Technische Schwingungslehre. 2, Schwingungen in Maschinenanlagen (Torsions- und Biegungsschwingungen) : mit 44 Abbildungen

Sammlung* Göschen

Technische Schwingungslehre

Von

Dr.*Ing. L. Zipperer

U

Schwingungen in Maschinenanlagen (Torsions» und Biegungsschwingangen)

M it 44 A bbildungen

961

6 ammfunö ßöfc&en

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2B a 11 c r be © r u n t e r & 6 0 .

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6

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IB ifienä bilben bürfie.

S l u S f ü l j r l l d j c i P e r j e i d j n i f f e ber bisher erfcpienenen Sänbe umfonfl unb p off frei

S ta n d v o m S o m m e r 1 9 2 9

H aschlneiM eclinlselie Bibliothek

a u s d e r S a m m l u n g G ö s c h e n

P r a k t is c h e s M a s c h in e n z e ic h n e n m it E in fü h r u n g in d ie M a sc h in e n le h r e von Ing. R. Schiffner u n d Prof.

Dipl.-Ing. W. Tochterm ann.

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konstruktiver H insicht. Mit 61 T a fe ln ...Nr. 590 D ie M a s c h in e n e le m e n te von O ber-Ing. Friedr. Barth,

neubearb. von Dr.-Ing. E. vom Ende . . . . Mit 152 Fig. Nr. 3 M a sc h in e n m e ß k u n d e von Dr.Ing. L.Zipperer. Mit 98 Abb. Nr. 880 D y n a m ik von Dr. W. Müller. Mit 121 Figuren . . . Nr. 902, 903 M eta llu r g ie von Dr. August Geitz. 2 Bände. Mit 21 Fig. Nr. 313,314 E is e n h ü tt e n k u n d e von Prof. Dr.-Ing. M.v. Schwarz. 2 Bde.

Mit 86 Abbild, u n d 3 T a f e l n Nr. 152,153 T e c h n is c h e W ä r m e le h r e (T h e r m o d y n a m ik ) von

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A. Lüdicke. 2 B än d e . Mit 249 Fig...Nr. 340,341 D ie th e r m o d y n a m . G r u n d la g e n d. W ä r m e k r a ft- u .

K ä lte m a s c h in e n v. Dipl.-Ing. M. Röttinger. Mit 73 Fig. Nr. 2 D ie K a lk u la tio n im M a sc h in e n b a u von Stud.-Rat

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L Einleitung. D am pfkraftanlagen. Verschiedene Kraft­

m aschinen. Mit 19 Abbild... Nr. 224

III. Elektrom otoren, ßetriebskostentabellen. Graphische D arstellungen. W ahl d er Betriebskraft. Mit 13 Abbild. Nr.474 E is e n b a h n f a h r z e u g e von Reg.-Baum. a. D. H. H innenthal.

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von Ad.Wolff. Mit 85 Abbild... Nr. 108 K o lo n ia l- u n d K le in b a h n e n von Prof. F. Baltzer. 2 Bde.

Mit 29 Textabbild...Nr. 816, 817 L u fts c h ilfa h r t von Prof. Dipl.-Ing. C. Eberhardt. Mit 38 Fig. N r.842 F lu g te c h n iK von Prof. Dipl.-Ing. C. Eberhardt. Mit 6 2 Fig. Nr.841 A u to m o b ile . Personen- und Lastautom obile sowie Elektro­

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Ing. R. Vogdt. Mit 117 Fig... Nr. 290 P u m p e n - A n la g e n . Aufgaben un d Lösungen. Von Städt.

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Dir. Ing. Carl Volk. 2 B ände. Mit 44 Figuren . . . . Nr. 705, 706 T e c h n is c h e s W ö r te r b u c h , enth alten d die wichtigsten Aus­

drücke des Maschinen- u n d Schiffbaues von Erich Krebs.

I: Deutsch-Englisch... Nr. 395 II. Englisch-Deutsch... Nr. 396

W e i t e r e B ä n d e s i n d i n V o r b e r e i t u n g

Sam m lung Göschen

Technische

Schwingungslehre

V on

D r.-In g . L. Z ip p ere r

in O ppau.

II

S c h w i n g u n g e n i n M a s c h i n e n a n l a g e n ( T o r s io n s - u n d B i e g u n g s s c h w i n g u n g e n

B e r l i n u n d L e i p z i g W a l t e r d e G r u y t e r & C o .

vorm als G. J. Göschen’sche V erlagshandlung . J. G uttentag, V erlags­

buchhandlung . G eorg Reimer . K arl J. T rü b n er . Veit & Comp.

1927

(iS1 ^I 8 ^LI 0 ^{TEM ’S!}

Alle R echte, in sb e so n d e re d as Ü b e rse tz u n g sre ch t, von d e r V erla g sh a n d lu n g V orbehalten.

D ruck von C. G. R ö d er G. m. b. H., L eipzig. 807C27.

T )./I Z 0 9 ^MO>

In h altsan g ab e.

I. A n a ly t i s c h e V e r fa h r e n . 1. Torsionsschwingungen.

a) Geschichtlicher R ü c k b lic k ...

b) Bestimmung der E ig e n fr e q u e n z e n ...

1. Mittelbare V erfa h ren ...

a) Eingespannter Stab m it Schwungscheibe ß) Welle m it drei Schwungscheiben . . . . y) Welle m it beliebig vielen Scheiben . . . ä) N äh erun gsverfah ren...

2. Unmittelbare Verfahren nach:

a) G ü m b e l-ü e ig e r ...

ß) T o lle ...

y) D r e v e s ...

3. Berechnung der W ellen k on stan ten...

4. B erech nu ngsb eisp iele...

a) Welle m it drei Scheiben (berechnet nach m ittelbaren Verfahren, Gümbel-Geiger und Tolle) . . . ...

ß) Durchrechnung einer Maschinenanlage nach T o l l e ...

2. Biegungsschwingungen.

oi) Welle m it einer M a s s e ...

ß) Welle m it mehreren M assen ... ■ y) Näherungsverfahren (Krause, Dunkerley, Kuli) 4) Graphisches Verfahren nach Stodola . . . . II. E x p e r im e n t e ll e V e r fa h r e n .

