Elektrische schakelverschijnselen

ELEKTRISCHE SCHAKEL VERSCHIJNSELEN

ir.

A.

Henderson

Henderson, A.

Elektrische schakelverschijnselen / A. Henderson - Delft: Delftse U .M. - Ill. Uitg. van de Vereniging voor Studie- en Studentenbelangen, Delft. - Met lit. opg., reg.

ISBN 90-6562-061-3 SISO 663.1 UDC 621.316 Trefw.: elektrische schakelingen.

©VSSD

Eerste druk 1979 Vijfde druk 1993

Delftse Uitgevers Maatschappij b.v.

P.O. Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands Telefoon 015-123725, telefax 015-143724

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd., opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand., of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, Df op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke

toestemming van de uitgever.

All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a

retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic ,

mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written

permission of the publisher.

- -

---5

Voorwoord

Het hoofdstuk schakelverschijnselen uit de gehele theorie van de elektrische netwerken is een dankbaar onderdeel. Enerzijds heeft het de charme van een streng mathematisch betoog, anderzijds komt men voortdurend in aanraking met de fysische werkelijkheid. Soms blijken mathematische begrippen onverwacht een fysische betekenis te hebben.

Van de gebruiker wordt bekendheid met de gelijk- en wisselstroomtheorie (ook de complexe grootheden) verondersteld. Verder dient hij enige oefening in differen-tiaalvergelijkigen, laplace-transformaties en matrixrekening te hebben gehad. De graphtheorie heb ik niet gebruikt. De consequentie is, dat grote netwerken niet kunnen worden behandeld en dat sommige bewijzen achterwege moeten blijven. Het grote voordeel is, dat de omvang sterk kan worden beperkt

Met opzet zijn er veel voorbeelden uitgewerkt, hetgeen als voorbereiding kan dienen voor het zelf maken van vraagstukken. De vraagstukken, die zijn opgenomen, zijn van verschillend niveau. Sommige zijn erg eenvoudig, andere vereisen veel inzicht en ervaring. Enkele vraagstukken zijn ontleend aan TII- en HTS-examens.

Er is ten behoeve van zelfstudie een uitvoerige antwoordenlijst opgenomen. Om het rekenwerk niet al te ingewikkeld te maken, heb ik voor de waarden van de netwerk-elementen, de hoekfrequentie en voor de amplituden van spanningen en stromen eenvoudige getallen gekozen. Verder zijn de elementwaarden constant verondersteld.

Voor kritiek houd ik mij aanbevolen.

A. Henderson, zomer 1979

Voorwoord

bij

derde

druk

Hier en daar is de tekst wat veranderd en er zijn enkele vraagstukken toegevoegd.

A. Henderson, voorjaar 1985

Voorwoord

bij

vierde

druk

Op enkele plaatsen zijn wat verbeteringen aangebracht.

A. Henderson, voorjaar 1989

Voorwoord

bij

vijfde

druk

In deze nieuwe druk heb ik de theorie wat uitgebreid en enkele nieuwe vraagstukken toegevoegd.

Inhoud

blz.

Voorwoord 5

Symbolen en notaties 7

l. Inleiding 9

2. De orde van een netwerk 10

3. Eerste orde netwerken ₁₁

4. Fysische beschouwingen 15

5. De differentiator 17

6. De operator p 18

7. Tweede orde netwerken 19

8. De karakteristieke vergelijking (K V) 23

9. De beginvoorwaarden 27

10. De continuïteitsstelling 29

1l. De stootfunctie 31

12. Onderzoek van schakelverschijnselen met de methode

van Lap1ace 34

(Laplace-tabel) 36

13. Het bewijs van enkele transformaties 45

14. De beginwaardetheorema's 47

15. Superpositie 48

16. De grootheden p, À en s 52

17. Polen en nulpunten 52

18. Polen en nulpunten van lap1acegetransformeerde tronsterkten 55 19. Uitbreiding van het polen-nulpunten beeld van een

netwerk-functie bij inschakelen van een bron 56

20. Meervoudige polen 62

21. Het samenvallen van een pool en een nulpunt 62

22.

Complexe resonantie 63

23. De stationaire toestand en het polen-nulpuntenbeeld 65 24. Residubepaling met het theorema van Heaviside 71 25. Residubepaling uit het polen-nulpuntenbeeld 74

26. Toestandsvergelijkingen 77

27. De vel-deling van de beginenergie 90

28. Harmonische excitatie van een filter 92

29. Samenvattend voorbeeld ₁₀₁

Vraagstukken 107

Antwoordenlijst 131

Literatuur 139

7

Symbolen en notaties

u spanningsbron stroombron

R weerstand L spoel condensator

twee gekoppelde spoelen (ideale) transformator

Een kleine letter (u, i) stelt een tijdsfunctie voor.

Een hoofdletter (U, I) is een constante, een complexe grootheid of een laplacegetransformeerde grootheid.

Een geschreven hoofdletter (iL, .!I, :~) is gereserveerd voor een matrix. A = ampère, integratieconstante

C = capaciteit det

=

determinant

e

= grondtal van de natuurlijke logarithme F

=

farad, functie (grootheid in s-gebied) f = tijds functie

H .

=

overdrachtsfunctie, henry I = gelijkstroom

= ogenblikkelijke stroom

111 = amplitude van de sinusvormige stroom, modulus van de complexe stroom

j = imaginaire eenheid J

=

joule

K = constante L

=

zelfinductie

lim

=

limiet

M = wederzijdse inductie n = transfonnatieverhouding P = gemiddeld vermogen

p = differentiërende operator, pool, ogenblikkelijk vermogen

Q

= condensatorlading R = weerstand S = schakelaar s = seconde, laplace-operator T = periode t = tijd U = gelijkspanning u = ogenblikkelijke spanning

JUl

= amplitude van de sinusvormige spanning, modulus van de complexe spanning V = volt W = watt, energie

y

= admittantie Z = impedantie z = nulpunt (zero)

Ö = delta, symbool voor de stootfunctie

E = epsilon, symbool voor de sprongfunctie van Heaviside À. = labda, variabele in de karakteristieke vergelijking cr = sigma, reële deel van À.

't = tau, tijdconstante

n

=ohm

{J) = omega, hoekfrequep.tie, imaginaire deel van À.

*

= aanduiding voor toegevoegd complex In = eenheidsmatrix van de orde n

9

1. Inleiding

We spreken van schakelverschijnselen, als in een netwerk één of meer schake-laars van stand veranderen of als bronsterkten een discontinuiteit vertonen op een bepaald tijdstip.

u

-spanningsbron stroombron

We onderscheiden het maak contact , het verbreekcontact en het wisselcon-tact.

maakcontact verbreek contact wissel contact

We veronderstellen, dat alle schakelaars in een netwerk tegelijk van stand ver-anderen. Ook nemen we aan, dat de schakeltijd nul is.

Zonodig kan het wisselcontact vervangen worden door een maak- en een ver-breekcontact:

Voor het schakelmoment kiezen we het tijdstip t = O. De getekende schema's gelden voor t

<

O.

We nemen aan, dat een vorige schakelhandeling een oneindig lange tijd gele-den heeft plaatsgevongele-den, zodat eventuele elektrische trillingen, als gevolg van die schakelhandeling zijn uitgedempt.

Voor het vervolg zijn van belang het ogenblik vlak vóór het schakelen:

en het ogenblik vlak ná het schakelen:

t = 0+.

Wiskundig kunnen we dit als volgt formuleren:

0- = lim

tto 0+ _{= lim}

t-l-o

De hier ingevoerde schakelaars behoeven niet van het mechanische type te zijn (handbediend of als contacten op een relais); zij kunnen ook uit elektro-nische componenten bestaan (buis, thyristor, transistor).

Vrije trillingen ontstaan, doordat de energie in de spoelen en de condensato-ren zich verdeelt over het netwerk.

Bevat het netwerk weerstanden, dan zal in het algemeen deze energie omge-zet worden in warmte .

. De energie in een spoel respektievelijk in een condensator zit opgeslagen in het magnetische respektievelijk het elektrische veld.

De energie in een spoel is W_L = V2U2 De energie in een condensator is Wc = V2CU2 De energie in twee gekoppelde spoelen is

Een weerstand en een (ideale) transformator kunnen geen energie opslaan.

