Liczba urodzonych dzieci

Rachunek Prawdopodobieństwa i statystyka W 10: Analizy zależności pomiędzy zmiennymi losowymi (danymi empirycznymi)

Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407

adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Odkrywanie i analiza zależności pomiędzy zmiennymi ilościowymi (liczbowymi)

Przedmiotem kolejnych dwóch wykładów będą zależności dla – Zmiennych jednowymiarowych

• Korelacja liniowa

– Korelacja liniowa

– – test istotności współczynnika korelacji liniowej

• regresja prosta

– Współczynniki regresji, wyznaczanie ich MNK

– Ocena dopasowania modelu Współczynnik determinacji – Standardowy błąd estymacji

– Współczynnik zmienności losowej

– Zmiennych wielowymiarowych

• Macierz korelacji

• Korelacje cząstkowe

• regresja wieloraka

Metody statystyczne stosuje się do badania struktury zbiorowości

i zależności pomiędzy jej cechami

• Metody statystyczne dotyczące analizy struktury zbiorowości opierały się na obserwacjach tylko jednej cechy, a jeśli brano pod uwagę kilka cech, to każdą analizowano oddzielnie.

• W wielu przypadkach, do poznania całokształtu zagadnienia potrzebna jest analiza zbiorowości z punktu widzenia kilku cech, pomiędzy którymi występują pewne zależności

• Odkrywanie postaci i siły zależności występujących pomiędzy cechami zbiorowości są przedmiotem analizy korelacji i regresji.

• Uwzględniając liczbę zmiennych (analizowanych cech zbiorowości) rozróżnia się następujące odmiany zależności

wiele zmiennych wielowymiarowa

jedna zmienna wielowymiarowa

wiele zmiennych jednowymiarowa

jedna zmienna jednowymiarowa

niezależna (objaśniająca) zależna (objaśniana)

Rodzaj zmiennej

Wprowadzenie do analizy zależności pomiędzy danymi statystycznymi

• Celem analizy jest stwierdzenie, czy między badanymi zmiennymi zachodzą jakieś zależności, jaka jest ich:

– siła (współczynnik determinacji , współczynnik korelacji)

– postać ( dopasowanie funkcji reprezentujących zależność - aproksymacja)

– kierunek (monotoniczność)

• Współzależność między zmiennymi może być dwojakiego rodzaju:

– funkcyjna

– stochastyczna (probabilistyczna).

Przykłady związków funkcyjnych

i statystycznych

Rodzaje zależności pomiędzy danymi - zależność funkcyjna

• Istota zależności funkcyjnej polega na tym, że zmiana wartości jednej zmiennej powoduje ściśle określoną zmianę wartości drugiej

zmiennej.

• W przypadku zależności funkcyjnej: y = f (x), każdej wartości zmiennej (X) odpowiada jedna i tylko jedna wartość zmiennej (Y).

• Symbolem X oznaczamy zmienną objaśniającą

(niezależną), natomiast symbolem Y - zmienną

objaśnianą (zależną ).

Postać związków – przykłady dla

jednowymiarowej zmiennej objaśnianej (y), gdy jedna jest zmienna objaśniająca (x)

y=2x+1

0 1 2 3 4 5 6

0 0,5 1 1,5 2 2,5

y=1+xcos(x)

-3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00

0 1 2 3 4

x

y= EXP(x)

0 ,0 0 1 ,0 0 2 ,0 0 3 ,0 0 4 ,0 0 5 ,0 0 6 ,0 0 7 ,0 0 8 ,0 0

0 0,5 1 1 ,5 2 2,5

x

a b

c d

y=log x

-1,50 -1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

Rodzaje zależności pomiędzy danymi Zależność korelacyjna

• Zależność stochastyczna występuje wtedy, gdy wraz ze zmianą wartości jednej zmiennej zmienia się rozkład prawdopodobieństwa drugiej zmiennej

• Szczególnym przypadkiem zależności stochastycznej jest zależność korelacyjna (statystyczna).

