwi¡zanie
L2◦ L1 : R2 → R2, (L2◦ L1) (x, y) = (11x − 2y, −4x − 4y) ,
6. Sprawdzi¢, czy dane przeksztaªcenia s¡ odwracalne. Je±li tak, to napisa¢ macierze przeksztaªce« odwrotnych do nich w bazach standardowych rozwa»anych przestrzeni liniowych. Ponadto ( dla przeksztaªce« odwracalnych) napisa¢ wzory przeksztaªce« odwrotnych, je»eli:
(a) L : R2→ R2, L (x, y) = (x − 2y, x + y) ,
(b) L : R2
→ R2, L (x, y) = (x − y, 2x − 2y) ,
(c) L : R3→ R3, L (x, y, z) = (x − y + z, 2x + y, y − z) .
Rozwi¡zanie
(a) Macierz przeksztaªcenia w bazach standardowych L ma posta¢
A = 1 2
1 1
.
Wyznacznik tej macierzy jest równy −1 6= 0. Macierz A jest odwracalna. Zatem nasze przeksztaªcenie mo»a odwróci¢. Macierz odwrotna do macierzy A, ma posta¢
A−1 = −1 2
1 −1
.
Zatem przeksztaªcenie L−1, odwrotne do L, dane jest wzorem
L−1(x, y) = (−x + 2y, x − y) .
(b) Macierz przeksztaªcenia w bazach standardowych L ma posta¢
A = 1 −1
1 −2
.
Wyznacznik tej macierzy jest równy 0. Macierz A nie jest odwracalna. Zatem i nasze przeksztaªcenie jest nie jest odwracalne.
(c) Macierz przeksztaªcenia w bazach standardowych L ma posta¢ A = 1 −1 1 2 1 0 1 0 −1 .
Wyznacznik tej macierzy jest równy −4 6= 0. Macierz A jest wi¦c odwracalna. Zatem i nasze przeksztaªcenie mo»a odwróci¢. Macierz odwrotna do macierzy A, ma posta¢ A−1= 1 4 1 4 1 4 −1 2 1 2 − 1 2 1 4 1 4 − 3 4 .
Zatem przeksztaªcenie L−1, odwrotne do L, dane jest wzorem
L−1(x, y, z) = x + y + z 4 , −x + y − z 2 , x + y − 3z 4 .
Zadania
Które z nast¦puj¡cych przeksztaªce« s¡ liniowe? 1. (a) T : R2 → R2, T (x 1, x2) = (2x1, x1− x2) , (b) T : R2 → R2, T (x 1, x2) = (4x1+ 3x2, x21) , (c) T : R2 → R, T (x1, x2) = |4x1+ 3x2| , (d) T : R3 → R, T (x1, x2, x3) = 2 x1− x2+ 3x3, (e) T : R3 → R2, T (x 1, x2,x3) = (2x3, x1+ 4x2− x3) , (f) T : R3 → R2, T (x 1, x2,x3) = (2x3, x1+) , (g) T : R4 → R3, T (x 1, x2, x3, x4) = (2x1, x1− x2+ 3x3,x2− 4x4) , (h) T : R3 → R3, T (x 1, x2, x3) = (4x1 + 3x2, x21, x2− 4x3) , (i) T : R6 → R6, T (x1, x2, x3, x4,x5,x6) = (0, 2 x1− x2+ 3x3, −x2− 4x5, 0, x1+ x3, 0) .
2. Zbada¢ liniowo±¢ przeksztaªcenia T
a b
−b a
= a + b, a, b ∈ R. 3. Zbada¢ liniowo±¢ podanych przeksztaªce«:
(a) T : R3→ R3
, T jest rzutem prostok¡tnym na pªaszczyzn¦ x0y,
(b) T : R2→ R2, T jest rzutem prostok¡tnym na prost¡ o równaniu x+y = 0,
(c) T : R2
→ R2, T jest obrotem o k¡t π4 wokóª punktu (0, 0). (d) T : R2→ R2, T jest przesuni¦ciem o wektor ~v = [4, −2] .
4. Wykaza¢, »e ka»de przeksztaªcenie liniowe przeksztaªca ukªad wektorów liniowo zale»nych w ukªad wektorów liniowo zale»nych. Czy prawdziwe jest analogi-cznie sformuªowanie twierdzenie dla wektorów liniowo niezale»nych?
Obraz i j¡dro przeksztaªcenia liniowego
5. Znale¹¢ baz¦ i wymiar j¡dra oraz baz¦ i wymiar obrazu przeksztaªcenia linio-wego T : R4→ R4, danego wzorem
T (x, y, z, t) = (x + y + z + 2t, x − y + z + 6t, x + y − z − 4t, 2x + 2y − 2z) .