1. Torsionsschwingungen (Torsiographen nach Geiger

und F rah m ) , • ■ •

2. Biegungsschwingungen (Vibrograph nach Geiger) . 1*

Seite 7

8

8

8

9 13 17

18 23 42 47 BO

50 7'J

97 99 103 107

109 113

Seite III. M i t t e l z u r B e s e i t i g u n g d e r S c h w in g u n g e n b e i:

1. T o r sio n ssch w in g u n g en ...116

2. Biegungsschwingungen (statisches und dynamisches A u s w u c h t e n ) ... 117

A n h a n g . F u n d a m e n t s c h w in g u n g e n . 1. Theoretische B e t r a c h t u n g e n ...120

2. Experimentelle U ntersuchungen...122

3. M ittel zur B e se itig u n g ... 122

S a c h v e r z e i c h n i s ...124

L iteratu rv erzeich n is.

B la e ß , V., Zur graphischen Berechnung der kritischen Dreh­

zahl rasch umlaufender Wellen. V. d. I. 1914, S. 183.

—- Über den Massenausgleich raschumlaufender Körper. Z. f.

angew. Math. u. Mech. H eft 6. 1926.

B o r o w i c z , W. v., Beitrag zur Berechnung kritischer Geschwin­

digkeiten von zwei- und mehrfach gelagerten Wellen. Disser­

tation T. H. München 1915.

D r e v e s , K., Neues graphisches Verfahren auf statischer Grund­

lage zur Untersuchung beliebiger W ellenmassensysteme auf freie Drehschwingungen. V. d. I. 1918, S. 588.

F ö p p l , 0 ., Berechnung der Biegungsschwingungszahl einer Welle, die m it mehreren Lasten behaftet ist. Z. f. angew.

Math. u. Mech. H eft 1, 1927.

F r a h m , H ., Neue Untersuchungen über die dynamischen Vor­

gänge in den W ellenleitungen von Schiffsmaschinen m it besonderer Berücksichtigung der Resonanzschwingungen.

V. d. I. 1902, S. 797.

— Bin neuer Torsionsindikator m it Lichtbildaufzeichnung und seine Ergebnisse. V. d. I. 1918, S. 177.

G e ig e r , J., Über Verdrehungsschwingungen von Wellen. Disser­

tation T. H. Berlin 1914.

— Der Torsiograph, ein neues Instrum ent zur Untersuchung von Wellen. V. d. I. 1916, S. 811.

— D ie Theorie des Torsiographen. E . T. Z. 1918.

— Zur Berechnung der Verdrehungsschwingungen von Wellen­

leitungen. V. d. I. 1921, S. 1241.

— Zur Theorie des Vibrographen. Zeitschrift: Werft — Reederei

— Hafen 1924, H eft 11.

— Mechanische Schwingungen und deren Messung. (Springer.) Berlin 1927.

G ü m b e l, L., Verdrehungsschwingungen eines Stabes m it fester Drehachse und beliebiger zur Drehachse symmetrischer Massenverteilung unter dem Einfluß beliebiger harmonischer Kräfte. V. d. I. 1912, S. 1025.

— Verdrehungsschwingungen und ihre Dämpfung. V. d. I. 1922, S. 252.

H e y m a n n , H ., Die Auswuchtung rotierender Massen. Jahr­

buch der Schiffbautechnischen Gesellschaft 1924.

6

H o lz e r , H ., Torsionsschwingungen von Wellen m it beliebig vielen Massen. Schiffbau 1907, S. 823.

— Berechnung der Drehschwingungen. (Springer.) Berlin 1921.

H o r t , H ., Über neuere dynamisch-statische Wuchtmaschinen.

E. T. Z. 1925, H eft 29.

— W., Neuere vereinigte dynamisch-statische Wuchtmaschinen.

Y. d. I. 1925, S. 1606.

H u m m e l, Ch., Kritische Drehzahlen als Folge der Nachgiebig­

k eit des Schmiermittels im Lager. V. d. I. 1926. For­

m ungsheft 287.

K r a u s e , M., Zur Berechnung der kritischen Drehzahlen rasch umlaufender Wellen. V. d. I. 1914, S. 878 und 1276.

K u li, G., Kritische Drehzahlen schnell umlaufender Wellen.

V. d. I. 1918, S. 249, 320 und 619.

K u t z b a c h , K., Untersuchungen über Wirkung und Anwendung von Pendeln und Pendelketten im Maschinenbau. V. d. I.

1917, S. 917.

L e h r , E ., Die umlaufenden Massen als Schwingungserreger:

V. d. I.-Verlag. Maschinenbau 1922, S. 206; 1923, S. 62.

L o r e n z , H ., Kritische Drehzahlen rasch umlaufender Wellen.

V. d. I. 1919, S. 240, 595, 866, 888.

M a g g , J., Drillungsschwingungen in Kurbelwellen. V. d. 1.

1918, S. 743; 1919, S. 155.

S a ß , F., Beiträge zur Berechnung kritischer Torsionsdrehzahlen.

V. d. I. 1921, S. 67.

S c h m i d t , E ., Untersuchungen über Fundamentschwingungen.

V. d. I. 1923, S. 33.

S c h r ö d e r , A., Zusammenhang der Indikator-Drehkraftdia­

gramme von Zweitakt-Dieselmotoren m it den Drehschwin­

gungen ihrer Wellen. Dissertation T. H. Berlin, 1926.

S e e lm a n n , Die Reduktion der Kurbelkröpfung. V. d. I. 1925, S. 601.

S t o d o la , Dampfturbinen. (Springer.) Berlin.

T o lle , M., Regelung der Kraftmaschinen, 3. Aufl. (Springer.) Berlin 1921.

V. d. I. Sonderheft Mechanik 1925.

W y d le r , H., Drehschwingungen in Kolbenmaschinenanlagen und das Gesetz ihres Ausgleiches. (Springer.) Berlin 1922.

Ein sehr ausführliches Literaturverzeichnis befindet sich in H o r t , Technische Schwingungslehre.

I. A n aly tisch e V erfahren.

1. Torsionsschwingungen.

a) G eschichtlicher R ückblick.

Zahlreiche W ellenbrüche in den M aschinenanlagen von Seedam pfern in den letzten Jahren des vergangenen Jahr­

hunderts ließen aus den eigenartigen V erdrehungsstruk­

turen erkennen, daß der Bruch nur durch Zusatzbean­

spruchungen infolge Resonanzerscheinungen m öglich war.

D ie W erft Blohm & Voß in H am burg ließ diese E rschei­

nungen durch F r a h m 1) untersuchen, w obei sich ergab, daß von 21 untersuchten M aschinenanlagen 8 A nlagen im Gebiet der kritischen Drehzahlen liefen. Frahm ersetzte zur Berechnung der Eigenfrequenzen die A nlage durch ein System m it zwei Massen. Zwei Jahre später zeigte R o t h 2) w ie m an die Eigenfrequenzen für ein W ellensystem m it drei Massen berechnet. D ie Berechnung bei beliebig vielen Massen veröffentlichte H o l z e r 3) im Jahre 1907. E inige Zeit später lernte man ein graphisches Verfahren von G üm bel4) kennen, das von G e i g e r 5) vervollständigt wurde.

