Mieczysław Lubański
Paradoks a poznanie
Studia Philosophiae Christianae 5/1, 193-204
teg o zastrzeżen ia ch cia łb y m dodać, że w ie le (n a w e t w y w o d y o m a w ia nej k siążki) w sk a z u je na to, iż a n a liza sem io ty czn a n ie m oże dopro w ad zić do o sta teczn ej od p ow ied zi na filo z o fic z n e za g a d n ien ia typ u on to- logiczn ego. A c z k o w ie k p rzy czy n ia się do zlik w id o w a n ia n iep orozu m ień oraz ja ło w y ch dróg r o z w ią zy w a n ia p rob lem atyk i filo zo ficzn ej, n ie w y starcza już jed n a k do rozw ażen ia m o żliw o ści różnych k o n stru k cji o n to - lo g iczn y ch (por. np. R. Ingarden, Spór o is tn ie n ie św ia ta , t. I, r. 2 oraz T. C zeżow ski, F ilo zo fia na rozdrożu, W arszaw a 1965, s. 12— 18). T y m - b ardziej zaś n ie je s t w sta n ie w y ja śn ić p rzez p ie r w sz e p ow o d y p ew n y ch sta n ó w rzeczow ych . A szu k a n ie ostateczn ych racji u n iesp rzeczn ia ją cy ch o n ty czn ie r z e c z y w isto ść trudno w y k lu c z y ć z gran ic filo z o fii p r eten d u jącej do m iana n a u k o w ej (w szerszy m sen sie.) N a w e t o p isan a p rzez prof. C zeżo w sk ieg o m eto d a opisu a n a lity czn eg o , którą d a ło b y się p o tra k to w a ć jako w zb o g a cen ie (pod p ew n y m w zg lęd em ) a n a lizy sem io ty czn ej o ek str a ję z y k o w e p o d ejście, n ie posiada ch a rak teru sp e cy ficzn eg o dla f i lo z o fii (por. T. C zeżow sk i, dz. cyt, s. 18). N adto m eto d a a n a lizy sem io ty czn ej n ie je s t obca sposobom u p raw ian ia n au k p ozafilozoficzn ych . O czy w iście, w s z y stk ie te „ a rg u m en ty ” są ty lk o g ło sem d y sk u sy jn y m „ku u w a d ze”, bo dla ro zw ią za n ia sp ra w y k o n ieczn e b y ło b y u przednie u sta len ie k ry terió w , ja k ie m a sp ełn ia ć filo zo fia p reten d u ją ca do m iana n auki. A to już przekracza ra m y n in ie jsz e j recen zji.
W ystarczy zau w ażyć na zak oń czen ie, ile to cie k a w y c h i p ro w o k u jących do d ysk u sji (w sp raw ach za sa d n iczy ch dla teo rii n au k i i k on cep cji filo zo fii) te m a tó w zo sta ło poruszonych p rzez prof. D ąm bską. N iem n iejszą za letą k sią ż k i je s t jej ogrom ny ła d u n e k r z eteln y ch in fo r m a cji o pogląd ach k la sy k ó w ep istem o lo g ii, n a tle czego w sk a zy w a n o dopiero n o w e p rob lem y. Z aw arto ró w n ież w stu d iu m dużo solid n ej r o b o ty u sta la ją cej i p o rząd k u jącej n ie ty lk o term in o lo g ię, lecz także sp raw y rzeczow e.
M IEC ZY SŁAW L U B A Ń S K I
P A R A D O K S A P O Z N A N IE
1. W stęp. 2. P r z y k ła d y p a ra d o k só w m a tem a ty czn y ch . 3. P arad ok s a in tu cja. 4. P aradoks a rzeczy w isto ść. 5. W nioski.
W stęp
P rzyjęło się n a zy w a ć parad ok sem tak ą w y p o w ied ź, k tóra w sw ej treści w y d a je się być sprzeczna z p o w szech n ie p rzy jęty m przek on an iem . Ta pozorna sp rzeczn ość p o w o d u je u o db iorcy in fo r m a c ji p a ra
dok saln ej p sy ch iczn y stan n iep ok oju in te le k tu a ln e g o , sta n d ziw n ości w stosu n k u do p rob lem u , którego d o ty czy d any paradoks. Z k la s y c z n ych p r zy k ła d ó w p a ra d o k só w m ożna tu w y m ie n ić np. paradoks is tn ie n ia liczb n iew y m iern y ch , p arad ok sy Z enona, parad ok s a n typ od ów itd. W e w sp o m n ia n y ch ele m e n ta c h „ n iep ok oju ”, „ d ziw n o ści”, k tóre p ociąga za sobą paradoks, w id zi się z w y k le bodziec d o p ro w a d zen ia in te n s y w n y ch badań n a u k o w y ch , k tórych cele m je s t w y ś w ie tle n ie p o w sta łej s y tu acji. T en „ n a u k o w y ” ry s parad ok su n a leży p o w ita ć z w ie lk im u zn a n iem ].
H istoria n au k i m ó w i nam , że lista p a ra d o k só w b yn a jm n iej n ie jest zakończona. W ro zw o ju n au k i p o w sta ją cią g le n o w e p aradoksy. D la p rzyk ład u m ożna tu w y m ie n ić szerok o znane p ara d o k sy z zakresu f i zyk i w sp ó łczesn ej, jak np. paradoks k o rp u sk u ły i fa li dla cząstek e le m en tarn ych , paradoks n iecią g ło ści p rzejścia elek tro n u w atom ie z j e d nego p oziom u e n erg ety czn eg o na drugi itp. W e w sp ó łczesn ej m a tem a ty ce tak że sp o ty k a m y się i to z w ie lk ą ilo śc ią zb io ró w o p a ra d o k sa l n ych w ła sn o ścia ch .
C elem teg o a rty k u łu jest o m ó w ien ie k ilk u n o w szy ch p arad ok sów m a tem a ty czn y ch oraz p rzed sta w ien ie na ich tle p e w n y c h w n io sk ó w ty p u m eto d o lo g icz n o -filo zo ficzn eg o . Z azn aczam y tu od razu, że ogra n icza m y się w rozw a ża n y ch p rzyk ład ach p a ra d o k só w w y łą c z n ie do m a tem a ty k i. T ak ie za w ę ż e n ie rozw ażań p o zw o li na u zy sk a n ie co najm niej· d w u n a stęp u ją cy ch p o zy ty w ó w : 1° u m o żliw i d o k ła d n iejszą an a lizę p a r ad ok sów z racji ich dość jed n o liteg o ch arakteru, 2° u ła tw i u zy sk a n ie b ardziej p recy zy jn y ch i szczeg ó ło w y ch w n io sk ó w . O parte one b o w iem będą na bardziej ścisły ch , jed n o lity ch rozw ażan iach . W iększa ogólność tw ierd zen ia b o w iem pociąga za sobą w ię k sz e u b ó stw o treści w p o rów n an iu do tw ierd zen ia bardziej sz c z e g ó ło w e g o 2.
