S e r ia : E nergetyka z . 51 Nr k o l. 405 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ______________________________ 1974
Jan N adziakiew icz
OBLICZANIE MOCY GRZEJNIKA W F0M1ESZCZENIU PRZY OKRESOWO ZMIENNYCH TEMPERATURACH
S tr e s z c z e n ie . Na podstaw ie równań b ila n s u c i e p ł a pom ieszcze
n ia o raz równań o p isu ją c y c h przepływ c i e p ł a w ś c ia n ie o k reślo n o fu n k c je z a le ż n o ś c i tem p eratu ry w ew nętrznej od tem p eratu ry zew
n ę tr z n e j ora? od mocy g r z e jn ik a z uw zględnieniem okresow ej zmień n o ś c i ty c h w ie lk o ś c i. O bliczono am p litu d ę i p r z e s u n ię c ie fazowe zmian mocy g r z e jn ik a , k tó re za p ew n iają żądany p rz e b ie g tem pera
tu ry wewnątrz p o m ieszc zen ia. Rozpatrzono przyp adek m ałej pojem
n o ś c i c ie p ln e j g r z e jn ik a oraz przypadek ze znaczną pojem nością c ie p ln ą g r z e j n ik a .
1 . Wstęp
P rzy sp o rz ąd za n iu bilansów c ie p ln y c h pom ieszczeń k onieczn e j e s t u - w z g lę d n ie n ie zmian tem p eratu ry ze w n ętrzn ej o ra z zmian tem p eratu ry w e w n ętrzn ej. N ieuw zględnienie zm ienności ty c h te m p e ra tu r prow adzi do z w ię k szen ia kosztów inw esty cy jn y ch oraz p o g o rsz e n ia warunków kom for- t u [Y ]. Problemem tym w o d n ie s ie n iu do k lim a ty z a c ji pom ieszczeń o raz do o b lic z e ń komór ch ło d n icz y ch zajmowało s i ę s z e re g autorów . [Y ,3»4~j.
P o n iż e j p rz ed staw io n o sposób o b lic z a n ia n ie z b ę d n e j mocy c i e p ln e j g r z e jn i k a oraz j e j zmian w c z a s ie w z a le ż n o ś c i od zmian tem p eratu ry ze w n ętrz n ej i tem p eratu ry wewnątrz p o m ieszczen ia.
2. Model p om ieszczenia
Rozważane j e s t p om ieszczenie o d d zielo n e od o to c z e n ia jednow arstw o
wą ś c ia n ą o g ru b o ś c i 6 . Tem peratura zew nętrzna zm ienia s i ę okresowo z okresem 24 h i z am p litu d ą T , T em peratura wewnątrz p om ieszczen iaZ zm ien ia s i ę rów nież okresowo z tyra samym okresem , a le p r z e s u n ię ta j e s t w f a z i e w sto su n k u do zmian tem p eratu ry ze w n ętrz n ej o zadany k ą t ^ . A m plituda zmian tem p eratu ry w ew nętrznej powinna w ynosić Tq. Wewnątrz
116 Jan Nadziakiewj.cz
p o m ieszczen ia d z i a ł a g r z e jn ik o w ydajności okresowo zm iennej w c z a s i e . Poszukiwana j e s t am plitu da i p rz e s u n ię c ie fazowe zmian ir.ocy gizej n ik a , k tó re zapew niałyby utrzym anie żądanego p rz eb ieg u zmian tem pera
tu r y w e w n ętrzn e j.
Dla u p ro s z c z e n ia o b lic z e ń pom ieszczenie trak to w an e j e 3 t ja k s z c z e l
n e . Ponieważ żądany z a k re s zmian tem p eratu ry w p om ieszczeniu j e s t ma
ł y , więc b łąd spowodowany założeniem j e s t n ie w ie lk i. Uwzględnienie nie s z c z e ln o ś c i wprowadza n ie lin io w o ś ć do równań o p isu ją c y c h zmianę tem
p e r a tu r y wewnątrz pom ieszczenia i uniem ożliw ia u zysk an ie p r z e jrz y s ty c h wyników.
