Nowe wykorzystanie metody blokowej w konstrukcji algorytmów heurystycznych dla ogólnego problemu przepływowego

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOMATYKA z. 150

2008 N r k o l. 1796

J ó z e f G R A B O W S K I, Jarosław P E M P E R A P o lite c h n ik a W ro cła w ska

N O W E W Y K O R Z Y S T A N I E M E T O D Y B L O K O W E J W K O N S T R U K C J I A L G O R Y T M Ó W H E U R Y S T Y C Z N Y C H D L A O G Ó L N E G O P R O B L E M U P R Z E P Ł Y W O W E G O

S treszczenie. W łasności b lo k o w e są z p ow odzeniem stosowane do usuw ania ru c h ó w n ie ro ku ją cych p o p ra w y d la w ie lu otoczeń stosow anych w a lg orytm ach p op ra w d la p ro b le m ó w szeregowania. W pracy, dla ogólnego p ro b le m u p rz e p ły ­ w o w e g o , zaproponow ano n o w y sposób przeglądania otoczenia, k tó ry p ozw ala na e lim in a c ję znacznie w iększego z b io ru ruch ów . W celu sprawdzenia e fektyw n ości m eto dy p rzeprow adzono eksperym ent ko m p u te ro w y na instancjach T a illa rd a .

N E W C O N C E P T O F U S IN G B L O C K M E T H O D IN T H E C O N S T R U C T IO N L O C A L S E A R C H H E U R IS T IC S F O R T H E G E N E R A L F L O W S H O P P R O B L E M

S u m m a ry . The b lo c k properties are successfully applied to a p rio ry e lim in a te non p ro m is in g m oves fro m the n eigh bo rho od fo r m any lo ca l search a lg o rith m o f s o lv in g scheduling problem s. In this paper, fo r the general flo w s h o p p ro ble m , it presents new m ethod o f searching the neighborhood, w h ic h gives rise to e lim in a te h ig h ly greater set o f m oves. T o validate e ffic ie n c y o f the proposed m ethod, co m p uta tio na l e xperim ent have been executed on a w e ll-k n o w n T a illa rd ’ s benchm arks.

1. W s tę p

W p rz e p ły w o w y m system ie p ro d u k c y jn y m każde zadanie należy w y k o n a ć k o le jn o na w s z y s tk ic h maszynach. Z adanie o p ty m a liz a c ji polega na w yzna czen iu dopuszczalnego harm onogram u m in im a liz u ją c e g o m om ent zakończenia re a liz a c ji w szystkich zadań. Ze w zg lę d u na bardzo dużą liczbę rz e czyw istych system ów p ro d u k c y jn y c h o charakterze p rz e p ły w o w y m , p ro b le m ten od przeszło pięćdziesięciu la t je s t prze dm iote m zainteresow ania badaczy oraz p ra k ty k ó w [1 ], N iestety, ty lk o dla dw um aszynow ego p ro ble m u p rz e p ły w o w e g o istn ie je d o k ła d n y a lg o ry tm w ie lo m ia ­ n o w y [2 ], D la w iększe j lic z b y m aszyn p ro b le m ten je s t N P -zup ełn y [3 ]. Znane a lg o ry tm y dokładne w yzna czają rozw iąza nia o ptym alne [4 ] w czasie a kceptow alnym d la p ra k ty k ó w je d y n ie dla n ie w ie lk ie j lic z b y zadań, dlatego p ra k ty c y p oszu kują e fe k ty w n y c h a lg o ry tm ó w heurystycznych, w szczególności a lg o ry tm ó w opartych na m etodach prze szukiw ań lo ka ln ych . W o g ó ln y m p ro b le m ie p rz e p ły w o w y m FS