1 Por. np. T. K o ta rb iń sk i, E lem en ty teo rii p ozn an ia, lo g ik i fo rm a l nej i m eto d o lo g ii nau k , W rocław — W arszaw a— K ra k ó w 1961, 258—259.
2 Z darzają s ię czasam i tu w y ją tk i. O ta k im w y ją tk u m ogą św ia d czy ć
n a stęp u ją ce sło w a : „T eoria k a te g o r ii” je s t n a jm ło d szy m z w ie lk ic h n a rzęd zi m a tem a ty k i. N ic n ie św ia d czy tak siln ie o jed n o ści m a tem a ty k i jak w ła śn ie ona. S ta n o w i ona n o w y krok naprzód w d zied zin ę ab s trak cji. Isto tn ie, za jm u je się ona n ie rela c ja m i m ię d z y e lem en ta m i ja k ieg o ś u sta lo n eg o zbioru, a le r ela c ja m i m ięd zy p rzed m io ta m i u stalon ej „ k a teg o rii”, a n a w e t r ela c ja m i m ięd zy różn ym i k a teg o ria m i. F akt, że taka og ó ln o ść n ie p ocią g a za sobą tr y w ia ln o śc i an i n a w e t u b ó stw a tej teo rii, nosi zn am ion a cu d u .” (G. C hoquet, A n a liza i B ourbaki, W i a d o
2. P rzy k ła d y parad ok sów m a tem a ty czn y ch
R ozpoczniem y od rozw ażań zw ią za n y ch z p o jęciem sp ójn ości. M ów iąc p otoczn ie, zbiór ja k iś jest sp ójn y, jeżeli sk ład a się z jed n ego „ka w a łk a ”, je ż e li n ie je s t zesp ołem „ lu źn y ch ” części. Np. k w ad rat, sz e ś cian to zbiory spójne. N a to m ia st np. zbiór liczb ca łk o w ity ch nie jest sp ójn y. Jasn ą je s t rzeczą, że istn ieją tak ie zb iory spójne, k tóre p rze sta ją n im i być, gdy u su n iem y z nich jed en punkt. D o ta k ich zbiorów n a le ż y np. odcinek. U su w a ją c z jego w n ętrza d o w o ln y jed en p unkt rozsp ajam y zbiór, otrzym u jąc dw a rozłączne odcinki. Istn ie ją o c z y w iśc ie zbiory jed n o w y m ia ro w e, k tórych jed en p u n k t n ig d y n ie roz- spaja. N ajp rostszym p rzyk ład em m oże tu słu ży ć z w y k ły okrąg koła. T rzeba usunąć co n a jm n iej dw a różne p u n k ty, b y okrąg sta ł się n ie spójny. G dyby jed n a k zap ytać, czy m ożliw ą je s t rzeczą, ab y istn ia ł ta k i zbiór spójny, k tó ry by po u su n ięciu jed n ego p u n k tu sta ł się całk o w ic ie n iesp ó jn y w ty m sen sie, że „rozpadałby s ię ” na p o szczeg ó ln e roz łą czn e p u n k ty , to in tu ic ja d ałab y nam raczej od p ow ied ź n eg a ty w n ą . T rudno b o w iem w y o b ra zić sob ie w sp om n ian ą ta k p arad ok saln ą s y tuację.
O kazuje się jed n ak , że p rzyk ład tak iego rodzaju zbioru istn ie je . Z o sta ł on sk o n stru o w a n y w r. 1921 p rzez B. K n a ste fa i K. K u ra to w sk ie- go 3. P u n k tem w y jśc ia k o n stru k cji jest tzw . m io tełk a C antora. P o w sta je ona p rzez p o łą czen ie od cin k am i p ro sto lin io w y m i p u n k tu p łaszczyzn y с w sp ó łrzęd n y ch (1/2, 1/2) z p u n k ta m i dobrze zn an ego zbioru Cantora. N a stęp n ie z danego odcinka b ierzem y p u n k ty o rzęd n ych w y m iern y ch , je ż e li od cin ek zaw iera k o n iec „ w y jęteg o ” p rzed ziału p rzy k on stru k cji zbioru C antora. W przyp ad k u p rzeciw n y m b ierze m y z od cin k a p u n k ty o rzęd n ych n iew y m iern y ch . T ak p o w sta je zbiór K n astera — K u ra to w - skiego. M ożna w y k a za ć, że zbiór ten jest spójny, tj. (m ów iąc p otocz n ie) „ jed n o k a w a łk o w y ”, zarazem jed n a k p u n k t (1/2, 1/2) rozspaja go na o d d zieln e izo lo w a n e p u n k ty. In n ym i sło w y , zbiór K n a stera —K u ra- to w sk ieg o po u su n ięciu p u n k tu (1/2, 1/2) n ie ty lk o p rzesta je być zb io rem spójnym , ale n ie zaw iera żad n ego podzbioru sp ójn ego, m ającego w ię c e j n iż jed en pun k t. Jak w id ać, p u n k t (1/2, 1/2) m oże być n azw an y „ ek sp lo d u ją cy m ”. S p ó jn y zbiór K n astera— K u ra to w sk ieg o , po u su n ię ciu p u n k tu (1/2, 1/2) e k sp lo d u je „rozsyp u jąc się ” na p o szczeg ó ln e p u n k ty.
Jasn e jest, że opisana sy tu a cja m oże być u w ażan a za paradoksalną. W idać to szczeg ó ln ie w y ra źn ie, k ied y w n ik n ie się n ieco d okładniej w stru k tu rę sa m eg o zbioru K n a stera —K u ratow sk iego. D la in tu ic ji d ziw
-3 Zob. B. K n a ster et C. K uratow sK i, Sur le s en sem b les co n n ex es,
n e jest zarów n o to, że o m a w ia n y tu taj zb iór je s t sp ójn y, jak i jego w ła sn o ść „ ek sp lo d o w a n ia ” p o u su n ięciu jed n ego ty lk o p u n k tu (1/2, 1/2).
