ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI StĄSKEEJ Seria« AUTOMATYKA z . 75
1984 Nr k o l . 811
■Tadeusz P rz y b y sz, J a n K ału sk i I n s t y t u t A utom atyki
P o lite c h n ik a k lą s k a
ANALIZA MODELU NIEZAWODNOŚCI HARMONOGRAMOWANIA ZADAŃ KA AGREGACIE
, . S tr e s z c z e n ie : V p ra c y p rze an alizo w a n o m odele niezaw odnościow e harmonogramów p rzezn aczo n y ch do s te ro w a n ia wykonawstwem zadań /o p e r a c j i / na Jednym a g r e g a c i e . Dla p r z y ję ty c h o k re ślo n y c h rozkładów cza sów d la n o p e r a c j i otrzym ano czasowe f u n k c je n iezaw o d n o ści harmono
gramów. Omówiono ic h p r z e b i e g i .
T? p ra c y [1J z d e fin io w an o niezaw odność harmonogramów do ste ro w a n ia wy
konawstwem n ie z a le ż n y c h o p e r a c j i n a Jednym a g re g a c ie b ez p r z e z b r o je ń . Przy losowych r e a l i z a c j a c h d la czasów w ykonania p o szczeg ó ln y ch o p e r a c j i i u s t a lonym h o ry z o n c ie harmonogramowania tjj , pokazano w J a k i sposób można o t r z y mać lic z b o w ą w a r to ś ć w skaźnika n ie za w o d n o ści harmonogramu R ( t ) .
Celem n i n i e j s z e j p rac y J e s t p rz e a n a liz o w a n ie modelu niezaw odnościow e
go harmonogramu w p rzypadku, gdy Jego s t r u k t u r ę fu n k c jo n a ln ą można p rze d sta w ić w p o s t a c i n iezaw o d n o ścio w ej s t r u k t u r y sz ereg o w ej i o ra z w przypadku, gdy te n sam / l u b i n n y / harmonogram może m ieć s t r u k t u r ę niezaw odnościow ą ró w n o leg łą.
Celem p ra c y J e s t ró w n ie ż , w y k o rz y stu ją c w zór na niezaw odność harmono
gramu- w p o s t a c i [
1
]1. Wstęp
/ 1 / gd zieś o
Ro - R(o) - niezaw odność d l a t - 0 ,
t ) - fu n k c ja g ę s t o ś c i odnow ien ia, n»1
t
n - o p e r a c jl }
102 T adeusz P rz y b y sz. J a n Kałuslu
z n a l e z i e n i a przeb ieg ó w f u n k c ji R ( t ) d l a różn y ch g ę s t o ś c i rozkładów f ^ ( t ) , 1 » l"7n czasów wykonywania o p e r a c j i .
2 . N iezaw odność harmonogramu o s t r u k t u r z e niezaw o d n o ścio w ej szereg o w ej i ró w n o le g łe j
R ozpatrzm y harmonogram bez p r z e z b r o je ń w p o s t a c i
H “ O l ’ t i ^ , i - 1 , n , ¡2/
g d z ie • Pi o r a z t ^ - c h w ile r o z p o c z ę c ia 1 za k o ń c z a n ia i - t e j o p e r a c j i na da- nyn a g r e g a c i e . Horyzontem harmonogramowanla J e s t t ^ , a c z a s y 1% wykony
w ania p o sz cz eg ó ln y c h o p e r a c j i - ” t^ - s ą r e a l i z a c j a m i zmiennych losow ych Ti f i - l7 n o g ę s to ś c i a c h Xi ( t ) . Na r y s .1 pokazano przykładowy harmonogram w edług / 2 / ,
R y s .1 . Przykładow y harmonogram Przyjm ujem y, że 1^ s ą kw antylam i rzę d u w ^tzn.
Ą - , 0<O C < 1 , i - 73/
Z a łó ż m y ,te r a z , i ż ro zp a try w a n y harmonogram za ła m u je s i ę , J e ż e l i cza r e a l i z a c j i ja k ie j k o lw ie k sp o ś ró d n o p e r a c j i p rz e k ro c z y c z a s normatyv ny p rze z n a c z o n y d la d a n e j o p e r a c j i .
Można zauw ażyć , że z a ło ż e n ie t a k i e im p lik u je szeregow y model ni«
zawodnościowy d l a harmonogram u. Niezaw odność harmonogramu w f u n k c ji nie*
A n a liz a m odela n ie z a w o d n o ś c i . 103
w odnoścł je g o "elem entów " można w yznaczyć w n a s tę p u ją c y sposób:
n
% - V R) - ... <) -
j:
p{A v 1j -
n
» n Ri» ■ a /
1-1
g d z ie * R, - 1 - - praw dopodobieństw o w ykonania i - t e j o p e r a c j i , a zd a -
n
.
r ż e n i e J / \ R^ • 1 r o z n a cz a, że c z a s y w ykonania ż a d n e j z i - 1 ,n o p e ra - i- 1
c j i n i e z o s t a ł y p rz e k ro c z o n e , t z n , ^ ^ c ł *
R ^ / i - 1 , n / p rz y jm u je w a r to ś ć 1 lu b 0 i j e s t zm ienną boolow ską.