2. De orde van een netwerk

Onder de orde van een netwerk verstaan we het aantal onafhankelijk te kiezen energieën in het netwerk. Om de orde van een netwerk te bepalen, moet men nagaan welke condensatorspanningen en welke spoelstromen onafhankelijk p;p-kozen kunnen worden.

fJ

,e

orde

In bovenstaande voorbeelden is steeds de orde gelijk aan het aantal reactieve elementen (spoelen en condensatoren). Dit behoeft niet steeds het geval te zijn. Een eenvoudig voorbeeld is twee spoelen in serie gesloten over een weer-stand. Dat zijn twee reactieve;: elementen, terwijl de orde één is. Immers, de

11

stroom in beide spoelen is gelijk, dus liggen met deze éne stroom beide ener-gieën vast. In een lus van condensatoren en in een snede van spoelen is steeds één condensatorspanning respektievelijk één spoelstroom afhankelijk.

Brengen we een snijlijn (snede) aan over een netwerk, zodat dit netwerk in twee losse delen uiteenvalt, dan zal de stroom over die snede nul zijn. (Zie voor de definitie van "snede" blz. 27 )

We merken nog op, dat bij de bepaling van de orde van een netwerk de bron-sterkten nul gesteld moeten worden, dus:

spanningsbronnen vervangen door kortsluitingen en stroombronnen vervangen door open klemmen.

3. Eerste orde netwerken

Deze bevatten tenminste één reactief element. Voorbeeld

u

Het schema voor t ;;;;, 0+ :

+

u R

u =

gelijkspanningsbron. C is geladen tot de spanning U. Op t = 0 SI openen en S2 sluiten. Gevraagd: Bepaal u = f(t) voor t ;;;;, O.

Hiervoor geldt: u = Ri

i = -C

~~ (let op min).

Dus RC du + u = 0 = homogene differentiaalvergelijking. dl

Karakteristieke vergelijking: RCÀ. + I = O. Wortel: À. = -

R~

.

1

Oplossing: u = AeÀt _{= Ae -Re t. A heet integratieconstante.} Nu is gegeven u(O-) = U. De vraag is nu, wat is u(O+)'!

We hebben immers u(O+) nodig, omdat de vergelijkingen alleen geldig zijn voor t ;;;;;, 0+.

Als u(O+) = u(O-), noemen we u continu, d.w.z. de spanning vertoont dan op het tijdstip t = 0 geen sprong.

We zullen voorlopig aannemen, dat alle condensatorspanningen u

_e

en alle spoelstromen I_L continu zijn. Later zullen we de continuiteitsstelling behan-delen. Het zal dan blijken, dat onze aanname juist is.

We he~ben dus u(O+) = U.

Invullen in de oplossing levert op U = A volt. ...!...t De totale oplossing is dus u = U e -Re

U IS continu

,

1 _

t

Als t = 7 = RC (we noemen dat de RC-tijd) is u = Ue-1, dat wil zeggen, de

spanning is dan 37% van de beginwaarde. De helling van de (gestippelde) raak-lijn vinden we door differentiëren:

1

du = _

...!L

e -Re t

dt RC

Voor t=O wordt dit -R'b m.a.w. de raaklijn snijdt de tijdas in het punt t= RC.

Als t = 57 dan is u = Ue-s . Dan is u

< I

% van U.

Uit de gevonden oplossing voor u kunnen we nu ook de stroom i vinden:

t i = _C du = _I-CUe Re dt RC t dus i = U e -Re R

We zoeken nu i uit de differentiaalvergelijking.

We hadden C du + i = 0

du~

RC di + i = 0 homogene differentaalvergelijking.

RCÀ. + I = O. We vinden dezelfde karakteristieke vergelijking!

_t_

Wortel: À.

=

-RIC' dus i

=

Be -RC.

We beschouwen nu het schema op t = 0+.

Dan vinden we i(O+) =

*

(spanningswet van Kirchhoff), t

dus .!I = B dus i = .!Ie -RC

R ' R

We zien hieruit, dat i niet continu is, want i(O-) = 0 en i(O+) =

*.

u R

-

t

13

In het vorige voorbeeld ontstond een homogene differentiaalvergelijking,

om-dat het netwerk voor t

> 0 geen bronnen bevat.

In het volgende voorbeeld ontstaat een niet-homogene differentiaalvergelijking:

Netwerk voor t ;;;. 0+:

'c

+ u

c

R R

I is een gelijkstroom bron. Op t = 0 zij Congeladen.

Gevraagd: u (t) voor t

>

0, als op t = 0 de schakelaar S wordt omgelegd.

Hieruit volgt de niet-homogene differentiaalvergelijking van de eerste orde:

Cdu _dt + .!:!.= _R I _.

Het rechterlid noemt men wel de stoorfunktie. Men noemt I de excitatie en u de responsie (antwoord op de verstoring).

De homogeen gemaakte differentiaalvergelijking is C ~~ + ~ = O. De karakteristieke vergelijking is À.C +

*

= 0, met als wortel À. = -

ic .

Homogene oplossing Uh = AeÀJ

Particuliere oplossing u = up = RI.

Dit is te vinden door inspectie van het netwerk voor t -+ 00 (fysisch) of door

beschouwing van de differentiaalvergelijking (mathematisch).

De totale oplossing is

t uh + Up = U = Ae- RC + RI.

Op t=O+ is u=O, dus

0= A + Rl, dus A = - RI. We vinden dus: RI _ ,

,

Re t U = RIO - e- RC )

-

t

Procedure: a. Bereken de beginvoorwaarde iL(O-) of UC(O-). b. Neem aan, dat deze continu is.

c. Neem als variabele iL resp. uC.

d. Bepaal de karakteristieke vergelijking en de wortel. e. Zoek een particuliere oplossing.

f. Totale oplossing: AeÀt + particuliere oplossing.

g. Vul de beginvoorwaarde in en vind A.

h. Bepaal nu eventueel andere spanningen en stromen. Voorbeeld van een eerste orde netwerk met sinusvormige excitatie.

UI = 12 V (gelijkspanning) u₂ = 5 cos 2t V.

Gevraagd: i voor t> 0, als op t = 0 de schakelaar S wordt omgelegd.

(continuïteit) u₂ = 2

~

+ 3 i (differentiaalvergelijking) Homogeen gemaakt: 0= 2 di + 3i

dJ"

15

Particuliere oplossing met complexe spanningen en stromen.

Voeg aan de tijdsfunctie u₂ toe de complexe spanning U₂ = 5 (reëel). Dan is I = 3

~

4j =

t(3 -

4j). Dus ip =

t

(3 cos 2t + 4sin 2t).

Ga na, dat deze oplossing inderdaad voldoet aan de differentiaalvergelijking.

3t

Dus: i = Ae--Y + t(3cos 2t + 4sin 2t) i(O+)

=

4

=

A

+

%.

Dus: A

=

li

Dus _3t

i =

~(l7e

"2 + 3cos 2t + 4sin 2t) A.

Voor t ~ co ontstaat i

=

3cos2t + 4sin2t A; we noemen dit de stationaire toestand. Opmerking

In plaats van !(3cos 2t + 4sin 2t) zouden we ook kunnen schrijven

sin (2t + arctan

~).

We geven hier de voorkeur aan de eerste schrijfwijze,

om-dat dan de berekening voor t = 0 eenvoudiger is.

4. Fysische beschouwingen

Het is vaak niet nodig eerste orde netwerken te berekenen, zoals dat hiervoor is gebeurd. We kunnen de oplossing vinden door het zoeken van enkele mar-kante waarden door inspectie van het netwerk. Hieronder volgen enkele voor-beelden:

Voorbeeld a

+

U=9V 4Q

De bron is een gelijkspanningsbron. Op t = 0 wordt S geopend. Bepaal iet) voor

voor t

>

O.

Oplossing: We lezen af i(O-) = 3 A. Dus i(O+) = 3 A. Voor t -+ 00 zal i nul zijn. Voor zo'n netwerk met een spoel en een weerstand spreken we van de LG-tijd (bij een condensator met een weerstand was dat de Re-tijd). 3 tls! 7t LG= 7

=

~s.

Dus i

=

3e-T A.

•

Voorbeeld b u - - - -- - - / - - -

=

~

_-

.:

-

-I

~~--~r---r~--

__

---S no:r stard1 Voorbeeld c t 2

Een exponentieel stijgende functie heeft als formule:

u

u

Voorbeeld d realisatie met een condensator

Een stijgende functie, die niet in 0, maar in een negatief punt op de ordinaat

begint: --+---d---' -~-'---T

--t Het hoogteverschil is UI + U₂0 t

-- - - -~- ---

~----17

Een voorbeeld van een realisatie is:

3H

Beide bronnen zijn gelijkspanningsbronnen. T = CL = 3 s. 10 - - - - - - /1 t i = 7(1 - e - 3) - 2 A. 3

-

Hsl -2

5. De differentiator

We besch0ltwen het volgende schema:

Hiervoor geldt: UI = U

_c

+ _{u R}

u_R = Ri

. ~

1= _{C dt '}

dU I _ i dUR du_l_ _{u R dUR}

dus

dt

-

c

+ ~ ,dus

ëIt-

RC + ~ Dit is de differj!ntiaalvergelijking van dit netwerkje.

dUR _{u R} _ _{dU I}

Is nu ~~ RC dan geldt u_R - RC

_dt

.

