Definicja aproksymacji

(1)

(2)

Definicja aproksymacji

(3)

3

(4)

4 Definicja aproksymacji

Dana jest funkcja jednej zmiennej:

y = f(x), x[a, b]

Należy dobrać taką funkcję

F(x,p

₁

,...,p

_k

), x[a, b]

, aby w sensie

przyjętego kryterium, funkcja

F(x,p

₁

,...,p

_k

)

możliwie dokładnie odtwarzała przebieg funkcji

f(x)

.

p

₁

,...,p

_k – parametry wzoru empirycznego

(5)

5

Funkcja

f(x)

może być zadana w postaci:

- zbioru punktów (aproksymacja punktowa):

f(x

₁

) = y

₁

, f(x

₂

) = y

₂

, ..., f(x

_n

) = y

_n

- wzoru analitycznego (aproksymacja integralna) – rzadziej spotykany przypadek

(6)

Kryteria aproksymacji punktowej dla funkcji jednej zmiennej konstruuje się w taki sposób, aby zminimalizować różnice między wartościami danej funkcji

f(x)

a wartościami funkcji

F(x, p

₁

, ..., p

_k

)

w punktach

(x

_i

, y

_i

), i = 1, 2, ..., n.

Odchyłka:

( ,

1

,..., )

i

F x p

i

p

k

y

i

  

(7)

7

 Ogólna postać funkcji

F(x,p

₁

,...,p

_k

)

jest założona z góry, natomiast optymalizacja dotyczy nieznanych parametrów

p

₁

,...,p

_k

(8)

Typowe metody aproksymacji funkcji jednej zmiennej

Dobór parametrów

p

₁

,...,p

_k wzoru empirycznego, w taki sposób aby spełnione było założone kryterium dotyczące minimalizacji odchyłek

(9)

9

Kryteria:

- metoda wybranych punktów

- metoda średnich

- metoda sumowania bezwzględnych wartości

- metoda najmniejszych kwadratów

(10)

Metoda najmniejszych

kwadratów

(11)

11 2

1

min

n i i

  

Kryterium najmniejszych kwadratów:



1



²

1

( , ,..., ) min

n

i k i

i

F x p p y



 



n

– ilość punktów

(12)

12 Metoda najmniejszych kwadratów

Zalety:

- kryterium jest „mocne” – zawiera kwadraty odchyłek, czyli liczby nieujemne

- prostota obliczeń minimum funkcji, pod warunkiem że rozpatruje się aproksymację w klasie wielomianów uogólnionych, czyli:

1 1 1 2 2

( , ,...,

_k

) ( ) ( ) ...

_k _k

( )

F x p p   p x   p x    p x

(13)

jednej zmiennej

(14)

14 Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej

Dany jest zbiór punktów:

1 1 2 2

( , x y ) ( , x y ) ... ( , x y

_n _n

)

Funkcja aproksymująca:

1 2

ˆy  p  p x

 

²

1 2 1 2

1

( , ) min

n

i i

i

S p p p p x y



    

(15)

15

zmiennych:

1 2

1

( , )

S p p 0 p

 



1 2

2

( , )

S p p 0 p

 



(16)

czyli:

 

1 2

1 1

( , )

2 1 0

n

i i

i

S p p

p p x y

p

_

     

 

 

1 2

2 1

( , )

2 0

n

i i i

i

S p p

p p x y x

p

_

     

 

(17)

17



1 2



1

i i

0

i

p p x y



  



2

1 2

1

0

n

i i i i

i

p x p x y x



    

 



1 2

1 1

n n

i i

p n p x y

 

   

2

1 2

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

p x p x y x

  

 

  

Układ ten zapisujemy w formie:

(18)

lub:

1 1 1

2 2

1 1 1

n n

i i

n n n

i i i i

i i i

n x y

p

x x p y x

 

  

   

     

      

     

   

   

 

  

  X P Y

Liczymy:

1

 

P X Y

(19)

zmiennej – inna funkcja

aproksymująca

(20)

20 Aproksymacja funkcji jednej zmiennej – inna funkcja aproksymująca

Dany jest zbiór punktów:

1 1 2 2

( , x y ) ( , x y ) ... ( , x y

_n _n

)

Funkcja aproksymująca:

1 2 3

ˆy p p x p 1

   x

2

1 2 3 1 2 3

1

( , , ) 1 min

n

i i

S p p p p p x p y



x

 

      

 



(21)

21

1 2 3

1 1

( , , ) 1

2 1 0

n

i i

S p p p

p p x p y

p

_

x

 

            

1 2 3

2 1

( , , ) 1

2 0

n

i i i

i i

S p p p

p p x p y x

p

_

x

 

            

1 2 3

3 1

( , , ) 1 1

2 0

n

i i

i i i

S p p p

p p x p y

p

_

x x

 

            

(22)

22 Aproksymacja funkcji jednej zmiennej – inna funkcja aproksymująca

1 1 1

1 2

2

1 1 1

3 2

1 1 1

1 1 1 1

n n n

i i

i i i i

n n n

i i i i

i i i

n n n

i

i i i i i i

n x y

x p

x x n p x y

p

n y

x x x

  

   

   

     

      

     

       

   

   

  

  X P Y

1

 

P X Y