• Zależność korelacyjna polega na tym, że określonym

wartościom jednej zmiennej odpowiadają ściśle określone średnie wartości drugiej zmiennej.

• Związki typu statystycznego są możliwe do wykrycia oraz ilościowego opisu w przypadku, kiedy mamy do czynienia z wieloma obserwacjami, opisującymi badane obiekty,

zjawiska czy też procesy

Badanie zależności statystycznych pomiędzy danymi empirycznymi

• W badaniach statystycznych zależności pomiędzy

cechami najczęściej sprowadza się do funkcji liniowych.

• Nieliniowe związki pomiędzy zmiennymi mogą być

opisywane przez wielomiany drugiego i wyższych stopni albo przez inne funkcje (wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne itp.) .

• Przy podejmowaniu decyzji o wyborze funkcji

aproksymacyjnej, opisującej w przybliżeniu związek pomiędzy analizowanymi cechami, pomocne jest

sporządzenie wykresu rozrzutu wartości badanych zmiennych.

• Jeśli okaże się, że pomiędzy zmiennymi widoczna jest

zależność i nie jest ona liniowa, wówczas trzeba znaleźć

odpowiednie rozwiązanie nieliniowe

Miarą siły i kierunku zależności liniowej jest współczynnik korelacji liniowej

• Statystyką, która opisuje siłę liniowego związku pomiędzy dwiema zmiennymi jest współczynnik korelacji z próby

(

• Przyjmuje on wartości z przedziału domkniętego <-1; 1>.

• Wartość -1 oznacza występowanie doskonałej korelacji ujemnej (to znaczy sytuację, w której punkty leżą

dokładnie na prostej, skierowanej w dół), a wartość 1 oznacza doskonałą korelację dodatnią (punkty leżą

dokładnie na prostej, skierowanej w górę).

• Wartość 0 oznacza brak korelacji liniowej

) ( ) (

) , cov(

Y D X D

Y

= X

ρ

Przykłady układów punktów przy różnych

wartościach współczynnika korelacji liniowej

Wzór do obliczania empirycznego współczynnika korelacji ma postać

gdzie:

• x_i oraz y_i oznaczają empiryczne wartości zmiennych, odpowiednio, X i Y, natomiast

• x oraz y oznaczają średnie wartości tych zmiennych.

Współczynnik korelacji daje też informację o kierunku zależności, bo jeśli małym wartościom X odpowiadają przeważnie małe

wartości zmiennej Y, a dużym wartościom X duże wartości Y, to licznik wyrażenia dla r będzie dodatni, mianownik jest zawsze dodatni, zatem r>0 oznacza zależność rosnącą, r<0 –malejącą.

Test istotności współczynnika korelacji liniowej (Pearsona)

Badane zmienne (X, Y) mają dwuwymiarowy rozkład normalny, o nieznanym współczynniku korelacji ρ.

Z populacji wylosowano n – elementową próbę i wyliczono r Zweryfikować hipotezę H₀: ρ = 0

wobec jednej z hipotez alternatywnych

H₁: ρ ≠ 0 lub H₁: ρ < 0 albo H₁: ρ > 0

Funkcja testowa ma postać:

a gdy n>100 to

zmienna t ma rozkład Studenta z n-2 stopniami swobody;

u ma rozkład normalny. Hipotezę H ₀ odrzucamy ilekroć wartość obliczona funkcji testowej znajdzie się w obszarze krytycznym (zdefiniowanym przez hipotezę H₁)

2

1

−

= − n

r

t r ⁿ

r u r

1 −

=

Niejednoznaczność informacji przekazywanej przez współczynnik korelacji - przykład

Zależność pom iędzy liczą bocianow i liczbą urodzin dzie ci

y = 0,182x + 1,3015 R² = 0,9654

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 20 40 60 80 100

Liczba bocianow

Liczba urodzonych dzieci

Interpretacja: przez analogię do filmu Seksmisja:

jeśli bociany to miejsce wybrały musi to być „zdrowy” region –

pomyśleli młodzi i postanowili się tu osiedlić

R=0.9825

Regresja prosta (regresja liniowa)

Analiza regresji stanowi w stosunku do analizy korelacji dalszy krok w zakresie ilościowego opisu powiązań zachodzących między zmiennymi.