3- Równania o p is u ją c e zmiany te m p e ra tu r Zmiana tem p eratu ry wewnątrz ś c ia n k i
Warunki brzegowe
B ila n s c ie p ln y pom ieszczenia przy z a ło ż e n iu , że te m p e ra tu ra powie
t r z a j e s t w szędzie ta k a sama:
d la x = 0
(
2)
(3)
d t (T)
qC t) - W . -■ - + CX-1 . A . d t (T) OL A
P 1
d t ~ + ~
(4)
w rów naniach ty c h o zn a cza ją :
0^1» ” wsP<5łczynniki w nikania c i e p ł a do ścian y odpowiednio od wew
n ą tr z i od zew nątrz pom ieszczen ia,
O b lic z a n ie mocy g r z e j n i k a . . . 117
X - w spółczynnik przew odzenia c ie p ł a m a te r ia łu ś c ia n y , c - c ie p ło w łaściw e m a te r ia łu ś c ia n y ,
§ - g ę s to ś ć m a te r ia łu ś c ia n y ,
W * m*cp ” z a s tę p c z a pojemność c ie p ln a p o m ieszc zen ia, A - p o w ierzch n ia wymiany c i e p ł a z otoczeniem
a * X1""
c 9
«1 <*2Hi = m h2 - ~ r
Oij . A
Jak o s ta n o d n ie s ie n ia p r z y ję to s ta n u s ta lo n y :
t z (0) = Tz , t (C) = Tp , 1>(x,0) = y ( x ) , q(0) - ^ - K .W .Jy - 1 ^ ( 0 ) ]
Wprowadzamy nowe zm ienne:
TZ(T) - t z ( t ) - Tz O T
A T )
- y i ) - ty
- *o&Kx,X) - t > 0 (x)
Q(T) « qlT) - qo
?c u w z g lęd n ien iu warunków brzegowych rów nania '» o ■* J i- '.n.n-
118 J a n N adziakiew icz
" 0 ’ ~ a x ł ^ ' + H2 - 0 ( O ,T ) J = O mS , - 6d^ [) * H1 [ S ( Ć , t ) - Tz ( t ) ] ~ O
dTn (,r) r - 1 1 .
- P f + K [ i ( f ) - 0 ( O . t ) J - J . Q (t) = O
> (
6)
4- Poszukiw anie z a le ż n o ś c i T_(T) = f(T (.T), Q(T))
■ —- ■
S to s u ją c tra n s f o rm a c ję L ap la ce’ a względem T do równań (5) , (b) d la zerowych warunków początkowych otrzymamy:
s) - 0
+ H2 [ y e ) - 0 ( 0 , a ) ] « O le
~
j + *s ) ” Tz ' s ' J " 0 s . T (s.' + K [jP Cs> - 0 (O, s)[] - ^ Q (s) = O(7)
(
8)
rozw iązaniem rów nania (7) j e s t
0 ( x , s ) - A(s) sh u— x + B (s) ch ^J— x 49)
P o d sta w ia ją c rów nanie (9) do równań (8) otrzymamy:
O b lic z a n ie mocy g r z e jn ik a - .« 119
A(aJ \ | f ch <5 + E (a) j j s t — 8 + K. . A(s) . sh \p- <3 +
a 1 \ a
+ B(s, . ch - 8 - H, T (s) = O
a 1 z
r. . Tp ( s ; + K . Tp ( s ; - K . 3 ( s ) - - Q ( s ) = O
Z t y c h równań p rz e z e l i m i n a c j ę w i e l k o ś c i A(sj i B(s) wyznaczamy ża
l e żność T ( s ) o i T ( s j i Q ( s ) :
P z
T p te) =
K.
