FIZYKA OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

(1)

Vitalii Dugaev

Katedra Fizyki i Inżynierii Medycznej Politechnika Rzeszowska

Semestr zimowy, rok 2017/2018

FIZYKA OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

(2)

Ciepło właściwe:

Dla niskich temperatur, T<<θ,

 

 _

 

 



 

 

 







 

^D

x

x x B

V

e

dx e x Nk T

T C E

0

2 3 4

1 9 

 

 _

 

 



  T T

Nk

C

_V _B

,

5

12

⁴ ³

9 15 9 1

3 4

0 3 3





   ^ ^ _ ^ ^ _ ^



 



 ^Nk ^T  ^T 

^

_e ^x ^dx ^Nk ^T ^T

E

_B _x _B

C

V

(3)

2

 



   

^ ^ ^



 

  









 

 



0 3 1

4 0

3

0 0 1 1

3 3

1

1 1 t e dt

dx s e

x e

dx e x

dx

I x

^t

s sx

s s

sx x

 

1 1 1

...

1 ...

²

3 2

1

 











 







x x

x

x x

s

sx

e e

e

e e

e

6 6

6 6 6

6 6

3 3 3

0 0

0 2

0 2 0

2 0

3 0

3 2









































 





 

 

 

 

 

 

 



t t

t

t t

t

e e

d

dt e te

e td dt

te e

t

de t

dt e t e

t e

d t dt

e

t

I

(4)

15 6 90

) 4 ( 1 6

6

4 4

1 1 4



   



 

^



s

I

Zeta-funkcja Riemanna:

Dla x=2n

gdzie B_n są liczbami Bernulliego:



^



 1

) (

s

x

 x

  ² ²   ² ^! ^, ¹ ^, ² ^,...

) 2

(

₂

2



 B n

n n

_n



n



30 , 1

42 , 1

30 , 1

6 1

4 3

2

1

 B  B  B 

B

15

4 1

 

I

(5)

GAZ FERMIEGO ELEKTRONÓW SWOBODNYCH 4

Zgodnie z modelem elektronów swobodnych większość elektronów słabo związanych z atomami tworzącymi dany metal porusza się swobodnie

Elektrony walencyjne w atomach stają się nośnikami elektryczności w metalu i nazywane są elektronami przewodnictwa

Dlaczego ściśle upakowana materia jest przenikliwa dla elektronów przewodnictwa?

Elektron przewodnictwa nie zostaje odchylony przez jony rozmieszczone w sieci periodycznej

Elektron przewodnictwa jest bardzo rzadko rozpraszany przez inny elektron przewodnictwa – właściwość ta wynika z zasady Pauliego Gazem Fermiego elektronów swobodnych nazywamy gaz nie

oddziaływających elektronów swobodnych, które podlegają zasadzie Pauliego

(6)

Poziomy energetyczne i gęstość stanów w modelu jednowymiarowym Rozpatrzmy elektron o masie m znajdujący

się na linii o długości L ograniczonej na obu końcach nieskończonymi barierami

Równanie Schrödingera

Warunki brzegowe: ψ_n(0)=ψ_n(L)=0 Rozwiązanie:

Wartość własna energii

E n

n n

n

E

dx d

m  _ 



² ² ₂

2 h

L x n x L

n

 2 sin  )

(

2 1

 

 



 

2 2

2 



 



 

L n E

_n

h m 

E

(7)

Załóżmy, że umieściliśmy na linii N elektronów.

Według zasady Pauliego dwa elektrony nie mogą mieć dwóch jednakowych wszystkich liczb kwantowych.

Liczby kwantowe: n = 1,2,... i m_s= ±½ (spin)

Dla N elektronów najwyższy obsadzony poziom n_F spełni zależność

Energię najwyższego obsadzonego poziomu nazywamy energią Fermiego E_F

Gęstość stanów gazu elektronów swobodnych w modelu jednowymiarowym

N n

_F

 2

2 2 2 2

2 2

2 



 



 

 

 



 

L N m L

n

E

_F

h m

^F

 h 

n mL dE

E dn

D 2 1

2 )

(

₂ ₂

2



 h



(8)

Wpływ temperatury na funkcję rozkładu Fermiego-Diraca 7

Funkcja rozkładu:

 

1 ) 1

( 

_E_ _k _T

 e

B

E

f

_

K 50000



B F

k E

μ nazywamy potencjałem chemicznym

(9)

Gaz elektronów swobodnych w modelu trójwymiarowym 8

Równanie Schrödingera

Jeśli elektrony znajdują się w sześcianie o krawędzi L, to funkcja falowa

Funkcje falowe, które spełniają periodyczne warunki brzegowe

będą miały postać bieżącej fali płaskiej

) ( )

2 ² (

2 2

r

r _k _k

k 

 E

z y

x

m  

 







 



 



 h 

L z n L

y n L

x n L



 2 sin  sin sin )

(

2 3

 

 



 

k

r

r k

k

r  e

ⁱ ^

V

¹ ²

) 1

 (

),...