(n ie p e rm u ta c y jn y m ) dopuszcza się d o w o ln ą ko le jno ść w y k o n y w a n ia zadań na m aszynach, natom iast w p e rm u ta c y jn y m p ro b le m ie p rz e p ły w o w y m kolejność w y k o n y w a n ia zadań na w s z y s tk ic h m aszynach je s t identyczna. D la perm utacyjnego FS opracow ano a lg o ry tm y oparte na niem alże w s z y s tk ic h n ajno w szych m etodach k o n s tru k c ji a lg o ry tm ó w h eu rystyczn ych d la p ro b le m ó w ko m b in a to ryczn ych . N a jb a rd z ie j e fektyw n e z n ic h b azu ją na szeroko ro zu m ia nych m etodach przeszu­

k iw a n ia lokalnego, tj. p rze szukiw an ia genetycznego [5 ], sym ulow anego w yżarzania [6 ], p rze szukiw an ia z za bron ien ia m i [7 - 9 ] , p rze szu kiw a n ia neuronow ego [1 0], p rze szukiw an ia m ró w k o w e g o [1 1 ]. N ie s te ty , d la ogólnego FS, ze w zg lę d u na znacznie w ię k s z ą złożoność oraz trud no ści w k o n stru o w a n iu e fe k ty w n y c h otoczeń d la a lg o ry tm ó w popraw , nie opracow ano tak w ie lu a lg o ry tm ó w , p o m im o ewidentnego zm niejszenia czasu w y k o n y w a n ia zadań w p rzyp a d ku zrezygnow ania z w y m o g u ide ntycznych k o le jn o ś c i w y k o n y w a n ia zadań na w s z y s tk ic h m aszynach [1 2].

2. O p is p ro b le m u

W o g ó ln y m p ro b le m ie p rz e p ły w o w y m dany je s t z b ió r zadań J = {1 ,2 ,...,« }, k tó ry należy w y k o n a ć p rz y u ż y c iu m m aszyn ze z b io ru Z adanie j e J należy k o le jn o w y k o n y w a ć na każdej m aszynie. R ozpoczęcie w y k o n y w a n ia zadania na m aszynie k, k e m oże nastąpić dopiero po zakończeniu o b ró b k i na m aszynie k - \ . Z e w z g lę d u na m iejsce w y k o n y w a n ia zadania, zadanie j e J m ożna p o d z ie lić na m o pe ra cji Oj\,O fi,...,O jm. O peracja Ojk o dpow iada w y k o n y w a n iu tego zadania, bez prze ryw a nia, na A-tej m aszynie przez czas P ji>0. M aszyna m oże w d o w o ln e j c h w ili w y k o n y w a ć co n a jw y ż e j je d n o zadanie. N a le ż y znaleźć harm onogram w y k o n y w a n ia operacji w system ie sp e łnia ją cy w w w . ograniczenia oraz m in im a liz u ją c y m om ent zakończenia re a liz a c ji w s z y s tk ic h zadań.

K o le jn o ś ć w y k o n y w a n ia zadań na m aszynach m ożna opisać za pom ocą zestawu składającego z m p e rm u ta cji Każda z p erm u ta cji nk , k = l,...,m , o kreślona je s t na z b io rze { 1 ,...,« } i oznacza ko le jno ść w y k o n y w a n ia zadań na m aszynie k. Zestaw n b ęd zie m y ró w n ie ż n a z y w a li p erm u ta cją lub kolejnością.

D la ustalonej k o le jn o ś c i n dopuszczalny harm onogram w y k o n y w a n ia zadań na m aszynach o k re ś lo n y przez te rm in y rozpoczęcia (zakończenia) w y k o n y w a n ia zadań Sjk ( C j k ) , j = l , . . . , n , k = l , . . . , m m usi spełniać następujące ograniczenia:

N ierów m ość (1 ) i rów ność (2 ) są o czyw iste . N ie ró w n o ś ć (3 ) m od elu je ograniczenie te chnologiczne i oznacza, że m om ent rozpoczęcia w y k o n y w a n ia danego zadania na danej m aszynie nie m oże b yć w cześn iejszy od m om entu zakończenia re a liz a c ji tego zadania na m aszynie poprzedniej. N ie ró w n o ś ć (4 ) m od e lu je ograniczenie w y n ik a ją c e z je d n o s tk o w e j przepustow ości m aszyn.