De uitgangsspanning is dan met een bepaalde factor de gedifferentieerde in-gangsspanning.

Nemen we als voorbeeld een lineair stijgende ingangsspanning:

u,

Î

I

UI = at a

>

0 dU_I - - j.c:.-. _ __ .•. _ _ _ .•. __ _

dt

= a u R dUR a = RC +

crr-:

De karakteristieke vergelijking is 0 = RIC + X, dus X = -

ic

.

t

Dus u R = Ae -RC + aRC. Een particuliere oplossing is immers aRC. Stel nu uR(O+) = 0, dan vinden we: 0 = A + aRC, dus A = -aRC.

...L Dus u R = aRC(1 - e -RC).

LRi

_aRC

_~

- - -

~ ~

- - -

-I

1

/

:

,

/

I

I /

-

I

We zien dat de schakeling een goede differentiator is voor t ~ T.

Als T = RC klein is, dan hebben we een goede differentiator voor alle t

>

O. Dan is echter ook u R klein.

Is de ingangsspanning sinusvormig, dan zal in de stationaire toestand ook de uitgangsspanning sinusvormig zijn.

Is de hoek tussen beide spanningen 90°, dan hebben we een differentiator. Met complexe grootheden vinden we:

jwRC U I + jwRC 1

Als wRC ~ I, dan hebben we U_R = jwRCU₁ ' dus inderdaad een uitgangs-spanning, die 90° vóór is t.O.V. de ingangsspanning.

Evenals in het vorige voorbeeld is de uitgangsspanning klein.

De elektronica maakt het mogelijk een goede differentiator met een grote uitgangsspanning te maken.

De afleiding van de integrator gaat op een analoge wijze.

6. De operator p

In het vervolg zullen we i.p.v.

~t

de operator p gebruiken, dus d..:f du

pu -

dt.

De uitdrukking Lp heeft geen betekenis. Men dient goed onderscheid te ma-ken tussen p en X. X is een algebráische grootheid (complex), zodat de uit-drukking LX wel zinvol is.

De operator

i-

betekent integreren. Omdat integreren niet eenduidig is (inte-gratieconstante), zullen we

i

vermijden, behalve als de integratie direct

ge-volgd wordt door differentiëren.

De tweede afgeleide naar de tijd zullen we aangeven met p2 , algemeen de n-de afgeleide met pn (n

=

0,1,2,3, . .. ).'

7. Tweede orde netwerken

19

Deze bevatten tenminste twee reactieve elementen: twee spoelen, twee con-densatoren, of één spoel plus één condensator.

De algemene vorm van de differentiaalvergelijking is:

De variabele is één of andere stroom in het netwerk. Ook een spanning is vanzelfsprekend mogelijk.

f(t) is de stoorfunctie. Deze functie is een gevolg van de aanwezige bronnen. Hij kan ook afgeleiden van de bronsterkten bevatten. De homogeen gemaak-te differentiaalvergelijking (nu met operator p) is:

Hierbij zijn drie gevallen te onderscheiden: a. De wortels zijn beide reëel, maar ongelijk. b. De wortels zijn beide complex.

c. De wortels zijn gelijk en reëel.

Als de wortels complex zijn, zijn ze toegevoegd complex. Dit is een gevolg van het reëel zijn van de coëfficiënten a2, al en ao ' De wortels van de ka-rakteristieke vergelijking

"I

en

"2

resulteren in de homogene oplossing

• À t À t

I

h = Ae 1 + Be 2

Voor de particuliere oplossing kan men vaak de stationaire t~estand nemen

(t -+ 00).

De totale oplossing is de som van de homogene en de particuliere oplossing:

Voorbeeld

+

u

+

L-_______________

~~

Op t = 0 wordt de schakelaar gesloten. Bepaal U

_c

= f(t) voor t ~ O.

Oplossing:

De spanningswet van Kirchhoff levert: (pL + R)i + U

_c

= u. Verder geldt: i = pCuc .

Combinatie van deze twee vergelijkingen levert op:

We vinden dus een tweede orde differentiaalvergelijking. Homogeen gemaakt:

De karakteristieke vergelijking is: LCÀ? + RCI\ + I = O. De wortels zijn:

We zullen nu voor dit voorbeeld de drie gevallen nagaan. Daartoe doen we een keuze voor de elementwaarden.

a. Stel L = 1 H, R = 5

n,

C =

t

F en u = 1"2 V gelijkspanning. Verder nemen we aan, dat uc(O-) = 6 V en i(0-) = 0 A. We vinden dan voor de wortels 1\1 = -3 en 1\2 = -2. Een particuliere oplossing is U_{c = 12 V.}

p

We vinden dus: U_{c = Ae-}3t + Be-2t + 12.

Als we weer aannemen, dat de condensatorspanning en de spoelstroom con-tinu zijn, d.w.z. U

c (0+) = 6 V en i(O+) = 0 A, dan vinden we de constanten A en B als volgt:

t = 0+ uc(O+) = A + B + 12 = 6

i = Cpuc dus (dUC) = O. dt t = 0+

Dus -3A-2B=0.

We hebben nu twee vergelijkingen in A en B. Er volgt: A = 12, B = -18. U

c = 12e-3t - 18e-2t + 12 V.

In dit voorbeeld is de beginwaarde van de spoelstroom 0 A. Dat is duidelijk, omdat voor t

<

0 het circuit open is.

Het is echter mogelijk, met behulp van een "hulp"circuit de stroom van nul te laten afwijken:

21

In dit geval is i(O-) = 2 A.

12V

Berekening toont aan, dat de totale oplossing is:

u

_c

= 12 - 6e- 2t

v.

We merken verder op, dat dit een oplossing van een eerste orde systeem lijkt. We zien dus, dat door een geschikte keuze van de beginvoorwaarden er termen in de totale oplossing kunnen wegvallen. Het netwerk blijft echter van de tweede orde. De orde wordt niet bepaald door de grootte van de beginvoorwaarden. b. Stel L = 9 H, R = 450 Sl, C = 4 J.1F, u = 5 V gelijkspanning.

Hieruit volgen de wortels: "12 = -25 ± 165j. À.₁ t À. t '

Dus: U

_c

= A e + Be 2 + 5.

De beginvoorwaarden geven weer A en B, waarbij de imaginaire termen in bovenstaande uitdrukking nul moeten zijn, omdat immers de (fysische) con-densatorspanning niet complex kan zijn.

M.a.w. de condensatorspanning moet van de volgende vorm zijn:

U

_c

= (Fcos 165t + Gsin 165t)e- 25t + 5.

We kunnen dus de vorm met de complexe e-machten overslaan en direct de laatste uitdrukking hanteren.

Stel dan vinden we: 0 = F + 5. + (dUC ) Verder is i(O )

=

0

=

C -dt t = 0+ Nu is

du

c

= (-165 F sin 165 t + 165 G cos 165 t) e - 25 t - 25 e - 25 t(F cos 165 t + Gsin 165 t). dt

...

Op t=O+ is dit 165G - 25F = O. Hieruit volgt: F = -5 en G = -

~~.

De totale oplossing is dus

U

c = (-5cosI65t - USinI65t)e-251 + 5 V.

De amplitude van de sinusterm is vrij veel kleiner dan de amplitude van de cosinusterm.

We vinden bij benadering: U

c = 5 - 5e-25I cos165tV.

De hoekfrequentie van de cosinusterm is w = 165 rad/s. Met wT = 271 vinden we T = 38 ms.

De tijdconstante van de e-macht is 215 s = 40 ms. Met deze gegevens kunnen we U_{c (t) schetsen:}

ct

[V~

10,

_,

,

/ ./

/

,(

v/

'> ,

20 .... : I ,I 'I I, 'I "

,

,I 1.0 60 80 C. Stel L = 1 H, R = 2 Sl, C = 1 F en u = 12 V gelijkspanning.

We vinden nu twee gelijke wortels À1 = À2 = -I.

-

H-nsJ De oplossing is nu niet U

c = Ae-t + Be- I + 12, want deze uitdrukking bevat één constante A + B.

De juiste oplossing is:

23

u

_c

= Ae- t + Bte- t + 12 V

_'

d. w.z. een term met een factor t.

Men kan bewijzen, dat de graad van de karakteristieke vergelijking gelijk is

aan de orde van het netwerk. De graad is gelijk aan het aantal

integratiecon-stanten.