, , ( )

, ,

( x L y z  x y z

  

...

,..., , 4

, 2

0  



_y

x

k

L

k L  

(10)

Wartości własnej energii 9

W stanie podstawowym układu o N swobodnych elektronach stany odsadzony można przedstawić jako punkty

wewnątrz kuli w przestrzeni k

Energia na powierzchni tej kuli jest energią Fermiego E_F; wektor falowy na powierzchni Fermiego ma wartość k_F

Wewnątrz kuli o objętości 4πk_F³/3 całkowita dozwolona liczba stanów wynosi

 

m

k k

k m

E k

^x ^y ^z

2 2

2 2 2

2

 



 h h

k

m E

_F

k

^F

2

h

2



 ^k

^F

^L  ^ ^Vk

^F²

^ ^N

3 3

3

2 3

3 2 4

 

 3

² ¹³

 

 



 

V

k

_F

 N

(11)

Zależność energii Fermiego od koncentracji elektronów N/V 10

Prędkość elektronu na powierzchni Fermiego

3 2 2

2

3 2 



 



 

V N E

_F

h m 

3 2 1

3 



 



 

 V

N m

m

v

_F

h k

^F

h 

(12)

Gęstość stanów 11

   

 











 



 



0 2 2

0

2 2 2

2 0

2 3

3 3

...

) ( ...

) (

2 ...

...

2 4 ... 2

2 2

dE E

D dE

E Vm k

m d k

km dk V

V k k

V d

h

h h



 



m E V

mE Vm

E E Vmk

D

2 3 2 2

2 1 2 2

2 2

2

2 2

2 )

) (

( 



 



 



 



 





h



h h



h

m E E V

D

2 3 2 2

2 ) 2

( 



 



 

 h

(13)

N/V r_s=r₀/r_H k_F v_F E_F T_F=E_F/k_B 12 10²²cm^-3 10⁸ cm^-1 10⁸ cm/s eV 10⁴ K

(14)

Ciepło właściwe gazu elektronowego 13

Zmiana E_el całkowitej energii układu N elektronów wskutek ogrzania od 0 do T wynosi

Elektronowe ciepło właściwe

W niskich temperaturach, k_BT<<E_F

     

 











F

E

F F

el

T E E f E D E dE E E f E D E dE

E

0

) ( )

( 1

) ( ) ( )

(

 







 

 

 

0

) ( E dE T D

E f T E

C

_el

E

^el _F

 







 



0

)

( dE

T E f

E E

D

C

_el _F _F

(15)

14

 ^x ê ê ^dx  ^x Ê ^k ^T Ê

T k E D C

B F T

k E

x x B

F el

B F

 



^

 



, 1 )

(

₂

2 2

 

²

2

 1

 





 T k E E

T k E E

B F

e e T

k E E

T

f (   E

_F

)

 











² ² ₂

1 )

(

x

x B

F

e

dx e T x

k E D

 







 1  3

2 2

2



x x

e

dx e x

T k E D

C

_el ²

(

_F

)

_B²

3 1 



Elektronowe ciepło właściwe jest wprost proporcjonalne do temperatury T

(16)

   

 



 





 



 





 









 



 

 



 



0 0 0

0

1 2

0 1 0

2 2

) ( 1 4

1 4 4

1 1

2 1 1

2 1

n

nt n

t t

a t

a x ax

x x

x

e dt

e te dt te

e tdt

e tdt a

da d e

xdx da

d e

dx e x e

dx e I x

...

1 1

1

₂ ₃









  x x x

x

 

^ ^

 

   

 

  



 



















 







 



 





 



 





1

2 2

1

2 1

0

2 0 0

2 0

1 0

) 3 2 ( 1 2

2 4

4 1 4 1

4

n n

n

n y

n

n n

t n

n

n n

dy n n ye

dt te

I

 

(17)

16

potas C/T

AT

3

T C   

Doświadczalny przebieg wartości ciepła właściwego potasu

(18)

Przewodnictwo elektryczne i prawo Ohma 17

Zależność między pędem elektronu swobodnego a wektorem falowym

Siła F działająca na elektron w polu elektrycznym E wynosi eE Drugie prawo Newtona wyrazi się wzorem

k p  h

k E dt e d  h

kula Fermiego w czasie t=0

kula Fermiego w czasie δt

(19)

Przesunięcie kuli Fermiego w czasie

τ

(czas mi

ę

dzy kolejnymi 18

zderzeniami z domieszkami, niedoskonałościami sieci, fononami)

Przesuni

ę

cie kuli nadaje każdemu elektronowi dodatkow

ą

pr

ę

dko

ść





h

k  F

m e m

m



 



v  h k  ^F  ^E

Jeżeli w jednostce objętości mamy n elektronów, to gęstość prądu elektrycznego

Przewodnictwo elektryczne definiowane jest przez j=σE, skąd

Średnia droga swobodna elektronu:

E v

j m

ne   ne

²





m ne 

 

²

F



v

l 

(20)

Doświadczalne wyznaczenie oporu elektrycznego metali 19

Główna przyczyna oporu elektrycznego większości metali w temperaturze 300K są zderzenia elektronów z fononami, natomiast w temperaturze

ciekłego helu (4K) zderzenia z atomami domieszek

i

L



  

R K

R ₂₉₀ 103

sod

zależność Grüneisena

(21)

ρ_L jest oporem wywołanym przez termiczny ruch sieci. 20

ρ_L znika, gdy T → 0 (nie ma fononów)

ρ_i jest oporem wywołanym przez rozproszenie fal elektronowych na atomach domieszkowych zaburzających periodyczność sieci krystalicznej

Jeżeli koncentracja atomów domieszkowych jest mała, ρ_i jest niezależne od temperatury (reguła Matthiessena)

Udział sieci, czyli fononów, w oporze elektrycznym metali prostych zależy od temperatury w następujący sposób:

Grüneisen wykazał, że obserwowaną zależność oporu od temperatury dobrze opisuje wzór

















T T

L L

dla dla

5

  

 _ _

^





x

s

e

ds s x x

G T

0

5

4

1 1

) 1 ( gdzie ),

( 



(22)

Przewodnictwo cieplne metali 21

Współczynnik przewodnictwa cieplnego K ciała stałego jest zdefiniowany wzorem

gdzie Q jest strumieniem energii cieplnej (energia przenoszona przez jednostkę powierzchni w jednostkę czasu

W kinetycznej teorii gazów

gdzie C jest ciepłem właściwym, przypadającym na jednostkę objętości,

v

– średnia prędkość cząstki,

l

– średnia droga swobodna, jaką cząstka przebywa między zderzeniami

dx K dT Q 

Cvl K 3

 1

(23)

Wyprowadzenie wzoru dla K 22

Strumień cząstek w kierunku x wynosi

nv

_x

Energia przenoszona jedną cząstką na odległość

v

_x

τ

wynosi

gdzie c jest ciepło właściwe cz

ą

stki

x

 dx v c dT T

c  

Strumień energii:

gdzie

l=vτ

^{, C=nc}

dx Cvl dT dx

c dT dx nv

c dT v

n T

c nv

Q

_x _x

3 1 3

1

₂

2

 





  

Cvl K 3

 1

(24)

Posługując wyrażeniem na ciepło właściwe gazu elektronowego

znajdziemy przewodnictwo cieplne metali

gdzie

l=v

_F

τ

T k E D

C

_el ²

(

_F

)

_B²

3 1 



m T l nk

mv v T

K nk

_F ^B

F B

el

3 3

2 2

3

 

 _



K, W/(cm deg)

Przewodnictwo cieplne miedzi

W przewodnictwie cieplnym czystych metali niezależnie od temperatury biorą udział głównie elektrony

(25)

Stosunek przewodnictwa cieplnego do przewodnictwa elektrycznego24

Prawo Wiedemanna – Franza stwierdza, że dla metali w niezbyt niskich temperaturach stosunek przewodnictwa cieplnego do przewodnictwa

elektrycznego jest wprost proporcjonalny do temperatury, przy czym wartość stałej proporcjonalności jest niezależna od rodzaju metalu

FIZYKA OŚRODKÓW CIĄGŁYCH