Z ap ytajm y teraz, czy lin ią k rzy w ą m ożna w y g e łn ić sześcian ? P o dob n ie jak p op rzed n io in tu ic ja zdaje się nam su gerow ać, że n ie jest to m o żliw e. W ja k i b o w iem sposób d ałob y się coś tró jw y m ia ro w eg o „ w y p e łn ić ” czym ś jed n o w y m ia ro w y m tylko? W ja k i sposób czym ś co p o siada ty lk o d łu gość m ożna „ w y p ełn ić” zb iór m a ją cy i d łu gość i szero kość i w y sok ość?
O kazuje się jed n ak , że o d p ow ied ź i na to p y ta n ie jest p ozytyw n a. M ożna też p op row ad zić lin ię k rzyw ą, ab y w y p e łn iła ona ca ły tr ó jw y m ia ro w y sześcia n 4.
Z au w ażm y, że k rzy w e w y p e łn ia ją c e jak iś obszar (p łask i w zg lęd n ie p rzestrzen n y) n oszą n a zw ę k rzy w y ch P ea n y . P ie r w sz y b o w iem p r z y k ład k rzy w ej cią g łej w y p e łn ia ją c e j c a ły obszar p ła sk i podał P ea n o w r. 1890 ’. W id zim y w ię c , że teg o rodzaju p rzy k ła d y są znane w m a te m a ty c e ju ż n ie m a l 80 lat. K ied y m a tem a ty cy zap ozn ali się z tym p ierw szy m p rzy k ła d em P ea n y , w y w o ła ło to duże z a in tereso w a n ie o d k ry ciem i p o cią g n ęło za sobą w ie lk ą ilo ść prac p o św ięco n y ch tej pro b lem a ty ce. N a jw y b itn ie jsi m a tem a ty cy p ra co w a li nad tym za g a d n ie n iem . W ypada tu w y m ie n ić ta k ie n a zw isk a ja k H ahn, H ilb ert, M oore, P o ly a . Z m a te m a ty k ó w p olsk ich p isa ł o tej p ro b lem a ty ce prof. W. S ierp iń sk i.
Jak o trzeci p rzyk ład rozw ażm y zbiór b ęd ący w sp ó ln y m b rzegiem trzech p ła sk ich obszarów .
N a jp ierw zw ró ćm y u w a g ę na to, że zu p ełn ie p rostą i jasną spraw ą je s t is tn ie n ie zbiorów , b ęd ących w sp ó ln y m b rzegiem d w u obszarów p ła sk ich . Np. okrąg k oła jest w sp ó ln y m b rzeg iem w n ętrza k oła i jego zew n ętrza, p od ob n ie elip sa jest w sp ó ln y m b rzegiem dw u p łask ich ob sza rów , m ia n o w ic ie w n ętrza e lip sy i jej zew n ętrza. P rzy k ła d ó w tego ro dzaju jest dużo i ich is tn ie n ie n ie jest żad n ym p rob lem em dla in tu icji. S ąd zim y, że ta k p o w in n o być z regu ły. T o też k ie d y zap ytam y, czy is tn ie ją ta k ie zb iory p ła sk ie, aby k ażdy ich p u n k t b y ł w sp ó ln y m b rze g iem trzech ob szarów , w ó w cza s in tu cja (podobnie ja k w przypadkach poprzednich) w y d a je się m ów ić nam raczej n ie. J ed n a k że w n ik liw sz e b ad an ia w y k a zu ją , że je s t to m ożliw e.
Z arys k o n stru k cji o m a w ia n eg o o b ecn ie zbioru w y g lą d a następująco. B ierzem y na p ła szczy źn ie koło K. U su w a m y z n ie g o n a stęp n ie w n ę trza d w u m n iejszy ch k ó ł p ołożon ych w w n ętrzu k oła K. Z ałóżm y, że o d ległość d o w o ln eg o p u n k tu zbioru p o w sta łeg o z w y jśc io w e g o k oła К p rzez u su n ięcie d w u w sp o m n ia n y ch kół, od k ażd ego z u su n ięty ch kół
4 Zob. np. A. L elek , Z biory, W arszaw a 1966, 108— 109.
5 G. P ean o, Sur u n e courbe, qui rem p lit to u te une aire p la n e,
oraz od zew n ętrza kola K, n ie p rzekracza liczb y 1. O znaczm y ten zbiór p rzez K 1# P o n u m eru jm y w n ętrza u su n ięty ch k ó ł i u w a ża jm y je za obszary nu m er 1 oraz 2. Z ew n ętrze koła К n a z w ijm y ob szarem nu m er 3. (Rys. 1) P o p ro w a d źm y n a stę p n ie z k a żd eg o z u su n ięty ch dw u kół
oraz z zew n ętrza k oła К (czyli z trzech obszarów 1, 2, 3) p aram i roz łą czn e „k a n a ły ” tak, ab y od ległość każd ego pun k tu zbioru p o w stałego z K i p rzez u su n ięcie w n ę tr z p o p row ad zon ych k a n a łó w (oznaczm y go p rzez K 2) od d o w o ln eg o z trzech p o w ięk szo n y ch w o p isa n y w y żej sposób obszarów 1, 2, 3 b y ła n ie w ię k sz a n iż 1/2. (Rys. 2) I p o stęp u jm y ta k dalej do n iesk o ń czo n o ści. Z atem zbiór K n p o w sta je ze zbioru K n-j p rzez tak ie p o p ro w a d zen ie p aram i ro złączn ych k an ałów z trzech ro zp a try w a n y ch obszarów , ab y od ległość k ażd ego p u n k tu zbioru K n od w sz y stk ic h trzech obszarów jed n o cześn ie n ie p rzek raczała liczb y l/n .
B ierzem y n a stęp n ie część w sp ó ln ą , czyli ilo c z y n m n o g o ścio w y , s k o n stru o w a n y ch zb iorów K n, tj. zbiór К = K n. Z k o n stru k cji jest jasne, że zbiór K n posiad a żądaną p arad ok saln ą w ła sn o ść. K ażd y jeg o punkt je s t w sp ó ln y m b rzegiem trzech p ła sk ich obszarów .
D la in fo rm a cji dodajm y, że sto su ją c an alogiczn ą k on stru k cję, m ożna pod ob n ie ła tw o zb u d ow ać zbiór będ ący w sp ó ln y m b rzegiem n p łask ich obszarów , dla n = 4, 5, 6, ... S y tu a cja p arad ok saln a p o ja w ia się już przy lic z b ie 3. D la liczb w ię k sz y c h sp raw a je s t z u p e łn ie podobna i n ic is to tn ie n o w eg o tutaj n ie p o ja w ia się.
