FIZYKA OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

(1)

Vitalii Dugaev

Katedra Fizyki i Inżynierii Medycznej Politechnika Rzeszowska

Semestr zimowy, rok 2017/2018

FIZYKA OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

(2)

energia odpychania 2,4·10⁴exp(-R/0,30) eV

energia całkowita

Energia, eV

R, 10^-8 cm

energia kulombowska (25,2/R) eV

Energia przypadająca na cząsteczkę KCl

1

(3)

Kryształy kowalencyjne

Wiązanie kowalencyjne rozpatrujemy jako klasyczną parę elektronów lub homopolarne wiązanie chemiczne

Wiązanie kowalencyjne tworzą dwa elektrony, to jest po jednym elektronie z każdego atomu biorącego udział w wiązaniu

Elektrony, tworzące wiązanie są umieszczone pomiędzy dwoma atomami położonymi w tym samym paśmie

Dwa elektrony biorące udział w wiązaniu mają spiny skierowane przeciwnie

2

(4)

Kryształy metaliczne

Charakterystyczną cechą metali jest duże przewodnictwo elektryczne wywołane wielką ilością swobodnych elektronów. Elektrony te nazwano elektronami przewodnictwa

W niektórych metalach, takich jak metale alkaliczne, oddziaływanie rdzeni jonowych z elektronami przewodnictwa jest głównie

odpowiedzialne za energią wiązania

3

(5)

Promienie atomowe a jonowe (Å) ₄

(6)

FONONY I DRGANIA SIECI KRYSTALICZNEJ

Energia drgań sieci krystalicznej jest skwantowana Kwant energii fali sprężystej nazywany jest fononem

Fonon o wektorze falowym K oddziałuje z innymi cząstkami i polami tak, jakby miał pęd równy ħK

fonon Ω foton ω

foton ω’

K k

k h h h

h h

h

 





 

 



5

(7)

Drgania sieci jednoatomowych

Rozważmy fale sprężyste, rozchodzące się w kierunkach, dla których są one spolaryzowane tylko poprzecznie, albo tylko podłużnie

Fala podłużna Fala poprzeczna

6

(8)

Siła działająca na płaszczyznę s

Równanie ruchu płaszczyzny

gdzie M jest masą atomu

Szukamy rozwiązania w postaci fali bieżącej

gdzie

a

jest odległością między płaszczyznami

 

 ^



_

p

s p

s

C u u

F

 

 ^



_

p

s p

s

C u u

dt u M d

₂

2

s pKa i t i

p

s

u e

u

_

 ( 0 )

^ ^ ^

 

 ^





p

ipKa p

e C

M 1



2

7

(9)

Ponieważ komórka elementarna zawiera tylko jeden atom, z symetrii translacji wynika, że C_p=C_-p

Zależność dyspersyjna

Jeśli oddziaływanie zachodzi tylko między najbliższymi płaszczyznami, to

 

 









0

2

2 1 cos

p

pKa

M C



sin 2

4

₁ ¹ ²

Ka M C 



 



 



Pierwsza strefa Brillouina

8

(10)

Sieć krystaliczna zawierająca dwa atomy w prostej komórce

Jeśli prosta komórka zawiera więcej niż jeden atom, to widmo drgań wykazuje nowe właściwości

W przypadku dwóch atomów na prostą komórkę krzywa zależności dyspersyjnej

ω(K)

rozdziela się – dla każdego rodzaju polaryzacji – na dwie gałęzie: optyczną i akustyczną

Odpowiednio odróżniamy rodzaje fononów: podłużne akustyczne

(LA – longitudinal acoustical), poprzeczne akustyczne (TA – transverse acoustical), podłużne optyczne (LO – longitudinal optical) i poprzeczne optyczne (TO – transverse optical)

Rozważmy kryształ układu regularnego, w którym atomy o masach M₁ leżą w płaszczyznach nieparzystych, zaś atomy o masach M₂ leżą w płaszczyznach parzystych

9

(11)

10

(12)

Przy założeniu, że każda płaszczyzna oddziałuje tylko z najbliższymi sąsiadami równania ruchu przyjmują postać

