Niezawodność konstrukcji o parametrach przedziałowych i losowych

ZESZYTY N A U K O W E PO LITEC H N IK I ŚLĄSKIEJ Seria: B U D O W N IC TW O z. 93

2000

N r kol. 1514

Andrzej POW NUK*

Politechnika Śląska

NIEZAWODNOŚĆ KONSTRUKCJI O PARAMETRACH PRZEDZIAŁOWYCH I LOSOWYCH

Streszczenie. W pracy wykazano, że metoda projektowania konstrukcji wykorzystująca parametry prze­

działowe daje te same wyniki, co stosowana w obecnych normach projektowania metoda półprobabilistyczna.

Przedstawiono now ą m etodę identyfikacji parametrów przedziałowych opartą na obowiązujących przepisach budowlanych. Zaprezentowana metoda um ożliw ia wykorzystanie istniejących współczynników bezpieczeństwa w metodzie elem entów skończonych. Prezentowany algorytm może być wykorzystany do obliczeń bezpieczeń­

stwa konstrukcji o parametrach przedziałowych i losowych.

RELIABILITY OF STR U C T U R E S W ITH IN T E R V A L A N D R A N D O M PARAMETERS

Sum m ary. In this paper, it was shown, that the interval methods gives the sam e results as the semi- probabilistic method. The new method o f identification o f interval parameters is presented. The method is based on existing civil engineering codes. Using this method w e can apply safety factors in the finite element method.

Presented algorithm can be applied to calculation o f reliability o f structures with interval and random parame­

ters.

1. Wprowadzenie

W szystkie param etry konstrukcji budow lanych znane są z pew ną w iększą lub m niejszą dokładnością. W niektórych przypadkach niepew ności te s ą n a tyle duże, że nie m o g ą zostać pominięte w procesie projektow ania. W ystępuje to np. w konstrukcjach m urow ych, betono­

wych, kom pozytow ych oraz w przypadku obciążeń w iatrem i śniegiem. Do m odelow ania niepewności param etrów obecnie w ykorzystuje się m etody półprobabilistyczne (w spółczyn­

niki bezpieczeństw a). W niniejszej pracy do m odelow ania niepew ności zo staną w ykorzystane przedziały liczbow e (tolerancje). Ponadto zostanie pokazane, że istniejące m etody półproba- bilityczne są szczególnym przypadkiem m etod przedziałow ych.

* O piekun naukow y: D r hab. inż. Jerzy Skrzypczyk, prof. PŚ1.

392 A. Pownuk

2. Metoda półprobabilistyczna

W ram ach m etod poziom u I, je d n a w artość charakterystyczna określa każdy parametr lo­

sowy. O znaczając dalej przez G0 i s0() odpow iednio wartość średnią i odchylenie standar­

dow e w ytrzym ałości m ateriału, a przez Q i sQ wartość średnią i odchylenie standardowe obciążenia, w ytrzym ałość charakterystyczna m ateriału Gk oraz charakterystyczna wartość obciążenia Qk zdefiniow ane s ą ja k o

° k = GO ~ o *a0 - Q k = Q + t(2sQ (1)

gdzie param etry fC() i fg dobiera się tak, aby wartości charakterystyczne a k i Qk były od­

pow iednim i kw antylam i zm iennych losow ych O0 i Q (np. na poziomie: 2% , 5% dla wytrzy­

m ałości oraz 98% rocznego m aksim um dla obciążenia). Często przyjm uje się i 2 dla konstrukcji stalowych

a ° [l .645 dla konstrukcji betonowych

W prow adza się następnie tzw. w artości obliczeniow e (projektow e) a d i Qd , dane jako [4]

, Qd = y f Qk (3)

Y.v

gdzie Yj i Y/ s ą odpow iednio w spółczynnikam i częściow ym i w ytrzym ałości i obciążenia.

K oncentrując się dalej na konstrukcjach stalowych, schem at 'norm owego' podejścia do projektow ania konstrukcji przedstaw iono na podstaw ie norm y PN -90/B -03200. Norm a ta stanowi, iż w ym iarow anie konstrukcji należy przeprow adzać m etodą stanów granicznych, rozróżniając:

• stany graniczne nośności i odpow iadające im obciążenia obliczeniowe,

• stany graniczne użytkow ania i odpow iadające im obciążenia charakterystyczne.

Przy w ym iarow aniu konstrukcji należy w ykazać, że we w szystkich m ożliw ych do przewi­

dzenia przypadkach projektowych, w fazach realizacji i eksploatacji, spełnione są warunki nośności i sztyw ności konstrukcji. W ogólnym przypadku w arunek stanu granicznego znisz­

czenia zapisać m ożna w postaci [4]

g ( Q d ^ d , y d , J n ) > 0 (4)

gdzie g ( Q d , o d , y d , y n ) = R d - S d - S d je s t w artością obliczeniow ą m om entu lub siły prze­

krojow ej. Rd je s t nośnością obliczeniow ą elementu.