In den Kriegsjahren zeigten Resonanzerscheinungen in den M aschinenanlagen von U -B ooten , L uftschiffen und R iesen­

flugzeugen wieder die N otw endigkeit der dynam ischen B e ­ handlung der W ellenleitungen. E s entstand ein neues, v iel­

seitiges Verfahren von T o l l e 6), das jedoch erst nach dem Kriege der Ö ffentlichkeit übergeben werden k on n te7).

‘} V. d. I. 1902. !) V. d. I. 1904. ») Schiffbau 1907.

4) V. d. I. 1912. B) Dissertation 1914.

6) Gutachten für Reichsmarineamt und Verkehrstechnische Prüfungs­

kommission. 7) Regelung der Kraftmaschinen, 3. Aufl.

8

Gegen K riegsende fand die L iteratur über T orsions­

schw ingungen eine Bereicherung durch ein V erfahren von D r e v e s 1). In den letzten Jahren erschienen w eitere W erke, die in dem L iteraturverzeichnis angegeben sind.

D ie einzelnen Verfahren sollen im vorliegenden Band behandelt und durch B eispiele erläutert werden.

D er L uftschiffbau S chütte-L anz in M annheim -Bheinau h atte die N otw en d igk eit der dynam ischen Überprüfung der rein sta tisch berechneten W ellenanlage bald erkannt.

D er Verfasser h a tte bei diesen U ntersuchungen Gelegen­

heit, die Vor- und N ach teile der oben angegebenen Ver­

fahren in der P raxis kennenzulernen.

W ährend in den Kriegsjahren nur w enige Ingenieure das G ebiet beherrschten, ist es h eute bereits ein T eil der V or­

lesung über M echanik gew orden, so daß die Studierenden schon m it den Grundzügen vertraut die H ochschule ver­

lassen.

b) B estim m ung der E igenfrequenzen.

1. Mittelbare Verfahren2).

<x) E i n g e s p a n n t e r S t a b m i t S c h w u n g s c h e i b e . D ie einfachsten F älle der Torsionsschw ingungen haben w ir bereits im ersten B and der T echnischen Schw ingungs­

lehre kennengelernt.

Für eine eingespannte W elle m it einer Schw ungscheibe am freien E nde fanden w ir auf S. 91, Bd. 1:

T = 2 ' ] / e V 7 ! ' ■ (1)

*) V. d. I. 1918.

2) U nter „m ittelbare“ Verfahren sind diejenigen zu verstehen, die von der Schwingungs-Differentialgleichung ausgehen.

Torsionsschwingungen. (J D ie Schwingungsdauer einer W elle m it je einer Schw ung­

scheibe am E nde ist nach S. 93, Bd. I:

, _ o T l / * V ^ 1 r 0 i + 0 2 « ’

G - J . worin c = — r— i s t .

i In den obigen Form eln bedeutet:

0 : das M assenträgheitsm om ent, bezogen auf die D rehachse, l: die Länge der W elle,

J : das polare T rägheitsm om ent des Q uerschnittes, G: der G leitm odul des W ellenm aterials.

ß ) W e ll e m i t 6i - ez ß , C/i

I

d r e i S c h w u n g s c h e i b e n (Abb. 1).

Für ein W ellensystem m it

drei Scheiben erhält m an die ^ % D ifferentialgleichungen: Abb- *•

0 ! = — ci2 i<Pi — 9>2) > (3a)

02 ^ f r = + ci2 (<Pi ~ (P ß — % (9>i ~ 9 z ) » (3 b)

:t2

Aus (3a) ergibt sich:

+ 50l «12 «12

d t2 0 j ^ ^5«2 0 ! ^{5«i j ( 4 a )}

(4 b)

(4 t')

d4

d2 (J 2 ^c

^d2

dt* ~ 01 ~dt2 ~ 01 dt

# gpj c12

d* g>2 c12 d4 <:p1

T f 6 ~ 07 ¿ f 2 ~~

07

Aus (3 b):

<s »

d4 g>2 _ c12 d2 c12 d2q2 c ^ d2^

d f 2 0 2

dl2

d t2

02 dt2 '

Aus (3 c):

(f i C23 C23 /f.,.

d / 2 = 0 3 ^ - 0 3 ^ ^

Durch A ddition v o n (3b ) und (3c) erhalten wir:

d2 cp9 d2 w„

2 ,/ /2 “b ^ ^2 = C12 SG C12 SG ■ (?) Aus (5 b ) wird:

d2503 = 0 2 # 5 0 2 _ Ci2 d2 cp^ c^ d 2[cp2 d 2 p 2 d t2 c23 d t 2 c23 d t2 023 d f2 ^ d t 2 ' U

In (7) ein gesetzt und geordnet erhält man:

02 03 ti4 502 / c12 \ # 5o2 6*23 d t 4 + r 2 + 0 3 ^ 3 + 0 3 / ^ 7 2

Cj2 C?2 CP,

^3 ~ ^ 2 f 12 5°1 "t" C12 SP2 = 0 • (9)

Aus dieser G leichung werden nun die Glieder m it cp2 eli­

miniert unter V erwendung von Gl. (3a):

d 2 ffli

01 ^ — c12 SG C12 SG i 0 9)

Torsionsschwingungen. 11

d p J i '* d f “ ‘ “ T i ? ' ( n )

Die letzte G leichung (12) liefert:

d4 g>2 0 1 SG 9>i d t2 c12 d t 6 ^ d f4 ' Aus (11) ergibt sich:

d 2 go2 0 i d4 gpj d2 d ¿2 c12 d t 2 ^ d f2 und aus (10):

0 , d2®,

S etzt m an nun (13), (14), (15) in (9) ein, so ergibt sich nach fallenden D ifferentialquotienten geordnet und durch

0 1 0 2 03 i- • i- dividiert:

(13)

(14)

In gleicher W eise h ä tte m an die Gleichung für g>2 oder g>3 erhalten können.

