Wykład I i II

FIZYKA I Wykład I i II

Prof. dr hab. Ewa Popko

WPPT Katedra Technologii Kwantowych www.if.pwr.wroc.pl/~popko

ewa.popko@pwr.edu.pl

p. 231 A-1

Kurs uzupełniający

Rachunek różniczkowy i całkowy

2 wykłady: 17.10 i 24.10, sala 322 godz. 19

Dr Konrad Wieczorek

Zawartość wykładu

Wy 1

2

Wy 2

2

Wy 3

Wy 4

Ruch harmoniczny tłumiony. Równanie ruchu i jego rozwiązanie. Logarytmiczny dekrement tłumienia. Energia całkowita. Obwód RLC. Ruch harmoniczny tłumiony z siłą wymuszającą. Równanie ruchu i jego rozwiązanie.

Rezonans w układzie RLC.

2

Wy 5

2

Wy 6

Wy 7

2

Wy 8

Prawo indukcji Faradaya. Prąd przesunięcia i prawo Ampera-Maxwella. Siła Lorentza i efekt Halla. Magnetyczne własności materii ( dia- i paramagnetyki, ferromagnetyki, pętla histerezy). Nadprzewodniki nisko- i

wysokotemperaturowe.

2

Wy 9

2

Wy 10

Oddziaływanie światła z materią. Odbicie, absorpcja i transmisja światła. Zespolony współczynnik załamania.

Prawo Lamberta-Bougera. Gęstość optyczna.

2

Wy 11

Prawa optyki geometrycznej. Całkowite wewnętrzne odbicie. Zjawisko dyspersji. Pryzmat szklany, jako element dyspersyjny w spektrometrach. Powstawanie tęczy. Załamanie na sferycznej powierzchni. Obrazy tworzone dzięki odbiciu: zwierciadło płaskie, wklęsłe i wypukłe.

2

Wy 12

Soczewka cienka skupiająca i rozpraszająca, układ 2 soczewek cienkich. Wady widzenia i ich korekcja. Przyrządy optyczne: lupa, mikroskop, luneta.

2

Wy 13

Falowa natura światła. Polaryzacja fali elektromagnetycznej. Prawo Malusa Interferencja światła. Eksperyment Younga. Rozkład natężeń w widmie interferencyjnym od dwu i większej ilości szczelin. Interferencja światła na cienkich warstwach.

2

Wy 14

Dyfrakcja światła Fresnela i Fraunhofera. Rozkład natężeń w widmie dyfrakcyjnym od pojedynczej szczeliny.

Siatka dyfrakcyjna, jako element dyspersyjny w spektrometrach. Kryterium Rayleigh’a.

2

Wy 15

Prawa promieniowania ciała doskonale czarnego (CDC). Źródła termiczne, jako modele CDC. Korpuskularna teoria światła. Prawo Plancka. Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne.

2

Podręczniki

• D. Halliday, R.Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, Wydawnictwo

Naukowe PWN, Warszawa 2003 — podstawowy podręcznik akademicki;

• J. Orear, FIZYKA , t. I i II, WNT, Warszawa 2008.

• Skrypty: K. Jezierski i in. FIZYKA wzory i prawa z objaśnieniami, cz. I i II, Oficyna Wydawnicza PWr.

• Youtube: Ewa Popko – Fizyka I

Nobel z fizyki 2017

Nobel z fizyki trafił do trzech naukowców:

Rainera Weissa, Barry’ego C. Barisha i Kipa S. Thorne’a. To uhonorowanie ich pracy nad falami grawitacyjnymi, której efektem jest wykrycie tych ostatnich.

Nagrodzeni naukowcy mieli według Królewskiej Akademii Nauk ―decydujący wkład w detektor LIGO i obserwację fal grawitacyjnych‖. Badacze podzielą się nagrodą pieniężną. Rainer Weiss otrzyma jej 50 proc., a dwaj pozostali laureaci podzielą się drugą połową .

Nagroda wynosi osiem milionów koron, czyli ok. 3,5 miliona złotych

Nobel fizyka 2017

Livingstone w stanie Luizjana i Hanford w stanie Waszyngton.

https://www.youtube.com/watch?v=iphcyNWFD10

Fale grawitacyjne po raz pierwszy zaobserwowano 14 września 2015 r

Detekcja - LIGO, czyli Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory.

i j k

x

y z

Wektory jednostkowe (Układ Kartezjański)

Prawoskrętny układ współrzędnych

Długość wektora=moduł=wartość bezwzględna Jest to liczba zdefiniowana przez iloczyn skalarny:

a 2

a a

a  

 

   ^A

a 2 cos 0 a A  A  A ²    

Przykład

Iloczyn skalarny w R ³

1 2 3

[a ,a ,a ] A 

1 2 3

[b ,b ,b ]

 B

3

i i i 1

a b



 

A B

przykład:

[1,-1,2] ○ [2,3,0] = 1·2 + (-1)·3 + 2·0 = -1

Kąt między wektorami

arccos

 ^ a b



A A B

B

a b



Kąt między dwoma wektorami jest

zdefiniowany przez ich iloczyn skalarny



 ab cos B

A 

 

Iloczyn wektorowy. Definicja. Obliczanie metodą

algebraiczną i przy pomocy wyznacznika.