P rzejd ziem y tera z do n astęp n ego p rzykładu do tzw . p arad ok saln ego rozk ład u k u li. C hodzi tu o za g a d n ien ie n a stęp u ją ce. N iech d an a b ędzie k u la tró jw y m ia ro w a Q. S. B an ach i A. T arsk i u d o w o d n ili w r. 1924, że daną k u lę Q m ożna p o d zielić na 5 części w tak i sposób, iż sk ład ając o d p o w ied n io t e części o trzym a się d w ie p e łn e k u le tej sam ej w ie lk o śc i, co kula w y jśc io w a Q 6. N ie trzeb a n ik o g o p rzek o n y w a ć, że w y n ik 6 Zob. S. B a n a ch e t A. T arsk i, Sur la d eco m p o sitio n d es en sem b les d e p oin ts en p a rties r e sp e c tiv e m e n t co n g ru en tes, Fund. M ath. 6 (1924), 244— 277. Ś c iś le biorąc B a n a ch i T arsk i w y k a z a li is tn ie n ie w sp o m n ia n eg o rozk ład u k u li p rzy p o d zia le jej n a w ięk szą liczb ę części. L iczba 5 je s t o sią g n ięty m tu m in im u m p rzez p ó źn iejszy ch b a d a czy teg o z a g a d n ien ia.
B an ach a i T a rsk ieg o jest w y so c e p arad ok saln y. S ta n o w i on, jak gd yb y, w y z w a n ie d la „ z d ro w o -ro zsą d k o w ej” naszej in tu ic ji geo m etry czn ej.
W sp o m n ijm y o jeszcze jed n y m p a ra d o k sa ln y m fa k c ie g eo m etry cz nym . J e st rzeczą zrozu m iałą i jasn ą, że lu k k r z y w o lin io w y posiada ty lk o długość. J e śli k to ś ch cia łb y m ó w ić o jego polu , to trzeba b y p o w ie dzieć, że je s t ono ró w n e zeru. O k azu je się jed n ak , że m ożna podać k o n stru k cję łu k u , k tó ry p o sia d a łb y p o le dod atn ie, a w ię c w ię k sz e od z e r a .7 I s tn ie je w ię c łu k o d odatnim polu. K o n stru k cja w sp o m n ia n eg o łu k u je s t dość prosta. N ie b ęd ziem y jed n a k tu taj jej p od aw ać ze w z g lę du na ch arak ter teg o artyk u łu . W ystarczy nam sam a w ia d o m o ść o m a jącym m ie jsc e p a ra d o k sa ln y m fa k c ie g eo m etry czn y m .
Z w ró ćm y o b ecn ie u w a g ę na jeszcze jed en bardzo elem en ta rn y p a radoks zw ią za n y ze zbioram i p rzelicza ln y m i. Z o sta ł on p od an y p rzez prof. W. S ierp iń sk ieg o .
Z a łó żm y m ia n o w ic ie , że co rok u sta w ia s ię 10 n o w y ch p ro b lem ó w n au k ow ych . P r z y p u ść m y d alej, że w każd ym rok u ro zw ią zu je się ty lk o jed en z p o sta w io n y c h do danej c h w ili p rob lem ów . O tóż ok azu je się, że m im o iż liczb a n iero zw ią z a n y c h zagad n ień b ęd zie s t a le w zrastać, to jed n a k każd e za g a d n ien ie zo sta n ie w sw o im c za sie ro zw ią za n e, o ile ty lk o za ło ży m y , że lu d zk o ść b ęd zie is tn ie ć n ie sk o ń c z e n ie długo. T en p a radoks p osiad a n a stę p u ją c e u zasad n ien ie.
J e st rzeczą jasn ą, że liczb a p ro b lem ó w n iero zw ią z a n y c h b ęd zie sta le w zrastać. P o n ie w a ż , zg o d n ie z założen iem , w k ażd ym roku sta w ia się 10 p rob lem ów , zaś ro zw ią zu je się jed en ze w sz y stk ic h do danej c h w ili p o sta w io n y c h , to po n la ta ch liczb a n iero zw ią z a n y c h p ro b lem ó w b ęd zie w y n o sić: 10η — n = 9n. J e ż e li jed n ak p o n u m eru jem y sta w ia n e p ro b le m y i w k ażd ym roku b ęd ziem y r o z w ią z y w a ć z a g a d n ien ie o n a j m n ie jsz y m n u m erze, w ó w cza s n -t y p rob lem z o sta n ie ro zw ią za n y po n latach . P rzeto w sw o im cza sie k a żd y p rob lem zo sta n ie r o z w ią z a n y .8 N a leży za zn aczyć, że p od an e tu p r zy k ła d o w o p arad ok sy n ie w y czerpują w n a jm n ie jsz e j m ierze lis ty is tn ie ją c y c h p arad ok sów w m a tem a ty ce. W w ie lu d ziałach w sp ó łczesn ej m a te m a ty k i zn am y ich w ie le . N a jlic z n ie jsz e b od ajże są w teo rii m n o g o ści i top ologii. P r z e d sta w ia n ie ich tu taj za jęło b y zb yt w ie le m iejsca . N ad to n ie k ażda sy tu a cja p a ra d o k sa ln a d aje się ła tw o p rzed sta w ić w sposób e le m en ta rn y bez te r m in o lo g ii fa c h o w e j. T oteż p o p rzesta jem y na w y m ie n io n y c h sześciu zb iorach o w ła sn o ś c ia c h p a ra d o k sa ln y ch i p rzech o d zim y o b ecn ie do
7 Zob. np. W. S ierp iń sk i, W stęp do teo rii m n o g o ści i top ologii, W ar szaw a 1965, 111— 113.
8 Zob. W. S ierp iń sk i, O stu p ro sty ch a le tru d n y ch zagad n ien iach a ry tm ety k i, W arszaw a 1959, 33.
b liższego ich zbadania pod in te r e su ją c y m nas p u n k tem w id z e n ia m eto - d o lo g iczn o -fflo zo ficzn y m . C h cem y b ow iem w ten sp osób u zysk ać p ew n e k o n k retn e w n iosk i.
3. P arad ok s a in tu icja
Z a p y ta jm y teraz, ja k ie u w a g i n a su w a ją się na tem a t ro li in tu icji w p oznaniu, w św ie tle p rzed sta w io n y ch w y żej p arad ok sów . Jaką m ożna jej p rzyp isać fu n k c ję i zn a czen ie w poznaniu?