Szukamy rozwiązań w postaci równania fal bieżących o amplitudach ξ i η dla płaszczyzn nieparzystych i parzystych

Otrzymujemy

 



_s _s _s



s

s s

u u

u dt C

u M d

u u

u dt C

u M d

2 1

2 2 2 2 2

1 2 2

2 2 2

1 2 2 1

2 2

















 

 

  ⁱ ^sKa ^t

s t

Ka s

i

s

e u e

u

₂ _₁

 

² ^¹ ^^

,

₂

 

² ^^

















C Ka

C M

C Ka

C M

2 cos

2 2 cos

2

2 2

1 2











11

(13)

2 0 cos

2 cos 2

2

2 2 2

1







M C

Ka C

M C

Warunek rozwiązania:

2 1

2 1 2 2

2 1

2

1 1 1 1 4 sin

 





 



  



 



 



 

 



 

 M M

Ka M

C M M

C M



Dla małych wartości K (K

a

<< 1)

2 2 2

1 2

2 1

2

2 1 2 1

a M K

M

C

M C M

 

 

 



 





(gałąź optyczna)

(gałąź akustyczna)

12

(14)

drgania optyczne

drgania akustyczne

gałąź fononów optycznych

gałąź fononów akustycznych

Widmo dyspersji fononów

13

(15)

Właściwości optyczne w podczerwieni

Rozpatrzymy wpływ fotonów podczerwieni na dwuatomowy kryształ o ładunku jonów

±e

Równania ruchu w polu elektrycznym

E

_l

e

^-iωt

Szukamy rozwiązań w postaci

Dla wartości granicznej

K=0

otrzymujemy

 



_s _s _s



_l ⁱ ^t

s

t i l s

s s

s

e eE u

u u

dt C u M d

e eE u

u u

dt C u M d







 

 















2 1

2 2 2 2 2

1 2 2

2 2 2

1 2 2 1

2 2

 

  ⁱ ^sKa ^t

s t

Ka s

i

s

e u e

u

₂ _₁

 

² ^¹ ^^

,

₂

 

² ^^

 

_l

l

eE C

M

eE C

M





























2 2

1 2

14

(16)

 

2



² ²



2 2

1

,   



 

 

 



T l T

l

M

eE M

eE

gdzie

odpowiada gałęzi optycznej dla K=0

Rozwiązanie odpowiada poprzecznej fali elekromagnetycznej, w której

Polaryzacja dielektryczna P zdefiniowana jest jako moment dipolowy jednostki objętości. Jeżeli w jednostce objętości znajduje się N

dodatnich jonów i N ujemnych, to

2 1

2

1 1 1

2 ,

M M

C

T

  



 

k E 

  

_T



^l

jonowa

Ne E

Ne

P

₂ ₂

2 )

(

    

 





15

(17)

Zależność ε(ω)

Zależność stałej dielektrycznej od częstości

gdzie

ε(∞)

oznacza wkład pochodzący od elektronów rdzeni jonowych, stała S jest rzędu

4πNe

²

/μ

Definicja:

W przedziale częstości nie będę się rozchodzili fale elektromagnetyczne

Zależność Lyddane’a-Sachsa-Tellera

2

)

2

( )

(    

    

T

S

) (

2 2

 

  



_L _T

^S

2 2

2

L

T

 

  

2 2

) (

) 0 (

T



L





 _



16

(18)

CIEPLNE WŁAŚCIWOŚCI IZOLATORÓW

Ciepło właściwe sieci krystalicznej

Ciepło właściwe w stałej objętości zdefiniowane jest wzorem

gdzie S jest entropią, E – energią wewnętrzną, a T – temperaturą Wartość ciepła właściwego prawie

wszystkich ciał stałych wynosi około 3Nk_B (N jest liczbą atomów w próbce)

W niskich temperaturach ciepło

właściwe znacznie spada i zbliża się do zera jak T³ dla izolatorów oraz jak T dla metali

V V

V

T

E T

T S

C 



 







 

 

 







 

C_P

T, K

17

(19)

Drgania sieci są niezależne, jeżeli spełnione jest prawo Hook’a.