(& + k ) J F N ? s h \ f s + Hi c h \ ^ c h i f c5+ Hi s h
T (s)+
+ 7 T T w Ck •
[ f ch ^ + H l s h f n
* (s+K) f j f sh i f 1Ó+ H1 ch H2 sßJ f Ch ‘J 7 6 + H1 Sh ^
(10)
i] q(s)
P rzy jm u jąc, że zarówno T i r ) , T (Z) ja k i Q (t) z m ie n ia ją s i ę s in u s o i-
z p
d a ln ie z t ą samą p r ę d k o ś c ią kątową w sposób u s ta lo n y , można z a s tą p ić zmienną ( s) przez zmienną ze sp o lo n ą (i<^>):
i ( i co) = F M ic O ). T i i w ) + F ( i c u ) . Q (iu) (11)
p I Z q
F unkcje F ^.ićO ) i F ^ ( i c j ) są tra n s m ita n c ja m i. P o d sta w iając za Łyko- wem [5] :
J f - f o . 1)
Jan N sdziakiew icz
ï i = A + i B' S S
ch z \ T = A + i B
’ C c
g d z ie
A i B podane są w ta b lic a c h ,
o t r z y m a n y
a r V 1 “ - ■ j n r r rP + Q
j j p -r Q) + i (P - Q )] = U(to) + iV(Ł0)(l2)
g d z i e
P M t \ S U s " V + H1 Ac ] - U + U))
C \ i S • u s + V * H, v ) - w h 2 U
\
T 1 + P„' + H, 3 ]
¿a c c 1 s J :.i i)
3 N = 1 ? T K - w : u s + V + H i Bc J + ( K
U s - V + H 1 Aj } +WH2 ^ l l U c - Bc } + H1 O Podobnie tra n sa d tan c ja P :
(14:
? ( ii d ) H(CJ; + 13M ( 15;
W . M Y * u c - v + h i a s j + p>
O b lic z a n ie mocy g r z e jn ik a . 121
S(co)
M(uj) = (K . ? - C O C + \K . Q + COP)2
5 " W y d a . i n o ś ć c i e p l n a g r z e j n i k a 3
I\j,(iO J) i Pq ( i w ; są tra n s m ita n c ja m i d la sygnałów zmiennych s in u s o id a l n ie z c z ę s t o tliw o ś c ią c u . Poszukujemy t a k i e j mocy g r z e jn ik a Q(cO;
p om ieszczenia o ra z żądane p rz e s u n ię c ie fazowe V względem zmian tem
p e r a tu r y ze w n ętrzn ej T .
Z
Ponieważ zarówno Tp ja k i z m ie n ia ją s i ę z t ą samą c z ę s to tliw o ś c i ą CO , więc rów nież Q musi zm ieniać s i ę okresowo z c z ę s to tliw o ś c i ą co.
Żądaną fu n k c ję Tp(iCO) można z a p is a ć :
(16)
gdzie
C(<o) *
T (co) t (tu; tgcf(cu)
- P ---_ _ p , . . .
Mamy Więc n a s tę p u ją c e fu n k c je :
T ( i h i = T z z
T (iu i - c (co) + -i dM p
FT(iCJ) = lT(cu) + i v(oo) Pq( iu) s(cu) i- i s(w)
122 Ja n N adziakiew icz
Poszukujemy f u n k c ji Q (iu j) = X(w) + i Y(u>).
P o d sta w iając t e równania do z a le ż n o ś c i (11) otrzymujemy:
C(OJ) + i D(w) , Qu(W) + i V(
0
))] . Tz + (j?(U>) + i S(W)][x(CO) + i Y(cofjPorównując c z ę ś c i rz e c z y w is te i u ro jo n e otrzymamy:
fc(co) - T . U M l R(ło) + [ d(<4) - T . V(ŁO H . S(ŁO)
X(«) - — --- § 2--- (17)
H M + s M
R(ui . [ d ( u ) - T . v M ] - S(oj) [c(co) - T . U(0>)J
i W - ---— 5---5---1--- - (18)
i r ( a ) ) + s {oj)
Z nając X(U)) i Y(cj) można z n a le ź ć am plitudę Q(co) i p rz e s u n ię c ie fa z o we V (i*i) względem T :
Z
Q(w) X2Uo) + Y2 ^ ) (19)
y (w) - a r c t g (20)
6. U w zględnienie po.ieaności c ie p ln e j g r z e j n i k a
Równania wyprowadzone p oprzedn io d o ty czą przypadku, gdy można za
n ie d b a ć pojemność c ie p ln ą g r z e jn ik a (np. g r z e j n i k e le k try c z n y n ie a k u - m u la c y jn y ). W przypadku, gdy g r z e jn i k ma znaczną pojemność c ie p ln ą ,je j p o m in ię cie może być źródłem znacznego b łę d u . P o n iż ej wyprowadzono za
le ż n o ś c i u w zg lęd n iające pojemność c ie p ln ą g r z e j n i k a . Uwzględniono rów
n ie ż w e n ty la c ję , t z n . napływ p o w ie trz a o s t a ł e j tem p eratu rze z o to c z e n ia oraz wypływ p o w ietrz a z p o m ieszc zen ia. Podobnie ja k poprzedn io za
łożono że masa p o w ietrz a w pom ieszczeniu j e s t s t a ł a .
Równanie (5) o p is u ją c e ro z k ła d tem p eratu ry w ś c ia n ie o raz w arunki na brzeg u śc ia n y (6a i b) p o z o s ta ją n ie z m ie n io n e . Nowych równań do
s ta r c z y b i l a n s c ie p ln y g r z e jn ik a i p om ieszczen ia:
O b lic z a n ie mocy g r z e j n i k a . . . 123 d t ( t )
ffg ~ d T " = 4(T) Ag * C t e (T) ” V X)J (21) d t (T)
WP “ d T” " " g Ag t t g (T) ’ " °S A^ P (T)
- m cp [ t p (T) - t j (22J
W rów naniach ty c h o z n a c z a ją :
W , W - pojem ności c ie p ln e p o w ie trz a w pom ieszczeniu o ra z sr o
g r z e j n i k a ,
t - te m p e ra tu ra g r z e jn ik a ,
&
a - w spółczynnik wymiany c ie p ł a od g r z e jn ik a do pow ie- 8
t r z a w p o m ieszczen iu ,
A - p o w ierzch n ia wymiany c i e p ł a g r z e jn ik a z powietrzem , s
m ■ V . ń . g - n a tę ż e n ie dopływu p o w ie trz a p rz e z w e n ty la c ję , g d zie ń -k ro tn o ś ó wymiany p o w ie trz a ,
V - o b ję to ś ć p o m ieszc zen ia,
ę - g ę s to ś ć p o w ie trz a dopływ ającego.
Z m ien iając j a k p o p rzed n io zmienne otrzymamy:
“ d T " = ' Kg t V I } " (2 3 )
124 Jan N adziakiew icz
S to s u ją c tra n s fo rm a c ję L a p la c e ’ a do powyższych równań i w y ko rzy stu jąc w arunki brzegowe (8, po p rz e k s z ta łc e n ia c h otrzymamy n a s tę p u ją c e równa
n ia na ?_ i P :T g
Fmi i
<4
«= U (co) + i v(co)g d z ie U (to)
V(to)
■7 7 J - i i C« 6 - « ) p • (Ke * 0 s j
7 7 7 i ¥ K p - % - u > « .i
PM . (Ac
- Eo ) -i i i B^ID^IK
-K,) - U ? J -
- fH , U „ . ■ « ) . ! -JĘAj (K, ♦ K)<}-
- u c - Bc> * Ht A» ^ l “ 2 - Ke • « 3 -
- ( l l i lAc ł V * H1 Bs3 < * , - * - Kg»“ }
« « ) - i l f { & , U 0 - Bo : - 2 j § ^ bs'J (Kg * I ) « . fH , .
• |a = * v * 2 \ l l r A, 3 r y K - y - “ i } - » s { c\2u> a *
* (Ac + V + H1 Bs ^ " Xg * “M ® U c " Bc ) + + H1 AsJ (ki “ K " Kg ) W}
K = K1 + + M
O b lic z a n ie mocy g r z e j n i k a .. 125
o ra z
Fę l i w ) = R(U>) + i 3(0!)
L2 (w) - ŁV g
Q + K2 K1
W8 U C "
V
. a ,• U c + Bc 31 + H 1 M^CU) II I__I « U) (K -
K2) *w 2 ] p (w ) - W(K +
V
qMMg (W) (K - Kg) - 0)2 JQ(£*>) - tcł(K +
V
pMD alsze postępow anie j e s t a n a lo g ic z n e do p o p rzed n ieg o .
Składowe szukanej f u n k c ji Q ( i U.») można wyznaczyć z równań (17) i ( l f J o ra z (19) i (20) .
7« P rzy k ład y obliczen io w e
D la i l u s t r a c j i sposobu o b lic z a n ia zmian mocy g r z e jn ik a koniecznych d la u trzy m a n ia żądanej tem p eratu ry w ew nętrznej wykonano o b lic z e n ia dla n a stę p u ją c y c h danychi
O bjętoóó poraioszczenią V * 200 m■1 g d z ie
L. M. +
1
M R M = - L - 1 f - 2 .M* + Mg L M - Ł M S(CO) - ---1— 2.
+ Mg
g g '■
. (Ac * B0) + Hl B j }
126 Ja n N adziakiew icz
P ow ierzchnia śc ia n y zewn. A = 50 m2 Grubość śc ia n y <5 - 0 ,2 3 m.
Dane m a te r ia łu ś c ia n y : A = 0 ,5 w/m.deg; § - 1500 kg/m"3»
-6 2 c = 0 ,8 4 k J /k g .d e g i a = 0 ,30 . 1 0 m / s W spółczynniki w nikania
c i e p ł a « = 8 W/m2 .d e g i « 2 = 16 V//m2 .deg P r z y ję to n a s tę p u ją c e tem p eratu ry oraz am plitu d y :
Tp o - 2 1 ° C £ T p = 6 d e g
Tzc = 18°C A T z = 9 deg.
Dla ty c h danych ś re d n ia moc g r z e jn ik a Qq = 3010 W W spółczynniki mają w a rto ś c i:
«1 - 16 i
K, = 1 ,6 . 1<f3 1 s
O) - 2 X f = 0 ,0 7 3 • 10"3 s
'IS' "•°ł
Z Łykowa ( j j ] odczytano d la z =5
Ag = - 5,239» Bg = 3,602 Ac = - 5,304» Bc = 3,553
O b lic z a n ie mocy g r z e j n i k a .. 127
1. Jak o p ierw sze wykonano o b lic z e n ia bez u w zg lęd n ian ia pojem ności c i e p ln e j g r z e jn ik a i w e n ty la c ji.
Z równań (13) i (14) o b lic z o n o :
P - - 3.863 ~ r - 3 » - 3,122 — o ra z z rów nania (12)
U = - 97,8 . 10"3 V ■ - 10,4 . 1Ó-3 F unkcja ma więc p o s ta ć :
PT = - 9 7 ,8 . 10~3 - i . 10,4 • 10"3 Z równań (16) i (17) o b lic z o n o :
R = - 4,565 • 10“3 ¿ j * S - - 3,935 . 10-3
F unkcja F^:
F « - 4,565 . 10"3 - i 3,935 • 10- 3 R e ,
P r z y j ę t o , że p rz e s u n ię c ie fazowe m ierzone b ę d z ie względem tem pera
tu r y ze w n ętrz n ej T . P o czą te k fa z y T p r z y ję to opóźniony o 3 go-
z j r
d żin y w stosun ku do T t j . o k ą t ^ » - — r a d . Ze wzoru (16) o b liczo n o składowe f u n k c ji Tp(lŁ)):
C - 4 ,2 4 D = - 4 ,2 4 .
Ze wzorów (17) i (18) o b liczo n o szukane składowe f u n k c ji Q (iU )j
X s - 194 W Y = + 1077 W
128 Jan N adziakiew icz
A m plituda zmian mocy g r z e jn ik a :
1090 W
a p r z e s u n ię c ie fazowe
V - a r c tg (- 5 ,5 4 )
u w z g lę d n ia jąc z n a k i składowych X i Y k ą t te n w y n o si:V « + 1 0 0 °1 0 ' co odpowiada w yprzedzeniu o 6 h 40*.
2. W o b lic z e n ia c h z uw zględnieniem pojem ności c ie p ln e j g rz e jn ik a i w e n ty la c ji oprócz p o p rz ed n ich za ło ż e ń p r z y ję to dodatkowo:
pojem ność c i e p ln ą g r z e jn ik a p o w ierzch n ię g r z e jn ik a w spółczynnik w nikania c i e p ł a
k ro tn o ś ć wymiany p o w ietrz a Dla ty c h danych:
W * 50 “ ■Lr T
g kg
A = 15 nr 8
CK, m ‘ 0
£ m* deg
n = 5 h
K = 3 . 10"3 1 g s
Kg « 0 ,6 . 10 3 ^ K = 3 .53 . 10” 3 J M = 1,33 . 10 C l i c z e n i a d ały n a s tę p u ją c e w yniki:
,"3
P = - 3 ,08 . 10"3 —4 —. ,2
m s Q “ - 17,78 . 10
U = 0,552 V * 0,369
O b lic z a n ie mocy g r z e j n i k a .. 129
więc
F U W) = 0,552 + i . 0 ,3 6 9
o ra z
R - - 1.591 . 10"3 i S = + 2,187 . 10~3 ^
Fn - - 1,591 • 10~3 + i . 2,187 . 10"3
4, W
Dla ty c h samych warunków dotyczących o b lic z o n o :
X - - 2100 Wt y = 1861 V.
Am plituda zmian mony g r z e jn ik a :
(i = 2800 V.'
p r z e s u n ię c ie fazowe V = + 138° 25 * co odpowiada czasow i 9 h 3 8 / Wpływ pojem ności c ie p l n e j g r z e jn ik a na zmianę am plitudy mocy g r z e j
n ik a i w z ro st c z asu w yprzedzenia j e s t w yraźnie w idoczny.
LITERATURA
£1 Z astosow anie e le k tr o n ic z n e j t e c h n ik i o b lic z e n io w e j do k o n s tru k c j i i p ro je k to w a n ia u rządzeń k lim a ty z acy jn y c h - opracow anie COCK 1972.
J^2j M artynienko W .I., Orłów w.A. - 0 racio n aln o m wybore param etrów oehłażdaem ych kamer p r i p e r io d ic z e s k ic h narużnych tiep ło w y ch woz- d ie js tw ia c h . C h o ło d iln a ja te c h n ik a n r 5, 1972, s . 45 -47.
[V ] Szkłow er A.M.- T iep ło p e re d a c z a p r i p e r io d ic z e s k ic h tiep ło w y ch woz- d ie js tw ia c h . G c sen erg o i2d a t, Moskwa 1961.
D O Brown 0 . - Berechnung n i c h t s t a t io n ä r e n Raum tem peraturen m it D ig i
ta l r e c h n e r . Heizung lu f tu n g K lim atech n ik 5 1972, s . 147-152.
130 Jan N adziakiew ioz
(V j Łyków A.W. - T e o ria tie p ło p ro w c d n o s ti. Moskwa 1952.
P rac a w płyn ęła do R edakcji w l i s to p a d z i e 1973 roku
PACH ET ¡fc0#10CTI4 HATPE3ATEJL1 flJTia. HCLE4EHHH C ŁEHriOJOAHECHH K S L E iu Ł u iH I ^ C u TŁi..l. JSPATypAi.Ji
P e s » m e
Ha c c H O B e y p a B H e H H H T c n j i o B o r c OaaraHca r : o M e m e H H H f a T a K - x c e y p a B H e H H H , o h h c k b aionivix T e i u i c B O i : no t o k b C T e n e , c n p e a e - j i e H a i p y H K m i a a a B i i C H M o C T H B H y T p e H n e i i T e u n e p a T y p Ł i o t b h s h i - H e i i , h o t 1.1014H0C T K H a r p e B a T c . t h c y n e r o u n e p u o f l U ^ e C K o r o H3-
MeHeHHń o t h x Bej ! h m h h . PaccHHTaHa aMiiJiHTy^a h c ^ b h t no (|)a- 3e n3;.ieHeiiHa m o i ę h o c t h H a rp e » a T e jia , k o t o p b m noaseptzH B aeT
T p e C y e u y i o T e u n e p a T y p y B H y T p w noMemeiiwa. P a c c M O T p e n H c j i y -
v a n H a r p e B a T e j i a c w a j i o a k 3Ha>inTeJibHoii TeriJioetiKocTaMH*
THE CALCULATIONS OF POWER OP ROOM HEATER WITH PERIODICAL CHANGES OP TEMPERATURES
S u m m a r y
Based on th e e q u a tio n s of h e a t b alan c e of th e room and h e a t t r a n s f e r in th e w a ll, th e room te m p e ra tu re dependence on th e am bient tem
p e r a t u r e , and th e e f f i c ie n c y of a room h e a te r have been o b ta in e d . The
O b lic z a n ie mocy g r z e j n i k a .. 131
am p litu d e and phase of h e a t e f f ic i e n c y were c a lc u l a t e d f o r p e r io d i c a l changes of te m p e ra tu re s . Two ty p e s o f h e a te r s were ta k e n i n t o c o n s i
d e r a t i o n : w ith n e g li g ib le h e a t c a p a c ity , and w ith la r g e h e a t c a p a c ity .