O gólnie biorąc p o w iem y , ż e o m ó w io n e p arad ok sy w sk a zu ją na to, iż in tu icja je s t zaw odna. N ie m ożn a p o leg a ć w p e łn i n a jej su gestiach . W p rzyp ad k u b o w iem p arad ok su p ierw szeg o z p o d a n y ch w y ż e j, in tu icja jest sk ło n n a p od su w a ć m y śl, że zbioru sp ó jn eg o n ie m ożn a przez u su n ięcie jed n eg o ty lk o p u n k tu „rozsyp ać” na p o szczeg ó ln e o d d zieln e p u n k ty, w przyp ad k u d ru giego p arad ok su — ż e coś jed n o w y m ia ro w eg o n ie m oże w y p e łn ić sobą obszaru tró jw y m ia ro w eg o , w p rzypadku tr z e cieg o — że n ie is tn ie je ta k i zbiór, którego k ażd y p u n k t b y łb y w sp ó l n ym b rzegiem trzech ob szarów jed n o cześn ie, w p rzyp ad k u czw a rteg o — że z k u li n ie m ożna otrzy m a ć dw u k u l tej sam ej w ie lk o ś c i co k ula w y jśc io w a , w p rzyp ad k u p ią teg o — że łu k n ie m o że m ieć p ola do d atn iego (w ó w cza s b o w iem p rzesta łb y być lu k iem , sta łb y się czym ś co p osiada p o w ierzch n ię), w przyp ad k u o sta tn ieg o — że gd y sta w ia s ię w ię c e j zagad n ień , n iż ro zw ią zu je, to będą is tn ia ły p ro b lem y , k tóre n ig d y n ie doczek ają się rozw iązan ia. W id zieliśm y jed n ak że, że su g e s tie te ok a za ły się b łędne. To zm u sza n as do o strożn ości przy k iero w a n iu się in tu icją i p o leg a n iu na jej in sp iru ją cy ch fu n k cjach . In tu icja w in n a przeto być k o n tro lo w a n a i k ształcon a.
M ożna w ię c i n a le ż y k o n tro lo w a ć in tu icję oraz ją k ształcić. M ó w ie n ie o k szta łcen iu in tu ic ji i p o stu lo w a n ie tego posiad a w ię c sen s. In tu icja jest w p r a w d z ie cen n y m n arzęd ziem h e u r y sty c z n y m , n ie m oże j e dnak b yć u w ażan a za jed en ze sp osob ów d ow od zen ia tw ierd zeń . Im b ardziej in tu ic ja z o sta n ie w y sz k o lo n a (w danej d zied zin ie w ied zy) na bazie fa k tó w w op arciu o p racę rozum u, ty m le p sz e m o że nam od dać u słu gi. W yd aje się, że u św ia d o m ien ie so b ie d ok ła d n e teg o stan u rz eczy jest w ażne. R zu tu je to na w ie le rozw ażań d o ty czą cy ch p ro b le m a ty k i o g ó ln o -filo z o fic z n e j. Z a sy g n a lizu jm y w y ła n ia ją c e s ię tu p ro b le m y zw ią za n e z in tu icją , jak np. p rob lem jej ró żn y ch ro d za jó w oraz ich k la s y fik a c ji, czy te ż z a g a d n ien ie sp ra w d zia n u dla b ezb łęd n ego u jm o w a n ia in tu ic y jn e g o r z e c z y w isto śc i itp. D o jście do o m a w ia n ej p ro b le m a ty k i w sto p n iu zn a czn y m m a m iejsce d zięk i z a istn ie n iu w n au ce zja w isk typ u p arad ok saln ego.
J e śli p rzy jrzelib y śm y się n ieco d ok ład n iej p rzed sta w io n y m w yżej paradoksom , to za u w a ż y lib y śm y , że p o ja w iły się o n e na sk u tek braku
p recy zji w in tu ic y jn y m u jęciu p roblem u. In tu ic ja n ie p o tra fiła p rzed sta w ić nam w sposób ś c isły i p r ecy zy jn y treści ta k ich p o jęć jak zbiór sp ó jn y , łu k p ro sty , obszar tr ó jw y m ia ro w y , „ isto ta ” n iesk o ń czo n o ści p rzelicza ln ej itd., n ie p o tra fiła — m ó w ią c n ieco d ok ład n iej — sta n o w ić w y sta rcza ją cej p o d sta w y , na której b azu jąc u m y sł m ó g łb y sfo r m u ło w a ć a d ek w a tn e d e fin ic je w sp o m n ia n y ch pojęć. P a ra d o k sy p o ja w ia ły się za w sze w te d y , g d y (jak to się p óźn iej ok azało) dość „gru b e” in tu ic je b y ły k o n fr o n to w a n e z u ściślen ia m i p o jęcio w y m i. W y d a je się, że to w w y sta r c z a ją c y sp osób w sk a zu je, iż n ie m ożna p o p rzestaw ać na su g e stia c h in tu ic y jn y c h przy p recy za cji pojęć. O d n ośn ie p a ra d oksu np. k rzy w ej cią g łej w y p e łn ia ją c e j obszar, z a u w a żm y iż o d k ry c ie dok on an e p rzez G. P ea n o za ch w ia ło d z ie w ię tn a sto w ie c z n y m i in t u icja m i o d n o szą cy m i się do p ojęcia k rzy w ej. Z arazem p rzy czy n iło się to do lep szeg o w y p r e c y z o w a n ia p ojęcia k rzy w ej. P arad ok s P e a n y w y k a za ł, że n ie m ożn a d efin io w a ć k rzy w ej jak o zbioru p u n k tó w , będ ącego c ią gły m obrazem od cin k a g e o m e tr y c z n e g o 9. N a le ż y za tem pojęcia, dane nam n a jp ierw w a k cie p ierw o tn ej in tu ic ji, p recy zo w a ć. Ta u w aga to ta k że jed en z d o n io sły ch w n io sk ó w , p ły n ą c y c h z p o ja w ia n ia się p a ra d ok sów . N ie m ożn a p o p rzesta w a ć na in tu ic y jn y m u jm o w a n iu pojęć. P o jęcia n a le ż y p recy zo w a ć i to coraz su b teln iej. U z y sk u je się w ó w cza s is to tn y p o stęp w n a u ce ,0.
S treszcza ją c p o w ie m y w ięc, że in tu icja sta n o w i jak g d y b y w e w n ę tr z n y bod ziec za ch ęca ją cy do p o d ejm o w a n ia rozw ażań n a u k o w y ch w p e w n ym k ieru n k u , a ta k że w y ty c z a p ierw sze g r a n ic e b a d a n iu n aukow em u. Jed n ak że je s t ona zaw odna. D la teg o w in n a b y ć k o n tro lo w a n a i k sz ta ł cona przy p om ocy p racy u m ysłu.