Bij de serieschakeling, zoals in bovenstaande voorbeelden, is er het

eenvou-dige verband:

waarmee zonder veel moeilijkheden de tweede vergelijking in A en B

gevon-den kan worgevon-den.

De eerste vergelijking in A en B volgt onmiddellijk, als men als variabele de

spoelstroom of de condensatorspanning kiest. Kiest men U_{c zoals hierboven,}

dan volgt i door differentiëren.

Kiest men i, dan volgt U_{c met de vergelijking} U_c = u - pLi - Ri, dus hier

kan integreren worden vermeden.

Is de structuur (graph) van een tweede orde netwerk wat ingewikkelder, dan

is het vinden van de tweede vergelijking in A en B lastiger.

Voor we hiervan een voorbeeld behandelen, zullen we eerst de immittantie-methode ter bepaling van de karakteristieke vergelijking beschouwen.

8. De karakteristieke vergelijking (KV)

Omdat de KV volgt uit de homogeen gemaakte differentiaal vergelijking, kun-nen we hem vinden door de bronsterkten nul te maken, dus door de

spannings-bronnen door een kortsluiting en de stroombronnen door open klemmen te

vervangen. De energie opgeslagen in de spoelen en de condensatoren geeft aan-leiding tot spanningen en stromen als functie van de tijd in het netwerk, die op

elk moment moeten blijven voldoen aan de wetten van Kirchhoff. Dit houdt

in, dat alle spanningen en stromen uitdempen volgens dezelfde complexe

e-macht met termen van de vorm Ae Àt .

Daarom heet de vergelijking ook karakteristieke vergelijking. Heeft men

een-maal deze KV gevonden, dan heeft men de vorm van alle vrije trillingen.

Als de wortels van de KV complex zijn, treden ze op in toegevoegd

comple-xe paren À) en 11._{2 ' dus geldt} 11.₂ = 11.₁

*.

Dan zijn ook eÀ I t en eÀ2t toegevoegd complex voor alle t.

Omdat een stroom (en een spanning) altijd reëel is, moeten A" en B in de

uit-drukking

i = AeÀ1t + BeÀ2t

ook toegevoegd complex zijn.

of i

=

2ReAeÀ1t

De uitdrukking

I

= Ae À1t heeft dus alleen mathematische betekenis. Om de

fysische stroom te vinden moeten we (afgezien van de factor 2) het reële deel

nemen.

Stel nu, we hebben een (mathematische) stroom

met À = a + jw

We noemen dit de complexe frequentie.

I is een complex getal, dus

I =

111

e ja

Dus

Het reële deel hiervan is Re(i) =

111

eotcos(wt + a) en dat is de meest

algeme-ne vorm van een fysisch optredende uitdempende sinusvormige trilling. Is nl.

a

<

0 dan krijgen we de volgende figuur:

, / /

--

t Is a

>

0, dan wordt de amplitude steeds groter.

Is a = 0, dan blijft de amplitude constant. Dan is À = jw de 'klassieke'

fre-quentie.

Natuurlijk kan ook w = 0 zijn, dan hebben we een gewone e-macht, zoals

bij eerste orde systemen.

We laten nu de stroom i = Ie Àt door een spoel Lvioeien.

Dan is de spanning u

=

L

m

=

ÀLIeÀt

=

UeÀt

Dus U

=

ÀLI of U

=

ZI met Z

=

ÀL.

Voor a

=

0 (dus À

=

jw) vinden we de complexe impedantie Z

=

jwL.

I

Evenzo vinden we voor een condensator Y = ÀC of Z = ÀC'

We vinden zodoende comple'oe spanningen en stromen met complexe

-- --- - ---~- -~~ -

-25

Voor deze mathematische spanningen en stromen blijven de wetten van Kirch-hoff geldig, immers als

met k = I, 2, .. . , n.

Dan is Dus

en i - I eÀ.t

k - k

Op dezelfde manier vinden we de geldigheid van de spanningswet van Kirch-hoff voor complexe frequenties.

Eveneens blijven geldig de afgeleide wetten, zoals maasmethode, spanningsde-ling, impedantie van een serieschakeling enz., enz.

Voorbeeld 1

L

c

R

Bepaal de impedantie als functie van de complexe frequentie À.

Oplossing: I Z = (ÀL

+

R)

XC

ÀL

+

R

+-..l.

ÀC ÀL+ R

Een dergelijke uitdrukking stelt ons in staat de KV van het netwerk te vin-den.

Immers per definitie is Z =

~

=

-jL,

waarin U de spanning over en I de stroom door de poortklemmen is.

Veronderstellen we nu open klemmen, zoals getekend, dan is I

==

O. M.a.w. uit TI = NU volgt NU = O.

D.w.Z. er is een spanning U =I=- 0 mogelijk, als N = O.

Dus de vergelijking N = 0 geeft de voorwaarde voor het ontstaan van vrije trillingen aan de klemmen.

Voorbeeld 2 Z=À+4+2. À + u

_u

of = -1

~

______ T-,

SF

Dus de KV van het netwerk voor kortgesloten klemmen is À2 :t-4À + 5 = O.

Men dient steeds na te gaan of de graad van de aldus gevonden KV inderdaad gelijk is aan de orde van het netwerk. Is dit niet het geval, dan faalt deze me-thode.

Voorbeeld, waarbij deze methode faalt.

. 2 À

+

2 We vmden Z = 1 +

X

= À -+ U == 0 dus de KV is À + 2 = O.

I

1F 1>-_ _ _ _

T

1F

De KV is van de eente graad, het netwerk is echter van de tweede orde. De juiste KV is À(À

+

2) = O.

Een sprekend voorbeeld is een netwerkje van Zobel:

We vinden:

Z = (4À + 2)(2 + I//-..) = (4À + 2)(2À + 1) 4À + 4 + I//-.. 4/-..2 + 4/-.. + 1

- - - --- - - ---~---

-27

dus Z = 2D.

We vinden hier een nulde graads-KV, terwijl de orde van het netwerk twee is!

De hierboven geschetste methode ter bepaling van de KV zullen we de

immit-tantiemethode noemen. (Immittantie is de verzamelnaam voor impedantie en

admittantie). Het behoeft geen betoog, dat de KV Lp.v. met een impedantie-berekening eveneens met een admittantieformule gevonden kan worden. Let daarbij op de rol van teller en noemer en op de betekenis van open en kort-gesloten klemmen.

We nemen als voorbeeld het schema van par. 7 ..

We vinden Y =.ÀC + __ I _ = À 2 LC + ÀRC + I ÀL + R ÀL + R 1 T

-U N

Open klemmen betekent I = O. Dus TU = O.

De KV is dus T = O. Dus À 2 LC + ÀRC + I = 0 is de KV.

De theorie van de toestandsvergelijkingen Czie par. 26) geeft een methode, waarbij steeds de juiste KV wordt gevonden!

9. De beginvoorwaarden

We vervolgen nu het betoog van par. 7. Is de structuur van een netwerk wat ingewikkelder, dan is het vinden van de tweede vergelijking in A en B moei-lijker. Voorbeeld 1V 25H BV schema voor t

<

o.

8V 'C 3V Hl loF

Gevraagd uC(t) voor t ;;. O. We vinden:

iLCO+) = iLCO-) = IA ucCO+) = uc(O-) = - 3V.

De immittantiemethode levert op Dus 1/4À Z=2SÀ+1+1/4À lOOÀ2 + 2SÀ + 1 U Z = 4À + 1

Kortgesloten klemmen, dus U

==

O.

De KV is dus 100À2 _{+ 2SÀ + 1 = O. Wortels: À}

1 = -1/20, À2 = -115.

Dus u

e = Ae- t/

20 _{+ Be-t/}s _{+ 8. De laatste term is een particuliere oplossing} (t + 00).

Invullen van de beginvoorwaarde voor u e : -3 = A + B + 8.

Om de beginvoorwaarde voor i_L in te voeren, beschouwen we het netwerk voor t = 0+. 25H 1A I.A 3A 4F 3V + + 8V 10 Schema op t = 0+. We vinden (ie)t=o+ = 4A

Nu geldt algemeen ie

=

_{pCue dus in het bijzonder (dd}ue) +

= 1.

t t=O

Uit de algemene oplossing volgt pUe =

-10

Ae-t/20 -

§

Be-t/s Het bovenstaande ingevuld levert op:

1 = -A/20 - BIS Hieruit volgt A

=

-8 en B

=

-3. Daarmee wordt de totale oplossing:

U

_c

= _8e- t/20 - 3e-t/ s

+

8V

Uit dit voorbeeld is duidelijk, dat het vinden van de tweede vergelijking in A en B lastig is.

Het vereist enige oefening om deze vergelijking te vinden.

