Rozkład dwumianowy B(n, p), p ∈ [0, 1]: P (X = k

Rozkłady dyskretne

• Rozkład jednopunktowy (zdegenerowany w punkcie, delta Diraca):

P (X = c) = 1, c ∈ R, ϕ(t) = e^itc,

EX = c, Var X = 0.

• Rozkład 0-1 (Bernoulli’ego):

P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 − p, p ∈ (0, 1), ϕ(t) = 1 − p + pe^it,

EX = p, Var X = p(1 − p).

• Rozkład dwumianowy B(n, p), p ∈ [0, 1]:

P (X = k) =

n k



p^k(1 − p)^n−k, k = 0, 1, . . . , n, ϕ(t) = (1 − p + pe^it)ⁿ,

EX = np, Var X = np(1 − p).

• Rozkład jednostajny dyskretny DU (x₁, . . . , x_m), x₁, . . . , x_m ∈ R:

P (X = k) = 1

m, k ∈ {x₁. . . , x_m}, EX = 1

m

m

X

i=1

x_i, Var X = 1 m

m

X

i=1

(x_i− ¯x)², gdzie ¯x = 1 m

m

X

i=1

x_i.

• Rozkład geometryczny G(p), p ∈ (0, 1):

P (X = k) = p(1 − p)^k−1, k = 1, 2, . . . , ϕ(t) = pe^it

1 − (1 − p)e^it, EX = 1

p, Var X = 1 − p p² .

• Rozkład Poissona P (λ), λ > 0:

P (X = k) = λ^k

k! e^−λ, k = 0, 1, 2, . . . , ϕ(t) = exp(λ(e^it− 1)),

EX = λ, Var X = λ.

• Rozkład wielomianowy M (n, p):

P (X = x) = n!

x₁! · · · x_k!p^x₁¹· · · p_k^xk, x = (x₁, . . . , x_k), p = (p₁, . . . , p_k), gdzie pi ∈ (0, 1), i = 1, . . . , k,

k

X

i=1

pi = 1,

EX_i = np_i, Var X_i = np_i(1 − p_i), i = 1, . . . , k.

Rozkłady absolutnie ciągłe

• Rozkład beta B(α, β), α > 0, β > 0:

f (x) = 1

B(α, β)x^α−1(1 − x)^β−11_(0,1)(x), ϕ(t) – nie istnieje postać jawna,

EX = α

α + β, Var X = αβ

(α + β)²(α + β + 1). Funkcja beta (całka Eulera I rodzaju) dana jest wzorem

B(x, y) = Z 1

0

u^x−1(1 − u)^y−1du, x, y > 0.

W szczególności, dla k, m ∈ N,

B(k, m) = (k − 1)! (m − 1)!

(m + k − 1)! . Związek między funkcjami beta i gamma:

B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y).

• Rozkład Cauchy’ego C(α, λ), α ∈ R, λ > 0:

f (x) = 1 π

λ

λ²+ (x − α)², F (x) = 1

πarctg  x − α λ

 + 1

2, ϕ(t) = exp(iαt − λ|t|),

EX, Var X nie istnieją.

• Rozkład chi-kwadrat z n stopniami swobody χ²_n, n ∈ N:

f (x) = 1 2ⁿ²Γ ⁿ₂
x

n 2−1

exp(−^x₂)1_(0,∞)(x), ϕ(t) = 1

(1 − 2it)ⁿ², EX = n, Var X = 2n.

Jest to rozkład zmiennej losowej Y =

n

P

i=1

Z_i², gdzie Z1, . . . , Znsą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N (0, 1).

Jest to rozkład gamma Γ ⁿ₂, 2
.

• Rozkład F-Snedecora (Fishera-Snedecora) z k i m stopniami swobody F (k, m), k, m ∈ N:

f (x) = k^k2m^m2Γ ^k+m₂
Γ ^k₂
Γ ^m₂

x^k2−1

(kx + m)^k+m2 1_(0,∞)(x),

EX = m

m − 2, m > 3, Var X = 2m²(k + m − 2)

k(m − 2)²(m − 4), m > 5.

Jest to rozkład zmiennej losowej Z = _{Y /m}^X/k, gdzie X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, X ∼ χ²_k, Y ∼ χ²_m.

Funkcja Gamma dana jest wzorem Γ(x + 1) = Z ∞

0

u^xe^−udu.

Dla n ∈ N zachodzi Γ(n + 1) = n!

Związek między funkcjami beta i gamma:

B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y).