Niezawodność konstrukcji o param etrach. 393

Przez Y j oznaczono w spółczynniki uw zględniające niepew ności m odelu, inne niż te, które wzięto w rachubę przy specyfikow aniu w spółczynników y s i J j , natom iast y n oznacza współczynnik konsekw encji zniszczenia [1, 6].

Jak w idać, w m etodzie tej zakłada się, że param etry należą do następujących przedziałów o 0 e g = [ o (/,° ° ), Q e Q = [ 0 , Q j ] (5) Param etry projektow e x należą do następującego zbioru:

( x : V o £ o, V Q e Q , V x e x, g ( x , o , Q , y d , y n ) > 0 } (6) W praktyce rzadko określa się cały zbiór (6). Zw ykle spraw dza się tylko, czy param etry projektowanej konstrukcji spełniają relację (4). D latego bardziej istotne je s t określenie nastę­

pującego przedziału

g = {y : y = g(x,o, Q , y £/, y „ ) , x e x , o e o , Q e Q } (7)

Je ś li

0 < i n f | (8)

wtedy projektow ana konstrukcja je s t bezpieczna. Jak w idać, aby spraw dzić w arunek 0 < i n f g , nie trzeba w yznaczać całego przedziału g . W ystarczy obliczyć jedynie g~ = i n f g . P oniew aż w stosow anych obecnie norm ach projektow ania zależność y = g ( x ,o , Q , y rf,y „ ) je s t m onotoniczna, dlatego w yznaczenie w ielkości g~ je s t bardzo pro­

ste. W ielkość g~ otrzym ujem y przyjm ując w obliczeniach Q = Q d , o = o d , tzn.

g ~ Q (/< oą-Yi/.yn) (9)

3. Wykorzystanie metody półprobablistycznej do identyfikacji parametrów przedziałowych

Założym y, że średnia w artość obciążenia projektowanej konstrukcji wynosi Q . N a skutek w ystępow ania niepew ności, do projektow ania przyjm ujem y w artości obliczeniow e (projek­

towe) Q j określone w zorem (3). W ielkość Qd stanow i górne ograniczenie w artości siły Q . W analogiczny sposób m ożna w yznaczyć dolne ograniczenie. O statecznie otrzym ujem y prze­

dział, do którego m o g ą należeć wartości siły Q.

Q = [ Q ~ , Q +] = [ Q - A Q , Q + A 0 ] , gdzie AQ = Qd - Q (10) A nalogicznie określam y przedział zm ienności w ytrzym ałości m ateriału o

g = [c~ ,g+ ] = [o- Ao,c + Ag], gdzie Ag = g- g(/ (11)

394 A. Po wnuk

W przypadku braku danych dośw iadczalnych ja k o wartości Q , a m ożna przyjąć odpowiednie wartości charakterystyczne określone przez projektanta. P odobną m etodologię m ożna zasto­

sow ać w przypadku param etrów geom etrycznych. Szczegółow e m etody obliczania wartości charakterystycznych i obliczeniow ych podane są w odpow iednich norm ach budowlanych.

N ależy podkreślić, że zw ykle praktyczne znaczenie m a tylko jed en koniec przedziału. W przypadku obciążeń decydujące znaczenie m a obciążenie m aksym alne P + . W przypadku w ytrzym ałości m ateriałów zw ykle korzysta się z wartości m inim alnej Gq . W yznaczanie liczb

P ~ , Gq zw ykle nie je s t konieczne.

Jak zostało pokazane w poprzednim punkcie, tradycyjne m etody projektow ania do okre­

ślenia bezpieczeństw a konstrukcji w ykorzystują koncepcję param etrów przedziałow ych, dla­

tego w yniki otrzym ane przy w ykorzystaniu norm ow ych m etod projektow ania pokryw ają się z w ynikam i obliczeń przy w ykorzystaniu m etody przedziałow ej.

N ależy podkreślić, że m etoda obliczania wielkości charakterystycznych i obliczeniowych nie musi m ieć interpretacji probabilistycznej. Dlatego param etry przedziałow e m o g ą zostać w ykorzystane do opisu niepew ności, które nie m ają charakteru losowego. W konstrukcjach budow lanych bardzo często m am y do czynienia z w yrobam i o charakterze jednostkow ym i nie m ożna w takim przypadku w ykonać w ym aganej liczby pom iarów, aby obliczyć odpo­

w iednie losow e charakterystyki.