Setzen wir zur Lösung:

g>1= Ä e a t , (18)

(18a)

# 5 Pi i t4

d t 6 so wird aus Gl. 17:

ix4 A e a t , (18b)

(18C)

. I T 0 1 + 0 2 , r 0 2 + 0 s l , a + i Cl2^ 1 0 2 + 23 0 2 ö 3 j

^ \ 0X02 0,3 ' und schließlich durch oc2 dividiert:

Ä4 i L

01 ^{+ L} 12 0 ^x

(19)

1 + 0 2 + g3 0 — 03 +

28 0 ^, 03 ^J

20) . 01 + 02 + 03 _ 0

I ^ ^ ^ °12 °23 — u • J i u 2 u 3

Nun is t nach den A bleitungen in Bd. I, S. 25 tx = ± i co. D a m it erhalten w ir :

Torsionsschwingungen. 13 eine Gleichung, deren Lösung keine Schw ierigkeiten be­

reitet.

y) W e ll e m i t b e l i e b i g v i e l e n S c h e i b e n . Für ein S ystem m it n Schw ungscheiben h at H olzer1) das B ildungsgesetz aufgestellt und kom m t zur folgenden charakteristischen Gleichung:

« n - l « 2(n-1) + «n — 2 a 2(" ~ 2) 4 b « l » 2’

+ • • • « i a 2 ' 1 + «o = 0 . D en Aufbau der K onstanten an- X, a „ _ 2 usw. wollen wir für einige Beispiele angeben.

1. n = 2:

ax oi2 + «o = 0 >

(22) 2. m = 3:

«2 a 2 + a0 — 0 ,

a i 01 + 02

«2 01 02

>) Sehiiibau 1907, S. 823.

~ * - i - \ 0 i + 9 t c I & i + 0 3 c l g 2 + [ e 1 0 2 12 + 0 2 0 3 H “

i 0 i + 0 2 + 03 0 i 0 2 0 3 3. n = 4:

Ä 6 + ^ a 4 + ? l a 2 + ?« = 0 ,

(t3 % i* 3

C12 C23 ~ ® •

(23)

r , ^ 1 + 0 2 i 02 + 03 „ | 0 3 "I" 0 4 „ 1 , 4

“ + b ^ T C l2 + 0 2 0 3 “ + 0 3 0 4 23J , ("01 + 0 2 + 0 3 „ , 0 1 + 0 2 0 3 + 0 4

+ L

01

'

-

^ M

• 0 3 + 0 4 1 2

; J « 2 3 I ^ 4 „ „ | ^ 2 02 03 04

“1--- “ C23 C34

0 ! + 0 2 + 0 » + 0 4 o . (24)

^ 0 X- 0 2 - 0 3 - 0 4 12 23 34

D ie G leichungen zeigen, w ie m ühsam das A ufstellen der charakteristischen Gleichung ist, deren W urzeln die n — 1 E igenschw ingungszahlen der n Schw ungscheiben er­

gibt.

Mit zunehm ender A nzahl der Scheiben w ächst rasch die Anzahl der Sum m anden. So ist z. B. für eine M aschinen­

anlage eines L uftschiffes, bestehend aus einem 6-Zylinder- m otor m it Schwungrad, einem Ü bersetzungsgetriebe und Luftschraube die Gleichung:

d g d g d g d 8

+ ^ * 6 + al * 4 + “l Ä 2 + «0 = 0 ,

a, . , zu lösen. Zur Berechnung des K oeffizienten sind nun

a s

so viel Sum m anden nötig, als es Kom binationen ohne W iederholung von n — 1 = 8 E lem enten zur 4. Klasse gibt, also

/ 8 \ _ 8 7 6 5 __ ^ g ummanc[en

\ 4 / 1 ■ 2 • 3 • 4 von der Form:

01 + 02 + 03 + 04 + 03

¿ 1 2 + 1 ^ 4 5 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 0 1 + 0 2 + 0 3 + 04 0 5 + 0 6

0 1 . 0 2 . 0 3 - 0 4 ' 0 B- 0 6 • Übersichtlicher wird die folgende A ufstellung der cha­

rakteristischen Gleichung.

Für drei Massen haben wir nach Gl. 3 folgende Glei­

chungen :

8 ^ + c ^ - ^ O , (25a)

0 2 P ~ *1* ($Pl — + C23 (+2 — SP3) = 0 . (2Ö b )

0 a - J p ~ — Sp3 ) = ° - (2 5 c )

N ach steigenden Indizes der ^-W erten geordnet erhält man folgende Form:

0 ! + «i2 9>i — «i2 g>2 = 0 . (26 a )

C12 <Pl + 02 ^ P + C12 SP2 + C23 5^2 C23 5^3 = ® , (2b b) C23 (p2 + 03 ' ^ P + C23 5^3 = ® ■ (26 c)

Torsionsschwingungen. 15

Setzen wir zur Lösung:

A e a t = A eimt, (27)

(27 a) d tz

so wird, wenn gleichzeitig durch — ei'"1 dividiert wird:

0i c o + lj ^i2^-i + ^12+2== 9 s (28 a)

^12 + 02 ^2 ^12 “^2 ^23 ^2 + ^23 ^3 = 9 > (2^ b)

C23-^2 + 0 3 C23j43 = 0 (28 c )

u n d :

i£o2— e12) A 1A~ ci2 ^ 2 = 0 , (29a)

C12^1 + (02 w 2~ C12'— ^23) 2 + C23^3= 9> (29b )

C2 3 ^ 2 + ( 0 3 C<;2---- C2 3 )-^ 3 = ®. ( 2 9 C)

D iese drei hom ogenen, linearen Gleichungen können nur b estehen, w enn die D eterm in an te1)

(0j (u2 ■ c12) Cj 2 0

C12 ( 0 2 <J)i C12 ^'23) C23 = 0 ( 3 0 )

0 c23 (0 3 CO2 C23)

wird.

D ie A uflösung der D eterm inante ist:

(02 W2 ®12 C23) ''23 C23 (03 OJ2 ^23)

C12 9

C23 (03 0,2 ^23)

= (0 1 (L)2 Cl 2) [(02 bJ' C12 ^23) (03 0,2 ^23) C2ä] ßßj .

— c22 (0 3 w 2 — C23) = 0 .

(0] ij2 Cl2)

*) Mies; Dinglers Journal 1915, S. 102; T o l l e , Gutachten.

Torsionsschwingungen. 17 Aus dieser Gleichung folgt:

*

: _ | A ± L •

0 .

C12

+

\CD“ ^{0 1 + 0 2 + 1}

•02 02-03 J 01 - 02-03

D ie W urzeln der Gleichung geben die zwei E igenfre­

quenzen der drei Scheiben. D ie Lösung der Gleichungen geschieht am besten graphisch durch Aufträgen der Werte der Gleichung für verschiedene at.