Merk ook op, dat we in bovenstaand voorbeeld hebben gezocht naar Uc-Daarmee geeft de eerste vergelijking in A en B geen probleem. (Ook iL zou een goede keuze geweest zijn).

- -- - --- --~-- -- - - ---~- -~

29

mogelijk op betrekkelijk eenvoudige wijze de waarde van deze afgeleide funk-ties op t = 0+ te bepalen.

10. De continuïteitsstelling

We bespreken eerst enkele begrippen.

Als we spreken van continuïteit, bedoelen we het al of niet continu zijn van een condensatorspanning of een spoelstroom op t = O. Een funktie is conti-nu op t

=

0 als de waarden van die funktie dezelfde is op t

=

0- en op t

=

0+.

Is de waarde op t

=

0+ ongelijk aan die op t

=

0-, dan spreken we van discon-tinuïteit. De funktie vertoont dan op t = 0 een sprong.

fit)

t

..

tal

I

continu

~

discontinu

~

Onder een snede verstaan we een zodanige verzameling van takken in een

net-werk, dat na verwijdering hiervan het netwerk in twee losse delen wordt ge-splitst, terwijl na het weer aanbrengen van één tak uit die verzameling het netwerk weer samenhangend wordt.

Stelling.

In een netwerk bestaande uit weerstanden, spoelen, condensatoren, schake-laars en bronnen met continue*) sterkte geldt, dat

a. de condensatorspanningen continu zijn, alleen van die condensatoren, die geen lus vormen met maakcontacten, waarbij de bronsterkten nul zijn ge-maakt;

b. de spoelstromen continu zijn, alleen in die spoelen, die geen snede vormen met verbreekcontacten, waarbij de bronsterkten nul zijn gemaakt.**) Met nadruk wordt erop gewezen, dat uit bovenstaande stelling niet volgt, dat de spanningen van condensatoren in een lus met maak contacten discontinu zijn (evenzo stromen in spoelen in een snede met verbreekcontacten).

Ter illustratie van de stelling volgt onderstaand schema, waarin reeds alle bron-sterkten nul zijn gemaakt. Is daarin een condensatorspanning continu, dan geven we dat aan met het teken '!'. Is continuiteit onzeker, dan gebruiken we '?'.

*) Is een bronsterkte niet continu, dan kan men deze vervangen door een bron met con-tinue sterkte en een schakelaar.

**) Het bewijs van de stelling is gegeven op blz. 579 e.v. van het tijdschrift 'International Journalof Electronics' van 1971.

?~

? ?

Een zeer eenvoudig voorbeeld is het volgende netwerlçje:

u

Het is volgens de continuiteitsstelling niet zeker of U_{c continu is. Deze} zeker-heid wordt pas verkregen, als we de beginvoorwaarde kennen.

Is uc(O-) =1= U, dan is de condensatorspanning discontinu. Is uc(O-) = U," " "continu. Een ander voorbeeld is:

+ u

Het optreden van de weerstand in het netwerk betekent, dat we met zeker-heid kunnen zeggen, dat U

c continu is, ongeacht de beginvoorwaarde. Inspectie van alle voorgaande uitgewerkte vraagstukken leert ons, dat we in-derdaad steeds met continue condensatorspanningen en continue

spoelstro-- - - --- - - -

-men te maken hadden. Opmerking.

Als u_e continu is, behoeft ie nog niet continu te zijn!

•

.

t

~i ~ dU

_e

i = C

-e

dt ue is continu

11. De stootfunctie

31 ie is discontinu

Een discontinue condensatorspanning heeft een oneindige condensatorstroom tot gevolg:

We noemen het optreden van een dergelijke zeer smalle oneindig grote funk-tie de stootfunkfunk-tie (ook wel deltafunkfunk-tie).

We gaan deze funktie nader onderzoeken. Daar toe beschouwen we onderstaand netwerk.

+

u

i - Jl e-t/RC

-R

Houden we nu U en C constant, terwijl we R steeds kleiner maken, dan wordt de top steeds groter en de tijdconstante steeds kleiner:

u R kleine weerstand grote weerstand \ ' ,

--...;:::----Tl = Rl C T₂ = R₂C Als R "* 0 ontstaat de stootfunktie.

We berekenen de oppervlakte van de figuur.

Deze is fidt

=

f~

e-t/RCdt

=

!te-t/R<::--RC]

=

CU

=

Q waarin Q de lading

o 0 0

van de condensator is. Opmerkelijk is, dat de oppervlakte onafhankelijk van Ris!

Voor R"* 0 is

R

"* 00.

We schrijven nu i

=

CU RIC e- t/ RC

=

CUae-at met a

=

RIC Definitie stoot funktie :

o(t) = lim ae-at a-+~

(In de literatuur zijn nog andere definities in gebruik). Voor R"* 0 is i

=

CUo(t).

De oppervlakte van CUae-at tussen 0 en 00 is CU, dus de oppervlakte van de

stootfunktie is 1.

Populair gezegd is o(t) nul voor alle t, behalve voor t = 0+, daar is hij onein· dig groot.

Een stootfunktie ontstaat, als er een lus is van spanningsbronnen, maak con-tacten en condensatoren en de som van de condensatorspanningen op t = 0-ongelijk is aan de som van de bronspanningen op t = 0-. (Op soortgelijke wij-ze de duale regel).

De dimensie van 0 (t) is TIJD -1 .

Tot dusver was t = 0+ de ondergrens van onze berekeningen. Is er sprake van een stootfunktie dan moet deze worden toegevoegd aan de algemene oplos-sing.

t g j-n Voorbeeld 1. L + u c R De karakteristieke vergelijking is ÀL + R = 0 Gegeven i_L (0-) = 0 en uc(O-) = 0 33 L R

schema voor vrije trillingen

We vinden voor de totaalstroom i = Ae-Rt/L +

~

+ CUo(t) A.

Voor t

<

0 is het netwerk van de tweede orde. Door het sluiten van de scha-kelaar wordt de orde verlaagd tot één. De nulgestelde bronsterkte sluit dan de condensator kort. Voorbeeld 2. + 1H 6V + 2F Uc 20

Gegeven: de bron is een gelijkspanningsbron. Verder is gegeven:

We lezen af:

i1(0-) = 4 A uC(O-) = I V

iL (0+) = 4 A volgens de continuileitsstelling. uc(O+) = 6 V spanningswet van Kirchhoff op t = 0+. Gevraagd iet) voor t ;;;. O.

Oplossing:

De KV is À. + 2 = O. Wortel À. = -2.

Een particuliere oplossing (t + 00) is 3 A. Verder is de condensatorspanning discontinu. De toegevoerde lading op t

=

0 is CU

=

2·5

=

lOC.

De totale oplossing wordt derhalve i = i_L

+

ie met i_L = Ae-2t

+

3 en ie = 100(t).

i_L (0+)

=

4

=

A + 3. Hieruit volgt A

=

1. De totale oplossing is dus:

i = e-2t

+

3

+

100(t) A.

12. Onderzoek van schakelverschijnselen met de

methode van Laplace

Bij het onderzoek van schakelproblemen was het tot dusver steeds noodzake-lijk bij het oplossen van differentiaalverschijnselen, die het systeem beschrij-ven, te beschikken over de condensatorspanningen en de spoelstromen op het tijdstip vlak ná het schakelen (t = 0+). Vaak zijn echter deze spanningen en stromen in' eerste 'instantie bekend op het moment vlak vóór het schakelen (t = 0-), zodat een onderzoek naar de waarden op t = 0+ nodig was. Vaak kon men gebruik maken van de continui'teitsstelling. De grote moeilijkheid was het vinden van voldoende vergelijkingen om de integratie constanten op te lossen, uitgaande van de gegeven beginspanningen van de condensatoren en beginstromen van de spoelen. Deze moeilijkheden kunnen worden ondervan-gen, als wij gebruik maken van de transformatie van Laplace. Het blijkt daar-bij mogelijk direct in iedere maas- of knooppuntsvergelijking de beginvoor-waarden op t = 0- bij te voegen, zodat zelfs de bepaling van de waarden op t = 0+ niet nodig is. Verder is een aparte bepaling van een particuliere oplo s-sing (bijvoorbeeld de stationaire toestand) overbodig. Bovendien blijkt deze methode zich bijzonder goed te lenen voor de berekening van stootfuncties en verschijnselen, die bekend zijn onder de naam complexe resonantie. Een nadeel van deze methode is van didactische aard. De oplossing kan ont-aarden in een mathematische routine, waarbij het gevaar bestaat, dat het fy-sisch inzicht onvoldoende ontwikkeld wordt. Vandaar, dat begonnen werd met de directe oplossingsmethode. Tenslotte wordt opgemerkt, dat derde en hogere orde netwerken bijna niet met de directe methode kunnen worden op-gelost. Ook hier wint de methode van Laplace het, hoewel dan mede bestu-dering van de zogenaamde toestandsvergelijkingen zinvol wordt.