Z p o dobną sytuacją m am y do czynienia podczas ekspertyz konstrukcji zabytkowych. W tym przypadku w ykonanie potrzebnych badań je s t utrudnione, gdyż m ogłyby one doprowa­

dzić do zniszczenia konstrukcji.

4. Zastosowanie metody półprobablistycznej do modelowania parametrów w komputerowych algorytmach mechaniki konstrukcji

W spółcześnie coraz częściej do obliczania bezpieczeństw a konstrukcji w ykorzystuje się kom puterow e m etody m echaniki ciał stałych [3]. W metodach tych nie m ożna bezpośrednio zastosow ać zaleceń norm budow lanych dotyczących bezpieczeństw a konstrukcji. Jednakże, bazując na istniejących przepisach, m ożna zidentyfikow ać przedziały, do których należą ob­

ciążenia, w ytrzym ałości oraz inne param etry konstrukcji. N astępnie w celu spraw dzenia bez­

pieczeństw a konstrukcji, m ożna w ykorzystać w arunek (8). Jako funkcję graniczną można przyjąć odpow iednią hipotezę w ytężeniow ą, np. w arunek H ubera-M issesa

Niezawodność konstrukcji o param etrach... 395

g (h ) = O o(h) - - ^ s ( h ) : s(h ) ( 12)

ności przy rozciąganiu oraz h je s t w ektorem param etrów niepew nych. Ponadto s(h): s ( h ) = • ^ ( h ) . Z aprezentow ana koncepcja bezpieczeństw a konstrukcji je st

słuszna dla w szystkich zagadnień m echaniki, dla których m ożna sform ułow ać hipotezy w ytę­

żeniowe. Przykładow ym i działam i m echaniki m ogłyby być tutaj:

- teoria sprężystości, - teoria plastyczności,

- teoria lepkospreżystości oraz lepkoplastyczności, - m echanika zniszczenia,

- m echanika pękania, stateczność konstrukcji.

P odejście oparte na param etrach przedziałow ych nie je s t w stanie dokładnie opisać nie­

pewności o charakterze losowym. M oże to pow odow ać projektow anie konstrukcji o zbyt kon­

serwatywnych param etrach, co je s t je g o wadą.

Z astosow anie m etody param etrów przedziałow ych posiada następujące zalety:

- przy w ykorzystaniu przedstaw ionej w niniejszej pracy m etodologii, param etry przedzia­

łow e są bardzo proste do identyfikacji,

do określenia param etrów przedziałow ych potrzebna je s t bardzo m ała liczba inform acji (trzeba określić tylko dw ie liczby),

przedziały liczbow e m o g ą opisyw ać niepew ności o charakterze nielosowym ,

- obliczenia przy w ykorzystaniu m etody przedziałow ej są znacznie prostsze od obliczeń przeprow adzonych za pom ocą analogicznych metod probabilistycznych.

5. Bezpieczeństwo układów o parametrach przedziałowych i losowych

Jeśli w układzie m am y do czynienia zarów no z param etram i przedziałow ym i hj ja k i lo­

sowym i X j , to praw dopodobieństw o zniszczenia układu m echanicznego m ożna obliczyć przy w ykorzystaniu następującej zależności:

396 A. Po wnuk

Pf = p ( g ( X , h ) < 0, h e h ) = | f x ( x) d x (13) {x:g(x,h)<0,heh}

gdzie / x (x) je s t fu nkcją gęstości rozkładu praw dopodobieństw a w ektora losow ego X.

Rozw ażym y dla przykładu pręt rozciągany siłą P o przekroju A i w ytrzym ałości o 0 . Za­

kładam , że P = [ P ~ , P +\ oraz g 0 je st zm ienną losow ą o rozkładzie norm alnym scharaktery­

zow anym w artością średnią o 0 i odchyleniem standardow ym s0q .

o P+

Pf =P( { m: <s Q( ( D ) A - P < 0 , P e P ) ) = j f z (z)dz = j f , ( t ) d t = <l>(p+ ) (14)

gdzie z = o A - P , t = —— - , P = — , P + = — — oraz <t*(r) je st dystrybuantą rozkładu

SZ SZ A i o 0

norm alnego N ( 0,1 ).

W przypadku stosow ania m etody elem entów skończonych, do obliczenia ekstremalnych w artości funkcji granicznej m ożna w ykorzystać m onotoniczną zależność rozw iązania od nie­

pew nych param etrów oraz m etody analizy w rażliw ości.