ö) N ä h e r u n g s v e r f a h r e n .

E s liegt nun nahe, ein System m it mehreren Schwung- 'scheiben, dessen genaue B erechnung große R echenarbeit erfordert, auf ein System m it w enigen Massen zurückzu­

führen. H ierbei gib t es zwei M öglichkeiten. Entw eder ver­

einigt m an mehrere Massen zu einer resultierenden Masse und bestim m t die dazu gehörende elastische K onstante der W elle oder aber m an w ählt eine bestim m te elastische K onstante c und berechnet eine E rsatzschw ungscheibe, die die einzelnen Scheiben dynam isch ersetzt1).

D as Ergebnis einer solchen R eduktion soll nach W ydler kurz angegeben werden.

E in System von acht Scheiben ist ersetzt durch ein System von zwei, drei, vier und fünf Massen. Für die ein­

zelnen Fälle ergeben sich folgende m inütlichen Eigenschw in­

gungszahlen:

b e i E rsa tz

d u rch 2 3 4 5 8 Scheiben

n ei = 1243 1304 1350 1361 1367

n ß2 — ^— 2195 2210 2214 2219

ne3 = ^{— —} 4050 4584 4935

net = ^{— — —} 6253 7739

ne& = ^{— — — —} 10140

Uet — ^{— — : — —} 11970

ne7 = ix — — — — 13120

q Vgl. W ydler S. 30.

Z i p p e r e r , Technische Schwingungslehre. II.

18

Näher soll auf das Verfahren n ich t eingegangen werden, da wir später ein Verfahren kennenlernen werden, das rascher zum Ziele führt.

2. Unmittelbare Verfahren nach:

ix) G ü m b e l - G e ig e r .

Güm bel zeigt in seiner grundlegenden V eröffentlichung:

„V erdrehungsschw ingungen eines Stabes m it fester D reh­

achse und beliebiger zur D rehachse sym m etrischer M assen­

verteilung unter dem E influß beliebiger harmonischer K räfte“ 1), w ie m an die Schw ingungsausschläge eines System s m it beliebig vielen Schw ungscheiben m it H ilfe des Seilecks bestim m en kann.

D ie V erdrehung zweier W ellenquerschnitte, die 1 cm v o n ­ einander en tfernt sind, durch ein M om ent M d ist:

_ M d n \

9>~ G - J p '

^

In dieser Gleichung ist J p das polare Flächenträgheits- m om ent, G der G leitm odul des M aterials. D er V erdrehungs­

w inkel gi wird gem essen als Bogen auf dem E inheitskreis.

B eträgt die E ntfernung der beiden Q uerschnitte l. so er­

g ib t sich ein V erdrehungsw inkel: ’g -

* = _{G J p} (2 ) i_y

H a t w eiter die W elle den Radius r , so ist die Länge des Verdrehungsbogens gem essen auf der M antelfläche:

J a = <p • r = cp r — • l" r . (3) (j ^* J p

Das D rehm om ent M d können wir ersetzen durch M d = P • r.

>) V. d. I. 1912, S. 1025ff.

Torsionsschwingungen. 19

D am it wird:

J a = P - l - r 2

~ C h 7 7

und die Verdrehung, bezogen auf die Längeneinheit:

J a P

~ T = G - J r , '

(4)

(5)

i + i

D enken wir uns auf der W elle im unbelasteten Zustand eine M antellinie eingezeichnet, so en tsteh t durch W irkung der D rehm om ente eine R aum kurve, die an den A ngriffs­

ebenen der M omente K nicke aufw eist. Beim Abwickeln der Zylinderfläche erhalten wir einen aus geraden Linien m it Knicken versehenen Linienzug.

An einer beliebigen S telle i einer W elle (A bb. 2) betrage die Verdrehung gegen­

über der Ruhelage Im P unkte i + 1

wirke eine K raft P i+1 Abb- 2-

am Hebelarm r. Die relative Verdrehung J a ergibt sich aus Gl. (5):

J a P i + 1

Tragen wir in einem Kräfteplan die Kraft P j+1 auf, so erhalten wir ein ähnliches Dreieck, w enn der Polabstand f l = G- J v

und der erste Polstrahl parallel der w agrechten N ullinie verläuft. D ie Verdrehungskurve erhalten wir also aus der Seilkurve.

2*

2 0

D iese M ethode lä ß t sich auch anw enden, w enn sta tt der statisch en M om ente harm onische M om ente auf das System w irk en ; diese erzeugen harm onische Schw ingungen gleicher oder entgegengesetzter P h ase, jedoch gleicher Periodenzahl.

V orausgesetzt is t dabei, daß keine D äm pfung vorhanden ist.

Außer den harm onischen K räften sind die Trägheitskräfte der Massen im K räfteplan einzusetzen. D iese sind gegeben durch T = mcu2a , setzen also die K enntnis der Massen-

lel der Stabachse ist. W ir tragen im K räfteplan die K raft P ein, w ählen für eine b estim m te Kreisfrequenz co den A us­

schlag der ersten Masse « j . W ie oben g ezeigt, ergibt sich hier­

schlag a2. D a m it wird die T rägheitskraft 7'a = w 2w 2«2 , die als zw eite K raft im P lan einzutragen is t und die dann den A usschlag «3 liefert. M it T s ergibt sich der letzte P ol- strahl. Der K räfteplan zeigt jedoch, daß kein Gleichge­

w ich t vorhanden is t, w enn nich t im P u n k t 3 noch eine äußere K raft angebracht wird. D ie Schw ingungsform m it dem gew ählten A usschlag at is t also nur m öglich bei V or­

handensein dieser Z usatzkraft. D er A nfangsausschlag muß nun solange verändert w erden, bis die Z usatzkraft zu N ull wird.

ausschläge a voraus. W ir betrachten folgenden F a ll (A bb. 3).

m onische K raft P . Links von

■ 1 sind keine äußeren Kräfte vorhanden, w as sich im Seil- Ina P u n k t 1 w irke die har-

/ 2 3 ^{Abb. 3 .} eck dadurch ausdrückt, daß

die Schw ingungskurve paral-

J • G

aus, w enn m an den P olabstand H = --- w ä h lt, der A us- T

Torsionsschwingungei). 21 Geiger1) zeigte nun, daß es gen ü gt, zw ei Schw ingungs­

bilder aufzuzeichnen, um die eindeutig bestim m te Schw in­

gungsform für eine beliebige Kreisfrequenz zu finden (A bb. 4).

