FIZYKA OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

Vitalii Dugaev

Katedra Fizyki i Inżynierii Medycznej Politechnika Rzeszowska

Semestr zimowy, rok 2017/2018

FIZYKA OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

Dyfrakcja na kryształach i sieć odwrotna 1

Prawo Bragga



 n d sin  2

Strukturę krystaliczną badamy przy pomocy dyfrakcji fotonów, neutronów, a rzadziej elektronów

Proste wyjaśnienie obserwowanych kątów wiązki ugiętej na krysztale przedstawił W. L. Bragg w 1913 r.

Interferencja promieniowania odbitego

od kolejnych płaszczyzn nastąpi wówczas, gdy różnica dróg będzie liczbą całkowitą n długości fali λ – prawo Bragga

Prawo Bragga jest wynikiem okresowości sieci przestrzennej

Wzór Lauego dla amplitudy fali rozproszonej 2

Fala płaska pada na kryształ

W moment t=0 amplituda padającej fali na węzeł w punkcie ρ:

Amplituda promieniowania rozproszonego od węzła w punkcie ρ:

 

 ^{i t} 

F t

F ( x , ) 

exp k  x  

  ρ  F  i k  ρ 

F

exp

 

ρ

k^{ ikr}

 k  ρ   ρ  R 

i

e

r e ik F

ikR r i

F r

e e

F

exp ˆ

 ^{ρ , R}  ^{ρ R ˆ}

cos   



 R R

r 

R k

k k

k    ,   k ˆ



3

Amplituda promieniowania w punkcie R

Natężenie fali rozproszonej

Maxima występują, gdy

 

  





^

^



p

ip n

in m

im p

n m

p n m i

i

e e e e

e

A

ρ

ρ k

, ,

2 2 2

2

^ 





p

ip n

in m

im

e e

e

A

s r

q  

 , 2 , 2

2      





 k b k c k

a

równania Lauego q,r,s są liczbami całkowitymi

4

Sieć odwrotna Rozważmy

To jest rozwiązaniem równań Lauego, jeśli

Podstawowe wektory sieci odwrotnej:

C B

A

k  q  r  s









2 ,

0 ,

0

0 ,

2 ,

0

0 ,

0 ,

2





































c C c

B c

A

b C b

B b

A

a C a

B a

A

c b a

b C a

c b a

a B c

c b a

c A b





 





 





 2   , 2  , 2 

5

Węzły sieci krystalicznej:

Węzły sieci odwrotnej:

Właściwość G:

c b

ρ  m a  n  p C B

A

G  h  k  l

m,n,p – liczby całkowite

h,k,l – liczby całkowite

          2   licz. calk. 



 ρ A B C a b c

G h k l m n p

  1

exp i G ρ 

Równania Lauego są spełnione, gdy Δk jest równe wektorowi sieci odwrotnej:

G

 k 

Prawo dyfrakcji 6

k k

k G

k     

 ,

k G

k   

 ^{k  G} 

^{ k }

^{, k}

^{ k }

0 2 k  G  G



(rozpraszanie sprężyste)

Strefy Brillouina

Strefa Brillouina jest komórką Wignera-Seitza odwrotnej sieci

2 k G  G

2

2 1 2

1 



 



 

 

 



  G G

k

wektor k na płaszczyźnie prostopadłej do G przez środek G spełnia warunek dyfrakcji

8

Strefy Brillouina sieci regularnej powierzchniowo centrowanej

9

• W komórce znajduje się s atomów z jądrem każdego j-go atomu komórki w położeniu, określonym zależnością

względem węzła sieci jako początku układu r_j

• Załóżmy, że wszystkie elektrony j-go atomu są zgromadzone w punkcie r_j

• Niech f_j stanowi miarę sił rozproszenia j-go atomu Całkowita amplituda rozproszenia

c b

a

r

 u

 v

 w

 

   _



 



 



 



 



ρ

k r ρ

ρ k k

ρ r

j j

i j i i

j

j

j

e f e

e f A

Geometryczny czynnik strukturalny

10

Geometryczny czynnik strukturalny





^



j

i j j

i j

j

j

f e

e f

S

 





j

l w k v h u i j

j j

e

f hkl

S ( )

11

Przykład: Czynnik strukturalny sieci A₂ (regularna I) u₁=v₁=w₁, u₂=v₂=w₂=½

  ^{hkl f}  ^e

^

^ 

S  1 

liczba a

nieparzyst kiedy

,

0   

 h k l

S

liczba parzysta

kiedy ,

2   

 f h k l

S

Sod metaliczny (struktura A₂):

widmo dyfrakcyjne nie obejmuje linii (100), (300), (111), (221),...

ale otrzymamy linie (200), (110), (222),...

