• Ruch ciał o zmiennej masie

Zasady zachowania

Fizyka I (Mechanika) Wykład V:

• Zasada zachowania p ˛edu

• Ruch ciał o zmiennej masie

• Praca, moc, energia kinetyczna

• Siły zachowawcze i energia potencjalna

• Zasada zachowania energii

II zasada dynamiki

Przypomnienie

Druga zasada dynamiki Newtona w postaci “klasycznej”

F = m ~a ~

Zale˙zno´s´c słuszna dla ciał których masa jest stała, m = const Mo˙zemy to wykorzysta´c i przekształci´c zale˙zno´s´c do postaci:

F = m ~ d~v dt

m=const

= d(m~v)

dt = d~ p dt gdzie p = m~v ~ - p ˛ed cz ˛ astki

F = ~ ^d~ _dt ^p

∆~ p =

Z

∆t

F dt = I ~

Zasada zachowania p ˛edu

Układ izolowany

Ka˙zde ciało mo˙ze w dowolny sposób

oddziaływa´c z innymi elementami układu.

F F

12 21

1

2

4

3

Brak oddziaływa ´n ze ´swiatem zewn ˛etrznym

III zasada dynamiki

Siły z którymi działaj ˛ a na siebie ciała i i j : F ~ _ij = − ~ F _ji

Suma sił działaj ˛ acych ciało i:

F ~ _i ^Σ = ^X

j

F ~ _ji

Suma sił działaj ˛ acych na układ:

F ~ _tot = ^X

i

F ~ _i ^Σ = ^X

i

X j

F ~ _ji

= ^X

j

X

i

− ~ F _ij = − ~ F _tot

⇒ F ~ _tot = 0

Zasada zachowania p ˛edu

II zasada dynamiki d~ p _i

dt = ~ F _i ^Σ

dp 2 1

2

4

3

dp 1

dp

dp ₃

4

izolowany układ inercjalny

P˛ed układu

Prawo ruchu układu:

F ~ _tot = ^X

i

F ~ _i ^Σ = ^X

i

d~ p _i dt

= d dt

X

i

~ p _i

F ~ _tot = 0 ⇒ ^X

i

~

p _i =

Dla dowolnego układu izolowanego,

suma p ˛edów wszystkich elementów

układu pozostaje stała.

Zasada zachowania p ˛edu

Dla dowolnego układu izolowanego,

suma p ˛edów wszystkich elementów układu pozostaje stała.

X i

~

p _i =

p ˛edy mierzymy w układzie inercjalnym (!)

Zasada zachowania p ˛edu obowi ˛ azuje w ka˙zdej sytuacji:

• zderzenia poruszaj ˛ acego si ˛e ciała z nieruchomym

• zderzenia dwóch poruszaj ˛ acych si ˛e ciał

• “rozpadu” układu na skutek działania

sił wewn ˛etrznych (np. wystrzał z armaty)

Zasada zachowania p ˛edu

Oddziaływanie dwóch ciał

M

M

M ₁ < M ₂

V

V

Układ “rozpada si ˛e” pod wpływem sił wewn ˛etrznych.

Je´sli na pocz ˛ atku wszystkie obiekty spoczywaj ˛ a

X i

~

p _i = 0

to i po “rozpadzie” suma p ˛edów musi by´c równa 0.

Dwa ciała: (v _i ≪ c ) m ₁ ~v ₁ + m ₂ ~v ₂ = 0

⇒ ~v ₂ = − m ₁

m ₂ · ~v 1

⇒ v ₂

v ₁ = m ₁

m ₂

Zasada zachowania p ˛edu

Oddziaływanie dwóch ciał

α

a

g

a

m M

Równia rusza si ˛e bez tarcia po poziomym stole.

Na równi kładziemy klocek, który mo˙ze zsuwa´c si ˛e bez tarcia.

Jak znale´z´c przyspieszenia, z którymi b ˛edzie poruszał si ˛e klocek i równia?