6. Wyznaczy¢ baz¦ j¡dra i baz¦ obrazu przeksztaªcenia liniowego T : R4
→ R3 danego wzorem
7. Wyznaczy¢ j¡dro, obraz i rz¡d przeksztaªcenia liniowego T : M22→P2 danego wzorem T a b c d = (2a + b − c + 3d) + (a + 3c + d) x + (−2b + c) x2,
gdzie M22 oznacza przestrze« liniow¡ macierzy stopnia 2, a P2 oznacza
przestrze« wielomianów stopnia ≤ n.
8. Wyznaczy¢ j¡dro, rz¡d i obraz przeksztaªcenia liniowego T : P3 → M22
danego wzorem T : (ax3+ bx2+ cx + d) =
a − 2c 2a − b − 2d
−b + 2d c − d
.
9. Niech T : R4→ R3 b¦dzie przeksztaªceniem liniowym, które dowolnemu
wektorowi (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 przypisuje wektor (x1+ x2, −x1− x2, 2x3) .
Znale¹¢ baz¦ j¡dra i rz¡d przeksztaªcenia T.
10. Sprawdzi¢, czy wektory (1, 1, −1, 1) , (1, −1, 1, −3) generuj¡ j¡dro przeksztaªce-nia liniowego T : R4→ R4 danego wzorem
T (x, y, z, u) = (x + y + 3z + u, −2x − y − 4z − u, y + 2z + u, x + 2y + 3z) .
11. Sprawdzi¢, czy wektory (1, 1, −2, 0, 1) , (−2, 0, 0, 1, 1) generuj¡ j¡dro przeksztaª-cenia liniowego T : R5
→ R4 danego wzorem
T (x, y, z, u, v) = (x − 2y + u + v, x − y + z + 2v, 3x − 4y + 2z + u + 5v, x − 3y − z + 2u) .
12. Znale¹¢ dwie ró»ne bazy obrazu przeksztaªcenia liniowego T : R5→ R4 danego
wzorem
T (x, y, z, u, v) = (x + y − z, −x + 2y + 3z − u, 3y + 2z − u − v, 2v) . 13. Napisa¢ wzór przeksztaªcenia liniowego T : R4
→ R3takiego, »e T (−1, 1, −1, 1) = (0, 2, 1), T (1, 0, 1, 0) = (1, 1, 2) oraz KerT = {(x, 0, 0, t) ; x, t ∈ R}.
Reprezentacja macierzowa przeksztaªcenia liniowego
14. Napisa¢ macierze podanych przeksztaªce« w bazach standardowych rozwa»anych przestrzeni liniowych:
(a) T : R3→ R3, T (x, y, z) = (2x + y − z, x − 5z, y + 4z) ,
(b) T : R2→ R3, T (x, y) = (x + 2y, x − y, y) ,
(c) T : R3
(d) T : R2→ R2, T (x, y) = (2x + 4y, 5x − 3y) .
15. Przeksztaªcenia liniowe L1 : R2→ R2, L2 : R2→ R2, L3 : R2→ R okre±lone s¡
wzorami:
L1(x, y) = (6x − 2y, x − 3y) ,
L2(x, y) = (2x − y, −x) ,
L3(x, y) = 4x + y.
Napisa¢ macierze tych przeksztaªce« w bazach standardowych odpowiednich przestrzeni oraz poda¢ macierze nast¦puj¡cych przeksztaªce« liniowych (w odpowied-nich bazach standardowych):
(a) 3L1; (b) L1+ L2; (c) 3L1− 4L2; (d) L3◦ (L1+ L2) .
16. Przeksztaªcenia liniowe L1 : R2→ R3, L2 : R3→ R2, L3 : R2→ R okre±lone s¡
wzorami:
L1(x, y) = (x + 2y, 3x − 4y, x + y) ,
L2(x, y, z) = (y − z, −x + y + z) ,
L3(x, y) = 5x − 2y.
Napisa¢ macierze tych przeksztaªce« w bazach standardowych odpowiednich przestrzeni oraz poda¢ wzory nast¦puj¡cych przeksztaªce« liniowych:
(a) L2◦ L1; (b) L3◦ L2; (c) L1◦ L2◦ L3.
17. Spo±ród przeksztaªce« liniowych wybra¢ przeksztaªcenia odwracalne i napisa¢ macierze przeksztaªce« odwrotnych do nich w bazach standardowych rozwa»anych przestrzeni liniowych. Ponadto napisa¢ wzory przeksztaªce« odwrotnych, je»eli:
(a) L : R2 → R2, L (x, y) = (x − y, 2x + y) , (b) L : R2→ R2 , L (x, y) = (x − y, 2x − 2y) , (c) L : R3→ R3, L (x, y, z) = (x − y + z, 2x + y, y − z) , (d) L : R3 → R3, L (x, y, z) = (x − y + z, 2x + y, 3x + z) .
18. Sprawdzi¢, czy istnieje przeksztaªcenie odwrotne do przeksztaªcenia liniowego T : M22→ R4 okre±lonego wzorem