E s schneiden sich je zw ei zugeordnete Seilstrahlen in einem P u n k t, durch den auch der dritte hindurchgehen m uß. Aus der w eiteren B edingung, daß der letzte Seilstrahl parallel der A chse werden m uß, ergibt sich rückwärts die Schwingungsform m it

dem zugeordneten A n­

fangsausschlag.

E ine der w ichtigsten A ufgaben is t die B estim ­ m ung der E igenfrequen­

zen. Äußere Kräfte w ir­

ken n ich t ein. B ei der freien Schw ingung stehen

dann alle M om ente im G leichgew icht, und da alles auf den gleichen H ebelarm reduziert ist, sind auch alle Kräfte im G leichgew icht.

Zur B estim m ung der Eigenfrequenzgn w ählen w ir einen beliebigen A nfangsausschlag ax . Für eine bestim m te Kreis­

frequenz co ergibt sich die Trägheitskraft 2 \ , die im K räfte­

plan einzutragen ist. Wir erhalten a2 und hieraus T 2 , m it dieser wieder a3 usw. U m die Schw ingungsform bei dem gew ählten «q m öglich zu m achen, is t eine Zusatzkraft R erforderlich.

Mit dem gleichen Anfangsausschlag iq w erden die Schw in­

gungsform en für verschiedene co aufgezeichnet; für jedes co erhalten wir eine bestim m te R estkraft R . Tragen wir die R estkräfte R als F unktion von co auf, so ergeben die

*) Dissertation S. 7.

2 2

Cln * Win

a, ■ m .

S chnittpunkte der Ä -K urve m it der A bszissenachse die E igenschw ingungszahlen des S ystem s.

B ei praktischer D urchführung dieser M ethode zeigt sich bei W ellenanordnungen m it m ehreren Massen und großen U nterschieden der Größen l und m , daß der M aßstab oft geändert werden m uß, um die Schw ingungsform graphisch aufzeichnen zu können. In m anchen Fällen muß an Stelle der Zeichnung die R echnung treten. Aus diesem Grunde liegt es nahe, die ganze D urchführung rechnerisch vorzu­

nehm en. E in Schem a hierzu is t r):

Ti — Aay

T i • ( 1*2) a2 — «j A a 1

r

A

( ' j \ + T 2) ■ (— 1*3) a3 — «2 — A a 2

T3 A

(7’i +

T2-\- T3) •

A

(ln * Win * Ci)^ :—

Tn

R = ^ T 1

Hierin ist z. B. I* = ~ - H J * (j

Im nächsten A b sch n itt werden wir ein rein rechnerisches Verfahren von Tolle kennenlernen, das, ebenfalls von einem bestim m ten A nfangsausschlag ausgehend, die Schw ingungs­

ausschläge zu berechnen g e sta tte t.

E in w eiteres Schem a g ib t H olzer in seinem Buche an.

*) Vom Verfasser bei Durchrechnung: für Luftfahrzeuganlagen angewandt, vor Kenntnis der Gutachten von Tolle, zeitlich nach deren Veröffentlichung.

Torsionsschwingungen. 2 3 ß ) V e r f a h r e n v o n T o lle .

Wir betrachten aus einem W ellensystem m it n Schw ung­

scheiben die i te Scheibe.

A uf diese Scheibe sollen wirken:

1. M i : das äußere, erregende M om ent,

2. 0j(u2a, : das M oment der T rägheitskraft der schw ingen­

den M asse,

3. : das elastische M oment des links anstoßenden W ellenstückes,

4. das elastische M oment des rechts anstoßenden W ellenstückes, das m it negativem Zeichen ein­

zusetzen ist, da die M om ente an beiden Enden des W ellenstückes gleich groß, aber entgegen­

g esetzt gerichtet sind,

5. c,-.» +1: die elastische K onstante der Welle.

D ie d y n a m i s c h e G r u n d g l e i c h u n g für die r*e Scheibe la u tet dann:

ei,i+1 — + 0»m2af + M i = 0 . (1) D as m axim ale elastische M oment erhalten w ir aus den W ellenkonstanten und den relativen A usschlägen zweier Massen. D a m it erhalten wir die e l a s t i s c h e G r u n d ­ g l e i c h u n g in der Form:

G, i-t-l = (*R+1 ®i) G, i+1 • (^) H ierbei ist vorausgesetzt, daß die positive R ichtung der äußeren M omente m it dem positiven A usschlag überein­

stim m t.

Die beiden gew onnenen Grundgleichungen formen wir, wie folgt, um :

eiti+1 = ei- 1'i — 0 iW 2a1 — M i , (3)

. i +1 / \ \

«¿+ i = « H • (4 )

ci,i + 1

Aus diesen G leichungen folgt:

„ J ed e A m plitude a und jedes elastische M om ent e lä ß t sich m it jeder anderen A m plitude und jedem elastischen M om ent linear ausdrücken.“

Zur Durchführung des Verfahrens für ein bestim m tes io gehen wir von einem gew ählten A nfangsausschlag a\ aus.

N ach Gl. (3) erhalten wir, da e'0}i = 0 ist,

e i, 2 = — 0 i w 2«! — M i , (5) i ei ’2

®2 — a i 1 • W

Mit a'2 wieder:

und e2,3 — — 0 2 w 2U2— Al 2 (7)

4 = < + ~ - 3 - ' (8)

12

Schließlich: e,'j,n + i = R'. (9)

B ei richtiger W ahl von a[ würde R' — 0 werden für die angenom m ene Kreisfrequenz.

Wir führen die R echnung nochm als durch m it einem A n ­ fangsausschlag a" und erhalten R".

E s lä ß t sich nun zeigen1), daß der w irkliche A usschlag sich ergibt aus:

R " , R' R ' ^ R ' f<1 R " — R'

A llgem ein g ilt für jede A m plitude und jedes elastische M oment:

ak

W ^ R ' ' a'k ~ W - R ' a*’

Ä

I H /-i -i U \

ek = R „ _ R „ _ R , • ek- ( )

*) Vgl. Tolle, Regelung S. 207.

w . < - d ° )

Torsionsschwingungen. 2 5 D ies ist jedoch die analytische Form für die von Geiger gefundene und auf S. 20 angegebene graphische Lösung.