Sji >

0, y=l,...,«,

Cjk= Sjk+pjk,

7=1,...,«,

—

1, • • •,«,

2,... ,w,

Sjtk(j)k

—

2,-_ 1 ) * * *

( 1 ) ( 2 )

(3)

(4)

Nowe wykorzystanie metody blokowej 47

3. M o d e l g ra fo w y p ro b le m u

P roblem w yznaczenia dopuszczalnego harm onogram u w y k o n y w a n ia zadań dla ustalonej k o le jn o ś c i ic h w y k o n y w a n ia n m ożna sprow adzić do p ro ble m u w yznaczenia d łu go ści n a jdłu ższych d ró g w p ew nym g ra fie skierow a nym . D la zadanej ko le jn o ści n d e fin iu je m y g ra f G (F )=(N ,T uF (7i)) ze z b io re m w ę z łó w N i zb io re m nieobciążonych łu k ó w gdzie :

A ^ { l , . . . , « } x { l , . . . Jm }, (5)

w ęze ł (J,k) e N reprezentuje k-tą operację zadania Ą j) i obciążo ny je s t w a g ą p ^ . ,

r = U;=1U S ,{(0^).(7,Ar+i))}, (6)

z b ió r T zaw iera m odelujące ograniczenia te chnologiczne (3)

F{k) = U?., U":! « (** U M ), {rck u + 1), A-))} (7) K a żd y łu k ((7rk(j),k), {n k(j+ 1 ),&)) e F (rt) m odeluje ograniczenia m aszynow e (4).

W yznaczenie najw cześniejszego te rm in u zakończenia w y k o n y w a n ia operacji 0 ]k rów no w ażn e je s t w yzna czen iu d łu go ści najdłuższej d ro g i dochodzącej do w ęzła (j,k) (z obciążeniem tego w ę zła ) w g ra fie G (ti).

D łu g o ś ć najdłuższej d ro g i do w ęzła (nm(n),m) określa najw cześniejszy m om ent zakończenia w y k o n y w a n ia w s z y s tk ic h zadań. N ajd łu ższa droga w G (n) nazyw ana je s t ścieżką k ry ty c z n ą w G(n). Ścieżka k ry tyczn a , z o c z y w is ty c h w z g lę d ó w rozpoczyna­

ją c a się w w ęźle (71,(1),1), m oże b yć reprezentowana przez sekwencję w ę z łó w . N ie c h u=(u\,u2,...,uw) oznacza je d n ą d o w o ln ie w y b ra n ą ścieżkę k ry ty c z n ą w G (k), gdzie Ur{ji,ki)<źN, l < i< w , w je s t lic z b ą w ę z łó w w tej ścieżce.

W ścieżce u m ożna w y ró ż n ić m a k s y m a ln y podciąg (us uh)=((/)?>kg), {j , „ kh)) ścieżki u ta ki, że ks= . . . = k h oraz ( ( /,,A',),(/i+i,kiH))<aF(n) dla i= g , . . . , h -1, g < h . Sekw encję zadań B„h=(JgJ g r l Ji,-\-jh) b ęd zie m y n a z y w a li blokiem zadań. W ścieżce k ry ty c z n e j znajduje się co n a jw y ż e j m b lo k ó w . D la b lo k u Bgh= (jg j ),-

1

N ie c h 7i\, będzie k o le jn o ś c ią w y k o n y w a n ia zadań otrzym a ną przez m o d y fik a c ję k o le jn o ś c i k. Z w łasności b lo k o w y c h [4 ] w y n ik a , że Cmax(7ry) > C max(7r), je ż e li m o d y fik a c ja n polega na:

• z m ia nie k o le jn o ś c i w y k o n y w a n ia operacji w ew n ętrzn ych b lo k ó w ,

• z m ia nie k o le jn o ś c i operacji nienależących do b lo k ó w ,

• w s ta w ie n iu do b lo k ó w o pe ra cji nienależących do ścieżki k ry ty c z n e j.

4. P ro p o n o w a n a m e to d a p rz e g lą d a n ia są sie dztw a d la ogólnego FS

Czas d zia łan ia a lg o ry tm ó w opa rtych na m etodach p op ra w oraz jako ść dostarczanych przez nie rozw iąza ń isto tnie za le ży od sposobu generow ania rozw iązań sąsiednich oraz ich lic z b y . Ze w zg lę d u na liczb ę operacji zam ieniających s w o ją pozycję d e fin ic je z b io ró w ru c h ó w m ożem y p o d z ie lić na: zorientow ane na przem ieszczanie je d n e j o pe ra cji zadania, np. d la p ro ble m u gniazdow ego lub

p ro b le m ó w z m aszynam i ró w n o le g ły m i, oraz zorientow ane na przem ieszczanie w s z y s tk ic h operacji zadania (całego zadania), np. p e rm u ta c y jn y FS.