Deze methode wordt later behandeld.

Definitie. Aan een tijdsfunktie f(t) wordt een funktie van s toegevoegd volgens de formule

~

F(s) = Je-st f(t)dt

0-We noemen F(s) de laplacegetransformeerde van f(t).

--

-

- - -

-

1-35

We zullen in het vervolg een kleine letter voor tijdsfuncties en een grote let-ter voor s-funkties gebruiken, dus

i

-De sprongfunctie van Heaviside E(t). -Deze is gedefinieerd als volgt: , (t)

Î

-

t

E(t) = 0 voor t

<

0 E(t) = I voor t ~ 0

(soms kiest men E(t)

=+

voor t

=

0.)

Berekening met de definitie-integraal levert op E(t)

"*

t.

De sprongfunctle maakt het mogelijk een functie, die voor t

<

0 nul is en voor t ~ 0 een bepaalde vorm heeft, mathematisch te beschrijven, bijv. E(t) sin cut is nul voor t

<

0 en is sin cut voor t ~ O.

Omdat we toch in verreweg de meeste gevallen de functies voor t ;;;, 0 beschou-wen, zullen we meestal de factor E(t) weglaten.

Met nadruk wordt erop gewezen, dat de min in 0- essentieel is. Het houdt in, dat we de beginwaarden op t = 0- mogen hanteren. Men ,kan bewijzen, dat we het netwerk mogen oplossen voor t;;;' 0, terwijl we in de basisverge-lijkingen toch de beginwaarden op t = 0-mogen invullen!*

Deze bel~ngrijke eigenschap maakt het onnodig de waarden op t = 0+ apart uit te rekenen.

De wiskunde levert een grote verzameling van transformaties f ... F, voor de schakelverschijnselen is de tabel op de volgende blz. voldoende.

Toepassing op netwerken: + e>--"':""'_,

u L

voor de spoel geldt di

u = L dt" Laplace-getransformeerd:

voor de condensator geldt i = C

~~

. I = sCU - Cu(O-) of

U =

-L

I + u(O-)

sC s

Let op het +-teken en op de noemer s.

*) Het bewijs is in 1971 geleverd door prof.dr. K.M. Adams (TH Delft, afdeling Elektro· techni~k. vakgroep Netwerktheorie).

+0---:"---u R

Laplace-tabel

tijdgebied f = f(t) l. af 2. afl + bf2 3. foe-at 4. e(t - a)f(t - a) 5. df dt 6. d 2 _f de 7. tof 8. eet) 9. t n n! 10. e- at Ilo sin wt 12. cos wt 13. ö(t) 14. lirn sF = f(0+) s ... ~ 15. lirn s+oo

voor de weerstand geldt u = Ri U = RI F(s) = Je-st f(t)dt 0- . s-gebied F = F(s) aF aFl + bF2 F(s

+

a) e-asF(s) sF - f(O-) S2 F _ sf(O-) _ (df ) dt t=O-1 dF ds sn+l w

~ ~ - - -

-"

+ o----'-+~

•

Voor twee gekoppelde spoelen geldt: dij di₂ uI = LI

dt

+ M(ït

UI = SLlII - Llil(O-) + sMI₂ - Mi₂(0-) U₂ = _{sMI j} - Mil (0-)

+

sL₂]2 - L₂i₂(0-)

Voor de transformator geldt:

i_l + ni₂ = 0

U₂

UI

=;-37

Zijn de beginvoorwaarden nul, dan geldt voor de spoel U = sU en voor de condensator I = sCU.

Rekenen in het s-gebied is dan isomorf aan rekenen met complexe groothe-den met jw + S (behalve de waarden van de bronsterkten).

Men noemt sL de impedantie van een spoel in het s-gebied, sC is de admlttan-tie van een condensator in het s-gebied.

De spanningen en stromen als functie van de tijd in een netwerk met schake-laars ondergaan geen verandering, als we de continue bronsterkten vervangen door bronsterkten, die op t = 0 actief worden - dus met de factor E(t) - , mits we de door de continue bronsterkten bepaalde beginvoorwaarden van spoelen en condensatoren hanteren. Deze regel krijgt betekenis in netwerken,

waarin een spanningsbron niet in· serie met een maakcontact, resp. een stroom-bron niet parallel met een verbreekcontact is geschakeld.

Bij het oplossen van netwerken met de methode van Laplace dient de volgen-de procedure te worvolgen-den gebruikt:

Procedure.

a. Bepaal alle iL(O-) en alle uc(O-).

b. Beschouw het netwerk voor t

>

0 en veronderstel, dat alle bronnen op t = 0 ingeschakeld worden.

c. Noteer de vergelijkingen van het netwerk (tak-, maas-, resp. knooppunts-vergelijkingen) in het s-gebied met inbegrip van alle iL (0-) _{en u c} (0-).

d. Los de gevraagde stroom of spanning op in het s-gebied.

e. Splits de gevonden formule in basisvormen en zoek in de tabel de

tijdfunk-tie.

We zullen nu een aantal voorbeelden behandelen.

Voorbeeld 1.

~

c uc

u

De bron is een gelijkspanningsbron. Gegeven is verder uc (0-) = 0 V.

Gevraagd uc(t) voor t ~ O. Oplossing.

De beginvoorwaarde is nul, we mogen daarom direct de formule voor span-ningsdeling toepassen:

I/sC U

Uc = R'+ I/sC

U

I + sRC s

Immers de gelijkspanningsbronsterkte wordt getransformeerd

~

_s

De laatste vorm moet gesplitst worden,

A

B

U_c = U( -sR-C-+-I +

s)

Dus moet 1

==

As + sBRC + B dus 0 = A + BRC en 1 = B, Daaruit volgt A = -RC dus

I RC 1 1

U_c = U(-s- sRC + 1) = U(s--s...,..+..:..,l .... /RO:-C",..) Terugzoeken in de tabel levert op

Voorbeeld 2

We nemen hetzelfde schema als in voorbeeld 1, maar nu met een niet nul zijnde beginspanning ue(O-) van de condensator.

39

Daarom mogen we nu niet de formule voor spanningsdeling gebruiken. Er is maar één maas en daarvoor geldt de spanningswet van Kirchhoff.

~

= RI + Oe

Voor de condensator geldt per definitie

Eliminatie van I levert op

Na breuksplitsen en terugtransformatie vinden we:

Voor ue(O-) = 0 vinden we weer de uitkomst van voorbeeld I.

Voorbeeld 3 Oplossing. 2H 3fl uj = 12 V gelijkspanning u₂ = 5cos2t

Gevraagd iet) voor t ;;;;. O.

De begin voorwaarde is i(O-) = 4 A.

5s S2 + 4 = (2s + 3)1 - 8 Hieruit volgt: 5s 8 1= 2 + -- -(s + 4)(2s + 3) 2s + 3

I

Voor de eerste term schrijven we As + B C

+

-S2

+

4 2s

+

3

Opmerking:

De tellerpolynoom moet steeds één graad lager zijn dan de noemerpolynoom. Dus Dus Hieruit volgt: Dus Voorbeeld 4 + 12V Oplossing. Ss

==

2As2 + 3As + 2Bs + 3B + Cs2 + 4C 0= 2A + C 5 = 3A

+

2B 0= 3B + 4C 3

A=-5 8 B=S

C=-s

6 3 8 6 SS

+ 5

5

8 I = + -S2 + 4 2s + 3 2s + 3 3 s 4 2 34 I . I I = + + -5 s2 + 4 5 S2 + 4 5 2 s +.l 2

i =

1.

cos 2t +

~

sin 2t +

l2e-

3t/2 A voor t ;;. O. (zie par. 3) 5 5 5

Gegeven: i(O-) = 2 A

uc(O-) = 6 V

de bron is een gelijkspanningsbron. Gevraagd:

U

_c

voor t ;;. 0, als op t = 0 de schakelaar wordt gesloten.