Iloczyn wektorowy Iloczynem wektorowym

jest wektor 𝒄, którego moduł jest równy:

𝒄 = 𝒂 × 𝒃

𝒄 = 𝒄 = 𝒂𝒃𝒔𝒊𝒏𝝋

𝒃

𝒂



Iloczyn wektorowy

𝒄 = 𝒂 × 𝒃

𝒄 𝒃

𝒂

Wektor 𝒄 jest prostopadły do płaszczyzny na której leżą wektory 𝒂 i 𝒃.

Zwrot wektora 𝒄 określa reguła prawej dłoni (śruby prawoskrętnej)



Iloczyn wektorowy nie jest przemienny

a b



𝒄 = 𝒂 × 𝒃 = −(𝒃 × 𝒂)= −𝒄 ^′ 𝒄

a b



𝒄′

Iloczyn wektorowy wersorów

i j

k

𝐢 × 𝐣 = 1 ∙ 1 ∙ sin 90° 𝐤 = 𝐤

𝐤 × 𝐢 = 𝐣 𝐣 × 𝐤 = 𝐢

𝐣 × 𝐢 = −𝐤 𝐢 × 𝐤 = −𝐣

𝐤 × 𝐣 = −𝐢 𝐢 × 𝐢 = 𝐣 × 𝐣 = 𝐤 × 𝐤 = 𝟎

𝐢 × 𝐢 = 1 ∙ 1 ∙ 𝑠𝑖𝑛0° = 0

𝐢 × 𝐣 = 𝐤

Iloczyn wektorowy

 ^{a 1 ˆ a 2 ˆ a 3 ˆ}   ^{b 1 ˆ b 2 ˆ b 3 ˆ} 

       

a b i j k i j k

𝐤 × 𝐢 = 𝐣

𝐣 × 𝐤 = 𝐢 𝐣 × 𝐢 = −𝐤

𝐢 × 𝐤 = −𝐣

𝐤 × 𝐣 = −𝐢 𝐢 × 𝐣 = 𝐤

1 1 0 1 2 ˆ 1 3 ( ) ˆ

a b a b a b

   k    j

2 1 ( ˆ ) 2 2 0 2 3 ˆ

a b a b a b

   k   i 

2 3 3 2 ˆ 1 3 3 1 ˆ 1 2 2 1 ˆ

( a b a b ) ( a b a b ) ( a b a b )

  i   j   k

Można go obliczyć metodą wyznacznika:

1 2 3

1 2 3

a a a

b b b

 

i j k a b

2 3 3 2

[ a b a b ]

   

a b i

Iloczyn wektorowy

𝐢 𝑎 ₁ 𝑏 ₁

3 1 1 3

[ a b  a b ] j

1 2 2 1

[ a b a b ]

 k 

Użyteczne tożsamości:

Twierdzenia

 

 



 



  d

d d

d d

d B

A A B

B A

 

 

 

Różniczkowanie

 ^  ^  ^{ )  ( } 

A B C B C A C A B

𝐀 × 𝐁 × 𝐂 = 𝐀 ∘ 𝐂 𝐁 − 𝐀 ∘ 𝐁 𝐂

Pochodna funkcji jednej zmiennej. Pochodna wektora

Pochodna funkcji jednej zmiennej

dx x df

f(x)

Dx

𝒇 ^′ 𝒙 = 𝒅𝒇

𝒅𝒙 = 𝒍𝒊𝒎

𝜟𝐱→𝟎

𝒇 𝐱 + 𝜟𝒙 − 𝒇 𝒙 𝜟𝒙

Pochodną funkcji jednej zmiennej f𝒙, jest funkcja f ’(𝒙):

Df

Różniczka funkcji

Infinitezymalna zmiana df wartości funkcji f(x) spowodowana infinitezymalną zmianą dx jej argumentu nazywa się różniczką funkcji.

