Linear versus nonlinear approaches for the stability analysis of aluminium production cells
Pełen tekst
(2) ! "$#%" &('*)
(3) + ,,-/.10324#'65778 9;:<= ++ " >?@:!-BA! &DC:E9;F
(4) G HIJK&+ML '*
(5) " P
(6) ? N,Q SR* T Q "G &+U? 5778 N@O VXWY[Z]\_^ w qrZ. `_Za^cbedfbgYihjY[VXWY[Za\k^ \_lmlm^nho\kpoqrZsbutvhj^ b w \yxzWVXW w|{ \_Yr\_V { b}W@b~hjt \_VXdWY[Wd lm^hjcdfp w W*hjY poZ]V Vb. D,%,3. ∗ =. D=s K
(7) † 1 1@U¡ % † ¢ =£¤¥U † 1 ¥¦§3$
(8) ¨©¥. ††. ∗ ªU«¬=ª¯®¬±°K²!³K´,µ¶,²!°$´¡·¸E®,¹}º »¼º¾½E¿;À® $Á  ½EÀ;ÃÄSÅÇÆDȱÅDÉ«±¼ÊÆDµ!Ë¡µÌ/®@Í¡·ÏÎж,²!µ µÑÒÓÎÐÔ¾ÕÖ/×µEÎжÑTطٵ!Ë¡µ·ÔÚ²;º Û%µ·Ü/µEÎд*ݱԾ¶¡·Ôκ Ø· † ÆDÅ©¬±ÞªÆÉB®¡Å©²!°$Õڵ߫}ÎиÔÚ°$¶@ÎÐÕÚµàË¡µ!á=»â°$¶K¸Ùá±µ¸±Æ(ã@Îд,áÙáÏä!µ!áE® åçæ  è/º»éÎ$áÙ²EÎÐÕ® Á;Áëê À;ÀÓÆ(ã@ÎÐÒì,áÑ
(9) á´¡·Ñ
(10) ÞíÎз¶,µ;®*Í¡·ÏÎж,²!µ µÑÒÓÎÐÔ¾ÕÖ1îEÕڵܡ·ÔÚá ®¡ÕÚµÕ¾ÔÚµèK·Ùµ;®@°$··ÔÚ°$ÕÚáïÐݲ!µ·ÒÔÚ²!áEº µ¶¡ì/²;º Ø· †† ÄâÆD«kĬ=Í1®¡¹1»j½;½ ê ® Á Ã;Ã;¿;ÃÓÉÎÐÔ¾¶K¸Ñ
(11) ð%µEÎжÑ
(12) Ë¡µÑ
(13) ÞñÎд¡·ÔÚµ¶¡¶,µÓÆDµ!Ë¡µÌ/®¡Í¡·ÏÎж,²!µ µÑÒÓÎÐÔ¾ÕÖ4¸ã¡ÔÚµ··ò%º ¸Ù°$ÒÓÎ$áÔ¾¶,°Ý}ÎÐÕÚ²EÎжSº ²!°$Ò. ó ¡õ_öX¥÷4øíù|ú¯ûXüâýþÿ 3ÿ;þ
(14) Ðü ëý ÿ Ðü !" !#$ %&3ÿ;þ
(15) Ðü' ( ô ) %*+,+-. Ký!ÿ# Ðü/ÿ##) %/ 00ÿ %21'3 54;%6%4¡ 7'89;:=<+>95?@?BA@CDE<GFH:IJD%CK95LG<J8M%>%N<+>%MCOI%:PAQ2RTSVUHWYX[Z,\895CK<]:=95COI^A@C_I%?B`(a ¢ D :PA@CA@`(:b95?92Q5LVN<]?BMJR5ARcQ295?@?dRYAReIQ28#I%?@?95CD%A@CD
(16) \ON<%f+?95:gP7'89ef2I]R5AQh9!i+`#I%L$A<]C#ReI%N29YL@89
(17) UHWYX 9!i+`I%L$A<]C#RPA@C;\#I%N!Ijf5<]?BAQ[F)<]N5:&k'F)<]NL$lm<,A@:P:PARJQ5A$f+?9onm`A$>]R+gqpe:=<]CD,L 89sr]I%NtA<]`jRsCK<]C?BA@Ca 9!I%NtA@LVA92R;A@CuL@89 :=<+>95?dkv<]CK9HARw>%`9HLG<^L@89 :=<]rJA@CD^A@CLx95N@FIQ29 f595LVlm9295CuL@89HLVlm<no`(A$>]R+g 7'89yf2I]R5AQci+`92R5LVA<]CHL 8#I%LzC`:=95NtAQ!I%?R5A@:P`?{I%LVA<]C#R|Q2<]CL$N5A$f+`Lx9cLx<&RJ<]?Br%9eARcL@89eR5L$`>%M=<GFeL 89 R5L}Ijf+A@?BA@L$M~<GFL@89,Q295?@?{g 5C\ON95rJA<]`jRlm<]N2JR&#kh kelm98#I%r%9=>95r%95?<2\9!>wI%CO>A@:e\O?95:=95CLx9!> IeFt`(?@?BMCK<]C?BA@CK9!I%NI5\j\ON<+IQ28HLG<RJ<]?Br%9L 89&LVlm<]ano`A$>qU;WXbR5MJR5LG95:g[CTL 89<]L@895N|8#I%CO>]k :I%CMI5\j\ON<+IQ2892R"N295?BMT<]CEI;R5A@:e\O?BA [9!>Hr%95NR5A<]C<GFsL@899!i+`I%L$A<]C#R2khI%CO> ?BA@CK9!I%NPR5LIjf+A@?BA@L$M I%COI%?BMR5AR+g 7'89
(18) \ON92RJ95CLoR5L$`>%M Q2<]:e\#I%N92R"I%CO>H>%ARJQ5`jR2RJ92RL 89&N92R5`(?BL@R=<%f+LI%A@CK9!>qA@CL@89&LVlm< I5\j\ON<+IQ2892R+g. . ¨4;%¥÷46%4;
(19) ¥¨. |0ÿ+^ ÿ % ~ÿ)=j~+ + ýÿ% ! +3/1 Xÿ)(Bÿ !ëý!ÿ~!+ %ëý!ÿ~!-.+ ;~¡ý!+ v+ ýs+!,ýýx0 ) % w%; h 3¡/1 0ÿ+ ! , + %!ÿ%Bý,¢+ ý ÿ ! + ~ !£¤¥ üh Ký; ¦1 ¤1_ýv0O+! Ký V§j¨ ◦ © v % ,ý %#+"jvªÿ /«+ ý)3 ýý1 1ýv0O+! Kýüjÿý1 ý1#Yëý ÿ ,ý![ ý1 þ
(20) 1 21sÐÿ¡ý2 1ý!1
(21) %#v ÿ) %# ý!1/0
(22) %#v ¬ !/ -.'3¡/1
(23) ý1 h + cÐÿ#ëý!¤, %#~ ¤1¡ý!+ ý!1 %mý1#P-. ëý %3y/1s1/ÿ*ëÿ¡ý2 %+ ÿ# ¯ÿ% ý1&++ %Xýx0+ %{ 3y/1P1#+¤%1,ý! ÿ%o % v #® %w ý1T %Xýx0+ %{ 4m × 10m Bý6ý1v Ïý2 %#+qOëýþo+jý!1= v+ ! %/ÿ P %§ý!1v Ký1¢ý1#q ÿ+ % + 20cm I%CK<+>9PLx<Q!I%L@8<+>9v>%AR5L}I%CKQ29 ýx0+ %{ 3P/1#+ ! ýþ±ÿH -.# c %!P v + % 5cm !.¯+ëý!+Óýÿ/¡ý!+ °v %¤#ëý ± !+ Ký|jc ¡ý+ %j c5@ý! j+ëý!!²+!+¡ý! +3 /1 c+ ý! | T¡ý! %²ÿý!ÿ# hmý1#s | %# 5ÿ!v Ký!ÿmÿ%=ý1# Ký1(}v ý2 % ¡ý$ %%3´³¡ %¤|ÿ% !+ Kýÿ ¤ÿ%ý!1 v¡ý$ % v J %0#0+ %+µmý1# =21 % % ý!*+ ñý!1 ÿ}) % ,¶G ý % ý! ¸·¯ÿ%ý1+üO! Ký!+|þ
(24) ý1w v+!) !¤ÿ%ý!1"0 ÿ(+ ! c5¹+%3 ¥.