Wtedy energia drgań sieci zależy tylko od ich częstości i liczby fononów n

W równowadze termicznej w temperaturze T liczba fononów określona jest wzorem Plancka lub Bosego-Einsteina

gdzie <…> oznacza wartość średnią w równowadze termicznej

  ¹

exp

1  

T n k



B

h

18

(20)

Model Einsteina

Średnia energia oscylatora o częstości ω ma wartość

Dla N oscylatorów mających jednakową częstość rezonansową energia E równa się

gdzie β=1/k_BT

Ciepło właściwe wynosi

Przybliżony charakter modelu Einsteina polega na tym, że wszystkie fale sprężyste w ciele stałym mają tę samą częstość

 h n

 1



 h 

__h_

^h  e

n N N E

C_P

 

²

2

 1



 

 







 









h

e Nk e

T C E

B V V

19

(21)

Model Debye’a ciepła właściwego sieci krystalicznej

Energia, jaką w równowadze termicznej przybiera zbiór oscylatorów o różnych częstościach ω_K, wyraża się wzorem

gdzie <n_K> odnosi się do ω_K zgodnie z rozkładem Bosego-Einsteina Energię można wyrazić wzorem

gdzie D(ω) jest gęstością stanów czyli gęstością drgań przypadających na jednostkowy przedział częstości





K

K K

h  n

E

    n  T   d  D

E ^  ^, h

20

(22)

Gęstość stanów w modelu trójwymiarowym

Zastosujemy metodę periodycznych warunków brzegowych do zbioru N atomów znajdujących się wewnątrz sześcianu o boku L

Każde drganie przedstawia falę stojącą, która spełnia warunek

Stąd

czyli na objętość (2π/L)³ w przestrzeni K przypada jedna dozwolona wartość K

W przybliżeniu Debye’a: ω=vK, ω<ω_D



^K ^x ^K ^y ^K ^z



ⁱ



^K ^^x ^L^ ^K ^^y ^L^ ^K ^^z ^L^



i _x _y _z _x _y _z

e

^ ^



^ ^ ^ ^ ^

L N L

L K

K

K_x, _y, _z  0, 2



,  4



,..., 2



 





 







} 2 )

( 2 {

3 3 3

} 2 )

( 2 {

) 2 ) (

(



 



 



d d

k L d

d D

K K

K

3 2 3 2 2

3 2 2

2 2 3

4 2 4 2

) 2

( v

d L v

d v dk L

L k d

D

v d v

v d

v 



 

 

 

 ^ ^



 



 







 



  ^





21

(23)

Gęstość stanów albo funkcja rozkładu:

Całkowita liczba stanów dla N atomów, dla każdego rodzaju polaryzacji wynosi N:

v

D

D L  



   ,  ) 2

(

₂ ₃

3 2

3 3

0

3 2

0

( ) 2 6

v d L

D

N

^D

D D



 



 



^





  

 ⁶

²

^N 

¹³

L v

D



 

Przybliżenie Debye’a

Funkcje rozkładu dla rzeczywistych sieci krystalicznych mają osobliwości

znane jako osobliwości Van Hove’a. Powstają one w punktach krytycznych, w których prędkość grupowa jest równa zeru.v_g  K ^(K⁾

22

(24)

podłużne

poprzeczne

Częstość, 10¹³ Hz

Aluminium

23

(25)

24

W modelu Debye’a widmo dyspersji fononów jest ograniczone do energii ω=ω_D. Zakładamy że prędkość fononów nie zależy od polaryzacji

gdzie czynnik 3 jest liczbą polaryzacji fononów

Ten ostatni wzór definiuje temperaturę Debye’a θ



^ _

 ^D ^D

e d v

d L n

D E







 

 



0

3 3

2 3

0 2 1

) 3 ( ) (

3 h _h

h

T T

x k e

dx x v

T k E L

B D D

x x

D

 

  ^ ^

 ³ ₂ _h  ₁ ^, ^h

0 3 3

3 2

4 4 3

 ⁶

²

^N 

¹ ³

L k

v k

_B _B

D



  ^h   ^h

 _

 

 



 

^D

x B x

e

dx x T T

Nk E

0 3 3

9 1



FIZYKA OŚRODKÓW CIĄGŁYCH