 

 ' 

df f x dx

dx x df

f(x)

Użyteczne pochodne

𝒅

𝒅𝒙 𝒂𝒇 = 𝒂 𝒅𝒇 𝒅𝒙

𝒅

𝒅𝒙 𝒙 ^𝒎 = 𝒎𝒙 ^𝒎−𝟏

𝒅𝒂

𝒅𝒙 =0 _𝒅𝒙 ^{𝒅 𝒆 𝒙 = 𝒆 𝒙}

𝒅

𝒅𝒙 𝒍𝒏𝒙 = 𝟏 𝒙

a=const, f(x), u(x), v(x) - funkcje

Użyteczne pochodne 𝒅

𝒅𝒙 𝒖 + 𝒗 = 𝒅𝒖

𝒅𝒙 + 𝒅𝒗 𝒅𝒙 𝒅

𝒅𝒙 𝒖𝒗 = 𝒖 𝒅𝒗

𝒅𝒙 + 𝒗 𝒅𝒖 𝒅𝒙

𝒅

𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒅

𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 = −𝒔𝒊𝒏𝒙

𝒅

𝒅𝒙 𝒖(𝒗) = 𝒅𝒖

𝒅𝒗 ∙ 𝒅𝒗 𝒅𝒙

𝒅

𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒂𝒙 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝒂𝒙

np.

Interpretacja geometryczna pochodnej

x df

f(x)

dx a

𝐭𝐠 a = 𝒅𝒇 𝒅𝒙

Pochodna jest równa tangensowi

kąta nachylenia a stycznej do

wykresu funkcji w

danym punkcie.

Gdy argumentem funkcji jest czas…

𝒅𝒇

𝒅𝒕 = 𝒍𝒊𝒎

𝜟𝒕→𝟎

𝒇 𝒕 + 𝜟𝒕 − 𝒇 𝒕 𝜟𝒕

Np. pochodna f’(t) po czasie

Pochodna wektora

f (t)

f (t+Dt) Df Df

Dt

Pochodną funkcji wektorowej jednej zmiennej f𝑡, jest funkcja f ’(t):

𝒇 ^′ (𝒕) ≡ lim

∆𝒕→𝟎

𝒇 𝒕 + ∆𝒕 − 𝒇(𝒕)

∆𝒕

Pochodna wektora cd.

    _

D

 D

 



D t

t t

lim t dt

d

0 t

A A

A

   

        _

D

 D

 D

 



D t

,...

t A

, t A ,...

t t

A , t t

lim A ^{1 2 1 2}

0 t

        _

 

 

D

 D

 D

 D

 



D ,...

t

t A

t t

, A t

t A t

t

lim A ^{1 1 2 2}

0 t

1 2

, ,...

dA dA dt dt

 

    

Pochodna wektora

dt 

dA  

 

,...

, ²

1

dt dA dt

dA

Każdą składową wektora różniczkuje się osobno.

Wektor położenia, wektor przemieszczenia i wektor

prędkości.

Punkt materialny

Punkt materialny to obiekt o masie różnej od zera i zerowych rozmiarach.

W wielu przypadkach rzeczywiste obiekty traktujemy jak punkty materialne.

Dla ruchu translacyjnego można założyć, że

obiekt to cząstka o masie równej masie obiektu

umieszczonej w centrum jego masy.

Wektor położenia

- Wektor związany z konfiguracją Wszechświata

Element zorientowany, który ma początek w początku układu odniesienia a koniec w punkcie o współrzędnej odpowiadającej położeniu punktu materialnego.

r

O

r

r r = [x,y,z]

x

y z

z

x

y

Wektor przemieszczenia

Dr = r(t ₂ ) – r(t ₁ )

x

y z

r(t) r(t

)

Dr

Położenie cząstki może zmieniać się w czasie.

Różnica wektorów

położenia w dwóch różnych chwilach czasu t ₁ i t ₂

nazywa się wektorem przemieszczenia:

r(t

)

Wektor prędkości

x

y z

r(t)

Szybkość zmian wektora położenia cząstki nazywa się wektorem prędkości tej cząstki.

  dt

d t t

t

r v r



  

D

 D



lim D 0 dr

r(t+dt)

v

Prędkość chwilowa jest zdefiniowana jako granica

szybkości zmian wektora położenia przy Dt dążącym

do zera.

Prędkość chwilowa

y

x

∆𝑟 ₁

B

A

A

A

A

Wektor prędkości chwilowej jest styczny do toru

Wektor prędkości chwilowej

Wektor prędkości chwilowej jest styczny do toru w punkcie,

w którym cząstka znajduje się w danej chwili

V

V

Prędkość chwilowa

Przykład:

𝒓(𝒕) = (𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝟎)

𝒙 = 𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 𝒚 = 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕

𝒗 _𝒙 = −𝝎𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 𝒗 _𝒚 = +𝝎𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕

𝒗 𝒕 = (−𝝎𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝝎𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝟎)

Szybkość i przyspieszenie

Szybkość

Moduł wektora prędkości nazywa się szybkością

v   v

Szybkość jest równa

pochodnej drogi po czasie

v t d

dt

d dt

d d

dt dt

d

( )   dt

 

r  r r  r l

dr

Można pokazać, że droga

jest równa całce z prędkości chwilowej po czasie.