(25)
(26) ! "#$
(27) %& ')(+* , #-."&!-./0',#1)£3ÿ[vÿ!h#ëý2 ±ÿý1c Ïý %0ÿ+ ! Ðü/þoy!5 +}ýÿ32 ¨*ü © 1 0Bý546¡ %, +++ ý1!'3 Anodes. Bath. 1m. I. I Aluminium. 10 m. Cathode 4m. 78') :9';=< >@?) /0BA,C>
(28) '"D%' EA>"D>F AG-'HI'1J'"#/K1))/L "# M>NA ,-."#O ,P>F "#"Q. 1
(29) vÿ(#+ ¤ ÿ% ´+ + ýÿ% ! z++ z o c{¹+ý 0ÿ#+;3SRxvý!1/ÿÿ%þ[ / ¤Büâþosÿ+# ÿsý1P1j ÿ(# v + y %mý!1P= ¤ëý!«+ëý! +3UTP1 )s5ÿ0O+ &/ÿ##) %}ù|ú¯û vÿ(#+K % !aÿ%íý1cëÿ0 ¤6ÿ%©ý1 ýþÿ WVe )+:X@ýÿ%%+
(30) - ] ýÿ (þ
(31) ý1 ý!1àù ]@þo+#+-. Ký!ÿ /$ !Y2[Z6 3²/1/- Kýÿ %[Ðÿ#0"( ¯ý10\c1#^] $þ %ôý1P³¡ %0# %5G³ÿ+¡ý*|ÿ!+ 3_\csý!1 ÿý!1+1 %¼ü'= .;vÿ(#+ Yôý1" ý!+¸ Ký#! %! !0 ±H ) !*+! ÿ ¯ÿ%1ý1# Y ý!+;3/1& % ÿ1ý1 àþ±ÿ; ýÿÐÿ0 %ý1|/ÿ + %
(32) %H ) %
(33) 00ÿ %21+ ÿH vÿý1; ! v0 y %H!) Ïý ¯ý ý ) % %µý1#|ëý %'0 H ÿ ¤3 Rx`X(+ ýÿ%ba*ü©þmv0! !,ýXý1 ) %| %#^/ÿ##) %cvÿ(#+ ëü² ý!1vý!+ Ïý") !þo !3RxcX(ëý!ÿ;Bü/þoy + ÿvc.++ %'! !ý 3 e ;4 öX¥ ¦§¥é÷4@
(34) f Rxaý1|ÿÿ%þ
(35) ¤/üBþo&vÿ+éý!1&+ ý ÿ !
(36) ++ ¡.H 0 % 0'3gTçý1. e ¡ýÿ] /ÿý!+ ý!1 þ
(37) 1! !+ 0'3 ý1#h/ÿv % Ω = (0, L ) × (0, L ) × (0, h + h ) h h 1+ ¤1¡ýÿ % v #®$+ 0'3xÿ% ý1 y âý1¡ý1$ %2 ° ý[ %#1=1/ÿ*ëÿ¡ý22 %V3²/1ÿ;þm !¸$ %+6ÿ%ý1#" %/ÿ e 00ÿ !sýÿqO Kýc %#|ýÿv+¡ý !+{;ÐÿJ¯ý1& Ký1Kµ}ý1Óýþÿ eý1!ÿ%!|ÿJ|H s+ÿ% !+Hâÿ)]ý!1 Kýßý15;+¡ý !+{q± '3o/1¤%Ðÿëý! àý!1 %&ÿ ý1 ýþ±ÿ,ÿ+ Ðüý1P + %h %#sý1P + %! *++|ÿ%3| (0#) ² % hÿ¯ý!1 ¤Ðÿ%v ýq %!µ ü ü ü 3. d. Lx = 4m Ly = 10m h1 = 20cm h2 = 5cm. ¢ ¨©¥¨(
(38)
(39) ¨4,/ihkj^l 4Eö ¥/m14
(40) ÷_¦§¥÷©@ T&5;+ +! 6ý1/ÿ + %ùôú¯û vÿ(¡ôý!1 !ëýÿ'3e£Sÿ%vÿ!| ý2 % Ðü þmP ýÿn2oZ/ü¡¨6V3_TPÐÿ% ! +ý!1 Kýý!1 ýþÿ# y %"Ðÿ%,ý %#+Tsý!1P/ÿv % ü Ω = z0!+ !o %âÿJ%ü%þ
(41) 121 {( +y ,ýÿàý!1 /ÿv % ÿ(+0#+|jý1° % Ω $1!+ Týz! !+¤ýÿy % % ý!1//ÿv % ÿ+1,t 0s.6ý1/ Ký1; 1+) Tý!+ 1 Ω !5 +!+výÿ" °# 3/1#e Ïý+ ÿ%K+-. Ký!ÿ hþ
(42) 2,t ýý!+v /ÿ%(x v !ÿ %(ÿ! . d . 2. a.
(43)
(44) ! "#$
(45) %& ')(+* , #-."&!-./0',#1) µ. 2 1 ∂t u + u.∇u + ∇p − div(D(u)) = g + S curlB × B, ü Re1 Fr Ω 1,t 1 ∂t B + curl (curlB) = curl(u × B), Rm1 2M M M (∂t u + u.∇u) + ∇p − div(D(u)) = g + S curlB × B, ü Re2 Fr Ω2,t 1 ∂t B + curl (curlB) = curl(u × B), Rm 2 divu = 0, divB = 0, ∂ρ + div(ρu) = 0, ∂t G¥ þ
(46) 1+ #+/ ÿý!+ ý1
(47) ÿ+ ýx ü ý1
(48) 0+ ! ü ý1
(49) v %¤ ý[±+¼ ü ý!1Y ýz%+ ýÿ u p B T g+_ + ý+ % ÿ#o ¤ ý!1¤! J ýx ü
(50) % ý!1 ÿ ÿ;þ
(51) ¤ 1 T 3 D(u) = 2 ∇u + ∇u ÿ(}+# ! ÿ% %O#"! µ /
(52) /ÿ% /."O+ ρi U L , , η(ρi ) = %¤%ëý!