Jednym z najskuteczniejszy ty p ó w ru c h ó w d la p ro b le m ó w szeregow ania zadań je s t ruch ty p u w staw . D la rozw ażanego p ro ble m u , w p rzyp ad ku d e fin ic ji zo rientow anej na przesuw anie w s z y s tk ic h operacji p o jed ynczych zadań, ruch typu w sta w m oże m y opisać za p om ocą m + \-tk i v= (j,yh . k tó ry polega na usunięciu w s z y s tk ic h operacji zadania j z n oraz ich p o n o w n y m w s ta w ie n iu do n, p rz y czym operacja w y k o n y w a n a na m aszynie k w staw iana je s t na p ozycję y * w nu, k = \,...,m . Z b ió r w s z y s tk ic h ru c h ó w w y k o n y w a n y c h operacjam i zadania j będziem y oznaczali sym bolem Vj. O czyw iście , lic z b a elem entów Vj w y n o s i nm. Czas o b licze ń m ożna znacząco zm niejszyć, e lim in u ją c ru c h y , o k tó ry c h a p rio ryczn ie w ie m y , że nie p rz y n io s ą p o p ra w y rozw iąza nia n (w ła sno ści b lo kow e ).

D otychczas w literaturze w yznaczanie z b io ru w y e lim in o w a n y c h ruch ów następow ało na podstaw ie a n a liz y rozw ią za n ia bazowego. W dalszej części pracy p rezentujem y szkic m eto dy p ozw alającej na usunięcie d o d a tko w ych ru c h ó w na podstaw ie a n a lizy generow anych w o d p o w ie d n ie j k o le jn o ś c i rozw iązań sąsiednich.

N ie c h n będzie rozw iąza nie m b azo w ym , natom iast tcv będzie n o w y m rozw iąza nie m sąsiednim w yg e n e ro w a n ym przez w y k o n a n ie ruchu v = (j,y \,...„y ,„) w n.

R ozp atrzm y przypadek, w k tó ry m ścieżka k ry ty c z n a u w G(/ą,) przechodzi przez operacje zadania j . Ł a tw o m ożna spraw dzić, że co n ajm n iej je d n a operacja tego zadania w chodząca w skład ścieżki k ry ty c z n e j n ie będzie ostatnią operacją o d p ow ied nie go b lo k u (z w y ją tk ie m przyp ad ku, w k tó ry m ostatnia operacja tego zadania w y k o n y w a n a je s t ja k o ostatnia na ostatniej m aszynie). P rz y jm ijm y d od atko w o, że operacja ta je s t je d n ą tego typ u operacją, w ów czas z w łasności b lo k o w y c h w n io s k u je m y , że d o w oln e przesunięcie pozostałych operacji nie p rzyn ie sie p o p ra w y (ru c h y te m ogą być w y e lim in o w a n e ). Zatem je d n y m ruchem ro k u ją c y m popraw ę w arto ści fu n k c ji celu je s t ruch tą operacją w p raw o za ostatnią w b lo k u , do którego należy ta operacja. Z pod ob nych rozw ażań p rzeprow adzonych d la operacji, k tó ra n ie je s t p ie rw szą w b lo k u , w y n ik a , że należy przesunąć tę operację przed p ie rw szą operację w b lo k u . Jeżeli w ścieżce u znajduje się w ięce j n iż je d n a operacja zadania j , któ re j przesunięcie w praw o ro k u je popraw ę rozw iązania, w ów czas należy przesunąć operację w y k o n y w a n ą na m aszynie o n a jniższym num erze.

A lg o r y tm w y z n a c z e n ia n ajlep szeg o ru c h u w Vj K r o k 1. W y k o n a j ruch v = ( / , l , . . . , l ) w n.

K r o k 2. W yzn a cz Cmax(;r), ścieżkę k ry ty c z n ą w G(/z). U a k tu a ln ij najlepszy ruch.

K r o k 3. W yzn a cz operację do przesunięcia w praw o.

K r o k 4. Jeżeli istnieje, przesuń o je d n ą p ozycję w p ra w o , id ź do K ro k u 2, w p rz e c iw n y m w y p a d k u STOP.

