1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1) . Rozwi¸ azanie

Analiza Matematyczna Kolokwium 1 Zestaw A

Zadanie 1

Prosz¸e obliczyć granic¸e ci¸ agu, o ile ta granica istnieje a _n = 10 · 11 · 12 · . . . · (n + 9)

1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1) . Rozwi¸ azanie

Skorzystamy z twierdzenia Jeżeli lim _n→∞ ^a

_a

n

= q i q < 1, to lim _n→∞ a _n = 0.

a

a

= ⁿ⁺¹⁰ _2n+1 → ¹ ₂ < 1, gdy n → ∞.

Na podstawie twierdzenia lim _n→∞ 10·11·12·...·(n+9) 1·3·5·...·(2n−1) = 0 Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć nast¸epuj¸ ac¸ a granic¸e, o ile istnieje:

x→−∞ lim x √

x ² + 1 − x  . Rozwi¸ azanie

Stosuj¸ ac wzór (a − b) = ^a

_a+b ^−b

, otrzymujemy

x √

x ² + 1 − x



= x

√ x ² + 1 + x = x

|x| q

1 + _x ¹

+ x

= x

−x q

1 + _x ¹

− 1  → −∞

gdy x → −∞.

Zadanie 3

Prosz¸e określić, jeżeli to jest możliwe wartości parametrów a, b, tak, aby funkcja f była ci¸ agła

f (x) =  ax ² + b dla x ≤ 0

sin ax

e

−1 dla x > 0 Rozwi¸ azanie

Z definicji ci¸ agłości funkcji w punkcie lim _x→0

(ax ² + b) = lim _x→0

_e ^{sin ax}

−1 , b = lim _x→0

sin ax ax eax−1

ax

= ¹ ₁ = 1.

a ∈ R\{0}, b = 1.

1

Zadanie 4

Prosz¸e znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x ₀ , f (x ₀ )), jeśli f (x) = p2|x| + 1, x

₀ = 0.

Rozwi¸ azanie

Równanie stycznej w punkcie (x ₀ , f (x ₀ )), y = f ⁰ (x ₀ )(x − x ₀ ) + f (x ₀ ).

f ⁰ (x) = ^2·znak(x)

3

√

(2|x|+1)

,

Nie istnieje pochodna funkcji f punkcie 0, bo pochodne jednostronne funkcji f ₋ ⁰ (x) = ^2·(−1)

3 √

(2|x|+1)

= ⁻²

3 √

(2|x|+1)

f ₊ ⁰ (x) = ^2·(1)

3

√

(2|x|+1)

= ²

3

√

(2|x|+1)

w tym punkcie przyjmuj¸ a wartości dpowiednio − ² ₃ , ² ₃ .

2