Obsługa procesów dyskretnych z priorytetami

(1)

Seria: A U TO MA TY KA z. 63 Nr kol. 735

Bogdan REMBOWSKI

Instytut Elektroe ne rg et yk i i Au to m a t y k i Politechnika Gdańska

OBSŁUGA P R O C ES ÓW DY SK RE TN YC H Z PRIORYTETAMI

S t r e s z c z e n i e . Dla systemu obsługi masowej o wielu strumieniach zgłoszeń i ograniczonej pojemności buforów sformułowano regułę o- kreślajęcę, w zależności od stanu systemu, które zgłoszenie trzeba obsłużyć i z którego strumienia, tak aby nie nastąpiło przepełnie-' nie kt ór egokolwiek z buforów. Za danie rozwiązuje się metodę okre

ślenia prio ry te tó w dla po sz czególnych kanałów. Problem sprowadza się do rozwiązania zadania programowania liniowego.

1. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU

Oo systemu obsługi masowej napływa n niezdeterm in ow an ych strumieni zgłoszeń z lntensywnościami od po wi ed ni o a^ zg łoszeń na J e dn os tk ę czasu.

Oednocześnie może się odbywać obsługa tylko Jednego zgłoszenia 1 nie do

puszcza się jej przerwania. Zg ło

szenie zastajęce system pustym Jest natychmiast obsługiwane, w przypadku zajętości kanału ob

sługi zgłoszenie ustawiane Jest kolejce w buforze danego stru

mienia (patrz rys. l). Bufory wejściowe dla każdego ze st ru

mieni mają og ra ni cz on e po je mn o

ści W ^ (i » l,2,...,n). Czas obsługi zgłoszenia strumienia i określony Jest dystrybuantą B^t).

N a le ży określić porządek ob

sługi zgłoszeń. tzn. regułę o- kreślajęcę, które zgłoszenie należy wybrać do przetwarzania w kanale ob

sługi i z którego strumienia, tak aby nie nastąpiło przepe łn ie ni e kt ór e

gokolwiek z bu forów wejściowych.

W celu zapewnienia podstawowych w a r u nk ów ro związywalności zadania na

leży wprowadzić następujące ograniczenia:

strumieniach zgłoszeń i Jednym kanale obsługi

(2)

118 B. Rembowski

- pierwszy i drugi moment stat ys ty cz ny czosu obsługi w d o w o l n y m .st rumie

niu sę skończone, tzn.

i^il ~ J td0i ^ ^ ^ 00 ' f t i2 “ J t2 d a i ( t ) - < ° " (i " 1 , 2 n)

0 0

spełniony Jast warunek e r g o d y c z n o ś c i , tzn. w systemie w st en ie ustalo

nym nie tworzy się ni es ko ńc ze ni e długa kolejka w którym ko lw ie k z bu

forów ^system nie jest z a b l ok ow an y zbyt dużę liczbę zgłoszeń) tzn.:

Z

i =1

i* * il

Dz ia ła ni om systemów obsługi masowej z ograniczonę pojemnośclę buforów i różnymi strumieniami we jś ciowymi poświę co ny Jest cykl prac w tym fi,2].

Ro zp at ry wa ne sę algo ry tm y określenia praw do po do bi eń st wa stanu tych syste

m ó w przy określonej strategii nadawania priorytetów. Za da ni e nadawania prio ry te tó w w pracach tych nie było rozpatrywane. Za da ni e nodawania prio

ry te tó w zależnych od stanu systemu ^priorytety dynamiczne) na jpierw było rozwięzane w pracach (3, 7], W pracy [5] podano procedurę określania prio

rytetów dyna mi cz ny ch dla sy st em ów z og ra ni cz on ę kolejkę, Je dnak wyłęcznis dla specjalnej klasy systemów, w których czas obsługi jednego zgłoszenia Jest zmiennę losowę z dystrybuantę wykładniczę. Pr ob le m nadawania prio

rytetów w systemie z ni eo gr an ic zo na kolejkę, st ru mi en ia mi zg łoszeń typu Poissone i do wolnym skończonym czasem obsługi ro zp at ry wa ny był w procy

w .