4. P arad ok s a r z eczy w isto ść
Z a sta n ó w m y się o b ecn ie nad p y ta n iem , czy i ja k ie is tn ie ją rela c je zach od zące m ięd zy p arad ok sem a n a szy m p o zn a w a n iem rzeczy w isto ści. P rzy jm u ją c za p u n k t w y jś c ia zazn aczon y w e w s tę p ie fa k t „n iep ok oju ” in te le k tu a ln e g o p o w o d o w a n eg o p rzez p o ja w ia n ie się p arad ok sów , k tó ry
9 Zob. np. A. L elek , O fu n k cja ch P e a n y , P r a c e M a t e m a t y c z n e 7 (1962), 127.
10 N a p o k rew n y tem a t ro li, jaką p ełn i in tu ic ja g eo m etry czn a w e w sp ó łc z e sn e j m a te m a ty c e por. c ie k a w e u w a g i H. F reu d en th a la w jego a r ty k u le pt. „T he r o le o f g eo m etrica l in tu itio n in m odern m a th em a tic s ”, ICSTJ R e v i e w o{ W o r l d S cien ce 6 (1964), 206— 209. A r ty k u ł w sp o m n ia n y k o ń czy się zn a m ien n y m zdaniem : „ In tu ic je bez p o jęć są p u ste, p ojęcia bez in tu ic ji są śle p e ”. J est ono, jak d obrze w ia d o m o , p arafrazą zn an ego p o w ie d z e n ia K anta.
ty m sa m y m sta n o w i b od ziec do in te n sy w n ie js z y c h b ad ań n a u k o w y ch , m ożem y sp o d ziew a ć się p o zy ty w n eg o w p ły w u p arad ok su na b ardziej a d e k w a tn e p o zn a w a n ie rzec z y w isto śc i. Z aznaczm y w y r a ź n ie , że w y raz „ rz e c z y w isto ść ” ro zu m iem y tu m o ż liw ie szerok o, a w ię c oznacza on k a żd y p rzed m iot badań n a u k o w y ch . W szczeg ó ln o ści m ożem y m ó w ić o r z e c z y w isto śc i m a te m a ty c z n e j, tj. o ty m co je s t p rzed m iotem badań m a t e m a ty k i11. To w ła ś n ie zn a czen ie term in u „ rz e c z y w isto ść ” m am y g łó w n ie na m y śli, k ie d y ro zw a ża m y p ro b lem a ty k ę p a ra d o k só w w sp ó łczesn ej m a tem a ty k i. Jed n a k że w n io sk i w a żn e będą o g ó ln ie, n ie ty lk o w o d n iesien iu do w y ró żn io n eg o zak resu r z e c z y w isto śc i m a tem a ty c z n e j, M a to m ie jsc e z tej racji, że w n io sk i będą p o sia d a ły ch ara k ter „ w ezw a n ia do o stro żn o ści”.
P rzy g lą d a ją c się po k o le i o m ó w io n y m parad ok som , w id zim y bez trudu, że p ie r w sz y z n ich p o zw a la lep iej ująć treść p o jęcia sp ójn ości. J e ś li c h c ie lib y śm y u trzy m a ć n a sze p ierw o tn e in tu icje, z w ią za n e ze sp ó jn o ścią , to m ożn a b y w ty m p a rad ok sie w id z ie ć od p ow ied ź na p y ta n ie, czy to p o lo g iczn e p o ję c ie sp ó jn o ści od p ow iad a a d e k w a tn ie w sp o m n ia n y m in tu icjo m . J e ż e li n a to m ia st p r z y ję lib y śm y za n iep o d w a ża ln ą d efin icję sp ójn ości, w ó w c z a s trzeba b y p o w ied zieć, że in tu ic ja n ie h a rm o n izu je z n ią c a łk o w icie. P o w s ta je w ten sposób g łę b s z y p rob lem „ n a tu ry ” sp ójn ości. P rzez z a ry so w a n ą tu k o n tr o w e r sję m ięd zy im p li k acjam i p ły n ą cy m i z d efin icji sp ó jn o ści oraz su g e stia m i in tu ic ji u zy sk u jem y g łęb szy , le p sz y , śc iśle jsz y w g lą d w m eritu m zagad n ien ia.
P pdobnie, biorąc drugi z o m ó w io n y ch p arad ok sów , u zy sk u jem y d zięk i n iem u b ardziej d ok ład n e w n ik n ię c ie w isto tę zw ią zk u zach od zącego m ięd zy tw o ra m i je d n o - i tr ó jw y m ia r o w y m i (czy też ogóln ie: w ie lo w y m iarow ym i). O kazuje się, że sam a różność w y m ia r ó w n ie je s t tu is to tna. P o d o b n ie n ie je s t isto tn a sam a liczb a e le m e n tó w sk ła d o w y ch . I w jed n y m i w drugim w y p a d k u jest ich n ie p r z e lic z a ln ie w ie le (do k ła d n iej: con tin n u m ). N a jisto tn ie jsz e w y d a je się tu b yć u p orząd k ow a n ie elem en tó w . P rzeto p o ję c ie porządku b y ło b y jed n y m z p o d sta w o w y c h p ojęć m a te m a ty c z n y c h .12
11 W p o w y ższy m zd an iu n ie w y p o w ia d a m y się w c a le n a te m a t p rzed m io to w eg o ch a ra k teru o k reślen ia m a te m a ty k i i n iczego w n im n ie p rzesąd zam y. J e st ono ty lk o w y g o d n y m sk ró tem d la p rostszego w y p o w ia d a n ia się.
12 C iek aw a w y d a je się być a n a lo g ia z m y ślą L eib n iza , k tó ry w p rze strzen i w id z ia ł „form ę m n o g o ści”. Por. W. T a ta rk iew icz , H isto ria f ilo zofii, t. II, W arszaw a 1968, 88. Ten fa k t w sk a z y w a łb y zarazem na g en ia ln ą in tu ic ję L eib n iza , k tóra u zy sk a ła p o tw ie r d z e n ie dopiero pod k on iec X IX w iek u .