N ie c h Cjk (Qju) będzie d łu g o ścią najdłuższej d ro g i w G(/zy) dochodzącej do (odchodzącej od) w ę zła reprezentującego operację zdania j w y k o n y w a n ą na m aszynie k. M o ż n a pokazać, że O (w ) czasu zajm uje: (/) w yznaczenie C max(;ą ), (ii) w yznaczenie w ę z łó w , d la k tó ry c h należy u a k tu a ln ić w a rto ści Cjk oraz Ojk po w y k o n a n iu ruchu p o je d yn czą operacją w praw o.

Nowe wykorzystanie metody blokowej 49

Tabela 1 W y n ik i badań testow ych

G rupa a v e D m a x D I V a v e D I V C P U

2 0x5 5,4 0,80 0,27 2

2 0 x1 0 5,7 2,12 0,60 8

2 0 x2 0 5,9 0,18 -1,17 32

50x5 12,8 0,18 0,06 16

50x10 8,0 1,63 0,83 51

5 0x2 0 8,4 2,03 1,35 205

5. A lg o r y tm y h e u ry s ty c z n e

W celu oceny zaproponow anego otoczenia zaprojektow ano i za im ple m e ntow a ­ no a lg o ry tm TS o pa rty na m etodzie prze szukiw an ia z zabronieniam i. Z o sta ł on zaprogram ow any w śro d o w isku V is u a l C + + 2008 i testow any na p ie rw szych sześciu grupach in sta n cji p ro ble m u p rze p ływ o w e g o , które zostały zaproponow ane przez T a illa rd a [8 ], W zestawie ty m dla każdej pary nxm: 2 0 x5 , 20x1 0, 20x2 0, 5 0 x5 , 50x10, 5 0x2 0 znajduje się 10 p rz y k ła d ó w testujących o znanych o p tym a ln ych w artościach fu n k c ji celu d la p rzyp a d ku perm utacyjnego. R ozw iąza nie początkow e d la a lg o rytm u TS zostało w ygenerow ane a lg orytm em N E H [9 ]. D la każdej in s ta n c ji p ro ble m u a lg o ­ ry tm w y k o n a ł 1000 ite ra c ji na kom puterze z procesorem In te l C ore 2 D uo 2.66 G H z.

D la każdego p rz y k ła d u w yzna czon o następujące w ie lk o ś c i:

- /tts - najlepsze ro zw iąza nie w ygenerow ane a lg orytm em TS,

- D / F ( / r rs) - 100% (Cmax(7tiS)-C ,p')/C op' w zględna różnica w arto ści fu n k c ji celu rozw ią za n ia w ygenerow anego a lg o rytm e m TS i w a rto ści o ptym aln ej w yznaczonej d la p ro b le m u p erm utacyjnego,

- C P U- c z a s o b liczeń a lg o ry tm u TS,

- ave D - średnia lic z b a a k tu a lizo w a n ych w artości CJk i Qjk przypadająca na je d e n ruch.

N astępnie d la każdej g ru p y w yznaczono w arto ści średnie w w . w ie lk o ś c i oraz w yznaczono m aksym a ln ą w artość w ie lk o ś c i D IV .

Z a n a lizy w y n ik ó w eksperym entu ko m puterow ego prezentow anych w tabeli 1 w y n ik a , że h arm o no gra m y nieperm utacyjne są krótsze od p en n u ta c y jn y c h nawet 0 2% . Przewagę h arm o no gra m ó w n ie pe rm u tacyjn ych szczególnie w ida ć w p rzypadku grup o dużej lic z b y m aszyn i zadań. Średnia liczba a k tu a liz a c ji w artości Cjk i Qjk je s t stosunkow o n ie w ie lk a , nieznacznie zm niejsza się w ra z ze w zrostem lic z b y m aszyn 1 zw iększa w ra z ze w zrostem lic z b y zadań. D la ustalonej lic z b y zadań n średni czas d z ia łan ia a lg o ry tm u je s t p ro p o rc jo n a ln y do m .

B IO B L IO G R A F IA

1. G upta J.N .D ., S ta ffo rd S.: F low sho p scheduling research a fte r fiv e decades.

European Journal o f O perational Research, 169, 2006, s. 6 9 9 -7 1 1 .