Załóżmy z k o l e i , że harmonogram z a ła m u je s i ę ty lk o wówczas, gdy d la w sz y s t
k ic h n o p e r a c j i c z a s y ^ , i - 1 ,n .
Prow adzi to Ja k nożna zauważyć do ró w n o le g łe j s t r u k t u r y niezaw o d n o ścio w ej harmonogram u. W tym przypadku niezaw odność harmonogramu można wyznaczyć
z n a s t ę p u j ą c e j z a le ż n o ś c i
/ r n 1
Ry - R2 (R) - P fm ax - 1J - P j V \ - 1 T -
■ p { £ - £ ■ 1 - S ( ’ - « , ) , « /
g d z ie z d a r z e n ie -^Jl - A ( l - R ^ ] ” ijo z n a c z a , że cz asy r e a l i z a c j i
. ¿ l ^ ^ , i » 1 , n .
N iezaw odności harmonogramnwR^ (r) i R) w yznaczone ze wzorów / 4 / , / 5 / są ró ż n e co do w a r to ś c i lic z b o w e j. R óżnica t a w raz ze wzrostem lic z b y n - -wykonywanych o p e r a c j i r o ś n i e , gdyż R.,(r) m a le je ze w zrostem n , a R2(R) ~ - r o ś n i e . Dla sk o ń c zo n e j lic z b y n - o p e r a c j i z a le ż n o ś c i d l a R1 ( R) i R2 (R jbę- dą oszacow aniam i od gó ry i od d o łu d la n ie z n a n e j , r z e c z y w is te j n ie z a w odności Rjj harmonogram u.
P rz e b ie g r e a l i z a c j i rz e c z y w is te g o harmonogramu j e s t w w ię k s z o ś c i przypadków odmienny od o p isa n y c h w yżej przypadków g ra n ic z n y c h . V rz e c z y w i s t o ś c i , p r z e k ro c z e n ie naw et p rz e z k i l k a o p e r a c ji czasów normatywnych n ie powoduje za ła m an ia s i ę harmonogramu. Ten p ro c e s z o s ta ł o p isa n y w [ i ] , Tam t e ż zaproponowano model niezaw odnościow y 1 sposób o b lic z a n ia n ie z a w odności harmonogramu w f u n k c ji c z a s u , d la 0 < .t < t ^ , w y k o rz y stu ją c t e o r i ę o d n o w ien ia.
104 T adeusz P rz y b y sz , J a n K ału3kl
Wykażemy t e r a z , że model niezaw odnościow y harmonogramu o p isa n y w cyto
w anej p ra c y d a je y rak aźo lk niezaw odno ¿ c i Rjj, s p e łn ia ją c y n a s tę p u ją c ą n ie ró w n o ść :
Jt) (k ) 4 Rjjź ^
2
^ ) !*>>d l a każdego n ^ .2 , g d z ie n - l i c z b a n ie z a le ż n y c h o p e r a c j i o b ję ty c h harmono
gramem. Ha p o d sta w ie tw ie r d z e n ia o k w an ty lac h sumy zm iennych losow ych n ie z a le ż n y c h [ i ] w ynika, ż e :
lim It, - > 1 ,
a 5
t t b i o r ą c pod u w a g ę ,te n a mocy /A / i / 5 /
lim R ^ R ) 0 n -*■ »o.
n a to m ia s t ,
lim R (R) - > 1 n - f oo
otrzym ujem y n ie ró w n o ść / 6 / .
W z a k o ń c z e n iu te g o p u nktu zauważmy, że każdorazow o p rz e d w yznaczenie;
n ie za w o d n o ści danego harmonogram u, n a le ż y d o k ła d n ie z d e fin io w a ć te rm in
" z a ła m a n ie s i ę harm onogram u", ©d te g o bowiem z a le ż y je g o s t r u k t u r a n ie z a wodnościowa i to k o b lic z e ń .
C a łe j w p rac y zajmiemy s i ę o b lic z e n ia m i n ie z a w o d n o ś c i harmonogramu / 2 / w edług z a le ż n o ś c i / 1 / o r a z omówimy u zy sk an e f u n k c je ( t ) .
r3. F un k cje n ie za w o d n o ści harmonogramów
P ro c e d u ra w yzn aczan ia n ie z a w o d n o ś c i harmonogramu w edług / 1 / j e s t n a s tę p u j ą c a :
1 / O b lic z a n ie g ę s t o ś c i rozkładów sum zm iennych losow ych T^, przy zadanych f ,. ( t ) , i« 1 ,fc .
r i p a
2 / O b lic z a n ie f u n k c ji g ę s t o ś c i od n o w ien ia z (t) « 2 - f n (*■) , n » l 3 / O b lic z e n ie n ie z a w o d n o ś c i R^ ( t ) ,
V c a lu u ł a t w i e n i a o b lic z e ń n a p is a n o program n a EMC ODRA 1 3 -0 5 . O bliczono Rjj (t) d l a t r z e c h harmonogramów. R ozkłady czasów wykonywania o p e r a c j i są
in n e d la każdego z harmotegramów. D la p ie rw sz e g o r o z k ła d y czcsów wykony*
A naliza m odelu n ie z a w o d n o śc i . . 105
i i ' a e> N « O ••
5
«> s^ go Ol ó v W f S - i l n S R y s .2 . f u n k c je n ie z a w o d n o ś c i harmonogramu R ^ (t) d la
n o rm aln y ch ro zk ład ó w czasów wykonywania o p e r a c j i o ró ż n y c h p a ra m e tra c h .
7 ^ .3 Q-*0fi To-?>,Q--06 X ~ 3 cr * 0 ? t licz.bo operacji-.
0 * 5 .
106 T adeusz P r z y b y s z , J a n Kaim
T0 = Z S parametr.
4 razttac/u
¿ T o ~ ' Je4"»f1aj.
- dla rozJeładu
jectnoitajnego
. dla rot. t k a d u nykhacfniczego
liczba operacji-.
n=5
COv tvi K> tli \o t i mi *• T» •• >• •ł— 'W B y s .3 , F u n k cje n ie z a w o d n o ś c i harmonogram u ( t) d l a
ro zk ła d ó w je d n o s ta jn y c h i w y k ła d n ic z y c h czaoów wykonywania o p e r a c j i .
Analizę m odelu n ie z a w o d n o ś c i . . . 107
— ótayednoitajn.
---u- trttjkłódnit?..
---n- narwalnejf
liczb a o p e r a c ji: n » S
R y s .4 . P o ró w n an ie n ie z a w o d n o ś c i harmonogramów
d l a ró ż n y c h ro z k ła d ó w czasów w ykonyw ania o p e r a c j i
108 T ad eu sz P rz y b y s z , J a n K ałuskl
w an la o p e r a c j i s ą p r o s t o k ą t n e , d l a d r u g ie g o - w y k ła d n ic z e i d l a ■ trz e c ie g o n o rm aln e le w o s tr o n n ie w c ię te .
Z ilu s tro w a n o t o n a k o le jn y c h r y s . 2 , 3 , 4 .
4 . Z a k o ń c z e n ie 1 w n io s k i
O b lic z e n ia Ry (t) d l a t r z e c h harmonogramów p rzep ro w ad zo n o d l a n ie w ie l
k i e j l i c z b y n - ld e n ty c z n y c h o p e r a c j i . R z u tu je to w r e z u l t a c i e n a charakter u zy sk an y c h f u n k c j i g ę s t o ś c i o d n o w ie n ia z (t) i w końcowym e f e k c i e fu n k c ji n ie z a w o d n o ś c i Rjj ( t ) .
O cz y w iście ^ ( t ) z d e f i n i c j i j e s t r o s n ą c ą f u n k c ją c z a s u . J e j prze
b ie g w c z a s i e z a le ż y p rz e d e w sz y stk im od p o s t a c i ro z k ła d ó w czasów wykona
n i a o p e r a c j i .
W d a ls z y c h p r a c a c h będą b ad a n e f u n k c je n ie z a w o d n o ś c i d l a ró żn y c h ro zk ła d ó w czasów w ykonania o p e r a c j i te g o samego harm onogram u.
LITERATURA
[ i ] K a łu s k l J . : N iezaw odność harm onogram owanla z a d a ń n a a g r e g a c i e . Z . N .Auto
m a ty k a . M a te r ia ły IV KKADPP. K ozubnik 1984.
R e c e n z e n t : P r o f .d r h a b . P i o t r J ę d r z e jo w ic z W p ły n ęło do R e d a k c ji do 30.03«19& it3:.
M O JEM HAJESHOCTH KAJIERIIAPHarO HiAHMPOBAIMH 3AHAHM HA ATPETATE
P e 3 a m e
B paóoTe aHaJiH3iipyDTCH wopejra HanesHOCTH KajxeHjxapHux iwaHOB npenHa3- HaReHHHT uroi ynpaBJieHra błoto jineHKeM He 3aBBCHMHX sapasza( onepapaS ) na ophom a rp e r a T e . UpHHHMaH oppepeJieHHHe pacnpepejieH ra .jpra BpeweHK BHnoAse- hhh' KazpoM on ep ap m , nojryneHO BpeMSHHHe $yHKPHH HapesnocTu KaneHuapHHi naaHOB.
A nallza m odelu n ie z a w o d n o ^ c i . . . . 109
RELIABILITY MODEL ANALYSIS FOR SCHEDULING TASKS ON AN AGGREGATE
S u m m a r y
R e l i a b i l i t y m o d e ls i o r s c h e d u li n g t a s k s on an a g g r e g a te a r e a n a ly s e d . Assuming tim e s d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s f o r n o p e r a t i o n s t h e tim e r e l i a b i l i ty f u n c t i o n s have b e e n o b t a i n e d f o r s c h e d u l e s . T h e ir tim e p l o t s a r e d i s c u s s e d .