• Model regresji liniowej prostej przyjmuje postać:

Y = β ₀+ β₁ x + ε gdzie

β ₀ oznacza wyraz wolny, β₁ współczynnik kierunkowy, a ε błąd.

• Zazwyczaj nie wszystkie punkty układają się dokładnie na prostej regresji. Źródłem błędu są wpływy innych nie uwzględnionych w modelu zmiennych, takich jak np. błędy pomiarowe.

• Zakłada się przy tym, że błędy mają średnią wartość równą zero i nieznaną wariancję oraz, że błędy nie są nawzajem skorelowane.

• Współczynniki regresji β ₀ β₁ można wyznaczyć korzystając z metody najmniejszych kwadratów.

Istota metody najmniejszych kwadratów - MNK

• Wprowadzona przez Legendre'a i Gaussa, jest najczęściej stosowaną w praktyce metodą statystyczną

• Jej istota jest następująca:

– Wynik kolejnego pomiaru y_i można przedstawić jako sumę (nieznanej) wielkości mierzonej y oraz błędu pomiarowego ε_i ,

• Od wielkości oczekujemy, aby suma kwadratów była jak najmniejsza:

( ^ˆ )

^min

2

= ∑ − =

∑

i

i i

i

i

y y

ε

Ocena stopnia dopasowania modelu do danych rzeczywistych

• Zasadniczy cel analizy regresji polega na ocenie nieznanych parametrów modelu regresji. Ocena ta jest dokonywana za pomocą metody najmniejszych kwadratów (MNK).

• MNK sprowadza się do minimalizacji sum kwadratów odchyleń wartości teoretycznych od wartości rzeczywistych (czyli tzw.

reszt modelu).

• Dopasowany model regresji prostej, który daje punktową ocenę średniej wartości y dla określonej wartości x przyjmuje postać:

• gdzie f(x) oznacza teoretyczną wartość zmiennej zależnej,

• b ₀ i b₁ odpowiednio oceny wyrazu wolnego i współczynnika kierunkowego, uzyskane na podstawie wyników z próby.

x b b

x f

y ˆ = ( ) =

+

MNK

( )

∑ ^{− + =}

−

∂ =

∂

i

i

i

b b x

b y

y 2 (

) 0

0

( ^ˆ ) ( ⁽

⁾ )

^min

2

= − + →

− ∑

∑

i

i i

i

i

i

y y b b x

y

Wyrażenie

Osiągnie min wtedy i tylko wtedy gdy

( )

∑ ^{− + =}

−

∂ =

∂

i

i i

i

y b b x

b x

y 2 (

) 0

1

Współczynniki równania regresji liniowej

2 1

1 1

1 1

1 1

0

) (

) )(

( 1

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

−

−

−

=

−

=

 

 



 −

=

n

i

i n

i

i i

n

i

i n

i

i

x x

y y

x x

b

x b y

x b

n y

b

Interpretacja współczynników regresji

• b

jest punktem przecięcia prostej regresji z osia wartości y (rzędnych)

• b1 oznacza przyrost wartości prostej przy

jednakowym przyroście argument

Interpretacja równania regresji (r r l)

• b₀ jest punktem przecięcia prostej regresji z osia wartości y (rzędnych)

• b₁ oznacza przyrost wartości prostej przy jednakowym przyroście argumentu

• Łatwo wyliczyć związek współczynnika b1 z wartoscią współczynnika korelacji próbkowej

x x

x b b x

b b b

− +

+

− +

= +

) 1 (

) (

)) 1 (

( _{0 1 0 1}

1

x y x

y y

x n

i

i i

x n

i

i i

n

i

i n

i

i i

s r s s

s s

s n

y y

x x

s n

y y

x x

x x

y y

x x

b =

−

−

−

− =

−

−

=

−

−

−

=

∑ ∑

∑

∑

=

=

) 1 (

) )(

( )