2

1

t

t

v(t)dt

l  

Szybkość

Przykład: ruch jednostajny po okręgu w płaszczyźnie xy

𝒗(𝒕) = (−𝝎𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝝎𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝟎)

𝒗 = 𝝎 ^𝟐 𝑹 ^𝟐 𝒔𝒊𝒏 ^𝟐 𝝎𝒕 + 𝝎 ^𝟐 𝑹 ^𝟐 𝒄𝒐𝒔 ^𝟐 𝝎𝒕 + 𝟎 = 𝝎𝑹

𝒓(𝒕) = (𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝟎)

Średnia szybkość

Średnia szybkość jest równa stosunkowi drogi do czasu, w którym cząstka tę drogę przebyła

vsr = Δl Δt

2

1

t

t sr

2 1

Δl vdt

v  Δt  t t





Można pokazać, że

Przykład cd

Obliczmy średnią szybkość po czasie równym okresowi (punkt wykonał jeden pełny obrót):

vsr = 𝒍

𝑻 = 2𝝅𝑹 T

Tymczasem wektor prędkości średniej po czasie T:

( ) (0) T 0!

t T

D 

  

D

sr

r r r v

R

v

t l

x

dv -v(t)

v(t+dt)

Wektor przyśpieszenia

x

y z

v(t)

Szybkość zmian wektora

prędkości cząstki nazywa się wektorem przyśpieszenia.

  ² ₂

lim 0 _{t dt dt}

t

t

r d v

d a v

 

   

D

 D

 D

v(t+dt) a(t)

Przyśpieszenie chwilowe jest

zdefiniowane jako granica szybkości

zmian wektora prędkości przy Dt

dążącym do zera.

Przyśpieszenie - przykłady

𝒗 _𝟏

𝒗 _𝟐

∆𝒗

𝒂 𝒗 _𝟏

𝒗 _𝟐

∆𝒗 𝒂

∆𝒗 = 𝒗 _𝟐 − 𝒗 _𝟏

Przyśpieszenie - przykłady

𝒗 _𝟏

𝒗 _𝟐

∆𝒗

𝒂

Średnie przyśpieszenie

2

 

1

2 1

t

t sr

t dt

t t

 

 ^a

a

   

1 2

1 2

t t

t t



 v   v 

sr t

 D

D a v

Stosunek zmiany wektora prędkości do czasu, w którym zaszła ta zmiana nazywa się

średnim przyśpieszeniem.

t ₁

t ₂ Dv

Na kolejnym wykładzie pokażemy, że

𝐚

Przykład: ruch jednostajny po okręgu w płaszczyźnie xy 𝒓(𝒕) = (𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝟎)

𝒗(𝒕) = (−𝝎𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝝎𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝟎)

𝒂 𝒕 = −𝝎 ^𝟐 𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, −𝝎 ^𝟐 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝟎

𝒂(𝒕) = −𝝎 ^𝟐 𝒓(𝒕)

𝒂 = 𝝎 ^𝟒 𝑹 ^𝟐 𝒄𝒐𝒔 ^𝟐 𝝎𝒕 + 𝝎 ^𝟒 𝑹 ^𝟐 𝒔𝒊𝒏 ^𝟐 𝝎𝒕 + 𝟎 = 𝝎 ^𝟐 𝑹

Prędkość i przyspieszenie jako pochodne

𝒙 = 𝒙 _𝟎 + 𝒗 _𝟎 𝒕 + 𝒂𝒕 ^𝟐 𝟐

𝒗 _𝒙 = 𝒅𝒙

𝒅𝒕 = 𝒗 _𝟎 + 𝟐𝒂𝒕

𝟐 = 𝒗 _𝟎 + 𝒂𝒕

𝒂 _𝒙 = 𝒅𝒗 _𝒙

𝒅𝒕 = 𝒂

t a

0

a(t) t

V(0)

0 V(t)

t x(0)

0

x(t)

Użyteczne równania

Przekształcając i otrzymujemy:

𝒗 = 𝒗 _𝟎 + 𝒂𝒕 𝒙 = 𝒙 _𝟎 + 𝒗 _𝟎 𝒕 + 𝒂𝒕 ^𝟐 𝟐

𝒙 = 𝒙 _𝟎 + 𝟏

𝟐 (𝒗 _𝟎 + 𝒗)𝒕

𝒗 ^𝟐 = 𝒗 _𝟎 ^𝟐 + 𝟐𝒂(𝒙 − 𝒙 _𝟎 )