2. SP0SĆ>8 R O Z W IĄ ZA NI A ZADANIA

Po r z ęd ek obsługi zgłoszeń zostanie określony w zależności od stanu sy

stemu. W każdej chwili czasu kolejko w sy stemie sc ha ra kteryzowana jest wektorem:

gdzie 1^ Jest długościę kolejki w buforze strumienia i. Pb zakończaniu obsługi zgłoszenia z pewnego strumienia, wybór kolejnego strumienia ob

sługi dokonuje się w zależności od liczb 1^, pozostałych zgłoszeń w sy

stemie według odwzorowania l e * u^l). Funkcję u s u(l) określBjęcę po

rzędek obsługi zg łoszeń w systemie, nazywa się funkcję przełęczeń. Do 0- kreślenia funkcji przełęczeń posł uż on o się metodę pr io r y t e t ó w zdoflnlowo-

(3)

nych następująco. Mówimy, że st rumień cf me w y ż s z y priorytet niż st ru

mień , jeśli w dowolnej chwili rozpoczęcia obsługi zgłoszenia st ru mi e

nia ^ liczba z g ł o sz eń w kolejce strumienia Jest równa zeru.

Na w s t ę p i e ro zw ią za ny zo stanie pr oblem uproszczony, w którym st r u m i e nie zg łoszeń sę strumieniami Po issona z ln tensywnościemi a i '1 = 1 , 2 n) i dopuszcza się nieogr an ic zo ną kolejkę w każdym z buforów. Po rozw ią za

niu zadania u p r o s z cz on eg o zostaną na łożone og ra ni cz en ia na po je mn oś ci b u forów i okre śl on a zo stanie w r aż li wo ść funkcji przełączeń na zmianę tej poj e m n o ś c i .

Rozw ią za ni e zadania przebiega w sposób następuj ący. Definiuj e się zm ie n

ne x ^ , które pozwalają obliczyć priorytety. Okre śl aj ą one p r io ry te ty w sposób nast ęp uj ąc y: strumień i ma w y żs zy priorytet od strumienia J, gdy K y / 0.

Ko rz ystając z me to dy funkcji tworzącej buduje się podstawową zależność wiążącą pa r a m e t r y ob sł ug iw an eg o procesu: intensywność napływu zg łoszeń a i z pierwszym i drugim momentem s t at ys ty cz ny m czasu obsługi. R ó w n a n i e z b u dowane metodą funkcji tworzącej i definicja zmiennych x ^ pozwalają na wzajemne ich p o wi ąz an ie z pa ra metrami obsług iw an eg o procesu w ukła d rów

nań liniowych.

3. RO ZW IĄZANIE ZA DANIA

R o z p a t r z m y na ws tępia nast ęp uj ąc y w i e l o w y m i a r o w y proces st oc hastyczny:

•ęft) - j n ft ), i(t)j, t > O,

gdzie n(t) « / n ^ t ) , i « a | ; n i 't*) Jest zm ie nn ą' lo so wą określającą liczbę zg ło sz eń w chwili t* w buforze strumienia 1; i(t*) Jest zmienną losową ok re śl aj ąc ą numer strumienia, na którym do konuje się obśługl; gdy nie ma z g ł o sz eń w systemie i(t*) przyjmuje wa rt oś ć zero.

Niech n iN będzie zmienną losową okre śl aj ąc ą liczbę zgłoSżert p o zo st a

jących w bu forze strumienia J po za ko ńc ze ni u N operacji obsługi; 1N o- kreślo strumień, na którym do konuje się obsługi.

Proces -ęN = | nN> :Ln} 3 eat włożony, wg terminologii Kendalla, w p r o

ces ^ ( t ) 1 tworzy łańcuch Markowa.

Do ro zw iązania zadania określenia p r i o ry te tó w posł uż on o się metodę funkcji tworzącej. Interpretacja funkcji tworzącej metodę zdarzenia d o datkowego ułatwia opis fizyczny równań i ułatwia ich dowody.