Für die w eiteren Betrachtungen setzen wir die äußeren M omente M 1, M 2 usw. gleich N ull und erhalten:

G, t-t-l == G—1, i (1^)

ai+ 1 = a i + - ^ . (13)

^iyi+ i

Für einen gew ählten A nfangsausschlag % ergibt die Durchführung für ein bestim m tes co ein R estm om ent e„,n+ i

= R . W ir führen, w ie beim oben beschriebenen graphi­

schen Verfahren, für v e r s c h i e d e n e co das Verfahren m it gleichem A nfangsausschlag «q durch und erhalten für jedes co ein bestim m tes R estm om ent R . D iese R estm om ente als F unktion von co als K urve aufgetragen, liefert die n — l E igenfrequenzen der n Scheiben. U m beim Aufträgen der K urve M aßstabsänderungen zu verm eiden, em pfiehlt Tolle,

ja

sta tt R die W erte „ als F unktion von co aufzutragen.

coi

B is hierher b ed eu tet das beschriebene Verfahren gegen­

über dem graphischen nur insofern einen F ortsch ritt, als die rechnerische D urchführung bequem er ist.

W ürde w egen Resonanzerscheinungen eine Verlegung der Eigenfrequenzen notw endig w erden, so m üßte das ganze Verfahren m it einem abgeänderten 0 oder e durchgeführt werden.

Tolle zeigt nun, daß dies n ich t notw endig ist, sondern daß die Veränderung des R estm om entes durch eine Ä nde­

rung des M assenträgheitsm om entes oder einer W ellenkon­

stan ten aus den durchgeführten R echnungen ohne w eiteres m öglich ist.

Zunächst führt Tolle die ganze R echnung für ein be­

stim m tes co von rückwärts nochm als durch, d. h. m it einem

2 6

A usschlag (ffln) der Scheibe n beginnend. Für diese R ück­

w ärtsrechnung la u ten unsere H auptgleichungen:

D abei soll die K lam m er andeuten, daß es sich um die R ückw ärtsrechnung handelt. B ei der R ückw ärtsrechnung wird (e„,„ + i) = 0 und (e0ll) = ( R ). Zweckm äßig beginnt man nun m it dem A nfangsausschlag ay = 1 und (a„) = 1 .

Für die praktische Durchführung gib t Tolle neben­

stehendes R echenschem a an.

D ie Durchrechnung gesta ltet sich danach wie folgt.

N ach den Grundgleichungen ist für die Vorwärtsrech­

nung:

oder, da e0>1= 0 ist und ax = 1 gew äh lt wird:

e12 = 0 — • co2 .

Wir addieren also — 0 1co2 zu 0 und erhalten e12.

Ferner wird:

bzw. m it Oj = 1:

D en W ert e12 dividieren wir durch c12, tragen in das Schem a e12: c12 ein und addieren den W ert des Q uotienten zu % = 1,0 0 0 , um a2 zu erhalten. D ann wird a2 m it

—0 2 co2 m ultipliziert und das Produkt —0 2 oj2 a 2zu ell2 addiert, um e2l3 zu erhalten usw ., bis wir zum Schluß e«,n +1= R erhalten. In der gleichen W eise wird die Riiek- (^*— l, i) — (G ,i+ i) ®t<w2 (ßi) , (14) (15)

a2 ~ al +

Rechenschem a Tolle:

(*0, |) —_{( * )} 0 ,0 0 0 ft ( " )

— »,»<* • (n,)

II 11 — 8 ,ö>* a, — - 0 , a , = + 1 , 0 0 0 1 («l)

i ' i . j )

1

1 j

— 0 ,a * - (a,) II III III I I

— ß t (o* • a 2 = •*- — f>ä <J>* 2 ( " j )

(« » ) 2 ,3 : c-a —► =

lllllll l i l i l í

— ÖjOj2 • a a = — (0 3tu*

3 ,4 _{. *34} : Cm - ► = «-34 : cM • I

( f ) lllllll lllllllil ^{a i}

T

(C»-2, ü - l) :

1 \ lllllIUI ( gn—2, n - | ) : Cn -2,n -\

llllllllllllllll = ■*- « . - i n -^{- 1 K - i )}

i ert— 1,T») n - i ‘n-l.n ^: C ,._ 1,n = ¡ I : en - 1,n

— Ö„(U! . (an)

|!lli II! — ö „ iu ! ■an ⁼ — © „ • CO4 an *i (< r*) = 1 ,0 0 0

i t = 'n,n + \ R

tu5

K>

Torsionsschwingungen.

2 8

w ärtsrechnung m it (an) = 1,000 durehgeführt, die (e0>1)

= ( R ) liefert.

Für eine A nzahl beliebiger a> is t das Schem a in der angegebenen W eise durchzuführen.

E s b leib t nun noch zu zeigen, daß

R —

R

W ir gehen von den Gleichungen

(ßi—l,i) — (G ,1+ 1) ' OJ2 • (Uj) aus, elim inieren 0 i ' c o 2 und erhalten:

G ,i+1 • («») + (ei ,i + i ) • «i = ®*—l , »(«») + ( G , , - i ) • (16) Ferner ergibt sich aus den Gleichungen:

nach E lim ination von c ^ j+ i:

ei,i+i (a t+ i) + (G ,«+i) ai+1 — G ,*+i («.) + (G ,i+ i) «» ( 17) und schließlich:

G— l,t(® i) “h (G — l,i) ~ G, t+ 1 ( g ) ~l~ (G ,i+ l)

w obei wir C die H au p tk on stan te des S ystem s nennen.

Aus der V orwärtsrechnung m it % ergibt sich:

G , i + i — G—i,i

und

(«,■) — (a i+ 1 ) +

= G,i+1 («i+l) + (G,»+l) a i+1

— 6{ • (Uj) -f" (ßi) ' ß 'i)

= k on stan t = C , (

18

da

@ ~ eo,i (ai) (eo,i) ai — (® ) ’ ®i > (1^) eo,i = 0 is t.

Torsionsschwingungen. 2 9

Für die R ückw ärtsrechnung m it (a„) wird:

C = &n,n+ 1 (ßn) “f" (^n,n + l) ®n = R (^n) > (20) da (c„>n+1) = 0 is t.

D a m it wird die H auptkonstante:

C = (R ) ■ = JS(an) (21)

und C = (R ) = R , (22)

w enn wir als A nfangsausschlag ax und (an) den W ert 1 w ählen; d. h. Vor- und R iickw ärtsreehnung ergeben das gleiche R estm om ent für den A nfangsausschlag 1.

Wir erhalten durch die R echnungsart von beiden Enden ausgehend eine K ontrolle unserer Rechnung. U m diese zu erhalten, wäre die doppelte A rbeit jedoch nich t notw endig, da sich Fehler in der R egel auch beim A ufzeichnen der R oder —- -K urve feststellen ließen. R D en H auptvorteil

<xr

der V or-u n d R ückw ärtsrechnung werden wir w eiter unten sehen.