(53) /ÿ /."O+ ü Rmi = µ σ(ρi ) LU, $ëÿ0 ¤P0 % %ëý!+ ü B2 , S = µ ρ1 U 2 V£ ÿc."O+ ü U2 Fr = , gL $#+ ýx! Kýÿ ρ2 , M = , ρ1 þ
(54) 1+ +/ÿKý+ ý!1 !ýxyÿ%y ü ý1#( !ëÿ !ýx_ÿ%c# ü ρi > 0 i η(ρi ) i σ(ρ ) ý1Ðÿ% ý ýx ÿ[ ü ý!1=v %¤ ý 0O+v+ % ýx % ý1= %++ + ýÿ% ÿ%i i µ g ¤ )ýx%3e/1&- %¡ ý ý! ü !+ 0ë ý! +/ ÿKýX ý!1&21 % ý+Ï ý| ÿ+ýxü U B L = ¤ëý!Y±+ H ,+# ¤ ý] 1 ÿ%© ý1#| ¸ ýH3 /1 / ý!+® [ !0#0 + þ
(55) ý!1; ý! %ë ÿ ýÿ üâ ÿ% %¸|Ð ÿ# ý ÿ4 ÿ %6 ý ! ! ÿ%ë ÿ ý ÿ% (ρ(0, .), u(0, .), B(0.)) ∂Ω ý}ý!1y¡ K ý$ % 3z/1y ! ýx,K ý / 2] 1 ý1K ý [+-. % Σt = ∂Ω1,t ∩ ∂Ω2,t t=0 ρ(0, .) ýÿ P v ý!1e ý! % ! 0 ÿÏ ý +-.K ý! ÿ ÿ ý1
(56) ! ýx !2v 1 ý1 ýý1 z0 ÿ0O+Ï ýx ρ i ρ /0 i ÿ0 %¤K ý; ýh ÿvý!1K ý. Rei =. Ωi,t = {x ∈ Ω, ρ(t, x) = ρi }. £3ÿý1vâÿ# %¸ëÿýÿÐ ü4þmvýx0+ %{TÐÿ 0#!q 0ÿ %~Ðÿ%ý!ÿ# ÿ}ý1#y%+ÿ(ýx aý! %# ! ! ÿë ÿ ý ÿ m ÿ} ý!1y= ¤ë ý!e±+Kµ u · n = 0, ÿ ü ,a B · n = B 0 · n, ∂Ω 1 1 B−u×n ×n = B 0 × n, Rmi Rmi þ
(57) 1+ (ý1/# ýÿ* ýþ[ %vB ÿ!v %* ýÿ % (ý1/v %¤ ý m±+ ¤ÿ¤ý1/ÿ#( n Ω B %%3²/1 ± 0!Ð ÿ0B ý!+Pj5(0 + ý ý0 %.¤¡ ýÿh %+ë ÿ¡ ý1ý1#[Ð ÿ(±¤!K ý ÿ B0 ÿ%éý!1eëÿ ýÿ / % ÿv ý1h+ ²T þ
(58) 121= o6 ý++/ ÿ% !{v v 0 ÿÏ ý2 %¡ ýz ) ý¯ ÿ% ý!1 .
(59)
(60) ! "#$
(61) %& ')(+* , #-."&!-./0',#1)-. û +# !ýx e h !Ðÿ% !ýx ÿ © #ëý! ýx X(#$ %çý!+ ÿ. . [ ý1. ρ1 = 2300 kg.m−3 ρ2 = 2150 kg.m−3 η1 = 1.196.10−3 kg.m−1 .s−1 η2 = 2.558.10−3 kg.m−1 .s−1 σ1 = 3.5.106 Ω−1 .m−1 σ2 = 2.5.102 Ω−1 .m−1 γ = 0.5 N.m−1 7 "# 09.; ? O ,>"' '/: FA, -'HA,? ) ). 0 ëý ) % Ïý %'0#ÿ + 3 ý ý!1 ¡ý+¸$ %+ ü3þo&!-.Óý!1 Kýßý1yÿ+ýx; % Σ ý1yv %¤ ý e±+ ; %!yÿý1,Ðÿ%,ý!./ÿ# aý!1 Ký t.
(62)
(63) 2 2
(64)
(65) · n = −pId + · n, −pId + D(u)
(66) D(u)
(67) ÿ ü Ω1,t Re Re2 1
(68) Ω2,t Σt
(69) 1 1
(70)
(71) ×n= × n, curl(B) − u × B
(72) curl(B) − u × B
(73) Rm1 Rm2 Ω1,t Ω2,t $ . þ
(74) 1+ ßý1#XÿBýþm %w/ÿ!v %éýÿ 3Y/1± ýcëÿýÿH àý!1&ëÿ¡ý #ýx]ÿ%ý!1 n Ω ý!!+ c Ký ý1" ¡ý+¸$ %+Kü' %#|ý1& !+ëÿ1,t wëÿýÿ% àý1Ðÿ¡ý!.ýxaÿ%ý!1Xý %¤,ý! % Ðÿ0ÿ+¡ýßÿ%4ý1#|ëýh±'3 ³ëý° °/ÿ;þ¢5s+ +Oàý!1.++ %v ý1/ÿ þo ýÿ !!ëý!*&G¥ 3£² ý$ü vÿ!#+±ýÿ&#v & Ïý2 % 21+hëÿ0 ¤çý1 Ve )¸FX@ýÿ+ / ý!1ù *þo+ K- ] ýÿ Ðü*þm| ÿ{| Q2<]`\O?9!>sR5MJR5Lx95: Kýeý1# !!ëý!y%+Uü/þ
(75) ý1; %H %-. Ký (u, B, p) ý vtx !+ëý!*) ýÿ%ÿ%/ý!1oëÿ0 ¤eý!+! % 3 /1 0 ÿ(+ curlB×B curl(u×B) /"#21Hvÿ!c Ïý2 %#ý1 %aý!1y !¤!¤j Ký;%+ !ÿ%H0O Ký!¤sý+! Ký{ % 3 (u, p) B T^v !q ~R5L}Ijf+A@?B A ]9!>& CA@Lx9,95?95:=95CLYRx\#IQ29|ÿý1~ÿ6ý!1 Ve )¸FX@ýÿ+ "-. Kýÿ & % ý1Xù ]@þo+ - Kýÿ +3:T" +Ðÿ%¡ýeÿeý1#&0+ !+Xÿ%1ý1#vÿJ( ¤¡ý$ %jH % peNf+A@LVNI%Nt M
(76) 'IJD%NI%CD%A$I% C o`(?95NtA$I%CF)<]Nt:P`(?{I%L$A<]C3 & ;Ðÿ +-.+Kü1ý1vÐÿ0Bý Kýÿ % v !1=ÿ%ÿ;þ
(77) ý1e¡ý$ %%3 °ÿ±ý!1¯ý! !!ëý!*+ Kýÿéü¡þme21/ÿ*ÿ% !y RJ95:PA@axA@:e\O?BAQ5A@L o`(?95NhRJQ2895:=953!TÓþ±ÿ H %ýÿsv,ý!ÿý!1 Ký$ü 1/ÿ aý!1y+ % üý
(78)
(79) % ÿP+¸ Ký! %âýÿs#c !¸$ %+ý !ÿ;«+ëý! ]ÿ[ÿ" ýÿ%'3 \h#v!+ % !21v=1 % &O+¦0ÿJ%+¦ 2[Z6±ýÿ O= ý % =+!¤%/ÿ % ýÿ;5# % ý ~0+ +%íý1#=v % ! Óÿ%[+ %21^#'3/1 !v0ÿ0O+Ïý + Óÿ%/Ðÿ% ! Kýÿ^ + Ký! %Uü%*ý %!m+ ) ý±ýÿc+ !eÿ%s hÿJ¤ev !1'3/1s !}ÿ%0 % ý!+# % ¡ý! ý þ
(80) 1+#) % ¤çþ
(81) ý!1q Ïý2 %#ý + %#v !ëý!ÿ=++ ëü( ¯ÿ" Ïý[Oc % ýÿs !+ ýeOëýþo+w % ý %K01j( + %¡ Ïý2 % ý m ,#v!+ %' ý % ý!+ 3 /10 %! %v ý! ßÿ%1ý!1 Ïý %+ eý1 Ký+¡ý!+e ¡ýÿvÿYÐÿ0Bý Kýÿ
(82) %%µý!1 ¤Ðÿ%v ý]ÿ1ý1+ü3ý!10#1. ) ²0 %! %ëý! àÿ%1ý!1# e %ôý!1&ëÿ#±¤% Ký!ÿaÿ% ý1cëÿ#ëýÿ%! Y %ÿ%]ý1c+ ÐüBþ
(83) 1#21, / +,ÿ}ý1#|ëÿ0Bý2 ýÿ%ñÿ%4ý1cv %¤ ý ±+ ÿý!1~âÿ# %¸cÿ%Xý!1T++ 3 T^~¤{T ² ¥ % aÇý!1~01j( + % B0 0 %! %v ý! &# !+ ý1#q ! " ýÿ% yÿ;þy3cRx¦0! %ëý!+Küz ! +íþoqëÿ ! +6ý1 Ký&/ÿ Ký! ¸$ %ëýÿù|ú¯ûjý+ vÿ(#+ ¡ J % %# Óÿ%Ðÿ¡ý!5@ý$üþmo % ý! ± % Y %0 @ ý1c Ðÿ ýxÿ²+ %21;éü*ýx(0#) =j, "$ %ëýÿc¥J#3 ¢
(84)
(85) ¨4,/ e 3U¥*ö ö (4;, h j l ¦ ¥÷4@ ³ëý= =Bÿ%þ !!O 0ÿýÿýx0+ %
(86) ) % !1 %ÿ%þgþ[ Ký!+ñù|ú¯û vÿ(#+
(87) !¢j !5+! %( %Bý1Bÿ! ¡çý1#oëÿ¡ý5@ýDÿ%Bý!1o "# Ký!ÿÿ % v #_+ ý ÿ ! ¡++ ° !+J2a@ü *üO¨6 3z4ÿ !0 @ ý1y/ÿ% ) %m0ÿ#+ ¸¥ üBý1#yÿ%ÿ;þ
(88) ¤P % ! !#v'µ. d d. Z.
(89)
(90) ! "#$
(91) %& ')(+* , #-."&!-./0',#1)-. +ÿ(ýx. ù %¤%ëý!h± û ý %
(92) /ÿ /."O+ ù %¤ ý Y5(Bÿ
(93) ."O+ © ÿ0 ¤s0 %ëý!+ £ ÿy."O+ û+ ýx, ýÿ T+O+
(94) ."O+. v #. [ Ký!1. U = 0.1 m.s−1 B = 0.01 T L = 1m Re1 = 1.92.105 Re2 = 8.41.104 Rm1 = 0.44 Rm2 = 3.14.10−5 S = 3.46 F r = 10−3 M = 0.935 W e = 46. 7 )" ;P ? @'>FA,
(95) C A> ' '/K
(96) A, ' 1 J1)-'1 /:
(97) 1,#-.1"1 /g
(98) @ -H7A,?) E/g)"CBA#-.1 1 ) @'>FA,C>F ' H -. 1&)/:
(99) >" , M',-'1 A)? _%&C,>
(100) -.,[A OiC ,A,>
(101) '"#"Oi'/ )"# DS1 D #1^E-./K f>
(102) ', PA,? _8' @ %&[A O ' EA>
(103) '"#"O0 >
(104) D V³z¥ /1!y5( Ïý P ý2 ýÿ% %= ý Ký3 V³Sa /1Yëý! Ký!ÿ m %ÿ%íý!1 o ý2 ýÿ% %s Ïý2 Ký!h %e #¹+¡ý v !v % O ÿXý1 Kýý!1 ý % ýxvÿ%4ý1#|Bÿ ) [ ý!+ ) HOc ý!ôÿ%aý!1y#) %*+ ý!+;3 /¥ Rx#++H+!,ý!. ^\h1 $þ % c+¤%+ ý'3 u×B ga /1]ý v,! Ký! % ný!1 0 ý %[{«K!,ý! %/-. Kýÿkÿ% ∂t B B ¤ëý'3. ¸¥ . þ
(105) 1! /1hëý0ÿ#+ m ! v0# ±+ ! ¤Xý1#e$ %ëý±ý1 ý σ2 σ C σ 1 σC /ÿý eý1y) !ÿ mÐÿ#ëý! ýx%3. Z /1 ý ) %. v !ÿ ° 1+ ¤1¡ý 4ÿ% ý1" " % u!+ 0ëý! ! !v % Ðÿ%v0 !+výÿXý!1h1/ÿ%!*ëÿ¡ý2 % v !ÿ hþm J%+ +¤ý!1ÿ%ý1#e0O+ ý!! Kýÿ Ðü(1/ÿG *ëÿ¡ý2 %K+ ÿ# }ÿ%4ý1y+ 3 °¨ H ù 21 % ) % ! ! 0 Ký!ÿ @ !ëÿ !ýxü !¸$ %+ ý !ÿ %#+¤ +ëý!+ ÿ| %00 ÿJ( v Ký;j, P + %[ %0 ¤ ý!;3 !0Býÿ V³z¥ %#$³a !eý1Y+ !+ ÿ% %js + %! *) Ký!ÿ"0#ÿ++#!3 ! 0( ý ÿ |/¥ ýÿH°¨ %!c# !+aýÿs ! v0# @ ý!1y !0O++{±y+-. Ký!ÿ# Y#+
(106) ëÿ ! +! Kýÿ'3 4ÿ,+ ¤ý!1P ! v0 ±vÿ(ü¼þosÐÿ# !#+y 0 ý!! ýÿ%T %ÿ#~ , Ïý2 Ký!ÿ % ý Ký[ÿ1þ
(107) 1#21 ý1/ÿ+ýx&± z*+ÿ/ü. vý!1
(108) ¡ý$ %/ ý° %1/ÿ! *Ðÿ¡ý %3 /1 ý Kýÿ %¸!+¡ýs ý1+o % ý!1 ý Kýÿ %¸v %¤#ëý v± J 0 = −J0 ez +Bÿýqj 3 Rým+ %qO212%]ý!1 Ký " ÏýmOY !21ñý!1 Ký vÿ!#+±ý!1 B0 B0 ∂z B 0 = 0 ³ÿ!,ý!*|ÿ%!+ eýÿ|ÿý Kýÿ %V3²/1 /!+-. !Hÿeý1#| Ïý2 Ký!ÿ % ¡ý+¸$ %+ýÿvO KýY %#H1/ÿ%!*ëÿ¡ý2 %V3 Tc/ÿ;þ ëÿ ! +
(109) "0O+Ïý Ký!ÿÿ%4ý1# [ Ïý2 Ký!ÿ v ý2 ý%3 /1y + %! *++=0ÿ#+ o0âÿ +,ý1Ya&#+ ÿ OBÿ= 3 ³ëý/# //ÿ;þ_ ¡ýÿ ΩH = (O, Lx ) × (0, Ly ) ý1w0O+Ïý Ký!ÿyÿ%çý!1T¡ý$ %w0âÿ ý!ÿ ý!1w¡ý!+$ +w ñý!1. ,0 % v ý+*+ η j %§ý!1=0O+Ïý Ký!ÿoÿ%eý1#=+ + ý! Σ = {(x, y, h + η(t, x, y)), (x, y) ∈ ΩH } 0âÿKý+¡t ý! %
(110) ý1w 1 3 Rý =0ÿ ! aýÿ! % V ýq+ % ývÿ!v % üo !b2d¨@ü φ P?) '1)- ' , /0 !-H >
(111) ' , -'1 ¨.
(112)
(113) ! "#$
(114) %& ')(+* , #-."&!-./0',#1)1 %0Bý!+ 4 6 ÿ © /¥ °¨ µ. ¸¥ ý!1cÿÿ;þ
(115) ¤" 0{±+= ý!+. ÿ. (η, φ). 2 ∂φ ∂B 0,z ∂φ ∂B 0,z ∂ η 2 2 , − c ∆H η = c − ∂t2 ∂y ∂x ∂x ∂y η, −∆H φ = β ∂η ∂φ ∂φ = B 0,z ny − nx , ∂n ∂x ∂y ∂φ = 0, ∂n þ
(116) ý!1]ý!1cÿ ÿ;þ
(117) ¤"B ÿ(x#+ ÿ ."O+. ü## !#¤$³ ¥ $³a %. . ΩH. ü. Z ÿ. ∂ΩH. 3. V¨ (ρ1 − ρ2 )g T 2 J0 B 0 L 2 , β = . ρ1 ρ2 h1 h2 (ρ1 − ρ2 )g + h2 L 2 h1 ÿ%-. Kýÿ
(118) Z ² 00 X þ
(119) ý!1" ÿ[ 00ÿ%0! Ký°ý %Ðÿ%ý!ÿ# (ÿ η. c2 =. /1[ ¸( Ïý. . % ∂η 3 /1∂t m ý!+® Z # !! ý*+P & !0 %+/j& e !0O+ ý (ëý!1/ÿ(& % !¤ÿXý!1mÿ ÿ;þ
(120) ¤ +.qÿ" ýÿ%'µ ) %21Hÿ % !21aý1 ý$ü#ÿ
(121) % ü η φ ζ ψ Z Z Z 2 ∂ η ∂φ ∂φ ∂ζ ∂ζ 2 2 , B 0,z ∇H η · ∇ H ζ = c ζ +c − 2 E4 ∂x ∂y ∂y ∂x ΩH ΩH Z ZΩH ∂t ηψ. ∇H φ · ∇ H ψ = β ΩH. ΩH. . +. % /ÿv.ý!1y ÿ}) % ¤ )ý Kýÿ %Oÿ Y / !'µ. þ
(122) 1+. 2 fm,n (x, y) = p m,n cos L x Ly. . ∀m, n ∈ N2. ü. mπ nπ x cos y , Lx Ly. { % ü m 6= 0 n 6= 0 ÿ ü % ü 2 m,n = m=0 n=0 (m, n) 6= (0, 0) 2 3 1 (m, n) = (0, 0) 2 /1& #ëýÿ %Xý1&+¤%+jëýÿ%! ÿ%ý!1 Vv %mÿ0O+! Kýÿ % ! ÿ( Ký!+ fm,n −∆H 2 2 3 /1T0O+Ïý Kýÿ þ
(123) ý!1cý!1T+ ¤+j %#+ 2 5ÿ0O+ + nπ km,n = mπ η Lx Ly P 3 o#+Ðÿ%v0ÿ ! ¤ Çý!1 % ý!1 P ! µ η(t, x, y) = η (t)fm,n (x, y) φ % Ðüý!1qÿÿ;þ
(124) ¤H ý!+ÿ%m,n Y-m,n Kýÿ ¤ÿ üþ
(125) 1#+! ü ÿ%Bý2 % +Kµ η˜m,n η˜m,n = kηm,n m,n ü ∀(m, n) ∈ N2 \ (0, 0). 1√. d2 η˜m,n 2 + c2 km,n η˜m,n = c2 β dt2 þ
(126) 1+cÿ. X. (m0 ,n0 )∈N2. G(m,n),(m0 ,n0 ) η˜m0 ,n0 ü. (m, n), (m0 , n0 ) ∈ (N2 \ (0, 0)) × (N2 \ (0, 0)) m,n m0 ,n0 G(m,n),(m0 ,n0 ) = Lx Ly km,n km0 ,n0 m0 n(bm0 +m,n0 +n − bm0 −m,n0 −n + bm0 −m,n0 +n − bm+m0 ,n0 −n ). +n0 m(−bm0 +m,n0 +n + bm0 −m,n0 −n + bm0 −m,n0 +n − bm0 +m,n0 −n ) , 4. .
(127)
(128) ! "#$
(129) %& ')(+* , #-."&!-./0',#1) %éü(ÿ. (m, n) ∈ Z2. ü. bm,n. π2 = Lx Ly. Z. B 0,z sin ΩH. . mπ nπ x sin y . Lx Ly. V ÿý!àý!1 Kýo !#+ÿ%o ü ü m %= %¡ý vëý¸ m , n ∈ {−1, 1} bm m,n n = m n bm,n G ! c= Ký!! Kµ 3 0 0 ) = −G(m0 ,n0 ),(m,n) G /1. ëüý!1z (m,n),(m ý % ýxà,nÿ%' EZ %ÿ%¡ý ¼ýÿßý!1z !0O+ ý! %j % ! éÿ%@ý1zv Ký{ 2 ü c (K − βG) þ
(130) 1+ý1yv Ký+
(131) %!c t#Hjñý!1y/ÿ#c#+ ü %. # . (m, n) ∈ N2 \ (0, 0) K ý1P# %¤ÿ% %²v Ký!!{H5±^jOµ üéþ
(132) 1+ 2 K(m,n),(m0 ,n0 ) = km,n δ(m,n),(m0 ,n0 ) δ(m,n),(m0 ,n0 ) àý1,ý!ýx;v Ký{3JRx#++¼ü' e %+ ¤+#ÿÓÿ% 2 üK q ÿ Býÿ (λ, η) c (K − βG) ýÿ"EZ þ
(133) ý1 3 R ² ý ¡. ) %. ¸. 6 ý e ÿ 2 1 2 Ó ! ý 1 K. 4 ý ý 1 o ! + %. ( 0 %. ( ý % ÿ 0ÿ !ý % exp(−iωt)η ω2 = λ λ $ ¤ý1&$ ëýý!1 Ký c =!+ %² ¸vëý!!0âÿ% !ý! %&5±ý!"v Ký{H % e q!+ % K G %¡ý vëý!! /= Ký!! 3²/1!5ÿ!Kü#+ý1m 3ý1+ ¤+j %#+ =ÿ% 2 %e!+ % c (K − βG) %oý1 ý!+ y ý % üDÿ%çý!1+=t# ý! " %+¤%+j %¤þ
(134) ý1 ,/ÿ*+ÿ = %¤% %¸ 0 %ÏýY %]ý1y Ïý+® / Ïý2 % %3 43÷_%¥U
(135) U¨ ¢ 4$*54=6/ÐSøy4 e m¦ .4$3 ! ) Ïý ý+ Ïýh+ % !" ôý!1&ëÿ¡ý5@ýÿ %#v + +ëý!ÿ{ ! Y ßý1#ÿ ÿ;þ
(136) ¤32[46V3 +Ïý ) %¡+#!!¡ý !# àý!1ÿ%¤1]ý1çýþÿ +3o/1v %¤#ëý h±+ J 0 = −J0 ez B +!+ Kýwj|ý1# e!+¡ý %T v%+ ý!+ %²ëÿv0ÿ¡ýc e % ý! ± % q 0O+! v0ÿ + 0 J0 ýÿ 3 RxÇý!1 P ý Kýÿéüz %j ÿ + ýÿ% ÿ%àý1#¡ý$ % ýþm+ý!1ñýþ±ÿ~# " B0 ÿ +%+H]ÿ/.+) ' ! " ýÿ% c !+UX(ëýÿ;#3aPO+ÿ;þ 3 /1 ¤ý+ Ïý) % ; ÿ%e0# % ý+ %[ v0ÿ ý %q ! +, !#21kÿ + Ký!ÿ# ÐüDþ
(137) ý1 T0O+ÿ %#¤¤[ ÿ´ / ëþ¦ +ëÿ 06ýÿvÿ1ý1 %Óÿ .Bý!ü %!ÿ +¸+&y0 ëý + 2 ¥J6V3 /1 /0#1+/ÿ%v/ÿ; / %{q +!aýÿ= % c:=95LI%?#\#Ij>vN<]?@?BA@CD%3 /1o01j !+ %Bÿ%!¤%çÿ%ÿ% ¤/ ¤+! %{y5(0 &Óý1oý+! Ký#!o % ÿ ÿ;þ
(138) o$ + £²¤%!Ya 3 , ý! %Sý ý ¤ÿ
(139) Pÿ#¤þm )+ +¤Ký1, Ïý % +) Ký!+ Y P0 ý!!O+ +!,ýe3ÿ;þ Tþ
(140) 1+ ý!1&!+¡ýc ôý1#&+ þ
(141) 1 21 Yv %{q ý!) j = J − J0 J ý!1, Ký1E %#E1Bÿ! *Ðÿ¡ý2 [ ý!1; %# ) % ôÿ ý!1 ý!ÿ¤~{«K!+#+ÿ% + +ëý!! qÐÿ#ëý! ýx 3E/1#; ¡ý+! %ëý!ÿÇÿ ý!1 P!+¡ýþ
(142) ý1Çý1#,%+Ïý+ %[v %¤ ý ±+ =+ !#ý mq 1/ÿ! *Ðÿ¡ý %O³©ÿ%!+¡ý!*eÿ! üíý!1e#!ëý!ÿv0!0O+ + % F = j×B ýÿ 3 ÿ !-.+¡ý{ü¼ý!1& ¡ý+¸$ %+ÿý Ký +3 X( " ýÿ% }þ
(143) ý!1|ý1#&/ÿ##) %
(144) vÿ(¡ j © ý1Ðÿ(±¤! Kýÿþoc+ +Oh Ký±ý1¤#¤6ÿ%ý1 o + ýÿ%, %!q ¤!++¡ýþ
(145) ý1 ý1 /¡ý!0ëý Kýÿ~$ + 2#46 3. d . ¦ 4/UÐ¥¨4¤¥/4 e 4Eö ¥ ¦§¥÷©@U ¥ T !;/ÿ;þ E0âÿ ý!ÿÇýÿ~Ðÿ%v0 !]ý1;! !ý vÿBý2 þ
(146) ý!1ný!1ôýþ±ÿ^vÿ+ + +O+; %ÿ%%3 /1 þ
(147) Oc) %! +ÿBý[ñýþ±ÿ# «+!¡ý
(148) !ý! Ký!ÿ µ² 3X(+ ýÿ%,#3 ¥ü þm,-. %¡ý!ý2 ý %+{^ëÿv0 %!ñý!1q % ¤ÿ%àý1¤! )(ý2 Ký!ÿ %° +-.+ + Pÿ ý1#ñýþÿ ÿ % bX(ëýÿ¦#3a*üDþoq-. % ý Ký{+{wÐÿ%v0 !ý!1q+ !#ý §ý!1=ëý %°0 % ÿ ¤&ëÿ#±¤# Ký!ÿ, !+O+H %ÿ%y^X(+ ýÿ^a(3d(3 /1Bÿ ) " %00#ÿj %21¦ "./ÿ;þ
(149) ÇýÿwOÿ= .ÿ %+éü *ýPÿ%!q+ % vý!1 % ) % % % ! (þ
(150) 1PýÐÿ+ (ýÿh Ïý2 % ýxc ! +3z³#) % ý2 ýxy % % ! ²v ) + +ÿëÿ TÐÿ%+ ý!1 Ký& H Ïý2 Ký!ÿ T ý Kýv y ý % %3,/1=vÿ Ïý$ %vÿ |5# %0 àý1 ý!!#+#+ ý1 Kýcv JH5+ÿ0ww 1) e3ÿ;þ
(151) cÿ
(152) /ÿ c."O+ c !21mý1 Ký ý1 % % !1+ %m3ÿ;þ o ý ) ! " ý2 "$ !hÿmt# %v0#f2 6 3z/1# m m+ ý+ýÿ .
(153)
(154) ! "#$
(155) %& ')(+* , #-."&!-./0',#1)-. t=0. t=T/4. Bz. Bz F=j j. j. j. B j. F=j. B j j. 78') . ; -."#"1)8 )?)
(156) 1-'/:
(157) 1)-.1. ý1"$ ëýçý1 ýy !0O+ëý! % % h/ÿ+ y/ÿKýy¤ %! %¡ý+s Ïý2 % ýx|ÿT #±ý5}+# !ÿ% % ý!+ h Ðÿ¡ý! %¸¤ýÿy±ý!5}+ ÿ %# ¸( Ïýv 3±ùôÿÐÿJÐü#) %z Ïý2 % ýxP % ! ) %#/ÿý 1+ 06ýÿëÿ+ ° # 0O+Ïý Kýÿçÿ% Y ý Kýÿ %¸h ý Kýþ
(158) + %çýÿe#ÿ#+ ! !0ÿ !GA$g$9+g°{ý1c Ïý2 Ký!ÿ ý Kýc °¶G# ý2 t· 3 Rx+éü/ý1#c#) %*+q+-. ýÿ% %ÿ%¦ Ïý2 Ký!ÿ %T Ïý2 Ký! %! % ~ÿ& !v % °0O+Ïý Ký!ÿ'33Rx ý1#=) !ñÿ%
(159) %!¤% Kýÿ ÿfý!1m Ïý2 Ký!ÿ %y Ïý2 Ký!üKý!1 % !0Býÿ& Bÿý % %jÿ%3Dú ÿ;þm5Ðü ýe !+v y ,ý!++ ý!¤ñýÿ! Ïý2 %zý1#Pý! ßÿ%ý1P + %! *++ %00 ÿj %21éü Pýh "21; !
(160) +v %#¤" ÿ ý!1yÐÿ0Bý Kýÿ %O( ëþ
(161) 0ÿ¡ýeý!1 %]ý1y/ÿ##) %[vÿ+V3 X( +mý!1 0w0#ÿ + Z + %Ðüý, , ý! %ýÿE ý!#cý1 , ý!+ j 3 \hý!1zÿý1,1 %éüý!1T %mýx0 ¦ !0O+ëý! %| % % ! ]ÿ%6ý!1~= Ký!! K − βG ÿ%c #ÿ!v Ký!ÿ¦ ÿ*ý2 % +ÿý!1 /ÿ% ) %s ¸( Ïý ¸¥ jE0ÿv ¤ !0O+ ý! % % %{ ! ßÿ%(ý11+ ¤1¡ý¯ÿz v0ÿ ,ýàÿ%(ý1¡ý$ %üO % #ëýÿaÿ%1ý v3m/1+ ý1. çýÿ;Ðÿ0 %¤ý1 ! ýþÿH !0O+ëý! %° % % ! +3/1#v!+ %z! !ý Óÿ%:X(+ ýÿ%^#3a þm!|0! !,ý!+H 2{¥)63 é . %¡ ©@4;#4%¥¨43=¦§¥÷©@. +¸ 0|0+{H1j ÿ(# v + aKû ) % "
(162) ± ýcëÿ ! ++'3/1Xýþ±ÿq !mÐÿ¡ý2 "P hÿ) ÿ +¤Ký1 % %P1+ ¤1¡ý þ
(163) ý!1 ý2 %.#¤¯ý1+[ % + µ 4 2h h = h 1 = h2 #3 BüK(3¨ %¥,$ %ý!1&.+) % + e %!¤ %+ !+wý 3e/1#&¤! JýxH ü ñý1h !Ðÿ% !ýx= [&ý!0 +jw¥Jqþ
(164) 1 21; / "ÿ%¤1 +j¥), F r = 10−2 ÿ ¤Óÿ%©ý+c5«Këý! 3°/1ÿý!1+/0 % %ëý!+
(165) %!ý!1/ÿ !ÿ % + c¥y %# a3 Rx ý1
(166) + % Ïý+ Z üý!1
(167) +¤%+# +-.+#+ m !
(168) ! v0{ Tþ
(169) 1+ ω = ckm,n m, n ∈ # ü . ý 1 c v K. ! ý ! { %. . 1 + . 3 x R ý 1 c + %. !. % ÿ © ! ý 1 c / ÿ . + %. m vÿ+¸¥ ü*þo 2 N \ (0, 0) G Ðÿ# !#+ý1ý!ÿBý!ÿçÿ% /0âÿ ¡ý©ÿÓý!1 ¡ý$ %$ÿ) ý+çÿý!1o¤1¡ý¡ÿ %ü %#^ý! |£Sÿ%! +ý! % ÿ%! $ +=£²¤#!s ü(ý1#vÿ)~¤; !#výý ýÿ. Ký x=2 0!ÿ( eýý ¤þ
(170) ý1v !+-. a(3z£3ÿ=ý1àý1+e % + ±ÿ% ü(ÿ°0 2 [ %00O) %oíý!1 h !-#+5T!+0#!+ +¡ý2 ýÿ% $ %0 %Ïýh ÿ ý1Pt(+ý Kýÿ !-.+5 a 3/1P !+-.+ + ÿ%Dý!1+ 0#2. e !|Ðÿ0 %+]þ
(171) ý1]ý1#|ÿ#Y = ý/¤vÿ( ßÿ%Dý!1 + %/vÿ(3 ² ,w !1Bÿ%þ
(172) v ¤ÿ@ÿ( ¤!++¡ý$üþ
(173) 121 % ÿwÐÿ% ý!ý*ý+ % Ký!ÿ ÿ%¯ÿ% .v! ) %(!+ ÿ*ýÿ% ÿ%Sý1
(174) /ÿ% ) %ÿ3V ÿý!+±ý1 KýÐü. % t#0O+ ýéü@ý!1/{«K!+#+ ýþm+cý1 % + íÿ%ý1w¤# !-.+ !) !+ þ
(175) 1 +) % + Ðü ! +sý!1 h % ýxvÿ%4ý1y 1 %ÿ;þ[þm KýY % ! v0*ýÿ%^ Z ëý!+ÿ! Ký +3. .
(176)
(177) ! "#$
(178) %& ')(+* , #-."&!-./0',#1)-. 0.4300. 40 36. 0.3867 32 28 0.3433 24 0.3000. 20 16. 0.2567 12 8 0.2133 4 0.1700. 0 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. 160. 180. 200. 0.6300. 0.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 2.0. 0.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 2.0. 0.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 2.0. 40 36. 0.5867 32 28 0.5433 24 0.5000. 20 16. 0.4567 12 8 0.4133 4 0.3700. 0 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. 160. 180. 200. 40 1.120 36 1.078. 32 28. 1.037 24 20. 0.995. 16 0.953. 12 8. 0.912 4 0.870. 0 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. 160. 180. 200. 78') );I(G"#A,#A, ) -'HA?) -'1 A -'HA?) S1 A, EH .>F G-.1:A,?) G 8'? A -')1 O ' H )1>NA#-.15-HDA#/: "#
(179) H A 1 -') # A '1EH -' /b-HA?) E8'1" #8.? A =P? 1&)/: ,C>
(180) '" ,x/:=
(181) 1 2A P EH -. ,/: ,#1)8 A?) 01)-'1"#1) ' /:- )
(182) " #A,? A?) , 0%B") -'H ; A- h = 0.5 /K " h = 1 h = h1 = h2 h = 0.3 -'AEA,-./ . . h h = 0.3 h = 0.5 h=1. ÿP¥ #3{¥)a4 P#3{¥Jj¨ #3{¥ 4D a P#3{¥J #3Caa% § P#3 ¥)§#¥. ÿ(#Ya v (3Ca¨¥
(183) P#3a%§ (3dDa% ¨ P#3 j¨ #3[Z.¨% § P#3[Zj. ÿy #3 P#3#Z 3[Z P#3#Z§ # 34 s(3¨%¨ #. ÿ(# Z v #3d¨% s#3d¨% #3#4Zj § s#3d¨ (¥ #3 §#¥ s#3d¨ ¥. 7 )" ); -'/ ' ,CE-.1g-'HA?) H -' E/0'"#" EA
(184) 8'
(185) 1)H , .
(186) 1>
(187) # M
(188) ;H -' IA,? G"#1) M "1) ' ,
(189) K,?'"#"-PBA
(190) /:-
(191) " .- 1 A ?) "#
(192) H AS-H A,?) ,"C',?)1 H -' PA?) 1)-.1)"#1) M /:-
(193) "E9 -'1JA?) ! ,8'? A -H7A,?) ,"C',?. . §. . .
(194)
(195) ! "#$
(196) %& ')(+* , #-."&!-./0',#1)é d. h. .4$3 4 3÷_%¥â
(197)
(198) U¨. TvBÿ%þ +3 é d . Ðÿ ý1 ý ý) % = !+O+ X(+ ýÿba(3 Büþ
(199) ý!1^ ,0 %! % + +0 0. fe sU
(200) ¨4,/¦§¥÷©@. Tuý1q ¤ÿ;þ
(201) #¤ %# ÿ%ý!1%+Ïý+ %Këÿ0âÿ#+¡ý}ÿ%¼ý1hv %¤#ëý /±+ éüKA$g$9+g1þ
(202) ý!1q ¤ ÿ;þ
(203) ¤P% ÿ% ü ÿy Ïý2 % yÿ+
(204) 00+ %Ðü/þ
(205) 1#21;Ðÿ!+ 0âÿ% ýÿs+¤%+j % β þ
(206) ý!1;Bÿ,*++ ÿv = ¤ 0 %Ïý +3 2 4ÿ#+! Ïý2 %#jý!1 ëüÿq+ % 0 ~Ðÿ% ! +Óý1ñýÿ0 ÿ k1 0 K = 2 0 k2 2 % 0 1 3 /1 ý1q¤j% 6ÿ% k1 −β ÿ{ 2 G = K − βG = λ − −1 0 β k22 2 2 þ
(207) 1 21
(208) -# %¡ýàýÿ 3 k 2 +k 2 k 2 −k 2 (k12 + k22 )λ + (k12 k22 + β 2 ) = 0 λ − 1 2 2 = 1 2 2 − β2 /1. Ðü % ¤ ÿ%þ
(209) ëüBý1#ýþÿs+ ¤+j % + ëü ý % ý!¤& ÿ 2 ÿ ü¤%ëý/ÿ + β k12 k2 β = 0
(210)
(211)
(212)
(213) %,+ÿ !/¡ý âý1#+ ýeþ
(214) 1+
(215) k12 −k22
(216) 3 mÿ]ý1 }ý1+ 1/ÿ
(217) k12 −k22
(218) ü β=
(219) β>
(220)
(221)
(222) ý1výþÿw¤j% & %=ëÿv0#5ëÿ]¯¤j2 ý%µ ý!1q ÿ Bý %vÿ%}ý!1+ & = %¤%2 %¸ 2 2 2 1/2 3
(223) /1 Y Ïý ý+ eý!1$ % ý ý!1 Kýe % ý % ýx== )]ÿ+ 0 %Ïýe k −k 2 β − 12 2
(224) 2 2
(225) jH¶Gëÿ !ÿ|ÿ±ýþ±ÿH¤j% ¸·23 Vàÿý + ý!1 Kýý1#!ý+ % %
(226) k −k
(227) βcritical =
(228) 1 2 2
(229) *+ÿ{ý1#ýþ±ÿw+¤%+j % & != ý! % ]ý1#= vµ 2 3,/1 !ý Ký!ÿoÿ++#! k1 = k22 ~0 ëý +~ !-. %q¤ëÿv ý+ v ÿy5# %0Kü 2 2 3 Rxoý1 L =L k = k0,1 ) % ü(ÿo ) O+ Ðü,ý1#hÿx 0y+ ëý! ±ý1 Ký}ý1#e+ °1,0 ý % c % [ ÿ*ÿq % 3 β>0 ³ëýe h/ÿ;þ 0O+ÿ%! %w5(0O++¡ýÿ s¶G) % ý!t·y¤Ðÿ%v ý%3e/1&21 % ëý! ý ý vv P ! ý¤ýÿ ÿmý1 ý 3^/1#;#+ ÿ Xÿ% ý!1+/ ! ü T ' 6s c = 1 Lx = 3 m %yý!1 ý ) %= ¤ëý!;±+ ¢ q# ÿHµ 3 Rxcý!1 =) % ü Ly = 10 m B ≡ 1 Z π /0,z %+ ü4þ
(230) 1+ 3;/1v+¤%+j % 0 m eÿ( bm,n = bm bn bm = sin(mx) dx = 2 ÿ% + % O&.++ %0{qÐÿ%v0*ý+¼üK % m#ëý!ÿm ôÿ% 3:T&! ý!! ý¯ÿ%! + %+ K − βG β 3u/1H! !ý q ! ýÿoý1Hÿ+ þ
(231) ý1 V (m, n) 0 ≤ m, n ≤ 3 (m, n) 6= (0, 0) 0ÿKýýsÿT£² ¤UZ3 ¤%ÿ;þ
(232) Ðüéý!1&± ýy+ ¤+j % 6þ
(233) ý1wv %¤ %¸0 %Ïýy %00O) % β ÿ[ ÿv ü ÿ ý!1cÐÿ% !ÿíÿ% vÿ(#+ 3²/1+éü/ý!1 β ∈ (0.244, 0.245) (0, 3) (1, 0) Ïý2 % yÿe¶G+ ý % *+ G·eÿ
(234) ÿv 3 /1 ¸ ý eý1 Ïý2 % β ∈ (0.502, 0.503) ÿ 3e£ % ü/ý1" ¸ ý O+Ðÿ%v e5±ý!+{ # ý2 |ÿ !¤ β ∈ (0.503, 0.514) β ý1 H s+ý!) %#cñý1#| ¡ý+¸ % 3 (0.514, 0.515) /1 m.+) t#0O++¡ý[ ý! Ký!+ ý1 !0! ! ¤&$ % ýý1 Ký±ý!1h ¸( Ïýv JO Ïý2 % /ÿ ÿ[ % ±ÿ ü % ý %/ÿ %!¤ % ÿ% µ ý % Yvÿ+ v J β β ¶G+ ý % *5·3 Rý % ÿ %0#0+ %! ý1 Kýçý1s+ý!) ÿþ
(235) 1 21^¤.s# ý2 svÿ( β %00O) % ² ! Ký1² = % .Ðÿ0 %+6ýÿh!+ % ý!z % / ýx(0#) c % Oëýþo+ % β 6 ÿ[# ý!! %K+ 3z/1 / # ý! Ký ±ý!1c$ %ëý}ý!1 Ký
(236) ý/ /+ ! ýÿs ý!c 340 ý % ýx]ý1#!+ 1/ÿ Tÿ%ý1P = %¤% %¸,0 %Ïý çÿ%ý1s¤. % + ëümÿ+ýÿÿBý2 T !+ % ý % hÿ 3 βcritical T±þ±ÿ " %ýÿe+¡ý!ÿÓý1 Ký²ý² % ÿe0ÿ ! =ýÿ¯ÿ*ý2 % " e %!¤ % =ÿ% j β ¡ý ÿ(#+ ¤y h ! ýÿXý! ý1
(237) + %vÿ(¡EZ üýÿyvÿ(#+#+21 %+ % ! critical 0 Ký!ÿ# ¥J.
(238)
(239) ! "#$
(240) %& ')(+* , #-."&!-./0',#1)V % ev,ý!ÿ#+ °¨ 3 Rx 2 ¥ 6üýe h 1/ÿ;þ
(241) zý!1 Kýe¡ý ÿ(#+#¤q = ! ëý!ÿH $þ %vÿ¡ý }ýÿ+0 %+ ¤ ý1#|-. Kýÿaÿ Z jµ η ∂η ∂2η ∂φ ∂B 0,z ∂φ ∂B 0,z 2 2 +γ − c ∆H η = c − , ∂t2 ∂t ∂y ∂x ∂x ∂y þ
Powiązane dokumenty
cyjne układy urbanistyczne na obszarze Ziemi Krakowskiej z XIII i XIV wieku, Kraków 2004), sztuki Krakowa i Małopolski (m.in.. Ze studiów nad historią i sztuką pogranicza
Przykładem tego jest, jego zdaniem, wpływ filozofii pi tagorejsico-platońskiej na matematyzację nowożytnej fizyki oraz związek atomizmu Dem okryta z atomistycz- nymi
A dynamical system is called positive if its trajectory starting from any nonnegative initial state remains forever in the positive orthant for all nonnega- tive
Przywołane postaci stw orzone przez Stiega Larssona z pew nością są tego potw ierdzeniem.. Ba, m ożna wręcz pow iedzieć, że dobry k ry m in ał bez w yrazistych postaci nie
Trwałym dorobkiem tego kierunku badan´ było stwierdzenie, z˙e objawienie dokonało sie˛ w historii zbawienia (Heils- geschichte) i z˙e to włas´nie ona jest najlepszym kluczem
Nie oznacza³o to oczywicie, ¿e zamykano wszystkie organizacje w guberni witebskiej. przez petersburskie Towarzystwo Mi³oni- ków Jêzyka Hebrajskiego oddzia³u w Witebsku nie
With the time the tradition concerning the celibacy was modified: the priests (presbyters), married before the ordination, were allowed to continue to live in marriage,
Figure 2 (a) Contact angle of CO 2 /water/shale system as a function of pressure at a constant temperature of 318 K, and (b) Advancing and receding contact angles of quartz in