N iech funkcja graniczna m a postać określoną za pom ocą wzoru (12). W rażliw ość funkcji granicznej m ożna określić następująco:

^ = 2 a ^ _ 3 ^ :s(h)_ 3 s(h):^ = 2 3 a ^ _ 3 3s0i);s(h) (]5)

dhj 3/t, 2 dhj 2 ()hi 3ń; 3hi

3s(h) _ 3s(h) 3o

3h: 3o 3k: (16)

3o 3 \ 3C B 3q

a i - =

³

i - (CB’ ) = ^ r ,,+ C B i <,7>

3q 3Q 3K

Przy czym ds f o ) : s ( h ) = V : smn(h). C je s t m acierzą stałych m ateriałow ych. q jest

dhi Z , dhi

w ektorem przem ieszczeń. B je s t m acierzą pozw alającą obliczyć odkształcenia na podstawie znanych przem ieszczeń e = B q . K je st m acierzą sztyw ności. Q je s t w ektorem uogólnio­

nych obciążeń przy węzłow ych. Znaczenie poszczególnych symboli m ożna znaleźć w pracy [3]. Ekstrem alne w artości funkcji granicznej m ożna znaleźć na podstaw ie znaku pochodnej

Qraz końców nrzedziału h . 3 h:

Niezawodność konstrukcji o param etrach. 397

8 = 8

h,

sign d g (h ) dh:

\ \

h,

sign / /

"d g (h )

dh: (19)

W układach liniowych funkcje w ew nętrzne w elem encie prętow ym „e” są funkcjam i prze­

mieszczeń

q,

obciążeń konstrukcji

Q

oraz obciążeń

Qe

elem entu „e” .

(*) = /£ ( * . q,Q,Qe)

(

20

) gdzie M e ( x ) je s t m om entem zginającym w punkcie x elem entu „e". W rażliw ość funkcji momentów zginających m ożna obliczyć przy w ykorzystaniu następującego wzoru.

d M e{x) df'M(x,

q,Q,Qf)

dh, dh,

(

21

)

Na podstaw ie rów nania (18) m ożna bezpośrednio obliczyć w rażliw ość przem ieszczeń — • dh,

— oraz . W ykorzystując m ożna obliczyć obw iednię m om entów zginających

dh; dh: dh;

w bardzo skom plikow anych układach m echanicznych.

x , h , s i g n

3h

^x,

h,

sign d M e(x)

3h

⁽

²²

⁾

W analogiczny sposób m ożna obliczyć obw iednię pozostałych sił w ew nętrznych.

6. Wnioski

G łów nym rezultatem niniejszej pracy je s t w ykazanie, że m etoda półprobablistyczna oraz metoda param etrów przedziałow ych d ają w prostych przypadkach te sam e rezultaty. Podej­

ście takie um ożliw ia w ykorzystanie norm ow ych w spółczynników bezpieczeństw a w oblicze­

niach z w ykorzystaniem kom puterow ych m etod m echaniki ciał stałych. D zięki przedstaw io­

nej w niniejszej pracy m etodologii identyfikacja param etrów przedziałow ych je s t bardzo pro­

sta. W pracy opisano algorytm obliczania obw iedni sił w ew nętrznych w układach z prze­

działow ym i param etram i. O bliczona w ten sposób obw iednia m oże uw zględniać niepew ności stałych m ateriałow ych oraz param etrów geom etrycznych. Z astosow ania zaprezentow anej tutaj m etodologii zo staną zaprezentow ane na konferencji.

398 A. Pownuk

L ITER A TU R A

1. B iegus A.: Probabilistyczna analiza konstrukcji stalow ych. PW N, W arszaw a 1999.

2. D ubois D., Prade H.: R andom sets and fuzzy interval analysis. Fuzzy Sets and Systems, V ol. 38, 1991, s.309-312.

3. K leiber M.: K om puterow e m etody m echaniki ciał stałych. PW N, W arszawa 1995.

4. Łapko A.: Projektow anie konstrukcji żelbetow ych. A rkady, W arszaw a 2000.

5. P ow nuk A.: Projektow anie układów z niepew nym i param etram i. Sym pozjum „Trwałość budow li” , K am ień Śląski 2-3.07.2001.

6. Stocki R.: O ptym alizacja niezaw odnościow a konstrukcji prętowych w zakresie dużych przem ieszczeń teoria i program kom puterowy. Prace IPPT, 13/1999.

Recenzent: Prof, dr hab. inż. Stefan Jendo

A b s tra c t

In this paper was shown, that the interval m ethods gives the same results as the semi- probabilistic m ethod. The new m ethod o f identification o f interval param eters is presented.

The m ethod is based on existing civil engineering codes. U sing this m ethod we can apply safety factors in the finite elem ent method. U pper and low er bounds o f lim it state function g can be calculated using sensitivity analysis. This m ethod can be applied when uncertainty of param eters is sufficiently small. Presented algorithm can be applied to calculate reliability of structures with interval and random param eters. Sim ple exam ple o f application is presented.