Zakładamy, że każde zg ło sz en ie przybyłe do bufora i-tego strumienia u- znajBmy za cz erwone z p r aw do po do bi eń st wem Z i i n i e b i e s k i e z p r aw do po do

bieństwem (1 - Z ^ ). Pr zy jm uj em y n a s t ęp uj ąc e oznaczetrfa i Ich interpretacje:

(4)

120 3. Rembowski

P i N fz) = t 2 iN - p r aw do po do bi eń st wo tego, że N-ta obsługa dotyczy zgłoszenia strumienia i-tego i po zakończeniu obsługi w sy stemie nie ma ni eb ieskich zgłoszeń.

Przyjmuje się, że Jest deltę Kronekera : » 1, gdy i-js ^ - o.

gdy i / J .

n nN — 1

SN (Z) =

E

^Z ^-^y P i N fz) - praw do po do bi eń st wo tego, że po zakończe- i=l niu obsługi N- tego zg ło sz en ia w systemie nie na ni eb ie sk ic h zgłoszeń. Zg odnie z powyższą definicję SN (0) oznacza, że w systemie nie ma zgłoszeń.

n.

R i M (z) » E Z u fn ) - p r a w d o p o do bi eń st wo tego, że po zakończe- N niu N operacji obsługi następna obsługa

będzie dotyczyła zgłoszenia strumienia i- tego I że w systemie po zo s t a ł e zgłoszenia sę koloru czerwonego.

1 U 1

( y a i fl -Zi )) = - p r aw do po do bi eń st wo tego, że podczas ob- i«l n sługi zgłoszenia strumienia i-tego do bu

forów nie napłynę zgłoszenia koloru nie- df

■ i

n

-~y~l. a (l-Z )t

e i "1 d B ,(t ) bieskiego.

i

Po wpro wa dz en iu powyżs zy ch oz naczeń można zapisać podstawową zależ

ność :

2 iP iN+ l (Z) ł i

' Z

1 = 1 i = i

Dowód słuszności równania (l) można pr zeprowadzić następująco.

Na to, aby N + l operacja obsługi przebiegała dla strumienia i , a po Jej zakończeniu w systemie nie zostały ni eb ie sk ie zgłoszenia i zgłoszenie obsł ug iw an e było cz erwone (czego praw do po do bi eń st wo Jest równe Z iPi,N+liZ'' potrzeba i wystarcza by:

- po zakończeniu N operacji obsługi w syatemie nie pozo st ał y niebieskie zgłoszenia, a w następnej operacji było w obsłudze zg ło sz en ie czerwono ze strumienia i:

(5)

(R1 N (z) ♦ sN i o ) - .-- al - Z t )

1=1

- p o dc za3 N + l operacji obsługi w strumieniu i do systemu nie przybyły nowe ni eb ie sk ie zgłoszenia:

n

!’b i a ^ l - Z ^ ) . i-1

R o zp at ry wa ny Jest wyłą cz ni e stan stacjonarny. W równaniu (1) za pi su je

my wobec tego N — — 00 (d o w ó d istnienia stanu st ac jonarnego znaleźć moż

na w prac y [6] ).

KorzyBtamy z na st ęp uj ąc yc h oznaczeń:

x.. ■= lim E n.,.,«?. , / \

ij N— 3N i.u(rV

l

- lim E n^N - średnia liczba zg łoszeń w buforze strumienia J po za ko ńc ze ni u N operacji obsługi, gdy N —— <»o .

Łatwo zauważyć, że st rumień i ma wy żs zy priorytet od st ru mi en ia J , 9dy M o ż e następie przs łę cz en ie kanału obsługi z obsługi st ru

mienia J na st rumień i, chociaż liczba zgłoszeń w buforze strumienia J Jest różna od zera.

Słuszna Jest też zależność:

XJ ‘ X x i r i»i

Dwukrotna ró żn ic zk ow an ie lewej 1 prawej strony równania f l ) pozwala o- kreślić zależność (układ równań) wi ężąc? parametry ob sł ugiwanego procesu:

Intensywność na pływu zg łoszeń pierwszy i drugi moment st at ys ty cz ny czasu obsługi, z w i el ko śc ia mi x ij .

Poniżej o k re śl on o pr ze ks zt ał ce ni a niezbędne do budowy układu równań.

S? on« następujące:

(6)

122 B. Rembowski

„1 c> SM (Z) ■-

s) c)2j0Z1 N 02

OfN _ 7n iN-l „ 7 njN-l IN * i * JN * J

n

^{2 n<}

" F I 1 1 ^

ofs a

. n O " - 2 n z ? * .

oę«a

¿ 3

oęeft

<* /i cf i*J

ij Z=1

°1N * njN * + n iN * ^njN- 1 ^ • ^ij 1

gdzie: tf » 1 , gdy 1 - J; tJ1^ » O, gdy i / j.

b ) « N ( Z > »1 " = > • ^ i ] Z< * * % - u f n N Z=1

“ n J N ^ ' u(nN ) " X* ) N

® ZJ Z <* Z-l

J p - J S i ę l s

¿ c c 7 , & J

2*1 X<*jN - V l)tfi 3 ‘

d) " 5 z f ^ V z)

•• a .• a . (b

> 1 1 ^ '<5% 2 ‘

e) ^r«n(z)

e z ^ ż j z ^

iiz^z^ r<*n(2)

Z cf ^Fj" R<*N(z) - RcyN(z) * *

“ w ?

Z-l

1 N ^ro L____

z-i " X(*iN <*j ~ X(*jN i f i ł 2RoęNr i ) ^Pi4>

Z = 1

f ' S Z i6Źj Rc*f/2 ^ 2>

z-i " « T ^{5 z J V} Cz) 2 „1 " n i N (l_Cri J )XCiJN +

W y k o r z y s t a n i e wyżej wy pr ow a d z o n y c h zależności przy N-*-oo prowadzi do układu równań liniowych.

Poniżaj po dano Jego szczeg ól ny przypadek, gdy czo3 obsługi zgłoezenis Jest zdeterminowany, tzn. n 0 * Ukła d równań Jest na3tępujgcy:

(7)

x,. + x .

'1 1 T ^ _{O f t l L} ł ^ * c ^ ’ rs)

g d z i e :

d i J = a j * fii l

C iJ

2 a A l - a i ( i i 1 ~ 3 1 d 1 i

i*l

Do układu równań ' Z ) można dołączyć ws kaźnik Jakości po rzędku obsługi zgłoszeń w postaci su ma ry cz ne go kosztu gromadzenia zgłoszeń w buforach.

Po wpro wa dz en iu kosztu pr ze chowywania Jednego zgłoszenia n buforze st ru

mienia i Jako c^ uzyskamy:

1 = J

c i

•

X£ji i « a

Układ równań liniowych ' 2) wraz ze wska źn ik ie m Jakości (3). który n a leży minimalizować tworzy zadanie pr ogramowania liniowego.

N a le ży podkreślić , że pr zedstawione zadanie pr og ramowania liniowego słuszge Jest dla chwili czasowej zakończenia dowolnej obsługi. Słuszne Jest Jednak twierdzenie, że średnia liczba zgłoszeń w buforze strumienia i (i = l,2,...,n) w chwili zakończenia obsługi zgłoszenia Jest na pewno większa niż średnia liczba z g ł o sz eń w buforze tegoż strumienia,.liczona za okres działania systemu. Skoro należy określić porzędek obsługi zgłoszeń, tak aby nie nast ęp lł o pr zepełnienia kt ór egokolwiek z buforów mejśclowych, należy wzięć pod uwagę najbardziej niek or zy st ny przypadek.

R o zw ię żm y zadanie ograniczonej pojemności buforów. Do układu równań (2) do łę cz am y dodatkowy warunek, który zapewnia, że średnia liczba zgło

szeń w buforze Jest mniejsza od zadanej liczby określanej przez pojemność bufora W (i - 1 , 2 ...n). W takiej sytuacji zakładamy, że p r aw do po do

bieństwo odrzucenia zgłoszenia z powodu zapełnienia bufora Jeat pomijal- ne. D o łę cz am y układ nierówności postaci:

2

J - l

* l J ^ W i

O b li cz on y porzędek p r i o ry te tó w w przypadku buforów o nieograniczonej pojemności zo stanie teraz przeks zt ał co ny w wy ni ku wpro wa dz en ia w a r u n k ó w (4). Brak rozwlęzenia układu (2) 1 (⁴) świadczy o niei st ni en iu takiego

(8)

124 B. Rembowski

porzędku obsługi zgłoszeń, który za pe wn ia łb y nieprz ep eł ni en ie się bu

forów.

4. PRZYKŁAD OBLI CZ EN IO WY

Do systemu obsłuoi napływeję cztery strumienie zgłoszeń typu Poissona z intensywnośclani odpowiednio » 2, = 4. a 3 = 1 i a^ = 2,5. Zg ło

szenia pr zechowywane 3» w odpowiednich buforach o po jemnościach od powied

nio V'r (i * 1,2. Z.4,. Czasy potrzebne na obsługę zgłoszenia sę zd et er

minowane i wynoszę odpowiednio /5 - 0,2, fl2 1 = 0,05. = 0,1 i - 0 , 1 .

Rozwięzanie zadania oodzlelono na dwa etapy. W pierwszej kolejności nie wp ro wa dz on o do zadania og ra ni cz eń pojemności buforów.

Pr zy kł ad ow e rozwięzanie zadania programowania liniowego dla c^. * 1 (i = 1.2,3,4) doprowadziło do następujęcych rezultatów:

11 = 0 . 2 1 _{* 2 3} * 5 . 0 - 1 0

21 = 2 , 4 - 1 0 " 5 x 33 ^{S 0 . 1}

31 = 8 , 4 • 1 0 ”

7

_X43 B 8 , 9 - 1 0 '

41 e 1 . 5 - 1 0 - 6 X24 = 3 , 4 - 1 0 '

22 ^- 0 .42 X44 ^B 0 ,26.

Pozwala to ustalić na9tępujęcę sekwencię prio ry te tó w 'wzrastaj? od le

wej do prawej strony):

1 2 3 4.

średnie liczby detali w każdym z buforów,sę następujęce:

x 1 = 0.21 x 3 => 0,1

x ^ = 0,42 x 4 ■= 0,26

W następnej kolejności wp ro wa dz on o ograniczenia pojemności buforów. W tym celu układy f-2) i !4; przekształcono w nast ęp uj ęc y sposób:

X lj + Xj, « ^ { y ^ . d + ?Łm d ' + c , . i , 1 * 1,2,3,4 i oęi ofj <*i 1J

c ę « l

4

2 ]

^{x ij}

*

^{w i}

-

'5)

(9)

Zmieniajęca się wartość w s pó łc zy nn ik ów 0^ powoduje zmianę pojemności buforów uwzględnianych w obliczeniach. Dla ¡¡T = 0 mamy do czynienia z przypadkiem pojemności W . Zw ię ks za ją ca się wartość 0 powoduje z m ni ej

szanie pojemności bufora.

Zm ni ejszanie pojemności bufora 4 powoduje nierozwięzywalność zadania przy średniej liczbie zgłoszeń w buforze równej 0,26. Oest to oczywiste z .tego względu , że strumień 4 posiadał najwyższy priorytet.

Zmniejszanie pojemności bufora 2 do wa rtości 0,42 powoduje zmianę prio

rytetów wg kolejności:

1 3 4 2,

przy na st ępujęcych wa rt oś ci ac h zmiennych :

11 ³ 0 , 2 1

* 2 3 = 5 , 0 - 1 0 21 S 2 , 4 • 1 0 - 6

* 3 3 s 0, 1

31 ^a 8 , 4 » 1 0 - 7 * 4 3 ³ 8 , 9 * 1 0 - 7

2 1 ³ 0 , 4 2 * 2 4 - 3 , 4 • 10'

'41 = 1,5*lCf6

* 4 4 =' 0,26

Trzeba z a u w a ż y ć , że do .r oz wi ęz an ia ograniczonej pojemności bu forów po

służono się wyłę cz ni e wart oś ci am i średnimi liczby zgłoszeń w buforach.

Maksymalna liczba zgłoszeń w buforze Jest większa. W y so ka wartość śred

niej liczby zgłoszeń w buforze świadczy o jego.dużym obciężeniu.

Uzyskane wyniki z rozwięzania zadania (5) należy skorygować metodami Symulacyj n y m i .

Przepr ow ad zo ne przez autora badania symulacyjne potwierdziły możliwość takiego rozwięzania problemu. Sz caupłe ramy niniejszego opracowania nie pozwalaję no do kł adniejsze pr ze dstawienie tego problemu.

LITERATURA

[ 1 ] E a m a p H H I ' , I I . : 0 6 o O c j i y a c i t B a H H H A B y x n o T O K o a c o t h c o : : r e . i L H U M n p ; ; o p n T e T O M

¡ t a n o jiH O .T O C T y n H O i i c z c T e w e c o r p a n m e H R U M > n t C 40M M e c r , j i r . o K t i f l a H E s . H s b . AH C O C ? , i ’ e x H ; t ^ e c K a f t ¡ i K Ó e p t t e T H K a , 1 0 6 7 , 12 2 ,

[2] BamapxH F.H. , JIuceHKOBa 3 . T . : 0 6 oócjtyzcHB&BHH necKojjhżii}: Heo.tHopop;Htix no- tokob no.iito^ocTyntiUM ny*iKOn c orpammeiiHOfi o^epa^bio. 3 c6. Chctbmw pac- . n p e f l e . i e i t n i i ż R j i o p a a: ; x n . " H a y K a " , 1 9 7 2 .

[ o ] B e K J i e p o B 0 . 1 5 . : 0 6 o n T s iN a jib H M ż a 6 c o j u o i H U x A »H aM H < ieC K K X n p n o p i i T e i a i ^ do iic- T e w a x M a c c o B o r o o 6 o j i y x n B a i ; H K , H 3b. AH C C O P ,T e x H H 't e c K a H iC H C o w te T H K a , 1 9 6 7 ,

Ni 1. ‘

[ś] Klimów G.P. : Pr ocesy obsługi masowej, WNT, 1979.

[ 5 ] t ó o s a d , 3 , , IloH O M ap cH K O H . A . : 0 6 onT H M ajtbH O M H a 3 H a v e H K H n p M o p m e T O B i a ~ O T C O C T O a H lW o 6 c j i y K H B a i O I j e ; j C H C T e M H C O r p a iJJ tM e H H U M H ŻC JIO M M O C”

H ż ii O K H jtaH H H . 113 B , AH C C C P , T e x H H > ie c K a H K i t d e p H e T ż K a , 1 9 7 4 , !.1 5 .

(10)

126 3. Rembowski

[V] P a na yi ot op ou lo s O.C.: So lvino queuing eystems with increasing priori

ty numbers, 3. Oper. Res. Roc. fGB) vol. 31, no 7, pp 637-46.

f ? ] Pu x o b B . B . , Jle u O e p r U . K . : Ob caTiiM ajibH bix flH K an im ecxH X n p n o p H T e ia x b o^ - KOXHHetiHUX c a c T e i.ia x u a c c o B O r o o O c.iy scH B an n a. P .3B. AK C CC P, T e x u H 'ie c x a a liH b ep n eT H K a, 1 9 6 7 , i .

Recenzent: prof. dr hab. inż. An to ni NTEDERLINSKI

Wp ł y n ę ł o do Redakcji 15.05.82 r.

CHCTEMA HAOCOBOrO OBCU>iMBAH;i)I C npHOPHTSTAiJH

P e 3 a m e

l a n c h c to m u i . a c c o B o r o o O cn y x H B an::a c n e c x o jiL K H m i noToxaM H T puO opaK irit u c o r p a H a n e x x o ii o q e p e n h » Hy.sHO o r ,p e ^ e .iz T L n p a B x n o o S c jiy x H B a n x H , 3aBHC.<inee o t cocTO H H iia C H C TeuK , r a x h to O u He n p c n 3 0 t a o n e p e n o jiH e n n e 5 y $ e p o s . 3 i y 3 a ^ a q y a B T o p p e n a e T u eT 0j;0M o n p e .ie a e H n a n p a o p H T e io B h ji/i n o 'to x o B . n ox a3aH O ,H T O n p o - O jie ay moscho C B a c r ;i k p eu en iirc a a a a H K .THHeAHoro nporpaM M xpoBaH H H .

THE SERVING OF QU EUING SY ST EM S WITH PR IO RI TI ES

S u m m e r y

This paper considers the n queues system with single server and fi

nite-waiting rooms. For the above system the best rule of serving, depen

ding of the state of the system, should be found. The problem is solved by the assignement of increasing pr iority numbers. It is shown that if interarrival dist ri bu ti on is exponential the task can be reduced to the linear programming problem.