T rzeci parad ok s, k tó ry m ó w i o istn ie n iu zbioru, b ęd ącego w s p ó l n y m b rzegiem trzech p ła sk ich obszarów , p o siad a w y r a ź n ie „ k szta łcą cy ” ch arak ter dla in tu ic ji. W sk azu je n a m o żliw o ść jej „ sz lifo w a n ia ”, „ w y - su b te ln ia n ia ”. T ę sam ą u w a g ę n a leży , o c z y w iśc ie , o d n ieść i do p o zo sta ły c h p a ra d o k só w o m ó w io n y ch w ty m a rty k u le. J e ś li id zie o sam trzeci parad ok s, to p o m ija m y in n e in te r e su ją c e w n io sk i, k tó re on n a su w a, a le k tó re p o siad ają ch arak ter m a te m a ty c z n y i z tej racji n ie b ę d ziem y s ię n im i zajm ow ać.
C zw arty z p r z e d sta w io n y ch w y ż e j p a ra d o k só w w a rt jest d ok ład n ie jsz e g o o m ó w ien ia . M oże b ow iem bu d zić w ie le za strzeżeń i n ie p o rozum ień.
A w ię c z a u w a żm y n a jp ierw , że B an ach i T arsk i u d o w o d n ili je d y n ie is tn ie n ie w sp o m n ia n eg o p a ra d o k sa ln eg o rozk ład u k u li. N ie p o d a li n a to m ia st e fe k ty w n e g o sp osob u jego p rzep row ad zen ia. M am y zatem ty lk o tzw . c z y sty d ow ód istn ie n ia w sp o m n ia n eg o p ara d o k sa ln eg o rozkładu k u li. T en p rob lem w ią ż e się ś c iśle z za g a d n ien iem istn ie n ia w m a te m a ty ce, z za g a d n ien iem dow odu w m a te m a ty c e oraz z p o k rew n y m i z a g a d n ien ia m i z p o d sta w m a tem a ty k i. P o m ija m y jed n ak te c ie k a w e pro b le m y z ra cji ch a ra k teru tej pracy, k tó ra n ie id zie po lin ii an i sam ej m a tem a ty k i, a n i jej p o d sta w .
I tera z m o żem y w n io sk o w a ć dalej. P rzy p u śćm y w ięc, że u d ałob y się k om u ś w y k a za ć, iż p ełn a k u la w naszej p rzestrzen i fizy czn ej pod lega tw ierd zen iu B a n a ch a — T arskiego. Z n a czy ło b y to, k o n se k w e n tn ie , że n asza p rzestrzeń jest tr ó jw y m ia ro w a (w ta k im sen sie, w jak im -kula g eo m etry czn a je s t tr ó jw y m ia ro w a — ch od zi o to, że n ie przesądzam y, czy za w arta je s t ona w p rzestrzen i o w y ż sz y m w y m ia rze). G d yb y n a to m ia st k to ś w y k a za ł, że k u li w n aszej p rzestrzen i fizy czn ej n ie m ożna rozłożyć na d w ie k u le w e w sp o m n ia n y sp osób , to to zn a czy ło b y , iż k u la w n aszej p rzestrzen i fizy czn ej n ie jest tró jw y m ia r o w ą k u lą w zn a czen iu g eo m etry czn y m .
W iem y dobrze, iż fizy k a w sp ó łczesn a su g eru je, że cia ła m a teria ln e są raczej „ p u stk ą ”, a n iż e li czy m ś „ p ełn y m ”, „ tró jw y m ia ro w y m ”. M ają to b yć b o w iem „ m a łe” m a sy cząstek ele m e n ta r n y c h u m ieszczo n e w „du ż y c h ” o d leg ło ścia ch od sieb ie w „ p u stej” p rzestrzen i. N ie są one w ię c (tak się p rzy n a jm n iej w y d a je) tr ó jw y m ia r o w y m i ob szaram i w zn a cze n iu g eo m etry czn y m . T oteż n ie n a le ż y o czek iw a ć, iż parad ok s B an ach a— T arsk iego p o z w o li nam k ie d y ś z jed n ej k u lk i złota otrzym ać d w ie k u lk i zło te tej sam ej w ie lk o śc i. P r zeciw n ie, w ied zą c jaka je s t „natura” k u li g e o m etry czn ej oraz k u li m a teria ln e j (p ow ied zm y: zło tej), n a leży w n io sk o w a ć, że n ie je s t to w o g ó le m o żliw e.
Z w ró ćm y u w a g ę tu ta j na to, że o m a w ia n y p a ra d o k sa ln y rozkład k u li je s t w n io sk ie m w y p ro w a d zo n y m przy u ży ciu tzw . p ew n ik a w y
boru. P . J. Cohen u d o w o d n ił przed p ięciu la ty n ie z a le ż n o ść p ew n ik a w yb oru od p o zo sta ły ch p e w n ik ó w teo rii m n o g o ś c i13.
P a ra d o k s p ią ty sta w ia przed n a m i p rob lem a d ek w a tn eg o u jęcia zn a czen ia term in u łu k . W sk azu je on, p od ob n ie jak p aradoks p ierw szy w o d n iesien iu do p o jęcia sp ó jn o ści, n a p o w sta łą m o żliw o ść p recy zji w p o ję c io w y m u jęciu term in u łuk. P rzez p o w sta łą , d zięk i p arad ok sow i, k o n tr o w e r sję m ięd zy im p lik a cja m i p ły n ą cy m i z d e fin ic ji łu k u oraz u jęciem in tu ic y jn y m u zy sk u jem y lep szy w g lą d w treść om a w ia n eg o p o jęcia oraz m ożn ość w y su b te ln ie n ia n aszej in tu ic ji geo m etry czn ej.
O statn i z o m ó w io n y ch p a ra d o k só w w sk a zu je na o d m ien n ość „na tu r y ” n iesk o ń czo n o ści w p o ró w n a n iu do sk oń czon ości. M ów i nam tak że o b raku a n a lo g ii (pod o m a w ia n y m w p arad ok sie w zg lęd em ) m ięd zy n iesk o ń czo n o ścią a sk oń czon ością.
5. W nioski
D o k o n a jm y teraz k ró tk ieg o p o d su m o w a n ia p rzep ro w a d zo n y ch roz w ażań . Jak w id z ie liś m y d w ie g łó w n e sp ra w y z ja w ia ją się tu ta j. P ie r w s z a z nich d o ty czy zw ią zk u zachodzącego m ięd zy in tu ic ją a p ozn an iem d y sk u r sy w n y m , druga zaś to p rob lem ad ek w a tn eg o p o zn a w a n ia rzeczy w isto śc i. Z p o w y ższeg o w id a ć, że p o ja w ia n ie się p a ra d o k só w sta n o w i d o sk o n a ły p u n k t w y jśc ia do cen n y ch sp ostrzeżeń o d n oszących się do o m a w ia n y c h zagad n ień .