• Rozkład gamma G(α, λ), α > 0, λ > 0:

f (x) = 1

λ^αΓ(α)x^α−1exp(−^x_λ)1_(0,∞)(x), ϕ(t) = 1

(1 − λit)^α,

EX = αλ, Var X = αλ². Funkcja Gamma dana jest wzorem Γ(x + 1) =

Z ∞ 0

u^xe^−udu.

Dla n ∈ N zachodzi Γ(n + 1) = n!

Związek między funkcjami beta i gamma:

B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y). Γ(1, λ) ≡ E(λ), Γ ⁿ₂, 2
≡ χ²_n.

• Rozkład jednostajny U (a, b), a, b ∈ R, a < b:

f (x) = 1

b − a1_(a,b)(x), F (x) = x − a

b − a, x ∈ (a, b), ϕ(t) = e^itb− e^ita

it(b − a), EX = a + b

2 , Var X = (b − a)² 12 .

• Rozkład Laplace’a La(µ, β), µ ∈ R, β > 0:

f (x) = 1

2β exp

− |x − µ|

β

 , EX = µ, Var X = 2β².

• Rozkład logarytmiczno-normalny LN (a, σ²), a ∈ R, σ > 0:

f (x) = 1 xσ√

2πexp −1 2

 ln x − a σ

2!

1_(0,∞)(x),

EX = exp(a + ¹₂σ²), Var X = e^2a+σ2(e^σ2 − 1).

• Rozkład normalny standardowy N (0, 1):

f (x) = 1

√2π e^−12x2, Φ(x) =

x

Z

−∞

f (u) du,

ϕ(t) = e^−t2/2,

EX = 0, Var X = 1.

• Rozkład normalny N (a, σ²), a ∈ R, σ² > 0:

f (x) = 1

√2π σ e^{−12(x−a)2σ2} , F (x) = Φ x − a σ

 , ϕ(t) = e^{iat−t2σ2/2},

EX = a, Var X = σ².

• Rozkład Pareto P a(x₀, α), x₀ > 0, α > 0:

f (x) = α x0

x₀ x

α+1

1_(x0,∞)(x),

EX = αx₀

α − 1, α > 1, Var X = αx²₀

(α − 1)²(α − 2), α > 2.

• Rozkład potęgowy P o(λ, α), λ > 0, α > 0:

f (x) = αx^α−1

λ^α 1(0,λ](x), F (x) =

x λ

α

1(0,λ](x),

EX = αλ

α + 1, Var X = αλ²

(α + 1)²(α + 2).

• Rozkład t Studenta T (n) z n stopniami swobody, n ∈ N:

f (x) = Γ ⁿ⁺¹₂
Γ ⁿ₂
√πn

 1 + x²

n

^−(n+1)/2 ,

EX = 0, n > 2, Var X = n

n − 2, n > 3.

Jest to rozkład zmiennej losowej T = ^√Z

Y

√n, gdzie Z jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N (0, 1), a Y jest zmienną o rozkładzie chi-kwadrat z n stopniami swobody χ²_n.

• Rozkład Weibulla W e(α, β), α > 0, β > 0:

f (x) = αβ^−αx^α−1exp − ^x_β
α

1_(0,∞)(x), EX = β Γ 1 + _α¹
, Var X = β²

Γ 1 +_α²
− Γ² 1 + _α¹
 .

• Rozkład wykładniczy E(λ), λ > 0:

f (x) = 1

λe^−λx1_(0,∞)(x), F (x) = (1 − e^−xλ)1_(0,∞)(x), ϕ(t) = 1

1 − λit,

EX = λ, Var X = λ². Jest to rozkład gamma Γ(1, λ).

• Rozkład wykładniczy E(a, σ), a ∈ R, σ > 0:

f (x) = 1 σ exp



−x − a σ



1(a,∞)(x), F (x) =



1 − exp



−x − a σ



1(a,∞)(x), EX = a + σ, Var X = σ².

• Rozkład podwójnie wykładniczy EE(a, σ), a ∈ R, σ > 0:

f (x) = 1 σ exph

− exp

− x − a σ

−x − a σ

i

, F (x) = exph

− exp

− x − a σ

i , ϕ(t) = e^atΓ(1 − σt), t < _σ¹,

EX = a + σγ, Var X = π²σ² 6 . Stała Eulera γ = lim

n→∞(1 + ¹₂ +¹₃+ · · · + ¹_n− ln n) ∼ 0, 577. Nie wiadomo, czy γ jest liczbą wymierną.

Oznaczenia: f – gęstość,

F – dystrybuanta,

Φ – dystrybuanta rozkładu N (0, 1), ϕ – funkcja charakterystyczna, EX – wartość oczekiwana, Var X – wariancja.