1 (

) )(

( )

(

) )(

(

1 2

1 2

1 1 1

Interpretacja równania regresji (r r l)

• Prosta regresji przechodzi przez punkt o współrzędnych odpowiadającym średnim wartościom zmiennych X i Y

• Z faktu, że MNK minimalizuje sumę kwadratów różnic e_i

• wynika, ze

• Stąd wynika, że reszty nie mogą być dowolne, w szczególności nie mogą być jednakowego znaku

y x

b x

b y

x b b

x

y ˆ ( ) =

+

= ( −

) +

=

i i

i

y y

e = − ˆ

0 )

( (

ˆ )

(

1 1

1

= +

−

=

−

= ∑ ∑

∑

=

=

=

x b b

y y

y

e

n

i i

i n

i n

i

i

Typowanie postaci zależności- Statistica/wykresy/

wykresy rozrzutu 2W

Wykres ilustrujący zależność pomiędzy średnią

temperaturą a zużyciem gazu

Regresja wieloraka

Regresja wielomianowa dla n=2

( ^{− ˆ} )

^{= ∑} ( ⁻

⁻

⁻

)

^{→ min}

∑

i

i i

i

i

i

y y b b x b x

y

2 2 1

)

ˆ f ( x b b x b x

y = = + +

W s p ó ł

Współczynniki b₀, b₁ i b₂ wyznaczymy z układu trzech równań utworzonych z trzech pochodnych obliczonych

względem zmiennych b₀ , b₁ i b₂ i przyrównanych do zera

Regresja wielomianowa

Linearyzacja funkcji nieliniowych

a bx

y =

ax b

y =

e bx

y =

Ocena dopasowania modelu do danych Współczynnik determinacji R

• Jeśli wartość współczynnika determinacji R

(wielkość ta oznacza kwadrat współczynnika korelacji) jest duża, to oznacza , że błędy dla przyjętego modelu są stosunkowo małe i w związku z tym model jest dobrze dopasowany do rzeczywistych danych

• Licznik reprezentuje tu zmienność wielkości y obliczonej z modelu, a mianownik jest miarą zmienności empirycznych wartości y

• Współczynnik R

, przyjmujący wartości z przedziału [0,1], jest zatem miarą stopnia w jakim model wyjaśnia kształtowanie się zmiennej Y.

Im jego wartość jest bliższa 1, tym lepsze dopasowanie modelu do danych empirycznych

∑

∑

=

=

−

−

= _n

i

i n

i

i

y y

y y

R

1

2 1

2 2

) (

ˆ ) (

Analiza reszt

• Reszta odpowiadająca i-tej obserwacji wyraża się wzorem , gdzie i=1,2,....,n

• Wariancja resztowa będąca oceną wariancji składnika losowego wyraża się wzorem

Pierwiastek z wariancji resztowej, czyli odchylenie standardowe reszt S

, zwane standardowym błędem estymacji jest najczęściej stosowaną miarą zgodności modelu z danymi empirycznymi.

i i

i

y y

e = − ˆ

2

1 2 2

−

= − ∑

=

m n

e S

n

i

i e

Współczynnik zmienności losowej

• Wielkość S_e² wskazuje na przeciętną różnicę między zaobserwowanymi wartościami zmiennej objaśnianej

i wartościami teoretycznymi obliczonymi z prostej regresji.

• Współczynnik W , obliczany według wzoru

informuje o tym jaką część średniej wartości zmiennej objaśnianej stanowi błąd standardowy estymacji.

• Po wyznaczeniu równania regresji ( modelu) należy sprawdzić hipotezę o istotności otrzymanych współczynników regresji,

• W tym celu przeprowadzamy testy istotności t .

y

W = S

Podsumowanie

• Analiza zależności pomiędzy badanymi cechami polega na określeniu

– Siły

– Kierunku

– Postaci – modelu matematycznego

Analiza stopnia dopasowania modelu

matematycznego do danych empirycznych