R ozp atru jąc zw ią zek m ię d z y pozn an iem d y sk u rsy w n y m a in tu icją m o żn a d ojść do sfo rm u ło w a n ia n a stęp u ją ceg o w n io sk u : In tu ic ja to c e n n e n arzęd zie h eu ry sty czn e. N ie m oże jed n a k ona ro ścić p reten sji, by sta n o w ić m eto d ę d ow od u ja k ie jk o lw ie k tezy. D ow od zić m u sim y drogą d y sk u rsy w n ą . In tu icja n adto m oże i p o w in n a być k szta łco n a . D obrze w y k sz ta łc o n a , su b teln a in tu ic ja jest bardzo pożądaną w ła sn o śc ią w pra c y n au k ow ej. W ytycza ona b o w iem w ó w cza s w ła śc iw ą drogę p o stęp o w a n ia . P o zw a la ty m sa m y m iść w e w ła śc iw y m k ieru n k u , n ie b łąk ać się p o m an ow cach m y śli. In tu ic ja n iew y k szta łco n a w a ru n k u teg o n ie p o tr a fi sp ełn ić. K sz ta łc e n ie in tu ic ji, o g ó ln ie m ó w ią c, p rzeb iega w sp o s ó b k la sy c z n y d zięk i p o ja w ia n iu się sy tu a c ji p a rad ok saln ych .
D a lszy w n io sek , ja k i tu się n a su w a , odnosi się do p r ecy zji pojęć. D z ię k i p o ja w ia n iu się p a ra d o k só w o tw iera się przed n am i droga dojścia do coraz bardziej a d ek w a tn eg o u jęcia d efin icy jn eg o p ojęć p ie r w o tn ie d an ych nam ty lk o in tu ic y jn ie .
13 P. J. C ohen, T h e in d ep en d en ce o f th e co n tin u u m h y p o th esis,
P r o c e e d i n g s of th e N a tio n a l A c a d e m y of S c ie n c e s of th e U S A , 50 (1963),
3143— 1148, 51(1964), 105— 110. Por. ta k że J. M ik u siń sk i, O tw ierd zen iu Z o rn a , W ia d o m o ś c i M a t e m a t y c z n e 9(1967), 227— 228.
D w a te p o d sta w o w e w n io sk i p row ad zą, z k o lei, do dalszych. N a j p ierw w ię c m o żem y w id zieć tu taj w e z w a n ie do o stro żn o ści. I to w zn a czen iu jak n ajb ard ziej ogóln ym . N a le ż y strzec się przed złudną „oczy w is to ś c ią ”, k tóra po w n ik liw s z y m zbadaniu w c a le n ie w y d a je się ta k bardzo „ o c z y w ista ”. S ąd zim y, że p rzed sta w io n e p o w y żej p arad ok sy u sp r a w ie d liw ia ją w p ełn i ten w n io sek . Np. o sta tn i z p a ra d o k só w w tej p racy zrefe r o w a n y c h zaleca o strożn ość przy p o słu g iw a n iu się a n alogią, k ied y p rzech od zim y od w ie lk o ś c i sk o ń czo n y ch do n iesk o ń czo n y ch . N ie w q ln o je s t tej a n a lo g ii su p o n o w a ć, n a leży jej d o w ieść, b y m óc lo g ic z n ie p o p ra w n ie n ią się p o słu g iw a ć.
W yd aje się, że w a rto je s t m ocno p o d k reślić o sta tn i w n io sek , b ęd ący zach ętą do ostro żn o ści. N ig d y o stro żn o ści n ie je s t za w ie le . Ł adnym p rzyk ład em m oże tu słu ż y ć ro zw a ża n ie J. R. S e a r le o stru k tu rze w y p o w ied zi typu: (a) „ T u liu s = T u liu s” i (b) „ T u liu s = C icero”. Z god n ie z o b ieg o w y m p rzek o n a n iem w y p o w ie d ź ty p u (a) w y d a je się być an a lity czn a . B ęd zie ona p ra w d ziw a p rzy k a żd y m p o d sta w ie n iu sy m b o li w m ie jsc e w y ra zu „ T u liu s”. N a to m ia st w y p o w ie d ź ty p u (b) różn i się is to tn ie od w y p o w ie d z i ty p u (a). Otóż ok azu je się, że ta k n ie jest. Obie w y p o w ie d z i są a n a lity czn e. Ich p ra w d ziw o ść w y n ik a z p r z y ję ty ch r e g u ł ję z y k o w y c h 14.
A drugi w n io sek , to stw ie r d z e n ie zach od zen ia d ia lek ty czn eg o zw iązk u m ięd zy in tu icją a p o zn a n iem in telek tu a ln y m . P ra k ty k a n au k ow a w sk a zu je, że rozw ój w ie d z y lu d zk iej n a stęp u je p rzez w z a je m n e ściera n ie się in tu ic ji oraz ujęć in te le k tu a ln y c h . I jed en i drugi czy n n ik jest p otrzeb n y. K ażd y n a sw o im m iejscu . P rzez sty k zarów n o in tu ic ji, jak i u m y słu z r z e c z y w isto śc ią i p rzez zach od zący m ięd zy n im i d ia lek ty czn y zw ią zek m o żem y d ocierać do coraz lep szeg o , p ełn iejszeg o , bardziej a d ek w a tn eg o p o zn a w a n ia r z eczy w isto ści. O na je s t i p rzed m iotem badań n a u k o w y ch i o sta teczn ą in sta n cją ro zstrzy g a ją cą o p ra w d ziw o ści n a szego p oznania.
N a c z a l n y j k u r s fi łosofii, Izd a n ie w to ro je d orab otan n oje, Izd a telstw o
„ M ysi”, M osk w a 1968.
P raca pt. „ N aczaln yj k u rs fiło s o f ii” sta n o w i u zu p ełn io n e w y d a n ie „E lem en ta rn eg o k u rsu filo z o fii” m a r k s isto w sk o -le n in o w sk ie j. W pod ty tu le zaznaczono, że p o d ręczn ik jest p rzezn aczon y dla słu ch a czy p od sta w m ark sizm u i len in izm u . J e st to p raca zb iorow a, n ap isan a p rzez czterech filo z o fó w rad zieck ich . S k ła d a się z p rzed m o w y , 13 rozd zia łó w i zak oń czen ia. P rzed m o w ę i za k o ń czen ie oraz ro zd zia ły I, II, V, 14 J. R. S ea rle, Im io n a w ła sn e , w : L ogik a i języ k , W arszaw a 1967,. 523— 525.