Je´sli masa klocka nie jest zaniedbywalna w porównniu z mas ˛ a równi to równia b ˛edzie

“ucieka´c” spod zsuwaj ˛ acego si ˛e klocka. Wynika to z zasady zachowania p ˛edu!

Siły zewn ˛etrzne (siła ci ˛e˙zko´sci i reakcji stołu) maj ˛ a kierunek pionowy

⇒ mog ˛ a zmienia´c tylko składow ˛ a pionow ˛ a p ˛edu układu równia-klocek.

Składowa pozioma p ˛edu musi by´c zachowana!

Zasada zachowania p ˛edu

Oddziaływanie dwóch ciał

R

Q R

α

a

a

r

Q

a a

x y

y

x

N

m M

Na układ działaj ˛ a siły zewn ˛etrzne:

• siły ci ˛e˙zko´sci Q i Q _r

• oraz siła reakcji stołu R _r

Siła wypadkowa działa wzdłu˙z kierunku pionu (prostopadle do powierzchni stołu).

Składowa pozioma p ˛edu układu równia-klocek musi by´c zachowana.

Uwzgl ˛edniaj ˛ ac, ˙ze pr ˛edko´s´c i przyspieszenie równi s ˛ a skierowane przeciwnie do osi X:

−mV ^r + M V _x = const ⇔ ma _r = M a _x

Kierunek przyspieszenia klocka nie jest równoległy do powierzchni równi!

Zasada zachowania p ˛edu

Oddziaływanie dwóch ciał

R

Q

α

F

a’

−a

M

Zagadnienie daje si ˛e łatwiej rozwi ˛ aza´c, gdy przejdziemy do układu nieinercjalnego zwi ˛ azanego z równi ˛ a. W układzie tym na klocek działa dodatkowo siła bezwładno´sci

F ~ _b = −~a ^r M

Przyspieszenie klocka (wzdłu˙z równi!):

a ^′ = g sin α + a _r cos α Mo˙zemy teraz wyznaczy´c składow ˛ a X tego przyspieszenia w układzie stołu, i porówna´c z wrto´sci ˛ a oczekiwan ˛ a z zasady zachowania p ˛edu:







a _x = a ^′ cos α − a ^r = g sin α cos α − a ^r sin ² α

M a _x = ma _r ⇒ a _r = g M sin α cos α

m + M sin ² α

Zasada zachowania p ˛edu

Zderzenia nieelastyczne

V

V =0

M

M

V

M

M

Zderzeniem całkowicie niespr ˛e˙zystym (całkowicie nieelastycznym) nazywamy zderzenie, w wyniku którego ciała pozostaj ˛ a trwale zł ˛ aczone (lub nie poruszaj ˛ a si ˛e wzgl ˛edem siebie)

Gdy jedno z ciał spoczywa P˛ed pocz ˛ atkowy: ~ p _i = m ₁ ~v ₁

P˛ed ko ´ncowy: ~ p _f = (m ₁ + m ₂ ) · ~v 2

Zasada zachowania p ˛edu:

~

p _i = ~ p _f

⇒ ~v ₂ = m ₁

m ₁ + m ₂ · ~v 1

Ruch ciał o zmiennej masie

II zasada dynamiki w postaci

F = ~ d~ p dt

mo˙ze by´c w szczególno´sci wykorzystana do opisu ruchu ciała o zmiennej masie.

W ogólnym przypadku: m = m(~ r, ~v, t)

Rakieta

Silnik rakietowy nap ˛edza rakiet ˛e na zasadzie odrzutu. Jej masa maleje.

