aaaa 3.1.5 Przyk3.1.5 Przyk łł adyady

3.1.5 Przyk

3.1.5 Przyk ł ł ady ady

Przyk

Przykł ład 1 ad 1 Wyznaczy

Wyznaczy ć ć sił si ł y w prę y w pr ętach kratownicy pokazanej na rysunku metod tach kratownicy pokazanej na rysunku metod ą ą wę w ę zł z łó ó w (analityczną w (analityczn ą ) )

1

3 2

6

5

4 8

7 9 10

11

A

E C D

B

G

F

a

a a a

P ₂ =2kN ^P

¹

^=1kN

a 1.054a

0.333a a

1.054a 1.054a

0.667a a

1.202a 1.054a

a l

-3.000 3.162

0 -3.000

0 3.162

2.000 -3.000

-2.404 5.270

-1.667 N [kN]

11 10

9 8

7 6

5 4

3 2

1 nr pr.

 

Przyk

Przykł ład 2 ad 2 Stosuj

Stosują ą c metod c metod ę ę Rittera Rittera wyznaczyć wyznaczy ć sił si ł y w prę y w pr ę tach 4, 5 i 6 w kratownicy tach 4, 5 i 6 w kratownicy z przyk

z przykł ładu 1 adu 1

x y

P ₂ =2kN

a a

6

5

4 8

7 9 10

11 E

C D

F

P

₁

=1kN

N ₄

N ₅

N ₆ G



949 . 0 cos

316 . 0 sin

10 11 10

9









l l l

l





kN N

P P N P

P N

N F

N kN N

N N F

l kN a N P

a P l N M

y x G

2 sin

0 sin

162 . cos 3

0 cos

2 3 0

2

6 2 1 5 2

1 6

5

4 6

6 4

5 1 4

1 5 4































































 

3.2.6 Po

3.2.6 Po ł ł o o żenie ż enie ś ś rodka ci rodka ci ęż ęż ko ko ś ś ci ci wybranych bry

wybranych bry ł, powierzchni i linii ł , powierzchni i linii

C

b _a

a

b/2

a/2

C

b b

h

1

/3 h

1

h

2

/3 h

2

h

3

/3

h

3

C

r = 0

y

x R

 3 4R

x R

 3 4R

y

x y

r _sc 2

R



 sin 3 2 R r

_sc



r = R

y

2 x

sc

r _sc R

r



 sin 3

2 ^{2 2}

 



 

 R r

r Rr r _sc R

wycinek pierścienia

x R

 R 2

x y

x y

r _sc 2

R



 R sin r

_sc



y

 R

R 2

 [rad]

z

x

y

r R





   

   

   

























cos 1

2 cos 1 16

3

sin cos

1

2 sin 2

16 3

cos 1 cos

1

2 sin 2

16 3

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2



 







 



 

 







 



 



 







 



r Rr R

r R r z R

r Rr R

r R r y R

r Rr R

r R r x R

sc sc sc

wycinek kuli

r = 0

pełna kula

r = R

czasza kulista

R z

y

x _{sc sc sc} 8

 3



 x _sc y _sc z _sc R

2

 1





R z

y

x _{sc sc sc} 3

0 



 x _sc y _sc z _sc 1 R

0 



 z

x

y

R

z

x

y

R

x

z

y

R

sc

8R 3

x

z

y

sc R

2R 1

,  [rad]

x

z

y

h

h/4

środek ciężkości pola podstawy środek ciężkości

stożka

stożek jednorodny

sc

z

y

h

h/3

środek ciężkości linii podstawy środek ciężkości powierzchni stożkowej

powierzchnia stożkowa

sc

Przykład 1 Wyznaczyć położenie środka ciężkości płaskiej figury, pokazanej na rysunku, wykonanej z cienkiej blachy.

a a

D

H G

F E

J

3 DEJ

suma:

EFG 2

DEGH 1

S

_i

y

_Ci

S

_i

x

_Ci

y

_Ci

x

_Ci

S

_i

opis

i

x y

a

2 2

4

 a

2

8

 a



2

a a 2

 3 4a

a  4a 3 

2

a 4a 6 

3

2

a a

³

2

3

3 a

3

16

 a

  a

³

12

3 4

³

3

a

a 



 ⁸  ⁸

2

 

a a

³

 ⁴⁰  ⁹   ⁴⁸ 3 a

³

4

C

pole powierzchni

współrzędne środka ciężkości

momenty statyczne względem osi

y x

 

2 2

3

1 3

1 3

1

393 . 8 1

8

021 . 8 1

6

538 . 8 0

6 9 40

a a

S S

a S a

y S y

a S a

x S x

i i i

Ci i C

i

Ci i C

 





 





 

 





















 współrzędne

środka ciężkości figury

pole powierzchni

Wzory Varignona

3.2.7 Przyk

3.2.7 Przyk łady ł ady

Przykład 2

Wyznaczyć położenie środka ciężkości jednorodnego stożka o wysokości h i promieniu podstawy r z wycięciem jak na rysunku.

x y

z

h r

h

y z

r

h/4



3

4r

 



 









4 z h y r

rzut środka ciężkości 

wyciętej części na płaszczyznę (y,z)

y

x

Bryłę traktujemy jako sumę dwóch brył:

1. pełnego stożka

2. wyciętej części (o UJEMNEJ objętości)

suma:

wycięcie 2

0 0

0 0

stożek pełny 1

V

_i

z

_Ci

V

_i

y

_Ci

V

_i

x

_Ci

z

_Ci

y

_Ci

x

_Ci

V

_i

opis

i

2

3 h

 r

2

12 h

 r



2

4 h

 r

4 h

4

 h

r r 

2

12

2

h

 r

3

12 h

 r

3

12 h r



3

12 h r



3

12 h r



2

48

2

h

 r



2

16

2

h

 r

objętość bryły

4

2 2

1

h V r

V

i i

 

 



współrzędne środka

ciężkości 3 3 4

2

1 2

1 2

1

h

V z V r z

V y V r y

V x V

x

ⁱ

Ci i C

i

Ci i C

i

Ci i

C

       







  





objętość

momenty statyczne względem płaszczyzn:

y-z x-z x-y współrzędne śr. ciężkości

(wzory Varignona)