R e s t ä n d e r u n g s f o r m e l n .

B ei den bisher behandelten Verfahren m ußte die R ech­

nung mehr oder w eniger neu durchgeführt werden, um das R estm om ent zu bestim m en, w enn irgendeine Scheibe oder ein W ellenstück geändert wurde. Tolle zeigt nun, daß die Änderung des R estm om entes m it H ilfe der Vor- und R ück­

w ärtsrechnung in einfacher W eise möglich ist.

D as M assenträgheitsm om ent 0* soll um erhöht werden.

W ie groß is t dann R '?

Aus Gl. (18) folgt:

R = ei, i+ i (ßi) + (ei, *+1) ai • (23)

In dieser Gleichung ändert sich nur etij+ i in e<,<+i. D ie W eiterrechnung ergibt nach Gl. 12:

e'i,i+ i = e«-i,< — (0* + ^ i ) 0)2 at • (24) S etzt m an diesen W ert in die obige G leichung ein, so erhält m a n :

R' = i — (0» + R'i) 0)2 a >] («.) + (e>, »+i) a i • (25) Der frühere R est war:

R = — 0 , w 2 «,] («<) + (e«,i+i) «¿- (26) Hieraus ergibt sich die R eständerung zu:

R ' — R = Q = — R i -co2 a i (ai) . (27) A us den B erechnungstafeln sind also für die entsprechenden ca die Ui und (a,)-W erte herauszunehm en und deren Produkt m it zu m ultiplizieren. D ie neue /¡"-Kurve ergibt sich dann aus:

R ' = R - \ -q. (28)

Wir können w eiter fragen: um w elchen B etrag m uß (■), verändert w erden, dam it ein bestim m tes co zur E igenfre­

quenz w ird?

In diesem F alle muß R' — 0 werden. Aus R ’= / ¿ + p = 0

R = — q = + R i co2 «, (a {)

R . = — ■ 1 . (29)

’ co2 « ,(« ,) '

In ähnlicher W eise findet m an unter A nw endung der Gl. 23 die R eständerung, w enn i in ci,<+1 geändert wird. Wird zur Abkürzung

fo lg t:

oder

* = (3 °)

^»,*+1 t+ 1

g esetzt, so erhält man:

q= R R — y ' e %, i + i ( ei , i + i ) • (31) Auch hier kann die Frage gestellt werden: für welchen W ert von y wird co zur E igenfrequenz? D as Ergebnis der A bleitung ist:

y = ---v . (32) G, t + l IG, i+ 1/

Für die gleichzeitige Ä nderung zweier Größen gib t Tolle folgende Form eln an:

W enn sich 0 t um 0k um Rk ändert (k > i), wird die R eständerung:

= + (33)

w orin :

Qi — — w 2 «. (ßi) und

Q k = - \ b } i h K >

ist.

Ändert sich 0,- um Ri und ck<k +i in 4,fc+i> so erhält man:

, , T1 i (eZr, fc + l) ~| ,qa\

B ei Änderung von G',»+i in cjtj+ i und 0 k um R k wird:

, , [ \ , ei,»+1 (afe) ~l

Qi,k - Qi + Qk + Qi Qk ] • <35)

Torsionsschwingungen. 31

G,.+ l) Schließlich ergibt sich die R eständerung:

. . \ i ei , i +1 («fc,fc+l)l

Q i , k ~ Q i + Q u + Q i Q k [ (ei t i +1 ) ’ ek,k+1 J ’ für eine Änderung von ci<i+1 in c( )+1 und ckik + i in 4 ,)t+ i-

(36)

F ür w eitere B erechnungen benötigen wir noch die a- und e-W erte. A uch für diese gib t Tolle Ä nderungs­

form eln an, so daß eine N euberechnung nicht notw endig wird.

1. @i wird um R z erhöht:

, R' R i ( o 2 a'i

ak — ak H g — (ak) > (37)

, R' Ri co2 a2

elc,k +1 = - g ek,k+ 1 g (eM + l) ■ (3o) D iese Form eln gelten für die V orwärtsrechnung für die Stellen rechts von i , also f c > t . Für die Rückwärtsrechnung erhält man analog:

, V _ R \ \ | /QQ,

(«*) — g (®it)"r g - k . (39) R ' &iO)2 (ax) 2

(«i.fc+i) = g (ßft,ft+i) g (40) 2. Cj,i+i in citj+1 geändert:

für Vorwärtsrechnung über i , i + 1 hinaus:

4 = ^ a k + y- ^ ^ ( a k) , (41)

e' k, k+i = - ß e* ,* + r— ~— g ^ (eM + i)> (42) für R ückw ärtsrechnung über i , i — 1 hinaus:

(aky = ^ ( a k) + y { e i ’^ ) t ak , (43)

(4 ,Ä + 1 )'= -g - (eÄ,Ä+i) — - ~ g 11 «k.k+1- (44)

Torsionsschwingungen. 3 3 N u l l s t e l l e .

Für irgendeine Stelle k soll für ein bestim m tes cu der A usschlag zu N ull werden. Aus Gl. 37 folgt für at'k = 0:

2 2 j r & ; o j a .

^ a k + - ^ ( a k) = 0 , (4 5 )

und hieraus:

^ = 4 t T N Uk M . (46 )

Cü [(^i) ak ßi (fik)J «i ferner:

= 4 r / i CO [flj ( % ) (U j) 0/;J (fXj) <* < *)• <47) W eiter erhalten wir eine N ullstelle in k durch Änderung von fc+ 1 :

__________ Ofc

[e«,t+ i (a*) + (e»,«+i) afc] e», >'+1

D ie Anwendung dieser Formeln werden wir später kennen­

lernen.

W i n k e l a m p l i t u d e n .

D as Tollesche Verfahren g esta ttet w eiter die Berechnung der W inkelam plituden und der elastischen M omente unter E inw irkung von erregenden äußeren M omenten.

D ie A bleitung würde in A nbetracht des zur Verfügung stehenden R aum es zu w eit führen, es muß auf die Original­

arbeit verw iesen werden. D a die Ergebnisse jedoch sehr w ertvoll sind, seien sie angeführt. In den folgenden For­

meln bedeuten:

M k : das in k w irkende erregende M oment,

A {ik : die wirkliche A m plitude in i unter Einw irkung des M omentes M k in k,

E i<i+1.k: das elastische M oment in i, hervorgerufen durch M k.

Z i p p e r e r , Technische Schwingungslehre. I I . 3

y — — R . (48)