Rozwa˙zmy prac ˛e silnika rakiety z punktu widzenia zasady zachowania p ˛edu.

m+dm

w v+dv

−dm

W przedziale czasy dt masa rakiety maleje z m do m + dm (dm < 0 bo masa maleje) Od ciała o masie m poruszaj ˛ acego si ˛e z pr ˛edko´sci ˛ a ~v odł ˛ acza si ˛e element

−dm > 0 poruszaj ˛ acy si ˛e z pr ˛edko´sci ˛ a w ~

Ruch ciał o zmiennej masie

W wyniku odrzutu rakieta zmienia swoj ˛ a pr ˛edko´s´c o d~v

m+dm

w v+dv

−dm

Z zasady zachowania p ˛edu:

m ~v = (m + dm) (~v + d~v) − dm ~ w 0 = m d~v + dm ~v + dm d~v − dm ~ w

⇒ d~ p = m d~v ≈ −dm ~v + dm ~ w

= dm ( w − ~v) ≡ dm ~ ~v _odrz

Siła odrzutu (siła ci ˛ agu rakiety):

F ~ _odrz = d~ p

dt = dm

dt ~v _odrz dm

dt < 0

Ruch ciał o zmiennej masie

Równanie ruchu

Ruch ciała pod wpływem siły odrzutu:

d~ p

dt = m d~v

dt = ~ F _zewn + dm

dt ~v _odrz Zaniedbuj ˛ ac wpływ sił zewn ˛etrznych

(np. pola grawitacyjnego):

m d~v

dt = dm

dt ~v _odrz m d~v

dm · dm

dt = dm

dt ~v _odrz m d~v

dm = ~v _odrz

Całkuj ˛ ac stronami:

v

Z

v

d~v

~v _odrz =

m

Z

m

dm m

⇒ ~v _k = ~v _◦ + ~v _odrz · ln

 m _k m _◦



wzór Ciołkowskiego

Gdy zaniedbamy grawitacj ˛e, pr ˛edko´s´c ko ´ncowa nie

zale˙zy od tego jak szybko spalamy paliwo...

Ruch ciał o zmiennej masie

Rakieta jednostopniowa

Rakieta o masie m _R ma wynie´s´c satelit ˛e o masie m _S , zu˙zywaj ˛ ac paliwo o masie m _P :

m m

m v

P R

S

odrz

Mo˙zliwa do uzyskania pr ˛edko´s´c ko ´ncowa:

v _k = v _odrz · ln m _S + m _R + m _P m _S + m _R

!

≈ v _odrz · ln(1 + f)

gdzie:

f = m _P

m _R m _s ≪ m R

stosunek masy paliwa do masy rakiety

Aby uzyska´c II pr ˛edko´s´c kosmiczn ˛ a v _k ≈ 11 km/s (np. lot na Ksi ˛e˙zyc) przy silniku rakietowym v _odrz = 3km/s

f = exp v _k v _odrz

!

− 1 ≈ 38

Teoretycznie mo˙zliwe,

praktycznie niewykonalne (?)...

i nieopłacalne !...

Ruch ciał o zmiennej masie

Rakieta dwustopniowa

Rakiet ˛e dzielimy na dwa człony o masach m ^′ _R i m ^′′ _R , m ^′ _R + m ^′′ _R = m _R w których znajduje si ˛e paliwo o masie m ^′ _P i m ^′′ _P : m ^′ _P + m ^′′ _P = m _P

’

’

"

"

m m m m

m

S P

R R

v

Pr ˛edko´s´c ko ´ncowa:

v _k = v _odrz ·

"

ln m _S + m _R + m _P m _S + m _R + m ^′′ _P

!

+ ln m _S + m ^′′ _R + m ^′′ _P m _S + m ^′′ _R

!#

W przybli˙zeniu m _S ≪ m ^′′ _R ≪ m ^′ _R : v _k ≈ v _odrz · 2 ln(1 + f)

Aby uzyska´c II pr ˛edko´s´c kosmiczn ˛ a v _k ≈ 11 km/s przy o v _odrz = 3 km/s:

f = exp v _k 2 v _odrz

!

− 1 ≈ 5.3

Dla f ≈ 10 (dla obu członów) mo˙zna wystrzeli´c w kosmos m _S ≈ 0.6% (m R + m _P )

Ruch ciał o zmiennej masie

Rakieta wielostopniowa

Rakieta składa si ˛e z wielu członów.

W ka˙zdym z nich stosunek masy paliwa do “obudowy” wynosi f

v

W granicy wielu bardzo małych członów:

m d~v = dm ~v _odrz · f f + 1 Co sprowadza si ˛e do:

v _k = v _odrz · f

f + 1 · ln 1 + m _R

m _S (1 + f )

!

Aby uzyska´c II pr ˛edko´s´c kosmiczn ˛ a dla m _S ≈ 100 kg przy rakiecie o f = 10:

m _R = m _S 1 + f

"

· exp v _k (1 + f ) v _odrz f

!

− 1

#

m _R ≈ 500 kg m _P ≈ 5000 kg

Przy rakiecie jednoczłonowej, przy tych samych m

i m

potrzebaby 228’000 kg paliwa !!!

Dla rakiety dwuczłonowej:

m

≈ 1600 kg, m

≈ 16’000 kg

Praca i energia

Praca

F F

A s B

P

F

F F

s Θ

n

t

A P

B

Najprostszy przypadek:

Stała siła F ~ działa na ciało P powoduj ˛ ac jego przesuni ˛ecie wzdłu˙z kierunku działania siły o ~s.

Praca jak ˛ a wykona przy tym siła F ~ W _AB = F · s

W przypadku siły działaj ˛ acej pod k ˛ atem w sto- sunku do przesuni ˛ecia praca jak ˛ a wykonuje

W _AB = F · s · cos θ = ~ F · ~s

Składowa prostopadła nie wykonuj ˛ a pracy!

Liczy si ˛e tylko równoległa składowa siły...

Praca i energia

F

F F

dr P Θ

n

t

1 2 3 4

5

1 2

3 4

5

dr dr dr dr dr

F F

F F

F

Praca

Dowolna siła F ~ działa na punkt materialny P Praca jak ˛ a wykonuje siła przy przesuni ˛eciu o d~ r

dW = ~ F · d~r = F cos θds = F t ds

Aby policzy´c prac ˛e siły F ~ dla dowolnej drogi, musimy posumowa´c wkłady od kolejnych małych przesuni ˛e´c

⇒ całkowanie.

Praca siły F (~ ~ r) na drodze mi ˛edzy A i B

W _AB =

Z B

A

F (~ ~ r) · d~r

Siły prostopadłe do przesuni ˛ecia nie wykonuj ˛ a pracy!

siła Lorenza, siła Coriolisa, siły reakcji wi ˛ezów...

Praca i energia

Praca

W s

F

x F(x)

s ^Przykład:

Rozci ˛ agni ˛ecie spr ˛e˙zyny wymaga wykonania pracy przeciwko sile spr ˛e˙zysto´sci:

F (x) = kx

Wykonana praca:

W =

Z s

0

F (x) · dx

=

Z s

0

kx · dx =

 1

2 kx ²

 _s

0 = 1

2 ks ²

Praca i energia

1

l

l

A

B

l

l

A

B

ds dW = F ds F

s

Praca

W ogólnym przypadku praca W _AB jak ˛ a wykonujemy podczas ruchu punktu z A do B mo˙ze zale˙ze´c od:

• przebytej drogi l

np. praca sił tarcia b ˛edzie proporcjonalna do l

• toru ruchu

np. je´sli siły oporu zale˙z ˛ a od wyboru toru

• pr ˛edko´sci

siły oporu w o´srodku zale˙z ˛ a od pr ˛edko´sci

• czasu

je´sli działaj ˛ ace siły zale˙z ˛ a od czasu

Praca i energia

Energia kinetyczna

F F

A s B

P

Przyjmijmy, ˙ze siła F ~ jest sił ˛ a wypadkow ˛ a dzia- łaj ˛ ac ˛ a na ciało P. Zmiana pr ˛edko´sci w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

v _B − v _A = F

m · ∆t

= F

m · s

hvi = F

m · 2s v _A + v _B Gdzie skorzystali´smy z wyra˙zenia na pr ˛edko´s´c ´sredni ˛ a: hvi = ^v

^+v ₂

Otrzymujemy:

v _B ² − v _A ² = (v _B − v _A )(v _B + v _A ) = 2

m · F · s = 2

m · W _AB

⇒ W _AB = mv _B ²

2 − mv _A ²

2 = E _k ^B − E _k ^A = ∆E _k

Prac ˛e mo˙zemy wyrazi´c poprzez zmian ˛e energii kinetycznej ciała E _k = ^mv ₂

Praca i energia

Energia kinetyczna

Praca jak ˛ a wykonuje siła F ~ przy przesuni ˛eciu P o ds

dW = F _t ds = m a _t ds = m dv dt ds dv

dt ds = dv ds

dt ⇒ = m ds

dt dv = m v dv Praca siły F (~ ~ r) na drodze mi ˛edzy A i B

W _AB =

Z B

A

F _t (s) · ds =

Z B

A

mv dv = mv _B ²

2 − mv _A ²

2 = E _k ^B − E _k ^A = ∆E _k

Niezale˙znie od postaci siły F ~ i drogi na ciało nie działaj ˛ a inne siły, układ inercjalny

praca siły jest równa zmianie energii kinetycznej ciała E _k = ^mv ₂

Praca i energia

Moc

Moc ´srednia opisuje ´sredni ˛ a prac ˛e wykonywan ˛ a na jednostk ˛e czasu:

P

= ∆W

∆t Moc chwilowa

P = lim

∆t→0

∆W

∆t = dW dt Wstawiaj ˛ ac dW = ~ F · d~s :

P = ~ F · ~v

Moc siły jest proporcjonalna do pr ˛edko´sci ciała!

Jednostk ˛ a pracy jest D˙zul:

1J = 1N · 1m = 1 kg m ² s ² Jednostk ˛ a mocy jest Wat:

1W = 1J

1s = 1 kg m ² s ³ Kiedy´s u˙zywano jako jednostki mocy konia mechanicznego:

1 KM = 735.498 W

Praca i energia

Energia potencjalna

Ruch w stałym i jednorodnym polu grawitacyjnym ~g.

Siła ci ˛e˙zko´sci działaj ˛ aca na mas ˛e m: F = m ~g = m (0, −g, 0) ~

W _AB = ~ F · ∆~r = ~ F (~ r _B − ~r _A ) = −m ~g (~r A − ~r _B ) = m g (y _A − y _B ) Mo˙zemy wprowadzi´c energi ˛e potencjaln ˛ a dla jednorodnego pola grawitacyjnego

E _p (~r) = −m ~g ~r = m g y

Prac ˛e mo˙zemy wtedy wyrazi´c przez zmian ˛e energii potencjalnej W _AB = E _p (~r _A ) − E ^p (~r _B ) = −∆E ^p

Mówimy, ˙ze siła ci ˛e˙zko´sci jest sił ˛ a zachowawcz ˛ a.

Praca i energia

Energia potencjalna

Siła F (~ ~ r) jest zachowawcza (konserwatywna), je´sli praca przez ni ˛ a wykonana zale˙zy tylko od poło˙zenia punktów pocz ˛ atkowego (A) i ko ´ncowego (B)

⇒ mo˙zna j ˛ a wyrazi´c przez zmian ˛e energii potencjalnej

W _AB =

Z B

A

F (~ ~ r) · d~r = E ^p (~r _A ) − E ^p (~r _B ) = −∆E ^p

Siła zachowawcza nie mo˙ze zale˙ze´c od czasu ani od pr ˛edko´sci.

Je´sli droga jest zamkni ˛eta to praca jest równa zeru

Z A

A

F (~ ~ r) · d~r =

I F (~ ~ r)d~ r = 0

yrkula ja (kr¡»enie)

F ~

Siłami zachowawczymi s ˛ a te˙z wszystkie siły centralne, zale˙zne tylko od odległo´sci

F = F (r) ·~i ~ r siła kulombowska, siła grawitacyjna, siły spr ˛e˙zysto´sci...

Praca i energia

Siła a energia potencjalna

Praca wykonana przy infintezymalnym przesuni ˛eciu d~ r = (dx, dy, dz) dW = ~ F (~ r) · d~r = − dE p

zmiana energii poten jalnej

⇒ = − ∂E _p

∂x dx − ∂E _p

∂y dy − ∂E _p

∂z dz Otrzymujemy:

F = ~ − ^∂E _∂x ^p , − ^∂E _∂y ^p , − ^∂E _∂z ^p

!

Znajomo´s´c potencjału siły zachowawczej jest rownowa˙zna znajomo´sci samej siły.

Energia potencjalna jest okre´slona z dokładno´sci ˛ a do stałej, istotne s ˛ a tylko jej zmiany.

Praca i energia

Siła a energia potencjalna

spr

p

F

E (x)

x

x ^Przykład:

Rozci ˛ agni ˛ecie spr ˛e˙zyny wymaga wykonania pracy.

W =

Z s

0

F (x) · dx = 1 2 ks ²

Kosztem tej pracy ro´snie energia potencjalna:

E _p (x) = 1

2 kx ² Siła spr ˛e˙zysto´sci:

F _x

(x) = − dE _p (x)

dx = −kx

W momencie puszczenia spr ˛e˙zyny energia potencjalna zamienia si ˛e na kinetyczn ˛ a...

Praca i energia

Gradient

Gradient wskazuje kierunek w którym nast ˛epuje najwi ˛eksza zmiana warto´sci funkcji skalarnej f (x, y, z).

Warto´s´c gradientu odpowiada warto´sci pochodnej funkcji f (x, y, z) wzdłu˙z tego kierunku.

grad f = ~ ∇f = ~i ^x ∂f

∂x + ~i _y ∂f

∂y + ~i _z ∂f

∂z = ∂f

∂x , ∂f

∂y , ∂f

∂z

!

nabla

⇒ ∇ = ~i ~ x ∂

∂x + ~i _y ∂

∂y + ~i _z ∂

∂z

∇f = ~i ~ n ∂f

∂n ~ n

f

Sił ˛e zachowawcz ˛ a wyra˙zamy jako gradient energii potencjalej: F = −~ ~ ∇E ^p (~r)

Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii

Praca siły zachowawczej F (~ ~ r) pomi ˛edzy A i B wyra˙za si ˛e przez energi ˛e potencjaln ˛ a

W _AB =

Z B

A

F (~ ~ r) · d~r = E _p ^A − E _p ^B

Z drugiej strony, praca siły działaj ˛ acej na ciało zmienia energi ˛e kinetyczn ˛ a:

W _AB = E _k ^B − E _k ^A

⇒ E _k ^B − E _k ^A = E _p ^A − E _p ^B

⇒ E _k ^B + E _p ^B = E _k ^A + E _p ^A

⇒ E = E _p + E _k =

W ruchu pod działaniem sił zachowawczych energia całkowita jest zachowana.

Zasada zachowania energii

Wahadło Galileusza

Wysoko´s´c na jak ˛ a wznosi si ˛e wahadło nie zmienia si ˛e przy zmianie długo´sci nici:

h

E _p + E _k = E =

E _k = 0 ⇒ m g h = E siły reakcji wi ˛ezów nie wykonuj ˛ a pracy

Koło Maxwella

Przemiana energii potencjalnej w

energi ˛e kinetyczn ˛ a ruchu obrotowego.

Zasada zachowania energii

Spadek swobodny

V h

g

W jednorodnym polu ~g ciało spada swobodnie z wysoko´sci h ( ~v(0) = 0).

Pr ˛edko´s´c ko ´ncowa z za- sady zachowania energii:

∆E _k = −∆E ^p m v ²

2 = m g h v = ^q 2 g h

V h

g

Tak ˛ a sam ˛ a pr ˛edko´s´c uzyska wahadło

puszczone z wysoko´sci h

Zasada zachowania energii

Siły spr ˛e˙zysto´sci

E

E

V V=0

V=0

t m

Ruchu pod wpływem sił spr ˛e˙zysto´sci:

E = E _p (x) + E _k (x) =

1

2 kx ² + 1

2 mv ² =

Ruch harmoniczny ω = ^q _m ^k :

x = A · sin(ωt + φ)