12

Atomowy czynnik rozproszenia

f_j opisuje zdolność rozpraszania j-go atoma, która jest związana z elektronami w atomie

Atomowy czynnik rozpraszania (form factor atomowy):

elektronów ją

koncentrac jest

) ( ,

)

( ρ e

dV n ρ n

f ^ 

Jeśli rozkład elektronów ma symetrię kulistą 13

      









 



 



0 2 1

1

cos 0

2

cos 2

2 i k

e n e

d e

n d

d f

k i k

i k

i

 

















   



 





 ^sin

4

0





 d n

f 



 4  sin





 k

Hartree-Fock calculation

14

Doświadczalne metody dyfrakcyjne Metoda Lauego

Pojedynczy monokryształ zamocowany jest trwale na drodze wiązki promieniowania rentgenowskiego lub neutronowego o ciągłym rozkładzie widmowym

Metoda obracanego kryształu

Monokryształ umieszcza się na osi obrotu w monochromatycznej wiązce

Metoda proszkowa

Promieniowanie monochromatyczne pada na

sproszkowaną próbkę zmieszoną w rurce kapilarnej Obraz Lauego dla kryształu Si

Rentgenogram dla Si (metoda proszkowa)

Wiązania krystaliczne 15

Co powoduje spójność kryształu?

Całkowicie odpowiedzialne za spójność ciała stałego jest przyciągające oddziaływanie elektrostatyczne pomiędzy

ujemnymi ładunkami elektronów a dodatnimi ładunkami jąder

Porównujemy całkowitą energię ciała stałego (kinetyczną i potencjalną) z energią dla tej samej liczby swobodnych obojętnych atomów

nieskończenie odległych od siebie

Energię spójności określa się jako różnicę:

(energia atomów swobodnych) – (energia kryształu)

Wartości energii spójności pierwiastków 16

eV/atom kcal/mol

Podstawowe rodzaje wiązań krystalicznych 17

siły van der Waalsa wiązanie jonowe

wiązanie metaliczne wiązanie kowalencyjne

Oddziaływania van der Waalsa - Londona 18

Rozważmy dwa obojętne atomy tego samego rodzaju

Elektrony są w ruchu wokół jadra i w pewnej chwili istnieje różny od zera elektryczny moment dipolowy

Chwilowy moment dipolowy p₁ jednego atomy wytwarza pole elektryczne E=2p₁/R³ w środku drugiego atomu oddalonego o R

Pole to wywołuje chwilowy moment dipolowy p₂=αE=2αp₁/R³ w drugim atomie (α jest polaryzowalnością elektronową)

Energia oddziaływania momentów dipolowych

6 2 1 3

2

1

4

) 2

( R

p R

p r p

U _{   } 

)

( R

R C

U  

Oddziaływanie van der Waalsa jest oddziaływaniem fluktuującego dipola

19

Z elektrostatyki:

Oddziaływanie dwóch dipoli na odległości R:

  

5

2 1

3 2

1

3

)

( R R R

U  p  p  p  R p  R

Oddziaływanie odpychające 20

Nakładanie się rozkładów ładunku elektronów w przypadku wzajemnego zbliżenia się atomów

Gdy dwa atomy przesuwają się ku sobie, rozkłady ich ładunków stopniowo nakładają się, co wywołuje zmianę energii układu

W przypadku atomów o zapełnionych powłokach elektronowych energia nałożenia będzie energią elektrostatyczną

Dane doświadczalne dla gazów szlachetnych można dobrze

dopasować dzięki empirycznemu potencjałowi odpychania o

postaci B/R¹²

Całkowita energia potencjalna dwóch atomów

 

 



 



 



 

 

 



 

6 12

4 )

( R R R

U   

potencjał Lennarda-Jonesa

21

Potencjał Lennarda-Jonesa

Energia kulombowska dwóch kul o promieniu a, w funkcji odległości R pomiędzy ich środkami.

Każda kula przenosi ładunek +q położony w jej środku i ma ładunek –q równomiernie rozłożony wewnątrz objętości kuli.

Kryształy jonowe 22

Kryształy jonowe są utworzone z dodatnich i ujemnych jonów

Wiązanie jonowe jest wiązaniem wynikającym z elektrostatycznego oddziaływania jonów o ładunkach przeciwnych znaków

Konfiguracje obojętnych atomów:

Na: 1s²2s²2p⁶3s Cl: 1s²2s²2p⁶3s²3p⁵ Konfiguracje jonów:

Na⁺: 1s²2s²2p⁶

Cl^-: 1s²2s²2p⁶3s²3p⁶ Rozkład gęstości ładunku w płaszczyźnie podstawowej NaCl

Energia spójności

+ 3,71 eV

+ 5,14 eV

+ 7,9 eV

Energia spójności NaCl wynosi (7,9 – 5,1 + 3,7) = 6,5 eV

23

Energia elektrostatyczna czyli energia Madelunga 24

Wprowadzimy wartość p_ij taką, żeby r_ij=p_ijR, gdzie R stanowi odległość najbliższych sąsiadów w krysztale

Uwzględnimy oddziaływanie odpychające tylko między najbliższymi sąsiadami

 



 





 

 

 



R q p

R U

ij

ij 2

1

exp 



(dalsi sąsiedzi)

 

 



 



R e q

z N

U





^    ^

j

p



z – liczba najbliższych sąsiadów

stała Madelunga