12 6 6

- = (s + 5 + -)I - 2 +

Hieruit volgt U

=.!.l

_1_ +

&.

e s s+2 s Na breuksplitsing vinden we Dus U

=..!1

_

_

6 _

e

s s

+

2

U

_c

= 12 - 6e-2t _{V voor t ;:;;. O. (zie par. 7)}

Voorbeeld 5

25H

10

Voor de bron geldt:

u 1 = 0 voor t

<

0 u₁ = 8 V voor t ;:;;. 0 8V~---Verder is iL(O-) = 1 A ue(O-) = -3 V. Gevraagd U

_c

voor t ;:;;. O. Oplossing. 8

S

= 25sI_L - 25 + U

_e

IL = U

e

+ IC Ic = _4sUc - 4·- 3 Uitwerking levert op:

U =~_ 160

c

s 20s + 1 Anders geschreven: 15 Ss + 1 8 8 3 U

_e

= -- - - -s s+--.L s+.!.. 20 5

U

_c

= 8 - 8e-t/20 _{- 3e-}t/S _{V voor t ;:;;. O. (zie par. 9)} 41

Voorbeeld 6

+

4A

t

u

De bron is een gelijkstroombron.

Op t = 0 worden beide schakelaars geopend. Gevraagd u(t) voor t ~

o.

Oplossing. We lezen af Verder Hieruit volgt Voorbeeld 7 i(O-) = I A uc(O-) = 3 V 4 I 3 U = - (2s + 1 + - ) - 2 +-S 3s s

U=6+1+~

S 3s2 4t u = 6ö(t) + 7 +

3

V voor t ~ O.

•

3H

De bron is een gelijkspanningsbron.

i₁ (0-) = 0 A en i₂(0-) = 0 A.

10

Oplossing.

0= 251₁ + (100 + 35)1₂ - 2i₁(0-) - 3i₂(0-) U₂ = -401₂

Invullen van de beginvoorwaarden en oplossen van U₂ levert:

I I D2 = 40( s + 20 - s + 100) dus u₂ = 40(e-20t _{- e-100t ) V voor t;;' O.} Voorbeeld 8 20

"9

L -_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~---~

De bron is een gelijkspanningsbron. Gevraagd: i( t) voor t ;;. O.

We lezen af uit het schema u(O-) =

t·

6 = 2 V

Verder zien we u(O+) = 6 V, maar dit resultaat hebben we niet nodig. We vinden

.2.=-L

I

+~

s 2s I S

i=I

_s 2 1 = I, + 1₂ Hieruit volgt 1 = 8 +

~

s Voorbeeld 9 dus i = 80(t) + 6 A voor t ;;. O.

De bron is een gelijkstroombron. Op t = 0 wordt de schakelaar omgelegd. Gevraagd: bepaal u(t) voor t ;;. O.

t

2A 30 Oplossing. We lezen af i_L (0-) = 2 A en u(O-) = 6 V Verder I_L = -Ic U =

(1s

+ 3)I_L --}·2 U=.!2 I

+~

s c s Hieruit volgt: 6s + 2 U = S2 + 6s + 34 1 î7F ie +

De wortels van de nulgestelde noemer (de polen van de funktie) zijn complex: À1,2 = -3 ± Sj

Hoewel de oplossing nu formeel kan verlopen via breuksplitsen (er ontstaan dan in de oplossing complexe e-machten), is het handig een andere methode te volgen: schrijf de noemer in de vorm

Immers, de complexe polen wijzen erop, dat de tijdsfunktie gedempte sinus-en cosinusfunkties moet bevattsinus-en.

We krijgen aldus

U _ 6s + 2 - (s + 3)2 + 52

Splits nu in de teller s

+

a af:

U - 6(s + 3) 16

- (s + 3)2 + 52 - (s + 3)2 + 52

We krijgen zodoende

s + 3 16

U = 6 (s + 3)2 + 52 _{- 5} 5

Dus u = e-3_{t(6cosst - 15}6 _{sinSt) V voor t ;;;;0 O.}

13. Het bewij s van enkele

transforma

ties

Regel 5 van de tabel luidt

df .

Tt

...

sF - f(O-) Bewijs:

We nemen aan f(0+) =F f(0-), dus een discontinuïteit op t

=

O.

= [(0+) - [(0-)

+

[oe-st]

+

S

J

fe-~ ut

0+ 0+

waarmee regel 5 bewezen is. Regel 6 Bewijs: Uit volgt f .... F df ' - ... sF - f(O-) dt

Uit deze laatste volgt dus

d2f df

- d 2 ... s(sF - f(O-» - (-d )

t t

t=o-waarmee regel 6 bewezen is.

Het bewijs van regel 14 verloopt als volgt: Uit regelS volgt

Stel nu f = f(t) is begrensd voor alle t en heeft verder slechts één discontinu-iteit en wel op t = O. Dan is verder

I

~~I<

A (A> 0). Dan is Dus

Nu is lim

j

Ae-stdt = lim A = O. 0+ S + ~ s

s.-Dus

ofwel

dus

waarmee regel 14 bewezen is. *) We bewijzen tenslotte regel 15. Uit regel 6 volgt

Op analoge wijze als in het bewijs van regel 14 vinden we:

*) In feite is de stelling hier alle"'j bewezen voor reële s.

47

In de limietovergang s + 00 wordt het rechterlid:

Dus lim {S2 F - sf(O-)} = f'(O+)

s

-Hiermee is regel 15 bewezen.

Opmerking: het accent geeft hier differentiëren aan.

14. De beginwaardetheorema's

Dit zijn de regels '14 en 15 van de tabel en deze geven de mogelijkheid de functiewaarde en zijn afgeleide op t = 0+ te bepalen rechtstreeks uit de func-tie van het s-gebied, dus zonder eerst de tijdsfuncfunc-tie te zoeken.

In voorbeeld 2 van § 12 vonden we

u

= U + RCuc(O-) c s(sRC + 1) sRC + 1 dus _{lim sUc} = uc(O-)

s

-Volgens regel 14 is dit gelijk aan uc(O+), hetgeen volgens de continuiteitsstel-ling inderdaad het geval is.

We gaan nu eveneens voor dit voorbeeld regel 15 na,

S2 U + S2 RCuc(O-) - S2 RCuc(O-) - suc(O-)

- S2 RC + s sRC + 1

= S2 RC + S

De limiet hiervan voor s + 00 is

Differentiëren we de op par. 12 gevonden tijdsfunktie en stellen we daarin

t = 0 (= 0+), dan vinden we eveneens deze uitdrukking. We beschouwen nu voorbeeld 6 van par. 12.

7 4

U = 6 + + -s 3s2

Dus lim sU = 00, hetgeen overeenkomt met de onbegrensde waarde van de

s

-stootfunktie op t = 0+.

We beschouwen tenslotte voorbeeld 9 van par. 12. We vonden

6s + 2

U = S2 + 6s + 34

Dus lim sU = 6 = u(O+) = u(O-) (con tinuiteitsstelling)

s

-Verder vinden we: lim s -= lim s--{S2 U - su(O-)} = lim s + ~ 6s3 + 2s2 { - 6s} S2

+

6s

+

34 6s 3 + 2s 2 _ 6s 3 - 36s2 - 204s S2 + 6s + 34 = - 34.

Differentiëren we de op par. 12 gevonden tijdsfunktie, dan ontstaat:

du -3 16 . -3 .

dt

= -3e t(6cos5t -

'"5

sm5t) + e t( -30sm5t - l6cos5t) Op t = 0+ is dit -18 - 16 = -34 in overeenstemming met de hierboven

ge-vonden waarde.

15.

Superpositie

In het voorgaande werd steeds de invloed van de bronsterkten (de excitatie)

en de invloed van de begin-energieën op de gevraagde spanning of stroom (de

responsie) tezamen onderzocht.

Weliswaar werden bij de directe oplosmethode de homogene en de particulie-re oplossillg afzonderlijk beparticulie-rekend, maar de waarden van de integratieconstan-ten waren afhankelijk van de excitatie en de begin-energieën gezamenlijk. We zullen nu een scheiding maken tussen beide invloeden.

Omdat de beschouwde netwerken lineair zijn, mogen we het resultaat van

beide invloeden optellen (superponeren).

We maken in de eerste situatie de bronsterkten nul, terwijl we de responsie berekenen als gevolg van de begin-energieën (vrije trillingen). In de tweede

toestand stellen we de begin-t>nergieën nul en berekenen de responsie als ge-volg van de excitatie (gedwongen trillingen).

Samengevat: de responsie is de superpositie van de vrije en de gedwongen trillingen. Voorbeeld 1 2H + u

Gegeven is i(O-) = 4A, u = 5cos2t volt

Gevraagd iet) voor t ~ 0 als op t = 0 de schakelaar wordt gesloten.

49

We bepalen eerst de invloed van de beginenergie (we geven met een accent aan, dat dit een deel van de totale oplossing is):

2H

We vinden i' = 4e-3t / 2 A (vrije trillingen).

De invloed van alleen de excitatie, dus i(O-) = 0, is (dubbel accent):

2H

u

De karakteristieke vergelijking is: 2À + 3 = O.