⇒ E _p (x) = 1

2 kA ² sin ² (ωt + φ) v = ω A · cos(ωt + φ)

⇒ E _k (x) = 1

2 m ω ² A ² cos ² (ωt + φ) E = E _p + E _k = 1

2 kA ²

Zasada zachowania energii

Równania ruchu

Znajomo´s´c energii potencjalnej jest rownowa˙zna znajomo´sci siły (zachowawczej):

F = −~ ~ ∇E p

Czy znaj ˛ ac E _p (~r) mo˙zemy rozwi ˛ aza´c równania ruchu ciała ?

• Mo˙zemy wyznaczy´c zale˙zno´s´c F (~ ~ r) i skorzysta´c z II zasady dynamiki...

albo

• Mo˙zemy wykorzysta´c zasad ˛e zachowania energii:

E = E _k (˙~r) + E _p (~r) = const

W zale˙zno´sci od zagadnienia jeden albo drugi sposób mo˙ze by´c bardziej u˙zyteczny...

Zasada zachowania energii

Dla ruchu prostoliniowego pod działaniem siły zachowawczej F (x), ~ energia potencjalna E _p = E _p (x)

E = m 2

 dx dt

 2

+ E _p (x) = const

⇒ dx

dt =

s 2

m ( E − E ^p (x)) Rozdzielaj ˛ ac zmienne i całkuj ˛ ac otrzymujemy:

dt = dx

q 2

m ( E − E p (x)) t =

Z x

x

dx ^′

q 2

m E − E ^p (x ^′ )

⇒ Znaj ˛ ac E _p (x) mo˙zemy zawsze znale´z´c zwi ˛ azek mi ˛edzy x i t.

Zasada zachowania energii

Przykład: F = F ~i ~ _x = const ⇒ E _p (x) = −F x F _x = − ^dE _dx

Przyjmuj ˛ ac, ˙ze x = 0 w chwili t = 0 mamy:

t =

r m 2

Z x

0

dx ^′

p E + F x ^′

⇒

s 2

m t = 2 F

q

E + F x ^′

 _x

0 = 2 F

p E + F x − 2 F

√ E

⇒ F

√ 2m t + √

E = ^p E + F x ⇒ x = 1 2

 F m



· t ² +

s 2E m · t 1

2 a · t ² + v _◦ · t

v _◦ - predko´s´c w chwili t = 0 ⇒ energia całkowita E = ^mv ₂

> 0

Egzamin

Przykładowe pytania testowe:

1. W wyniku czołowego zderzenia ci ˛e˙zarówki o masie 4 ton jad ˛ acej z pr ˛edko´sci ˛ a 30 km/h z samocho- dem osobowym o masie 800 kg oba pojazdy zatrzymały si ˛e. Samochód osobowy poruszał si ˛e z pr ˛edko´sci ˛ a:

A 80 km/h B 120 km/h C 150 km/h D 180 km/h

2. Pr ˛edko´s´c jak ˛ a mo˙ze uzyska´c jednostopniowa rakieta zale˙zy od masy ko ´ncowej m

i masy pocz ˛ atkowej rakiety m

jak

A

k

− 1 B ln

k

C 

m0

mk



D q

m0

mk

3. Dwa kamienie o ró˙znej masie wystrzeliwane z tej samej procy (tak samo naci ˛ agni ˛etej) b ˛ed ˛ a miały równe

A pr ˛edko´sci B zasi ˛egi C energie kinetyczne D p ˛edy 4. Dla ciała, poruszaj ˛ acego si ˛e w polu sił zachowawczych, zachowana(y) jest

A moment p ˛edu B p ˛ed C energia kinetyczna D energia całkowita

5. Ciało A spuszczono swobodnie z wysoko´sci cztery razy wi ˛ekszej ni˙z ciało B: h

= 4h

. Uzyskane pr ˛edko´sci

A v

= 2 v

B v

= √

2 v

C v

= 4 v

D v

= 2 √

2 v

Projekt współfinansowany ze ´srodków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego