• Nie Znaleziono Wyników

Linear versus nonlinear approaches for the stability analysis of aluminium production cells

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Linear versus nonlinear approaches for the stability analysis of aluminium production cells"

Copied!
16
0
0

Pełen tekst

(1)

(2)           ! "$#%"  &('*)   

(3) + ,,-/.10324#'65778 9;:<= ++ "  >?@:!-BA!    &DC:E9;F

(4) G HIJK&+ML  '*

(5) " P

(6) ? N,Q SR* T Q "G  &+U? 5778 N@O VXWY[Z]\_^ w qrZ. `_Za^cbedfbgYihjY[VXWY[Za\k^ \_lmlm^nho\kpoqrZsbutvhj^ b w \yxzWVXW w|{ \_Yr\_V { b}W@b~hjt \_VXd€W‚Y[W‚d€ lm^ƒhj„cdfp w W*hjY poZ]V V†bˆ‡. ‰DŠŒ‹ŽŠ’‘,“%”‘,•3–. ∗ —=˜. ŠD™=‘sš “K›

(7) œ † 1 —  Š1™‘@žU›Ÿ¡ “%‘ †  — ¢ Š=£¤““›¥žUœ † 1 —  Š  ¥¦§•3œ$›

(8) ¨©¥. ††. ∗ ªU«¬=ª­¯®‚¬±°K²!³K´,µ¶,²!°$´¡·¸E®,¹}º »¼º¾½E¿;À® $Á  ½EÀ;ÈÄSÅÇÆDȱÅDɂ«±­¼Ê€ÆDµ!Ë¡µÌ/®@Í¡·ÏÎж,²!µ µÑÒÓÎÐÔ¾ÕÖ/×µEÎжÑTطٵ!Ë¡µ·ÔÚ²;º Û%µ·Ü/µEÎд*ݱԾ¶¡·Ôκ Ø· † ÆDÅ©¬±Þ†ªÆÉB®¡Å©²!°$Õڵ߫}ÎиÔÚ°$¶@ÎÐÕÚµàË¡µ!á=»â°$¶K¸Ùá±µ¸±Æ(ã@Îд,áÙáÏä!µ!áE® åçæ  ­è/º»éÎ$áÙ²EÎÐÕ® Á;Áëê À;ÀÓÆ(ã@ÎÐ҈ì,áÑ

(9) á´¡·Ñ

(10) ÞíÎз¶,µ;®*Í¡·ÏÎж,²!µ µÑÒÓÎÐÔ¾ÕÖ1îEÕڵܡ·ÔÚá ®¡ÕÚµÕ¾ÔÚµèK·Ùµ;®@°$··ÔÚ°$ÕÚáïÐݐ²!µ·҈ÔÚ²!áEº µ¶¡ì/²;º Ø· †† ­ÄâÆD­«kĬ=Í1®¡¹1»j½;½ ê ® Á Ã;Ã;¿;ÃÓÉÎÐÔ¾¶K¸Ñ

(11) ð%µEÎжÑ

(12) Ë¡µÑ

(13) ÞñÎд¡·ÔÚµ¶¡¶,µÓÆDµ!Ë¡µÌ/®¡Í¡·ÏÎж,²!µ µÑÒÓÎÐÔ¾ÕÖ4¸ã¡ÔÚµ··ò%º ¸Ù°$ÒÓÎ$áÔ¾¶,°Ý}ÎÐÕÚ²EÎжSº ²!°$Ò. ó ‘¡õ_öX¥“÷4œ‚øíù|ú¯ûXüâýþÿ  3ÿ;þ

(14) Ðü  ëý ÿ   Ðü !" !#$ %&3ÿ;þ

(15) Ðü' ( ô ) %*+,+-. Ký!ÿ# Ðü/ÿ##) %/ 00ÿ %21'3 ” œ54;“%•6%4¡Š 7'89;:=<+>95?@?BA@CDE<GFH:IJD%CK95LG<J8M%>%N<+>%MCOI%:PAQ2RTSVUHWYX[Z,\895CK<]:=95COI^A@C_I%?B`(a ¢ D :PA@CA@`(:b95?92Q5LVN<]?BMJR5ARcQ295?@?dRYAReIQ28#I%?@?95CD%A@CD

(16) \ON<%f+?95:gP7'89ef2I]R5AQh9!i+`#I%L$A<]C#ReI%N29YL@89

(17) UHWYX 9!i+`I%L$A<]C#RPA@C;\#I%N!Ijf5<]?BAQ[F)<]N5:&k'F)<]NL$lm<,A@:P:PARJQ5A$f+?9onm`A$>]R+gqpe:=<]CD,L 89sr]I%NtA<]`jRsCK<]C?BA@Ca 9!I%NtA@LVA92R;A@CuL@89 :=<+>95?dkv<]CK9HARw>%`9HLG<^L@89 :=<]rJA@CD^A@CLx95N@FIQ29 f595LVlm9295CuL@89HLVlm<no`(A$>]R+g 7'89yf2I]R5AQci+`92R5LVA<]CHL 8#I%LzC`:=95NtAQ!I%?R5A@:P`?{I%LVA<]C#R|Q2<]CL$N5A$f+`Lx9cLx<&RJ<]?Br%9eARcL@89eR5L$`>%M=<GFeL 89 R5L}Ijf+A@?BA@L$M~<GFL@89,Q295?@?{g 5C€\ON95rJA<]`jRlm<]N2JR&‚„ƒ#kh †kelm98#I%r%9=>95r%95?<2\9!>wI%CO>€A@:e\O?95:=95CLx9!> IeFt`(?@?BM‡CK<]C?BA@CK9!I%NˆI5\j\ON<+IQ28HLG<RJ<]?Br%9ˆL 89&LVlm<]a‰no`A$>qU;WŠXbR5MJR5LG95:g‡‹[CTL 89<]L@895N|8#I%CO>]k :I%CM€I5\j\ON<+IQ2892R"N295?BMT<]CEI;R5A@:e\O?BA Œ[9!>Hr%95NR5A<]C<GFsL@89‡9!i+`I%L$A<]C#R2khI%CO> ?BA@CK9!I%NPR5LIjf+A@?BA@L$M I%COI%?BMŽR5AR+g 7'89

(18) \ON92RJ95CLoR5L$`>%M Q2<]:e\#I%N92R"I%CO>H>%ARJQ5`jR2RJ92RˆL 89&N92R5`(?BL@R=<%f+LI%A@CK9!>qA@CL@89&LVlm< I5\j\ON<+IQ2892R+g. . ‘ ¨’4;“%¥÷4–“6%4;›

(19) ¥¨. ”  • |0ÿ+^  ÿ– %—  ~ÿ)˜=™j~+ + ýÿ%  ! +3‡š/1 Xÿ)˜(Bÿ !ëý!ÿ~!+ %ëý!ÿ~!-.+ ˆ ;›~¡ý!+ v+ ýs+!,ý‡œýx0 ) %  w%žž;Ÿ ”h  3¡š/1 0ÿ+ ! , ‡+ %!€ÿ%Bý,¢+ ý ÿ  ! ‡+ ~œ !£“¤—¥   üh Ký; ¦1 ¤1_ýv0O+! Ký œV§j¨ž ◦ ©   v % ,ý %#+"™jvª‚ÿ /«’+ ý)3 ” ýý1 1ýv0O+! Ký‚üj™ÿ‚ý1 ý1#Yëý ÿ ,ý![™ ý1 œþ

(20) 1 21sÐÿ¡ý2  1ý!1

(21) %#v  ÿ)˜   %# ý!1/0

(22) %#v ¬ !/ -.'3¡š/1

(23) ™ ý1  h +  cÐÿ#ëý!¤, %#~ ¤1¡ý!+ ý!1 %mý1#P-.  ëý %3yš/1s1/ÿ*ëÿ¡ý2 %“+ ÿ# ¯ÿ% ý1&++ ­ %Xýx0+ %{ 3yš/1P1#+¤%1,ý! Žÿ%o % v #® %w™ ý1T %Xýx0+ %{ 4m × 10m ™Bý6ý1v Ïý2 %#+q™Oëýþo+jý!1= v+ !— %/ÿ P %§ý!1v™ Ký1¢œý1#q ÿ€+ % + 20cm I%CK<+>9PLx<€Q!I%L@8<+>9v>%AR5L}I%CKQ29    Žýx0+ %{ 3Pš/1#+ ! ýþ±ÿH -.# c %!P v + ™ˆ % 5cm !™.¯+ëý!+Óýÿ/¡ý!+ °v %¤#ëý “± !+ Ký|™jc ¡ý+ %j c5˜@ý! j+ëý!!²+!+¡ý! +3 š/1 c+ ý! | T¡ý! %²†ÿ‚ý!ÿ# hmý1#s | %# ‡5ÿ!v Ký!ÿmÿ%=ý1#™ Ký1(}v ý2 % ¡ý$ %%3´³¡ %¤|ÿ% !+  Kýÿ ¤ÿ%ˆý!1 v¡ý$ % v J %0#0’+ %+µmý1# =21 % % ý!*+ ñý!1 ÿ}) % ,¶G  ý %™ ý! ¸·¯ÿ%ý1ˆ+üO!„ Ký!+|þ

(24) ý1w v+!)  !¤ÿ%ý!1"0 ÿ(+ ! c5¹+%3 ¥.

(25)  

(26)      ! "#$

(27) %&  ')(+* , #-."&!-./0',#1)£3ÿ[vÿ!h#ëý2  ±ÿ’ý1c  Ïý„ %’0ÿ+ ! Ðü/þoy!5 +}ýÿ32 ¨*ü © 1 0Bý546¡ %, +++ ý1!'3 Anodes. Bath. 1m. I. I Aluminium. 10 m. Cathode 4m. 78')  :9';=< >@?) /0BA,C>

(28) '"D%'  EA>"D>F AG-'HI'1J'"#/K1))/L "# M>NA ,-."#O ,P>F "#"Q. š 1

(29) vÿ(#+ ¤ ÿ%  ´+ + ýÿ%  ! z++  z o c{¹+ý 0ÿ™#+;3SRxvý!1/ÿÿ%þ[ / ¤Büâþosÿ+# ˆÿsý1P1j ÿ(# v + y %mý!1P= ¤ëý!ˆ«’+ëý! +3UTP1 )›s5›ÿ0O+ &/ÿ##) %}ù|ú¯û vÿ(#+K™ % !aÿ%íý1cëÿ0 ¤6ÿ%©ý1 ýþÿ WVe )›+:X@ýÿ%Ÿ%+

(30) - ] ýÿ (þ

(31) ý1 ý!1àù ]˜@þo+#+-. Ký!ÿ /œ$ !Y2[Z6   3²š/1/- Kýÿ %[Ðÿ#0"›( ¯ý10\c1#^] „ $þ %ôý1P³¡ %0#„ %5G³ÿ+¡ý*|ÿ!+ 3_\csý!1 ÿ‚ý!1+Š1 %¼ü'= .;vÿ(#+ Yôý1" ý!+¸ Ký#!ˆ %!ˆ !0  ±H € ) !*+‡›! ÿ ¯ÿ%1ý1# Y  ý!+;3Šš/1& % ÿ1ý1 àþ±ÿŸ; ýÿÐÿ0 %ˆý1|/ÿ + %

(32) %H ) %

(33) 00ÿ %21+ ÿH v™ÿ‚ý1; ! v0 y %H!)  Ïý ¯ý ý ) % %µý1#|ëý %'0 H ÿ ¤3 Rx`X(+ ýÿ%ba*ü©þmv0! !,ýXý1 ) %| %#^/ÿ##) %cvÿ(#+ ëü²  ý!1vý!+ Ïý")  !†þo  !3RxcX(ëý!ÿ;Bü/þoy +  Š ÿvc.++ %'! !ý 3  e ‘;4 öX¥ ¦§¥é÷4‘@ž

(34) œ f Rxaý1|ÿÿ%þ

(35)  ¤/üBþo&vÿ+éý!1&+ ý ÿ  !

(36) ++ ¡™.H 0 %  0’'3gTçý1. e ¡ýÿ]   /ÿ‚ý!+ ý!1 þ

(37) 1! œ !+ 0'3  ý1#h/ÿv % Ω = (0, L ) × (0, L ) × (0, h + h ) h h 1+ ¤1¡ýÿ % v #®œ$+ 0'3xÿ%™ ý1   y âý1Š¡ý1$ %2Š ° ý[ %#1=1/ÿ*ëÿ¡ý22 %V3²š/1Šÿ;þm !¸$ %+6ÿ%ý1#" %/ÿˆ e 00ÿ !sýÿq™Oˆ Kýc %#|ýÿv+¡ý !+{;ÐÿJ›¯ý1&™ Ký1Kµ}ý1Óýþÿ   eý1!ÿ%!|†ÿJ›|H s+ÿ% !+H™âÿ)˜]ý!1 Kýßý15;+¡ý !+{q± '3oš/1ˆ¤%Ðÿëý!‡ àý!1  %&ÿ ý1 ýþ±ÿ,†ÿ+ Ðüý1P + %h %#sý1P + %! *++|ÿ%3|š (0#) ²› % hÿ¯ý!1 ¤Ðÿ%v ýq %!µ ü ü ü 3. d. Lx = 4m Ly = 10m h1 = 20cm h2 = 5cm. ¢ ¨©¥¨(ž

(38) ›

(39) ¨4‘,•/“ihkj^l 4Eö ¥/‹m1–4›

(40) ÷_¦§¥÷©‘@ž T&™5;+ +! ™’6ý1ˆ/ÿ + %Žùôú¯û vÿ(¡ôý!1 Š !ëýÿ'3e£Sÿ%Švÿ!| ý2 %  Ðü þmP Žýÿn2oZ/ü¡¨6V3_TPÐÿ% ! +Žý!1 KýŽý!1 ýþÿ‡# y %"Ðÿ%,ý %#+Tsý!1P/ÿv % ü Ω = z0!+ !o %™âÿJ›%‚ü%þ

(41) 121ˆ {›( +y ,ýÿàý!1 /ÿv % ÿ(+0#+|™jˆý1° %   Ω œ$1!+ Týz! !+¤ýÿy % ­   % ý!1//ÿv % ÿ+1,t 0s™.6ý1/™ Ký1;œ 1+) Tý!+ 1 Ω !5 +!+výÿ"  °#   3­š/1#e  Ïý+ ÿ%K+-. Ký!ÿ hœþ

(42) 2,t ýý!+v ˆ/ÿ%(x v !ÿ %(ÿ!  . d Š. 2. a.

(43)  

(44)      ! "#$

(45) %&  ')(+* , #-."&!-./0',#1) µ.   2 1     ∂t u + u.∇u + ∇p − div(D(u)) = g + S curlB × B,     ü  Re1 Fr   Ω 1,t  1     ∂t B + curl (curlB) = curl(u × B),   Rm1     2M M     M (∂t u + u.∇u) + ∇p −    div(D(u)) = g + S curlB × B, ü Re2 Fr Ω2,t 1    ∂t B +  curl (curlB) = curl(u × B),   Rm 2    divu = 0,     divB = 0,       ∂ρ + div(ρu) = 0, ∂t œG¥   þ

(46) 1+ #+/  ÿ‚ý!+ ý1

(47) › ÿ+ ýx  ü ý1

(48) 0+  !‚  ü ý1

(49) v %¤  ý[±+¼  ü ý!1Y ýz›%+  ýÿ u p B  T  g+_ +  ý+ % ÿ#o ¤ ý!1€¤! J› ýx  ü

(50) %  ý!1  ÿ  ÿ;þ

(51) ¤ 1 T 3 D(u) = 2 ∇u + ∇u  ÿ(}+# ! ÿ% %O#"™’! µ / œ

(52) /ÿ% /."™O+   ρi U L , , η(ρi ) œ = %¤%ëý!

(53) /ÿ  /."™O+   ü Rmi = µ σ(ρi ) LU, œ$ëÿ0 ¤P0 % %ëý!+   ü B2 , S = µ ρ1 U 2 œV£ ÿc."™O+   ü U2 Fr = , gL œ$#+ ýx‡! Kýÿ   ρ2 , M = , ρ1 þ

(54) 1+ +/ÿKý+’ ý!1€ !ýxyÿ%y  ü ý1#€›( !ëÿ !ýx_ÿ%c# ü ρi > 0 i η(ρi ) i σ(ρ ) ý1Ðÿ% ý ›ýx ÿ[  ü ý!1=v %¤  ý 0O+v+ %™ ýx€ % ý1= %++ + ýÿ% ÿ%i  i µ g ¤ )›ýx%3eš/1&- %¡  ý ý! ü  !+ 0’ë ý! ›  +/  ÿKýX  ý!1&21  %  ý+Ï ý|› ÿ+ýx‚ü U B L = ¤ëý!Y±+ H ,+#‚ ¤ ý] 1 ÿ%©  ý1#| ¸ ýH3 š/1 /  ý!+® [ !0#0 +’  þ

(55)  ý!1;  ý!„ %ë ÿ ýÿ ü⠙ ÿ% %¸|Ð ÿ# ý ÿ4 ÿ %6  ý  !  ! ÿ%ˆë ÿ ý ÿ% (ρ(0, .), u(0, .), B(0.)) ∂Ω ý}ý!1y¡ K  ý$ % 3zš/1y ! ýx,K ý  / 2] 1 ý1K ý  [+-. % Σt = ∂Ω1,t ∩ ∂Ω2,t t=0 ρ(0, .) ýÿ P  v  ý!1e  ý! % ! 0 ÿÏ ý +-.K ý! ÿ ÿ ý1

(56)  ! ýx  !2v 1 ý1 ýý1 z0 ÿ0O+Ï ýx ρ i ρ  /0 i ÿ0 %¤K ý; ’  ýh ÿvý!1K ý. Rei =. Ωi,t = {x ∈ Ω, ρ(t, x) = ρi }. £3ÿˆý1v™âÿ# %¸ëÿýÿÐ ü4þmvýx0+ %{TÐÿ ˆ0#!q  0™ÿ %~Ðÿ%ý!ÿ# ÿ}ý1#y›%+ÿ(ýx‡ aý! %# ! !  ÿ‡ë ÿ ý ÿ m ÿ}  ý!1y= ¤ë ý!e±+Kµ  u · n = 0,    ÿ ü œ,a   B   · n = B 0 · n, ∂Ω 1 1   B−u×n ×n = B 0 × n,  Rmi Rmi þ

(57) 1+  (ý1/# ýÿ*  ýþ[ %vB  ÿ!v %*  ýÿ %  (ý1/v %¤ ý m±+ ¤ÿ¤ý1/™ÿ#( n Ω B %%3²š/1 “±  “0!Ð ÿ0B  ý!+P™jˆ5˜(0 + ý ˆ  ý0 %Ÿ.¤Š¡  ýÿh %+ë ÿ¡  ý1ý1#[Ð ÿ(±¤!K ý ÿ B0 ÿ%éý!1eëÿ  ýÿ / % ÿv  ý1h+ ²Tœ þ

(58) 121= o6 ý++/  ÿ% !{v v 0 ÿÏ ý2 %¡  ýz ) ý¯  ÿ%  ý!1 .

(59)  

(60)      ! "#$

(61) %&  ')(+* , #-."&!-./0',#1)-. û +# !ýx e h !Ðÿ% !ýx  ÿ © #ëý! ›ýx X(#$ %çý!+ ÿ. ”  . [ ý1. ρ1 = 2300 kg.m−3 ρ2 = 2150 kg.m−3 η1 = 1.196.10−3 kg.m−1 .s−1 η2 = 2.558.10−3 kg.m−1 .s−1 σ1 = 3.5.106 Ω−1 .m−1 σ2 = 2.5.102 Ω−1 .m−1 γ = 0.5 N.m−1 7 "# 09.; ? O ,>"' '/: FA,  -'HA,? ) ). 0 ëý ) %  Ïý„ %'0#ÿ™ +   3 ” ý ý!1ˆ ¡ý+¸$ %+ ü3þo&!-.Óý!1 Kýßý1y›ÿ+ýx; % Σ ý1yv %¤ ý e±+ ; %!y™ÿ‚ý1,Ðÿ%,ý!./ÿ# Š aý!1 Ký t.    

(62) 

(63) 2 2

(64)

(65)   · n = −pId + · n, −pId + D(u)

(66) D(u)

(67) ÿ ü Ω1,t  Re Re2 1 

(68) Ω2,t  Σt

(69) 1 1

(70)

(71)   ×n= × n, curl(B) − u × B

(72) curl(B) − u × B

(73)  Rm1 Rm2 Ω1,t Ω2,t œ$  . þ

(74) 1+  ßý1#XÿBýþm %w/ÿ!v %éýÿ 3Yš/1ˆ± ýcëÿýÿH àý!1&ëÿ¡ý #ýx]ÿ%ý!1 n Ω ý!!+  c Ký ý1" ¡ý+¸$ %+Kü' %#|ý1& !+ëÿ1,t wëÿýÿ%  àý1ˆÐÿ¡ý!.ýxaÿ%ý!1Xý %¤,ý!„ % Ðÿ0ÿ+¡ýßÿ%4ý1#|ëýh±'3 ³ëý° °/ÿ;þ¢™5s+ +™Oàý!1Š.++ %v ý1/ÿ þoŠ  ýÿˆ !!ëý!*&œG¥   3­£² ý$ü vÿ!#+±ýÿ&™#v & Ïý2 %™ Š 21+hëÿ0 ¤çý1 Ve )›¸FX@ýÿŸ+ / †ý!1ˆù Ž˜*þo+ K- ] ýÿ Ðü*þm| ÿ{›| €Q2<]`Ž\O?9!>sR5MJR5Lx95:  Kýeý1#ˆ !!ëý!y›%+Uü/þ

(75) ý1; %H %-. Ký (u, B, p) ý vtx !+ëý!*) ýÿ%Žÿ%/ý!1oëÿ0 ¤eý!+! % 3 š/1 0 ÿ(+ curlB×B curl(u×B)  /"#21Hvÿ!c Ïý2 %™#Žý1 %aý!1y !¤!¤j Ký;›%+ !ÿ%H0O Ký!¤sý+! Ký{›  % 3 (u, p) B T^v !q ~R5L}Ijf+A@?B A ]9!>&Œ CA@Lx9,95?95:=95CLYRx\#IQ29|™ÿ‚ý1~ÿ6ý!1 Ve )›¸FX@ýÿŸ+ "-. Kýÿ & % ý1Xù ]˜@þo+ “- Kýÿ +3:T" +Ðÿ%¡ýeÿeý1#&0+ !+Xÿ%1ý1#ˆvÿJ›( ¤¡ý$ %ˆ™jH % peNf+A@LVNI%Nt M

(76) 'IJD%NI%CD%A$I% C o`(?95NtA$I%C‡F)<]Nt:P`(?{I%L$A<]C3 ” & ;Ðÿ +-.+Kü1ý1vÐÿ0Bý Kýÿ % v !1=ÿ%ÿ;þ

(77) ý1e¡ý$ %%3 ” °ÿ±ý!1¯ý!Š !!ëý!*+ Kýÿéü¡þme21/ÿ*ÿ% !y RJ95:PA@axA@:e\O?BAQ5A@L o`(?95NhRJQ2895:=953!TÓþ±ÿ H Ÿ%Žýÿsv,ý!ÿ’ý!1 Ký$ü 1/ÿ aý!1y+€ % ‚üý

(78) 

(79) % ÿP›+¸  Ký! %âýÿs#c !¸$ %+ˆý !ÿ;«’+ëý! Š ]ÿ[ÿ"„ ýÿ%'3 \hˆ#v!+ % !21v=1 % &™O+¦0ÿJ›%+¦ 2[Z6±ýÿ ™O= ý %™ =+!¤%/ÿ % ýÿ;5˜# % ý ~0+ +›%íý1#=v % ! Óÿ%[+ %21^#'3‡š/1 !v0ÿ0O+Ïý + Óÿ%/Ðÿ% !› Kýÿ^ +  Ký! %Uü%™*ý %!m+ ) ý±ýÿc+ !eÿ%s h†ÿJ›¤ev !1'3“š/1s !}ÿ%0 % ý!+#„ % ¡ý! ý þ

(80) 1+‡#) % ¤çþ

(81) ý!1q Ïý2 %™#ý + ­ ‡ %#v  !ëý!ÿ=++  ëü( ¯ÿŠ" Ïý[™Oc %™  ýÿs !+ ýe™Oëýþo+w % ý %K01j( + %¡ Ïý2 %™ ý m ,#v!+ %'  ý %™ ý!+ 3 š/1ˆ0 %! %v ý! ßÿ%1ý!1ˆ  Ïý„ %+ eý1 KýŠ+¡ý!+e ¡ýÿvÿYÐÿ0Bý Kýÿ

(82) %%µý!1 ¤Ðÿ%v ý]ÿ1ý1ˆ+ü3ý!1ˆ0#1. ) ²0 %! %ëý! àÿ%1ý!1ˆ# e %ôý!1&ëÿ#±¤% Ký!ÿaÿ% ý1cëÿ#ëýÿ%! Y %ÿ%]ý1c+ ÐüBþ

(83) 1#21, / +,ÿ}ý1#|ëÿ0Bý2 ýÿ%ñÿ%4ý1cv %¤ ý  ±+  ÿ€ý!1~™âÿ# %¸cÿ%Xý!1T++ 3 T^~¤{›T š² ™ ¥ % aÇý!1~01j( + % B0 0 %! %v ý! &# !+   ý1#q ! "„ ýÿ% y™’ÿ;þy3cRx¦0! %ëý!+Küz ! +íþoqëÿ ! +6ý1 Ký&/ÿ  Ký! ¸$ %ëýÿˆù|ú¯ûjý™+ vÿ(#+ ¡ J› % „ %™#­ Óÿ%Ðÿ¡ý!5˜@ý$üþmo % ý! ±„ %  Y %0  @ ý1c› Ðÿ ýx’ÿ²+ %21;éü*ýx(0#)  =™j, "$ %ëýÿc¥Jžž#3 ¢ ž

(84) ›

(85) ¨4‘,•/“†œ e •3žUž¥*ö ö •(4;‘,“ h j l ¦ ¥÷4‘@ž ³ëý= =Bÿ%þ• !!™O€ 0ÿ‚ýÿ‚ýx0+ %

(86)  ) % !1 %ÿ%þgþ[ Ký!+ñù|ú¯û vÿ(#+

(87)  !¢™j !5›+! %( %Bý1Bÿ! ¡çý1#oëÿ¡ý5˜@ýDÿ%Bý!1o "#„ Ký!ÿŽÿ % v #_+ ý ÿ  ! ¡++  °œ !+J2a@ü *üO¨6   3zš4ÿ !0  @ ý1y/ÿ% ) %m0ÿ™#+ œ¸¥   üBý1#yÿ%ÿ;þ

(88)  ¤P %ˆ  ! !#v'µ. d Šd. Z.

(89)  

(90)      ! "#$

(91) %&  ')(+* , #-."&!-./0',#1)-.  +ÿ(ýx. ù %¤%ëý!h± ûŠ ý % 

(92) /ÿ  /."™O+ ù %¤ ý  Y5(Bÿ

(93) ."™O+ © ÿ0 ¤s0  %ëý!+ £ ÿy."™O+ ûŠ+ ýx, ýÿ T+™O+

(94) ."™O+. ”  v #. [ Ký!1. U = 0.1 m.s−1 B = 0.01 T L = 1m Re1 = 1.92.105 Re2 = 8.41.104 Rm1 = 0.44 Rm2 = 3.14.10−5 S = 3.46 F r = 10−3 M = 0.935 W e = 46. 7 )"  ;P ? @'>FA,

(95) C A>  ' '/K

(96) A,   ' 1 J1)-'1   /:

(97) 1,#-.1"1 /g 

(98) @ -H7A,?) E/g)"CBA#-.1 1 ) @'>FA,C>F ' H -. 1&)/:

(99) >" , M',-'1 A)? _%&C,>

(100) -.,[A OiC   ,A,>

(101) '"#"Oi'/ )"# DS1 D #1^E-./K f>

(102) ', PA,? _8' @ %&[A O  ' EA>

(103) '"#"O0   >

(104) D œV³z¥   š/1!y5˜( Ïý Š P ý2 ýÿ% %= ý Ký3 œV³Sa   š/1Yëý! Ký!ÿ m %ÿ%íý!1 o ý2 ýÿ% %s Ïý2 Ký!h %e #¹+¡ý v !v % O ÿXý1 Kýý!1 ý %™ ýxvÿ%4ý1#|Bÿ ) [  ý!+ ) H™Oc ý!ôÿ%aý!1y#) %*+‡  ý!+;3 œ/¥   Rx#++H+!,ý!. ^\h1  $þ % c+¤%+ ý'3 u×B œga   š/1]ý v,! › Ký! ›%  ný!1 0  ý %[{«K!,ý!„ %/-. Kýÿkÿ%  ∂t B B ¤ëý'3. œ¸¥    . þ

(105) 1! œ    š/1hëýŠ0ÿ™#+  m ! v0# ±+ ! ¤Xý1#e$ %ëý±ý1 ý σ2  σ C  σ 1 σC /ÿ‚ý eý1y) !™ÿ mÐÿ#ëý! ›ýx%3. œ Z   š/1 › ý ) %. v !ÿ °œ 1+ ¤1¡ý 4ÿ%™ ý1" " %  u!+ 0’ëý! ›    ! !v % Ðÿ%v0 !+výÿXý!1h1/ÿ%!*ëÿ¡ý2 % v !ÿ hœþm J›%+ +¤‚ý!1’ÿ%ý1#e0O+ ý!!™ Kýÿ Ðü(1/ÿG *ëÿ¡ý2 %K+ ÿ# }ÿ%4ý1y+   3 œ°¨   H ù 21 % ) %  ! ! 0 Ký!ÿ œ@› !ëÿ !ýxü !¸$ %+ ý !ÿ   %#+¤ +ëý!+ ÿ| %00 ÿJ˜( v Ký;™j, P + %[ %0 ¤ ý!;3 ”  !0Býÿ ŠœV³z¥   %#€œ$³a   !eý1Y+  !+ ÿ% %js + %! *) Ký!ÿ"0#ÿ++#!3 ” ! 0( ý ÿ |œ/¥   ýÿHœ°¨   %!c# !+aýÿs ! v0# @ ý!1y !0O++{±y+-. Ký!ÿ# Y#+

(106) ëÿ ! +! Kýÿ'3 š4ÿ,+ ›¤ý!1P ! v0  ±€vÿ(ü¼þosÐÿ# !#+y ‡0’ ý!!™ ýÿ%T %ÿ#~ , Ïý2 Ký!ÿ % ý Ký[ÿ1þ

(107) 1#21 ý1/›ÿ+ýx&± z*+ÿ/ü. vý!1

(108) ¡ý$ %/ ­ ý° %1/ÿ! *Ðÿ¡ý %3 š/1 ý Kýÿ %¸!+¡ýs ý1‡+o % ý!1‡ ý Kýÿ %¸v %¤#ëý v±— J 0 = −J0 ez +Bÿ‚ýq™j 3 Rým+ %q™OŠ212Ÿ%]ý!1 Ký " Ïým™OY !21ñý!1 Ký vÿ!#+±ý!1 B0 B0 ∂z B 0 = 0 ³ÿ!,ý!*|ÿ%!+ eýÿ™’|ÿ‚ý Kýÿ %V3²š/1 Š /!+-. !Hÿeý1#| Ïý2 Ký!ÿ %‡ ¡ý+¸$ %+ˆýÿv™O  KýY %#H1/ÿ%!*ëÿ¡ý2 %V3 Tc/ÿ;þ ëÿ ! +

(109) "0O+Ïý™ Ký!ÿ’ÿ%4ý1# [ Ïý2 Ký!ÿ v ý2 ý%3 š/1y + %! *++=0ÿ™#+  o0âÿ +,†ý1Ya&#+ ÿ OBÿ=  3 ³ëý/# //ÿ;þ_ ¡ýÿ ΩH = (O, Lx ) × (0, Ly ) ý1w0O+Ïý™ Ký!ÿyÿ%çý!1T¡ý$ %w0âÿ ý!ÿ œý!1w¡ý!+$ +w ñý!1. ,0 % v ý+*+ η  ™j %§ý!1=0O+Ïý™ Ký!ÿoÿ%eý1#=+ + ý!  Σ = {(x, y, h + η(t, x, y)), (x, y) ∈ ΩH } 0âÿKý+¡t ý!„ %

(110) ƒý1w 1   3 Rý‡ =0ÿ ! ™ aýÿ—! ›% œV ýq+ % ývÿ!v %  üo !b2d¨@ü φ P?) '1)-   ' , /0  !-H >

(111) ' , -'1 ¨.

(112)  

(113)      ! "#$

(114) %&  ')(+* , #-."&!-./0',#1)1 %0Bý!+  4 6    ÿ ©  œ /¥   œ°¨   µ. œ¸¥   ý!1cÿÿ;þ

(115) ¤" 0{±+=  ý!+. ÿ. (η, φ).     2 ∂φ ∂B 0,z ∂φ ∂B 0,z ∂ η   2 2  , − c ∆H η = c −   ∂t2 ∂y ∂x ∂x ∂y      η,   −∆H φ = β  ∂η ∂φ ∂φ    = B 0,z ny − nx ,   ∂n ∂x ∂y        ∂φ = 0, ∂n þ

(116) ý!1]ý!1cÿ ÿ;þ

(117) ¤"B  ÿ(x#+  ÿ ’."™O+. ü## !#¤€œ$³ ¥   œ$³a   %.  . ΩH. ü. œZ   ÿ. ∂ΩH. 3. œV¨   (ρ1 − ρ2 )g T 2 J0 B 0 L 2 , β = . ρ1 ρ2 h1 h2 (ρ1 − ρ2 )g + h2 L 2 h1 ÿ%-. Kýÿ

(118) œ Z    ² 00 X  þ

(119) ý!1" ÿ[ 00ÿ%0! Ký°ý %Ðÿ%ý!ÿ# (ÿ η. c2 =. š/1[ ¸( Ïý. ”. % ∂η 3 š/1∂t m  ý!+®œ Z    “# !! ý*+P & !0 %+/™j& e !0O+ ý (ëý!1/ÿ(&™ % !¤ÿXý!1mÿ ÿ;þ

(120) ¤  +Ÿ.qÿ"„ ýÿ%'µ“ ) %21Hÿ % !21aý1 ý$ü#ÿ

(121)  % ü η φ ζ ψ  Z   Z Z 2 ∂ η ∂φ ∂φ ∂ζ ∂ζ  2 2  , B 0,z ∇H η · ∇ H ζ = c ζ +c −  2 œE4   ∂x ∂y ∂y ∂x ΩH ΩH Z ZΩH ∂t   ηψ. ∇H φ · ∇ H ψ = β  ΩH. ΩH. . +Ÿ.‡™ %  /ÿv‡™.’ý!1y ÿ}) % ‡¤ )›ý Kýÿ %O†ÿ Y / !'µ. þ

(122) 1+. 2 fm,n (x, y) = p m,n cos L x Ly. . ∀m, n ∈ N2. ü.    mπ nπ x cos y , Lx Ly. { % ü m 6= 0 n 6= 0   ÿ ü % ü 2 m,n = m=0 n=0 (m, n) 6= (0, 0) 2   3  1 (m, n) = (0, 0) 2 š/1& #ëýÿ %Xý1&+¤%+j›ëýÿ%! ˆÿ%ý!1 VŠv %mÿ0O+! Kýÿ % ! ÿ(„ Ký!+ fm,n −∆H  2  2 3 š/1T0O+Ïý™ Kýÿ þ

(123) ý!1cý!1T+ ¤+j› %#+ 2  ‡5›ÿ0O+ + nπ km,n = mπ η Lx Ly P 3 o—#+Ðÿ%v0ÿ ! ¤ Çý!1‡  %  ý!1 P™  ! µ η(t, x, y) = η (t)fm,n (x, y) φ ™ %  Ðüý!1qÿÿ;þ

(124) ¤H  ý!+ÿ%m,n Y-m,n Kýÿ ¤ÿ üþ

(125) 1#+! ü  ÿ%™Bý2 % +Kµ η˜m,n η˜m,n = kηm,n m,n ü ∀(m, n) ∈ N2 \ (0, 0).   1√. d2 η˜m,n 2 + c2 km,n η˜m,n = c2 β dt2 þ

(126) 1+cÿ. X. (m0 ,n0 )∈N2. G(m,n),(m0 ,n0 ) η˜m0 ,n0 ü. (m, n), (m0 , n0 ) ∈ (N2 \ (0, 0)) × (N2 \ (0, 0)) m,n m0 ,n0 G(m,n),(m0 ,n0 ) = Lx Ly km,n km0 ,n0  m0 n(bm0 +m,n0 +n − bm0 −m,n0 −n + bm0 −m,n0 +n − bm+m0 ,n0 −n ).  +n0 m(−bm0 +m,n0 +n + bm0 −m,n0 −n + bm0 −m,n0 +n − bm0 +m,n0 −n ) , 4. œ  .

(127)  

(128)      ! "#$

(129) %&  ')(+* , #-."&!-./0',#1) %éü(ÿ. (m, n) ∈ Z2. ü. bm,n. π2 = Lx Ly. Z. B 0,z sin ΩH. .    mπ nπ x sin y . Lx Ly. V ÿ‚ý!àý!1 Kýo !#+Šÿ%o  ü ü  m %= %¡ý vëý¸ m , n ∈ {−1, 1} bm m,n n = m n bm,n G ! c= Ký!! ˜Kµ 3 0 0 ) = −G(m0 ,n0 ),(m,n) G š/1. ëüý!1z (m,n),(m ý %™ ýxà,nÿ%' œEZ   %†ÿ%¡ý ¼ýÿßý!1z !0O+ ý! %j %   ! éÿ%@ý1zv Ký{˜ 2 ü c (K − βG) þ

(130) 1+ˆý1yv Ký+

(131) %!c t˜#H™jñý!1y/ÿ™#c#+  ü %. #    . (m, n) ∈ N2 \ (0, 0) K ý1P#„ %¤ÿ% %²v Ký!!{˜H5±^™jOµ üéþ

(132) 1+ 2 K(m,n),(m0 ,n0 ) = km,n δ(m,n),(m0 ,n0 ) δ(m,n),(m0 ,n0 )  àý1ˆ,ý!ýx;v Ký{˜’3JRx#++¼ü'   e %€+ ¤+#†ÿÓÿ% 2 üK q ÿ Býÿ (λ, η) c (K − βG) ýÿ"œEZ    þ

(133) ý1  3  R ² ý   ¡. )  %. ¸. 6   ý e ÿ 2   1   2  Ó Ÿ ! ý  1 K. 4 ý  ý  1 o  !  +  %. (   0 %.  ( ý % ÿ   0ÿ !ý ›% exp(−iωt)η ω2 = λ λ œ$ ¤†ý1&$ ëýŽý!1 Ký  c =!+ %² ¸vëý!!ˆ0âÿ% !ý! ›%&5±ý!"v Ký{˜H %  e q!+ % K G   %¡ý vëý!! /= Ký!! ˜ 3²š/1!5ÿ!Kü#+ý1m 3ý1Š+ ¤+j› %#+ =ÿ% 2 %e!+ % c (K − βG) %oý1  ý!+  y ý %™ ‚üDÿ%çý!1+=t˜# ý! " %+¤%+j› %¤þ

(134) ý1— ,/ÿ*+ÿ€ = %¤% %¸ 0 %ÏýY %]ý1y  Ïý+® / Ïý2 %™ %3 ž 4•3÷_“%¥žUž

(135) ›U¨ ¢ 4$‘*œ54=6•/œÐ‘Søy4 e ‘m¦ ‘.4$•3 ” ! )  Ïý Žý+ Ïýh+ % !" ôý!1&ëÿ¡ý5˜@ýˆÿ %#v  + +ëý!ÿ{ ! Y ßý1#ˆÿ ÿ;þ

(136) ¤32[46V3 ” ›+Ïý ) %¡+#!!¡ý !# àý!1ÿ%¤1]ý1çýþÿ  +3oš/1ˆv %¤#ëý h±+  J 0 = −J0 ez B  Š+!+ Kýw™j|ý1# e!+¡ý %T v›%+ ý!+ %²ëÿv0ÿ¡ýc e % ý! ±„ %  q 0O+! v0ÿ + 0 J0 ýÿ 3 RxÇý!1 P ý Kýÿéüz %j ÿ + „ ýÿ% ÿ%àý1#‡¡ý$ %‡™’ ýþm+ƒý!1ñýþ±ÿ~# " B0 ÿ™ +›%+H]ÿ/.+) ' ! "„ ýÿ% cœ !+UX(ëýÿ;#3aP™O+ÿ;þ   3 š/1 ¤ý+ Ïý) % ; ÿ%e0# % ý+ %[ v0ÿ ý %q ! +, !#21kÿ + „ Ký!ÿ# ÐüDþ

(137) ý1 T0O+ÿ  %#¤¤[  ÿ´ / ëþ¦ +ëÿ 06ýÿŠvÿ1ý1 %Óÿ .Bý!‚ü %!ÿ™ +¸›+&y0 ëý + 2 ¥Jž6V3 š/1 /0#1+/ÿ%v/ÿ; /  %{q +!aýÿ= % c:=95LI%?#\#Ij>vN<]?@?BA@CD%3 š/1o01j !+ %Bÿ%!¤%çÿ%ÿ% ¤/ ¤+! %{y5˜(0„ &Óý1oý+! Ký#!o % “ÿ ÿ;þ

(138) oœ$ + £²¤%!Ya   3 ” , ý!„ %Sý ý ¤‡œÿ

(139) Pÿ#¤þm )›+ +¤Ký1, Ïý™ %   +) Ký!+ Y P0’ ý!!™O+ +!,ýe3ÿ;þ œTþ

(140) 1+ ý!1&!+¡ýc ôý1#&+   þ

(141) 1 21€ Yv %{q› ý!)  j = J − J0 J  ý!1,™ Ký1E %#E1Bÿ! *Ðÿ¡ý2 [ ý!1; %# œ ™’) % ôÿ ý!1‡ ý!ÿ¤~{«K!+#+’ÿ% + +ëý!! qÐÿ#ëý! ›ýx   3Eš/1#; ¡ý+! %ëý!ÿÇÿ ý!1 P!+¡ý†þ

(142) ý1Çý1#,›%+Ïý+ %[v %¤ ý  ±+ =+ !#ý mq ˆ1/ÿ! *Ðÿ¡ý %O³©ÿ%!+¡ý!*eÿ! üíý!1e#!ëý!ÿv0’!0O+ + % F = j×B ýÿ 3 ÿ !-.+¡ý{ü¼ý!1& ¡ý+¸$ %+ˆÿ‚ý Ký +3 X( "„ ýÿ% }þ

(143) ý!1|ý1#&/ÿ##) %

(144) vÿ(¡ j © ý1ŠÐÿ(±¤! Kýÿ†þoc+ +™Oh Ký±ý1Š™’¤#¤6ÿ%ý1 o + ýÿ%, %!Šq ¤!++¡ýþ

(145) ý1 ý1 /¡ý!0ëý Kýÿ~œ$ + 2#46   3. d Š. ¦ 4•/“›UœÐ¥¨4œ¤¥/4 e ‘ 4Eö ¥ ¦§¥÷©‘@žUœ ˜ ¥ T  !;/ÿ;þ E0âÿ ý!ÿÇýÿ~Ðÿ%v0 !]ý1;! !ý vÿ™Bý2 ƒþ

(146) ý!1ný!1ôýþ±ÿ^vÿ+  + +™O+; %™ÿŽ›%%3 š/1 þ

(147)  ’™Oc) %! +’ÿBý[ñýþ±ÿ# «’+!¡ý

(148) !ý! Ký!ÿ µ² 3X(+ ýÿ%,#3 ¥‚ü þm,-. %¡ý!ý2 ý ›%+{^ëÿv0 %!ñý!1q› % ¤ÿ%àý1‡¤! )›(ý2 Ký!ÿ %° +-.+ + Pÿ ý1#ñýþÿ †ÿ ˆ %— bX(ëýÿ¦#3a*üDþoq-. % ý Ký{›+{wÐÿ%v0 !†ý!1q+ !#ý ˆ§ý!1=ëý %°0 % ÿ  ¤&ëÿ#±¤# Ký!ÿ, !+™O+H %™ÿŽ›%y^X(+ ýÿ^a(3d(3 š/1‡Bÿ ) " %00#ÿj %21¦ "Ÿ./ÿ;þ

(149) Çýÿw™O‡†ÿ= .›‚ÿ ›%+éü ™*ýP†ÿ%!q+ %™ vý!1 %  ) % % %  ! (þ

(150) 1Pý“Ðÿ+ (ýÿh Ïý2 %™ ýxc  ! +3z³#) %“ ý2 ™ ýxy % %  ! ²v )ˆ + +ÿëÿ  TÐÿ%+ †ý!1 Ký& H Ïý2 Ký!ÿ T ý Kýv y ý %™ %3,š/1=vÿ Ïýˆ$ %vÿ |5˜# %0   àý1 ý!!™#+#+ ý1 Kýcv JH5›+ÿ0ww 1) e3ÿ;þ

(151) cÿ 

(152) /ÿ  c."™O+ c !21mý1 Ký ý1Š„ % % !1+ %m3ÿ;þ  o ý  ) ! " ý2 ™"œ$ !hÿmt˜# %v0#f2 6   3zš/1# m m+„ ý+†ýÿ .

(153)  

(154)      ! "#$

(155) %&  ')(+* , #-."&!-./0',#1)-. t=0. t=T/4. Bz. Bz F=j j. j. j. B j. F=j. B j j. 78') . ; -."#"1)8 )?)

(156) 1-'/:

(157) 1)-.1. ý1"$ ëýçý1 ýy !0O+ëý! %  %   h/ÿ+ y/ÿKýy¤ %! %¡ý+s Ïý2 %™ ýx|ÿT #±ý5}+# !ÿ% %  ý!+ hœ Ðÿ¡ý! %¸¤ýÿy±ý!5}+ ÿ %# ¸( Ïýv   3±ùôÿÐÿJ›Ðü#) %z Ïý2 %™ ýxP %   ! ) %#/ÿ‚ý 1+ 06ýÿŠëÿ+ ° # Š0O+Ïý™ Kýÿçÿ% Y ý Kýÿ %¸h ý Kýþ

(158)  + %çýÿe#™ÿ#+ ! !0ÿ !œGA$g$9+g°{ý1c Ïý2 Ký!ÿ  ý Kýc °¶G# ý2 ™t·   3 Rx+éü/ý1#c#) %*+q+-. ýÿ% %ÿ%¦ Ïý2 Ký!ÿ %T Ïý2 Ký!‡ %!› % ~ÿ& !v % °0O+Ïý™ Ký!ÿ'33Rx ý1#=)  !ñÿ%

(159)  %!¤% › Kýÿ  ÿfý!1m Ïý2 Ký!ÿ %y Ïý2 Ký!‚üKý!1 “ %  !0Býÿ& “Bÿ‚ý“› % ˆ %j†ÿ%3Dú ÿ;þm5›Ðü ýe !+v y ,ý!++ ý!¤ñýÿ‡! Ïý2 %zý1#Pý! ßÿ%ý1P + %! *++€ %00 ÿj %21éü Pýh "21; !

(160) +v %#¤"  ÿ ý!1yÐÿ0Bý Kýÿ %O›( ëþ

(161) 0ÿ¡ýeý!1 %]ý1y/ÿ##) %[vÿ+V3 X( +mý!1 0w0#ÿ™ + œ Z    ‡ + %ÐüŠý, , ý! %ŽýÿE ý!#cý1 ,  ý!+ ™j 3 \h€ý!1zÿ‚ý1,1 %éüŽý!1T  %mýx0’ ¦ !0O+ëý! %| % %  ! ]ÿ%6ý!1~= Ký!! ˜ K − βG ÿ%c #ÿ!v Ký!ÿ¦ †ÿ™*ý2 % +ƒÿƒý!1 /ÿ% ) %s ¸( Ïý œ¸¥   ™jE0’ÿv ¤  !0O+ ý! % % %{ ! ßÿ%(ý1ˆ1+ ¤1¡ý¯ÿz v0ÿ ,ýàÿ%(ý1ˆ¡ý$ %‚üO % Š  #ëýÿaÿ%1ý v3mš/1ˆ+  ý1. çýÿ;Ðÿ0 %¤ý1 ! ýþÿH !0O+ëý! %° % %  ! +3š/1#v!+ %z! !ý Óÿ%:X(+ ýÿ%^#3a þm!|0! !,ý!+H 2{¥)63 éŠ . ’“%•¡ ©›@4;•#4%›¥¨4•3ž=¦§¥÷©‘@œ. ” ›+¸ 0|0+{H1j ÿ(# v + aKû ) % "

(162) ± ýcëÿ ! ++'3Šš/1Xýþ±ÿq  !mÐÿ¡ý2 "P h™ÿ)˜ ÿ’ +¤Ký1 % %P1+ ¤1¡ý þ

(163) ý!1 ý2 %Ÿ.#¤¯ý1+[› % + µ 4 2h h = h 1 = h2   ž#3 BüKž(3‰¨ %—¥,œ$ %ý!1&.+)  › % + e %!ˆ¤ ›%+€  !+wý 3eš/1#&¤! J›ýxH   ü ñý1h› !Ðÿ% !ýx= [&ý!0 +™jw¥Jžžqœþ

(164) 1 21; / "ÿ%¤1  › +‡™j€¥)ž,œ F r = 10−2 †ÿ ¤Óÿ%©ý™+c5«Këý!   3°š/1ˆÿ‚ý!1+/0 % %ëý!+

(165) %!Žý!1/ÿ !ˆÿ“š“ %™ + c¥y %# a3 Rx ý1

(166)  + %­  Ïý+ œ Z   üý!1

(167) +¤%+# +-.+#+ m !

(168) ! v0{ œTþ

(169) 1+ ω = ckm,n m, n ∈   # ü .       Ž   ý  1 c  v  K. ! ý !  {  ˜  › %.     .  1 +  . 3 x R ’   ý  1 c  +  %. !. ˆ  % ÿ ©  ! ý  1 c  /   ÿ  .      +  %. m  vÿ+­œ¸¥   ü*þo 2 N \ (0, 0) G Ðÿ# !#+ý1ý!­›‚ÿBý!ÿçÿ% /0âÿ ¡ý©ÿÓý!1 ¡ý$ %Šœ$ÿ) ý+çÿˆý!1o¤1¡ý¡™ÿ %‚ü   %#^ý! |£Sÿ%! +ˆý! % ÿ%! œ$ +=£²¤#!s   ü(ý1#v™ÿ)˜~™’¤; !™#výý ýÿ. Ký x=2 0’!ÿ( eýý ¤ˆþ

(170) ý1v !+-. a(3z£3ÿ=ý1àý1+e› % + ±ÿ% ü(ÿ°0 2Ÿ [ %00O) %oíý!1 h  !-#+5T!+0#!+ +¡ý2 ýÿ% œ$ %0 %Ïýh ÿ ý1Pt˜(+ý Kýÿ€ !-.+5 a   3ˆš/1P !+-.+ + ÿ%Dý!1+ ˆ0#2Ÿ. e !|Ðÿ0 %+]þ

(171) ý1]ý1#|ÿ#Y =  ý/¤vÿ( ßÿ%Dý!1ˆ + %/vÿ(3 š² ™,w !1Bÿ%þ

(172) v €› ¤ÿ@ÿ( ¤!++¡ý$üþ

(173) 121 % ÿwÐÿ% ý!ý*ý+  €› %  Ký!ÿ ÿ%¯ÿ% .v! ) %(!+ ÿ*ýÿ% ÿ%Sý1

(174) /ÿ% ) %“†ÿ3V ÿ‚ý!+±ý1 KýÐü. % ­t˜#0O+ ýéü@ý!1/{«K!+#+ ™’ ýþm+cý1€› % + íÿ%ˆý1w¤# !-.+ ‡!)  !+ ’þ

(175) 1  +) % + ÐüŠ ! +sý!1 h › % ýxvÿ%4ý1y 1 %ÿ;þ[þm KýY % ! v0*ýÿ%^œ  Z   ëý!+ÿ! Ký +3. .

(176)  

(177)      ! "#$

(178) %&  ')(+* , #-."&!-./0',#1)-. 0.4300. 40 36. 0.3867 32 28 0.3433 24 0.3000. 20 16. 0.2567 12 8 0.2133 4 0.1700. 0 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. 160. 180. 200. 0.6300. 0.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 2.0. 0.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 2.0. 0.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 2.0. 40 36. 0.5867 32 28 0.5433 24 0.5000. 20 16. 0.4567 12 8 0.4133 4 0.3700. 0 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. 160. 180. 200. 40 1.120 36 1.078. 32 28. 1.037 24 20. 0.995. 16 0.953. 12 8. 0.912 4 0.870. 0 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. 160. 180. 200. 78')  );I(G"#A,#A, ) -'HA?) -'1 A -'HA?) S1 A,  EH .>F G-.1:A,?) G 8'? A -')1  O '  H )1>NA#-.15-HDA#/:  "#

(179) H A  1  -') #  A '1EH -' /b-HA?) E8'1" #8.? A  =P? 1&)/:  ,C>

(180) '"    ,x/:=

(181) 1 2A P   EH -. ,/:  ,#1)8 A?) 01)-'1"#1) ' /:- )

(182) "  #A,? A?) ,  0%B")  -'H ;  A-    h = 0.5  /K    "   h = 1 h = h1 = h2 h = 0.3  -'AEA,-./ . . h h = 0.3 h = 0.5 h=1.  ÿP¥ † ž#3{¥)a4 Pž#3{¥Jžj¨ ž#3{¥ 4D a Pž#3{¥J  ž#3Caa% § Pž#3 ¥)§#¥.  ÿ(#Ya v ž(3Ca¨¥

(183) Pž#3a%§ ž(3dDa% ¨ Pž#3 j¨  ž#3[Z.¨% § Pž#3[Zjžž. †ÿy ž#3    Pž#3#Z  ž 3[Z   Pž#3#Z§ž # ž 34   sž(3‰¨%ž¨ #.  ÿ(# Z v ž#3d¨%ž sž#3d¨%  ž#3#4Zj § sž#3d¨ (¥ ž#3 §#¥  sž#3d¨  ¥. 7 )" );  -'/  ' ,CE-.1g-'HA?) H -' E/0'"#" EA

(184) 8'

(185) 1)H , .

(186) 1>

(187) # M

(188) ;H -' IA,? G"#1) M  "1) ' ,

(189) K,?'"#"-PBA

(190) /:- 

(191) "  .- 1 A ?) "#

(192) H AS-H A,?) ,"C',?)1  H -' PA?) 1)-.1)"#1) M /:- 

(193) "E9 -'1JA?) ! ,8'? A -H7A,?) ,"C',?. . §. . .

(194)  

(195)      ! "#$

(196) %&  ')(+* , #-."&!-./0',#1)éŠ d. h. ‘.4$•3ž 4  •3÷_“%¥âž

(197) ž

(198) ›U¨. TvBÿ%þ +3 éŠ d Š . Ðÿ ˆý1 ý ýˆ) % = !+™O+ X(+ ýÿba(3 Büþ

(199) ý!1^ ,0 %! % + +0 0’. fe ‘sžU›

(200) ¨4‘,•/“†¦§¥÷©‘@ž. Tuý1q ˆ¤ÿ;þ

(201) #¤ˆ› %# ÿ%ý!1Š›%+Ïý+ %Këÿ0âÿ#+¡ý}ÿ%¼ý1hv %¤#ëý /±+ éüKA$g$9+g1þ

(202) ý!1q ¤ ÿ;þ

(203)  ¤P›% ˆÿ% ü ÿy Ïý2 %™ y†ÿ+

(204) 00’+ %Ðü/þ

(205) 1#21;Ðÿ!+ 0âÿ% ýÿs+¤%+j› %  β þ

(206) ý!1;Bÿ,*++ ÿv = ¤ 0 %Ïý +3   2 š4ÿ€#+! Ïý2 %#jý!1 ëüÿq+ %— 0 ~Ðÿ% ! +Óý1ñýÿŽ0 ÿ™ k1 0 K = 2  0 k2    2 % 0 1 3 š/1 ý1q¤j›%  6ÿ% k1 −β ÿ{› 2 G = K − βG = λ − −1 0 β k22     2 2 þ

(207) 1 21 

(208) -# › %¡ýàýÿ 3 k 2 +k 2 k 2 −k 2 (k12 + k22 )λ + (k12 k22 + β 2 ) = 0 λ − 1 2 2 = 1 2 2 − β2 š/1. Ðü % ¤ ÿ%þ

(209) ëüBý1#Žýþÿs+ ¤+j› % + ëü ý % ý!¤&  ÿ  2 ÿ ü¤%ëý/ÿ + β k12 k2 β = 0

(210)

(211)

(212)

(213)  %,+ÿ !/¡ý âý1#‡+ ýeþ

(214) 1+

(215) k12 −k22

(216) 3 m‚ÿ]ý1 }ý1+ 1/ÿ

(217) k12 −k22

(218) ü β=

(219) β>

(220)

(221)

(222) ý1výþÿw¤j›%  & %=ëÿv0#5˜ëÿ]¯¤j2 ý%µ ý!1q ™ ÿ Bý› %vÿ%}ý!1+ & = %¤%2 %¸   2 2 2 1/2 3

(223) š/1 Y  Ïý ý+ eý!1ˆ$ % ý ý!1 Kýe %   ý %™ ýx== )]ÿ+ 0 %Ïýe k −k 2 β − 12 2

(224) 2 2

(225)  ™jH¶Gëÿ  !ÿ|ÿ±ýþ±ÿH¤j›%  ¸·23 Vàÿ‚ý + ý!1 Kýˆý1#!ý+ %“› % 

(226) k −k

(227) βcritical =

(228) 1 2 2

(229) *+ÿ€{ý1#†ýþ±ÿw+¤%+j› % & != ý!„ %  ]ý1#=  vµ 2 3,š/1 ˆ !ý Ký!ÿoÿ++#! k1 = k22   ~0 ëý +~ !-. %q¤ëÿv ý+ vœ ÿy5˜# %0Kü“  2 2 3 Rxoý1 L =L k = k0,1 ) % ‚ü(ŸŠÿo ) O+  Ðü,ý1#h†ÿx ’0y+ ëý! ±ý1 Ký}ý1#e+’ °1,0  ý %™ c % [ ÿ*ÿq % 3 β>0 ³ëýe h/ÿ;þ 0O+ÿ%!• %w5˜(0O++¡ýŽÿ€ s¶G) %  ý!t·y¤Ðÿ%v ý%3eš/1&21 % ëý! ý  ý vv P ! ý¤ýÿ ÿmý1 ý 3^š/1#;#+ ÿ Xÿ% ý!1‡+/ ! ü T ' 6s c = 1 Lx = 3 m %yý!1€› ý ) %Š= ¤ëý!;±+ ¢ q# ÿHµ 3 Rxcý!1 =) % ‚ü Ly = 10 m B ≡ 1  Z π    /0,z ›%+ ü4þ

(230) 1+ 3;š/1v+¤%+j› % 0 m    eÿ( bm,n = bm bn bm = sin(mx) dx = 2 ÿ% + % ™O&.++ %0{qÐÿ%v0*ý+¼üK % Š  m#ëý!ÿm ôÿ% 3:T&! ý!! ý¯ÿ%! + ›%+ K − βG β   3uš/1H! !ý q ! ýÿoý1H†ÿ+ þ

(231) ý1 œV  (m, n) 0 ≤ m, n ≤ 3 (m, n) 6= (0, 0) 0ÿKýýsÿT£² ¤UZ3 ” ¤%ÿ;þ

(232) Ðüéý!1&± ýy+ ¤+j› % 6þ

(233) ý1wv %¤  %¸‡0 %Ïýy %00O) % β ÿ[ ÿv ü  ÿ ý!1cÐÿ% !ÿíÿ% vÿ(#+  3²š/1+éü/ý!1 β ∈ (0.244, 0.245) (0, 3) (1, 0)  Ïý2 %™ y†ÿe¶G+ ý %™ *+ G·eÿ

(234) ÿv 3 š/1ˆ ¸ ý  eý1 Ïý2 %™  β ∈ (0.502, 0.503) ÿ 3e£“ %  ‚ü/ý1" ¸ ý ™O+Ðÿ%v e5±ý!+{ # ý2 ™|ÿ „ !¤ β ∈ (0.503, 0.514) β ý1 H s+ý!) ’› %#cñý1#| ¡ý+¸› % 3 (0.514, 0.515) š/1 m.+) ’t˜#0O++¡ý[   ý! Ký!+ ý1Š !0! ! ¤&$ % ýý1 Ký±ý!1h ¸( Ïýv J™O  Ïý2 %™ /ÿ ÿ[› % ±ÿ ü % ý %™/ÿ  %!¤­› % ÿ% µ“ ý %™ Yvÿ+ v J β β ¶G+ ý %™ *5·3 Rýˆ % ÿ %0#0’+ %! ˆý1 Kýçý1s+ý!)  ÿŽþ

(235) 1 21^¤.s# ý2 ™svÿ( β %00O) % ² “! Ký1² = % .Ðÿ0 %+6ýÿh!+ % ý!z› % /œ ýx(0#)  c› % “™Oëýþo+ % β 6 ÿ[# ý!! %K+   3zš/1 / # ý! Ký ±ý!1c$ %ëý}ý!1 Ký

(236) ý/ /+ !  ’ýÿs ý!c 340 ý %™ ýx]ý1#!+ 1/ÿ Tÿ%Žý1P = %¤% %¸,0 %Ïý çÿ%ý1s¤.› % + ëümÿ+ˆýÿ’ÿ™Bý2 T !+ % ý Š› % hÿ 3 βcritical T±þ±ÿ " Ÿ%ýÿe+¡ý!ÿÓý1 Ký²ý² % ÿe0ÿ ! ™ =ýÿ¯ÿ™*ý2 % " e %!¤ › % =ÿ% ™j β ¡ý ÿ(#+ ¤y h ! ýÿXý!   ý1

(237)  + %­vÿ(¡œEZ   üýÿyvÿ(#+#+21 %+ % ! critical 0 Ký!ÿ# ¥Jž.

(238)  

(239)      ! "#$

(240) %&  ')(+* , #-."&!-./0',#1)œV % ev,ý!ÿ#+€  œ °¨    3 Rx 2 ¥ 6ü’ýe h 1/ÿ;þ

(241) zý!1 Kýe¡ý ÿ(#+#¤q = ! ëý!ÿH„ $þ %vÿ¡ý }ýÿ+0 %+ ¤ ý1#|-. Kýÿaÿ œ Z   ™j’µ η   ∂η ∂2η ∂φ ∂B 0,z ∂φ ∂B 0,z 2 2 +γ − c ∆H η = c − , ∂t2 ∂t ∂y ∂x ∂x ∂y þ

Cytaty

Powiązane dokumenty

cyjne układy urbanistyczne na obszarze Ziemi Krakowskiej z XIII i XIV wieku, Kraków 2004), sztuki Krakowa i Małopolski (m.in.. Ze studiów nad historią i sztuką pogranicza

Przykładem tego jest, jego zdaniem, wpływ filozofii pi tagorejsico-platońskiej na matematyzację nowożytnej fizyki oraz związek atomizmu Dem okryta z atomistycz- nymi

A dynamical system is called positive if its trajectory starting from any nonnegative initial state remains forever in the positive orthant for all nonnega- tive

Przywołane postaci stw orzone przez Stiega Larssona z pew ­ nością są tego potw ierdzeniem.. Ba, m ożna wręcz pow iedzieć, że dobry k ry m in ał bez w yrazistych postaci nie

Trwałym dorobkiem tego kierunku badan´ było stwierdzenie, z˙e objawienie dokonało sie˛ w historii zbawienia (Heils- geschichte) i z˙e to włas´nie ona jest najlepszym kluczem

Nie oznacza³o to oczywiœcie, ¿e zamykano wszystkie organizacje w guberni witebskiej. przez petersburskie Towarzystwo Mi³oœni- ków Jêzyka Hebrajskiego oddzia³u w Witebsku nie

With the time the tradition concerning the celibacy was modified: the priests (presbyters), married before the ordination, were allowed to continue to live in marriage,

Figure 2 (a) Contact angle of CO 2 /water/shale system as a function of pressure at a constant temperature of 318 K, and (b) Advancing and receding contact angles of quartz in