2. Johnson S .M .: O p tim a l t w o - and three-stage p ro d u c tio n schedules w ith setup tim es included. N a v a l Research L og is tic s Q u a rte rly , 1, 1954, s. 6 1 -6 8 .

3. G arey M .R ., Johnson D .S., Sethi R .: The c o m p le x ity o f flo w s h o p and job sho p scheduling. M athem atics o f O perations Research, 1, 1976, s. 117-129.

4. G rab ow ski J., N o w ic k i E., S m u tn ic k i C.: M etoda b lo k o w a w zagadnieniach szeregow ania zadan. E X IT , W arszaw a 2003.

5. L o w C., L ia n g Z .: D e te rm in in g o p tim a l c o m b in a tio n o f genetic operators fo r flo w shop scheduling p ro ble m . In te rn a tio n a l Journal o f A d van ce d M a n u fa c tu rin g T e c h n o lo g y , 30, 2006, 3 0 2 -3 0 8 .

6. L o w C ., Y e h J.Y ., H uang K .I.: A robust sim ulated annealing h eu ristic fo r flo w shop scheduling problem . In te rn atio na l Journal o f A d van ce d M a n u fa c tu rin g T ech no log y, 23, 2004, 7 6 2 -7 6 7 .

7. N o w ic k i E., S m u tn ic k i C.: A fast taboo search a lg o rith m fo r the p erm utation flo w -s h o p p roblem . European Journal o f O perational Research, 106, 1998, s.

2 2 6 -2 5 3 .

8. G ra b o w s k i J., Pempera J.: N e w b lo c k properties fo r the perm u ta tion flo w -s h o p p ro ble m w ith a p p lica tio n in TS . Journal o f the O p erational Research Society, 26, 2001, s. 2 1 0 -2 2 0 .

9. G rab ow ski J., W o d e c k i M .: A v e ry fast tabu search a lg o rith m fo r the p erm u ta tion flo w shop p ro b le m w ith makespan c rité riu m . C om puters and O perations Research 3 1 ,2 0 0 4 , s. 1891-1909.

10. S o lim a n p u r M ., V ra t P., Shankar R.: A neuro-tabu search h eu ristic fo r the flo w shop scheduling problem . C om puters and O perations Research 31, 2004, s. 2151—

2164.

11. Y in g K .C ., L ia o C.J. (2004). A n ant c o lo n y system fo r perm utation flo w -s h o p sequencing. C om puters and O perations Research 31, 2004, s. 7 6 2 -7 6 7 .

12. Tandon M ., C um m in gs P.T. Levan M .D .: F low sho p sequencing w ith non­

p erm u ta tion schedules. C om puters and C he m ica l E ngineering. 15, 1991, s. 6 0 1 - 607.

13. T a illa rd E.: Benchm arks fo r basic scheduling problem s, European Journal o f O perational Research, 64, 1993, s. 2 7 8 -2 8 5 .

14. N aw a z E., Enscore E .E ., H am I.: A h eu ristic a lg o rith m fo r the m -m a c h in e , n -jo b flo w -s h o p sequencing p roblem . O m ega In te rn atio na l Journal o f M anagem ent Science, 11, 1993, s. 91-95.

Recenzent: P ro f. d r hab. inz. Tadeusz S a w ik A b s tr a c t

The b lo c k properties are su ccessfully applied to a p r io iy e lim in a te non p ro m isin g m oves fro m the n eighborhood fo r m any lo ca l search a lg o rith m o f s o lv in g scheduling problem s. In this paper, fo r the general flo w sh o p p ro ble m , it presents new m ethod o f searching the neighborhood, w h ic h gives rise to e lim in a te h ig h ly greater set o f moves.

T o v a lid ate e ffic ie n c y o f the proposed m ethod, the tabu search a lg o rith m have been im plem ented and executed on a w e ll-k n o w n T a illa rd ’ s benchm arks. The results o f the e xpe rim en t dem onstrates the h ig h e ffic ie n c y o f the proposed m ethod and that near- o p tim a l n on -p erm uta tion schedules are e v id e n tly shortest than o p tim a l schedules fo r the p erm u ta tio n flo w shop problem .