Een particuliere oplossing vinden we met de complexe grootheden (dat is de stationaire toestand):

Dus

Op

i;' =

1

(3cos2t + 4sin2t)

i"

= Fe-3t / 2 + l..(3cos2t

+

4sin2t) 5

t

=

0+ is i"

=

0

=

F +

1.

5 Daarmee wordt

i"

=

-1

e-3t/2 +

t

(3cos2t + 4sin2t) A (gedwongen trillingen) De totale oplossing is de som van de afzonderlijke oplossingen:

i = i'

+

i"

Dus i = 4e-3t / 2 -

%

e-3t / 2 +

t

(cos2t + 4sin2t) A, voor t;;;' 0

dus i =

1

(17e-3t/2 + 3cos2t + 4sin2t) A, voor t ;;;, 0

in overeenstemming met het voorbeeld van par. 3 en voorbeeld 3 van par. 12.

Voorbeeld 2

u

De bronsterkte heeft het volgende verloop:

B V f

-Verder is uc(O-) = -3 V, iL(O-) = 1 A. Gevraagd: U_{c voor t ;;;, O.}

Maak de bronsterkte nul:

We vinden I~ - U~ = 4sU~ - 4'- 3

-U~ = 25 sI~ - 25

- 300s + 25 Hieruit volgt

U~

= 100S2 + 25s + I Maak nu de begin-energieën nul:

We vinden met Hieruit volgt u Uil = Z 8

c

Z + 25s s 1.. 4s

z - - -

_{- -l}

₊

I 4s

U~'

= 100S2 + 25s +

De som van beide uitkomsten wordt

8 s , uc " uc

u

=

U ' + U 11

=

-300s + 25 + 8/s 8 c C c 100s2+ 25s+ 1

in overeenstemming met voorbeeld 5 van par. 12.

160

205 +

51

15

5s + I

We hebben in het bovenstaande de superpositie geheel in het s-gebied geno-teerd. We hadden ook eerst in beide situaties Je tijdfunkties kunnen bepalen en daarna beide uitkomsten optellen:

16. De grootheden p,

À

en s

In de literatuur worden p en s door elkaar gebruikt. Daartegen is geen bezwaar, als men zich er rekenschap van geeft, wat de achtergrond is. In par. 6 heb-ben we onderscheid gemaakt tussen p en À. Nu hebben we de grootheid s le-ren kennen. Zowel À als s zijn in het algemeen complex. Beide worden geschre-ven als a ± jeu.

Voor een formule, waarin s voorkomt, moet men bedenken, dat terugkeer naar de fysische werkelijkheid plaatsvindt door een mathematische terugtrans-formatie. Voor À is dat niet nodig. De grootheid À is eenvoudig de exponent van een e-macht, die direct (weliswaar na uitschrijven) tot de fysische realiteit voert. Zijn de beginvoorwaarden nul, dan kunnen we À en s zonder meer door elkaar gebruiken.

In de beschouwing van de immittantiemethode hebben we breuken leren ken-nen, waarbij de teller en de noemer functies van À zijn. We zullen dit nu nader onderzoeken.

17. Polen en nulpunten

Van een tweeklemmennetwerk kunnen we de immittantie schrijven als een breuk, waarin de teller en de noemer funk ties van À zijn.

Een impedantie bijv. is te schrijven als

Dié waarden van À, waarvoor de teller nul wordt, noemen we de nulpunten

zI' z2' ... , zn van de impedantie Z.

Dié waarden van À, waarvoor de noemer nul wordt, noemen we de polen PI' P2' ... 'Pm van Z.

Dit houdt in, dat we Z als volgt kunnen schrijven:

waarin

Geven we in het complexe frequentievlak van À = a + jeu de nulpunten aan met het teken 0, en de polen met x, dan ontstaat het zg. polen-nulpunten-beeld (P-N-beeld).

-

---

- - - - -Voorbeeld dus 10

z

= (511.+ 1)' 1/411. 511. + 1 + 1/411.

z

= 511. + 1 2011.2 + 411. + 1 ~F

Er is één nulpunt en er zijn twee polen: Zl = -0,2 P₁•₂ = -0,1 ± 0,2 j.

Dit levert het volgende P-N-beeld op:

o I I I ~P2 A

I

w

-

G 53

De funktie Z is op de factor K na (die is in dit voorbeeld gelijk aan 1/4) uit het P-N-beeld te vinden.

Ook van een admittantie kan het P-N-beeld gevonden worden. Voorbeeld

Er is één pool PI

=

O. De nulpunten zijn zJ,2

=

± 2 j. Het P-N-beeld wordt dus

Door het ontbreken van weerstanden liggen de polen en de nulpunten op de imaginaire as.

Ook spannings- en stroomverhoudingen kunnen door een P-N-beeld gekarak-teriseerd worden. Deze funkties worden ook wel 'overdrachtsfunkties' genoemd.

Voorbeeld dus + 1H U1 20 U2 I/À H

=U

=

À

+

2

+

I/À I H = À2

₊

_2À

₊

₁ +

Er zijn hier geen nulpunten, terwijl de pool tweevoudig is:

PI,2 =-1

td.

Het P-N-beeld wordt

(2.)

-G

55

Zoals we reeds gezien hebben, is voor open klemmen de nulgestelde noemer van de impedantie Z van een tweeklemmennetwerk de karakteristieke verge-lijking, terwijl voor kortgesloten klemmen de nulgestelde teller van Z de ka-rakteristieke vergelijking is.

Dat houdt in, dat de polen van Z de vrije trillingen van het open netwerk aangeven, terwijl de nulpunten van Z de vrije trillingen van het kortgesloten netwerk karakteriseren.

We merken op, dat wel de vorm van de vrije trillingen, maar niet de juiste formule (bijv. van één of andere stroom of spanning in het netwerk) uit het P-N-beeld te vinden is.

Alleen als de beginvoorwaarden bekend zijn, is de juiste formule te bepalen.

18. Polen en nulpunten van laplacegetransformeerde

bronsterkten

Laplace-getransformeerde bronsterkten zijn in het algemeen breuken, waar-van de teller en de noemer funkties waar-van s zijn. We kunnen dus van zo'n funk-tie het P-N-beeld tekenen.

De funktie

~

heeft geen nulpunten en één pool, n.l. PI = O.

De funktie 2 s 2 heeft één nulpunt Zl = 0 en twee imaginaire polen s

+ w

Pt,2 = ± jw.

De meest optredende funktie is de gedempte harmonische trilling

e-at(A cos wt

+

B sin wt) met A, B, 0 en w> O.

De laplace-getransformeerde vorm is

Het nulpunt is negatief reëel. Het P-N-beeld wordt dus:

P1 ~- - ----e---~--_r---z; : I P2 x- --

-c;

19. Uitbreiding van het polen-nulpuntenbeeld van een

netwerkfunctie bij inschakelen van een bron

We sluiten op een tweeklemmennetwerk, waarvan de impedantie Z gegeven is, een stroombron aan, die op t = 0 werkzaam wordt.

Als de beginenergieê"n in het netwerk nul zijn, geldt voor de poortspanning in het s-gebied:

U = Z1

Z is dus een funktie van s, terwijl I de laplace-getransformeerde van de stroom-bronsterkte is, dus eveneens een funktie van s.

Dit houdt in, dat het P-N-beeld van de poortspanning U gevonden wordt uit het P-N-beeld van Z, uitgebreid met het P-N-beeld van 1.

Voorbeeld

+

t

u

Gegeven i = 5e(t) (begin-energieën nul) Dan is I =

i

met een pool in de oorsprong. Voor de impedantie geldt

!l1-z

= (Ss + 2)(1 + 1/4s) Ss + 3 + 1/4s

z

(Ss + 2)(4s + 1) (2s + 1)(10s + 1)

Deze funktie heeft twee polen en twee nulpunten.

Het totale P-N-beeld met inbegrip van de bronsterkte wordt dus:

-0.5 -O.I. -0.25 -0.1

ZI

=

-0,4 z2

=

-0,25 PI

=

-0,5 P2

=

-0,1 P3

=

°

De spanning U wordt

met K = 5.

Na breuksplitsing ontstaan de termen

A

c

en

s - PI s

57

d. w.z. de polen van het gehele systeem bepalen de vorm van de spanning u(t). We hebben reeds gezien, dat de polen PI en P2 van de impedantie Z de vorm van de vrije trillingen bepalen (deze zijn het gevolg van de aanwezigheid van beginenergieën).

Het superpositiebeginsel leert ons, dat de totale responsie u de som is van beide invloeden, m.a.w. de polen Pl en P2 in ons voorbeeld spelen twee keer een rol, n.l. één keer bij de vrije en éénmaal bij de gedwongen trillingen. We zullen nu het voorbeeld verder uitwerken en stellen daarbij: