Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L IT E C H N IK I ŚL Ą SK IE J Seria: A U T O M A T Y K A z.119
________ 1996 Nr kol. 1339
E u g en iu sz T O C Z Y Ł O W S K I
I n sty tu t A u to m a ty k i i In form atyk i Stosow anej P o litech n ik i W arszaw skiej
R E S T R Y K C Y J N E T R A N S F O R M A C J E Z A D A Ń
H A R M O N O G R A M O W A N I A P R O D U K C J I Z O G R A N I C Z E N I A M I M A G A Z Y N O W Y M I
S t r e s z c z e n i e . J e st rozw ażane h arm onogram ow an ie produ kcji w ielo eta p o w ej re
alizow an ej w porcjach w zło ż o n y c h , w ielo sto p n io w y ch sy stem a c h p ro d u k cy jn y ch z u w zg lę d n ie n iem o góln ego m od elu ograniczeń m a g a zy n o w y ch . B a d a n e są restry k c y jn e tran sform acje rozw ażanego problem u h arm on ogram ow an ia o p a r te na m o d y fikacji d o p u szcza ln y ch p ozio m ó w zapasów .
R E S T R I C T I V E T R A N S F O R M A T I O N S O F G E N E R A L L O T - S I Z E S C H E D U L I N G P R O B L E M S W I T H I N V E N T O R Y L I M I T A T I O N S
S u m m a r y . T h e general lo t-size sch ed u lin g problem for m u lti-sta g e sy s te m is co n sid ered in th e p resen ce o f the general m in im u m and m a x im u m lim ita tio n s on sto c k lev els. E q u ivalen t restrictiv e tran sform ation s, w h ich are b a sed on m o d ifica tio n s o f sto c k lim ita tio n s , are p resen ted .
1 . S f o r m u ł o w a n i e p r o b l e m u
W p ra cy je s t a n a lizo w a n y o g ó ln y m od el za d a n ia w ie lo e ta p o w eg o h a rm o n o g ra m o w a n ia produ kcji p orcjam i w z ło żo n y ch , w ielostop n iow ych sy stem a c h p rod u k cyjn ych z u w z
g lę d n ien ie m o g ó ln eg o m o d elu ogran iczeń m agazyn ow ych (d oln ych i g ó rn y ch ). W s y s t e m ie p ro d u k cy jn y m j e s t realizow an a produ kcja zbioru N rod zajów w yrob ów . D o celów h a rm o n o g ra m o w a n ia produkcji w d łu ższy m h o ry zo n cie cza su p rzyjm u jem y, ż e h o ry z o n t pla n o w a n ia z o sta ł p o d zie lo n y n a T d ysk retn ych okresów . R o zw a ża m y łą c z n ą p rod u k cję i m a g a z y n o w a n ie w yrobów w każdym z tych okresów , p o m ija m y n a to m ia st sz c ze g ó ło w e w arunki o g r a n icz a ją ce , np. kolejnościow c w krótszych p rz ed zia ła ch cza so w y ch .
Z a p o trzeb o w a n ie d tt na w yrób i 6 N w okresie t m usi b yć realizow an e n a jp ó źn iej n a k on iec ok resu t, p rzy czy m w yrób m oże b y ć produ kow any w b ieżą cy m o k resie, b ą d ź te ż w okresach p o p rz e d z a ją cy c h , w tym o sta tn im przypadku m u s zą b y ć u tr z y m y w a n e niezerow e
100 E. Toczyiowski
za p a sy w okresie p o p rzed za ją cy m .
W p ro w a d źm y n a s tęp u ją c e zm ie n n e decyzyjne:
X j ( t ) - łą czn a w ielk ość produkcji w yrobu i w okresie l,
/¿ (i) - sta n za p a su w yrobu i pod kon iec okresu t.
Z ak ład am y, że /(O ) — 0. W dalszej części pracy b ęd ziem y sto so w a ć n a s tęp u ją c ą no
tację: d la zb ioru zm ien n y ch x , ( i ) , t € N , t = o zn a cza m y x ( i ) = ( x i(i)),g /v d la t — 1 , . . . , T oraz x = ( i ( l ) , . . . , x ( r ) ) . P o d o b n ie tw o rzy m y I ( t ) oraz I . O zn a cz m y y =
O to o g ó ln a p o sta ć rozw ażanego zad a n ia h arm on ogram ow an ia produ kcji P r o b l e m P:
m in F [ y ) (1)
p rzy og ra n iczen ia ch
H { y ) < 0 (2 )
y e £ • (3 )
p rzy c zy in C = l>,y > 0} je s t w yróżn ion ym w ie lo ścia n em w y p u k ły m o k reśla ją c y m str u k tu r a ln ą część w arunków ogra n icza ją cy ch zbiór dop u szczaln y, A - m a cierz o w y m ia ra ch m n a n , m < n o p e łn y m rzęd zie, (2) określa zbiór tru d n iejszy c h og ra n iczeń (n p . za so b o w y ch ), n a to m ia st (3) określa zbiór ograniczeń ła tw iejszy c h , o sp ecja ln ej str u k tu r z e, za w iera ją cy rów nan ia b ilansów m a teria ło w y ch i og ra n iczen ia ty p u ’’k o stk o w eg o ” .
N aw et je ż e li zb iór d o p u szczaln ych rozw iązań problem u ( 2 ) , . . . , (3 ) je s t ogra n iczo n y , j e s t c a łk iem p ra w d o p o d o b n e, ze zbiór C je st nieogran iczony.
W o g ó ln y m p rzyp ad k u zbiór C je st n ieogran iczon ym w ie lo ścia n e m , k tó reg o p u n k ty m o ż n a p r z ed sta w ić jak o
y = Y , W + (4 )
r£R re-S
p rzy c zy m
= U 0 < Ar, r S R (5 )
oraz p., > 0 dla w szy stk ich s S S. Zbiór { y r |r 6 R } je s t zbiorem b a zo w y ch rozw iązań d o p u szc za ln y c h , n a to m ia st { y ’ \s € S ) je s t zbiorem bazow ych kierunków d o p u szc za ln y c h . N iech
£ r = {j/l y e C , y = Y l Aryr, g d zie Ar = 1 ,0 < Ar, r € E )
r£R r£R
Restrykcyjne transform acje zadań harm onogram owania produkcji z ograniczeniam i .. ,i q i
b ęd zie w ie lo ścia n e m og ra n iczo n y m , o trzy m a n y m z £ p rzez p o m in ię c ie rozw ią za ń je d n o rod nych o d p o w ia d a ją c y ch kierunkom dop u szcza ln y m . O trzy m u jem y n a s tęp u ją c y (restr y k cy jn y ) p ro b lem o p ty m a liza cji
P r o b l e m P r :
m in F ( y ) (6)
przy og ra n iczen ia ch
H ( y ) < o (7 )
y 6 £ r (8)
M ów im y, że p rob lem P m a wł a ś c i wo ś ć Ti, jeżeli d la dow oln ego ro zw ią za n ia d o p u s z czaln ego y p ro b lem u P istn ieje rozb icie y — y + y, ta k ie że y 6 C r , A y = 0 oraz H ( y ) < 0 i F ( y ) < F ( y ) .
Z ła tw o śc ią m o ż n a w yk azać, że jeżeli Problem P p o sia d a ją cy w ła ściw o ść R m a sk o ń czon e ro zw ią za n ie o p ty m a ln e , to istn ie je o p ty m a ln e rozw iązan ie p rob lem u P b ę d ą c e je d n o c z eśn ie o p ty m a ln y m rozw iązan iem problem u Pr .
J e żeli ro zw a ża n e za d a n ie P m a w łaściw ość R, to w y s ta rc zy r o zw ią zy w a ć p rob lem restry k cy jn y PT. P ro b lem Pr m o ż e b y ć ła tw iejszy do rozw ią zy w a n ia z n a stęp u ją c y ch p o w odów:
(i) r ela k sa cja L a gran ge'a ogran iczeń (7) problem u restryk cyjn ego j e s t n a o g ó ł siln iejsza od relak sacji L agrange‘a problem u pierw otn ego,
(ii) je ż e li fu n k cja celu po relaksacji Lagrange‘a je s t w k lęsła , to p o d cza s r o zw ią zy w a n ia z a d a n ia relaksacji L agrange‘a w y sta rczy p rzegląd ać p u n k ty w ierzch o łk o w e zb ioru C r . P u n k ty w ierzch o łk o w e m o g ą m ieć d od atkow e w ła ściw o ści, np. m o g ą b yć rep re
zen to w a n e w p o sta ci ścieżek w od p ow ied n ich grafach , dzięk i czem u r o zw ią zy w a n ie za d a n ia relaksacji Lagrange‘a się u p raszcza,
(iii) są m o ż liw e d a lsze tran sform acje problem u restryk cyjn ego (n p . sie c io w e ), dzięk i czem u m o ż n a o tr zy m a ć siln iejsze relaksacje lin iow e lub relak sacje L a g ra n g e‘a.
In teresu ją ce są te p rzy p a d k i, k ied y problem restrykcyjn y P, m o ż n a o tr z y m a ć z z a d a n ia P p rzez d o d a n ie p rostych ogran iczeń . O sła b ia ją c w y m a g a n ia d o k la d n o ścio w e , o tr z y m u jem y m e to d y restry k cy jn e, które m o g ą być w y k o rzy sta n e jak o n a rzęd zia o p ty m a liza c ji
102 E. Toczylowski
p r z y b liż o n e j. W p racy są a n alizow an e transform acje r estry k cy jn e rozw a ża n eg o p ro b lem u h arm on ogram ow an ia.
2 . T r a n s f o r m a c j a z a d a ń h a r m o n o g r a m o w a n ia p r o d u k c j i w s y s t e m a c h j e d n o - s t o p n i o w y c h
R o zw a ża m y zb iór zdefin iow any przez rów nan ia b ilan sow e i k ostkow e o g r a n icz en ia m a g a zy n o w e
a n a s tę p n ie z a stą p m y og ra n iczen ia /(£ ) > L t , t = 1, . . . , T , przez siln iejsze o g ra n iczen ia
A n a lo g ic z n ie d o definicji i [ ( d) w y z n a c za m y regu laryzację / “ = / ”(d ) g ó rn ego p o z io m u z a p a só w 7t. Zauw ażm y, że dla d op u szczaln ych sta n ó w /;(<) < / “(, m u si z a ch o d z ić / ¡ ( i ) —d, i ( + 1 < / “, +1. Z atem siln iejsze z r cgul ar yz owane p o z io m y za p asów m o ż n a w y z n a c z y ć rek u ren cy jn ie d la i = T , T — 1 . . . , 1 , 0 n astęp u jąco
p r z y c zy m [¡o — /¡(O).
B ę d z ie m y dalej w y k o rzy sty w a ć n a stęp u ją ce, łatw e do u d o w o d n ien ia w ła ściw o ści:
L e m a t 1 . Ni ech d" będzie p e w n y m we kt or em z apot r z ebowani a. Z r c y u l a r y z o w a n y p o z i o m z a p a s ó w bezpi ecznych l ' ( d ’ ) ( p r z y c z y m I l(d) j e s t def i ni owany p r z e z ( 1 0 ) ) , j e s t r ó wn i e ż
C ‘ = { ( s , / ) | / ( t — 1) + z ( t ) — / ( i ) = dt , 0 < * ( t ) ; Z , < / ( 0 < I „ t = \ , . . . , T } (9)
D la u s ta lo n eg o zap o trzeb o w a n ia d zdefin iu jm y zregu laryzow an e p o z io m y za p asów
¡ l i d ) = I[ = ( / ' ) ieN ok reślone rek uren cyjnym w zorem
( 10)
/ ( / ) > / ' , t = 1, . . . , T (11)
(12)
regul arny dla dowol nego d , d > d *, tzn., j eż el i / = /* (d *), to P ( d ) = / i(oi") dl a dowol nego d > d \
Restrykcyjne transform acje zadań harmonogram owania produkcji z ograniczeniam i . .103
A n a lo g ic z n ie m o ż n a u d o w o d n ić, ż c 1 = /'“(ci*) im p lik u je, i i I u(d) — / “( / ’ ) d la d ow ol
n eg o d , d > d*.
Zbiór za p o trzeb o w a ń d d op u szcza ln y ch z p u n k tu w id z en ia zregu laryzow an ych w artości zapasów o z n a c za m y przez IF( L, 7) lub krótko p rzez T
T [ l J ) = { d \ l \ d ) < / “( / ) ) .
Z achodzi
ci* 6 T = > d € T for any d > d ‘ (1 3 )
P rzy jm u jem y d a lej, że są ju ż w y zn a czo n e m in im a ln e i m a k sy m a ln e z a p a sy / / , / “, i = 1, . . . , T , zregu laryzow an e d la d an ego w ek tora zap otrzeb ow ań d.
L e m a t 2 . (i) Je ż e l i st at i I r na koni ec etapu r j e s t p o n i ż e j s t a n u dopus z cz al nego dol nego, t zn. I r < l'r , to nie i stnieje t raj ekt ori a z pr odukcj ą z er ową, czyli x ( i ) = 0 dl a t = r + 1 , . . . , a, do p r o wa d z a j ą c a s t a n I r do s t anu dopus zczal nego I , > / ( .
(i i) Jeż el i I r < 1(1, to ni e i stnieje t raj ekt ori a z produkcja, z er ową, czyli x ( i ) = 0 dla i = r + 1 , . . . , s , d o p r o wa d z a j ą c a s t a n Ir do s t a nu ni edopusz cz al nego 1, > / “ .
L e m a t 3 . R o z w a ż a n e j e s t prz ej ści e od s i anu w et api e r do et apu $ , $ > r . Z a ł ó ż m y , że dane s ą s t a n y 7r, I , , s pe ł ni aj ąc e wa mmk i d opus z cz al noś ci l [ < I r < 7“ or a z l \ < I , < 7“ .
(i) Je ż e l i X T, = 7, + dT+,--|-+ d , - I T > 0 , o r a z Ir + X T, < 7“+1 + dr + i , to s t e r o w a n i e
i X t , t = r + 1
x ( t ) = < (1 4 )
( 0 t = r + 2 , . . . , s
real izuj e t r aj ekt or i ę dopus z cz al ną w okresach r + 1 , . . . , s .
(i i) J e ż e l i X T, = I, + dr+l + ---- f- d3 - I r < 0 , to t r aj ekt or i a z pr odukcj ą z e r o wą ze s t a n u / ( = /„-)- dr+ l -1 d, do s t a nu dopuszczal nego I , j e s t t r aj ekt or i ą dopus z c z al ną.
T w i e r d z e n i e 1 . Ni ech I 1, I" będzie z r e g u l a r y z o wa n y m p o z i o m e m z a p a s ó w dl a d ’ 6 T , d ‘ < d° o r a z ( x°, 1°) będą . r oz wi ąz ani em d o p u s z c z a l n y m pr o b l e mu P ( d ° ) . Dl a dowol nego d, d' < d < d°, i s t ni ej e r o z wi ą z a ni e dopus z cz al ne (x , I ) p r o b l e mu P ( d ) takie, że 0 < x < x°
o raz I 1 < I < 1°.
104 E. Toczylowski
D o w ó d . P o n iew a ż d ok o n a liśm y regularyzacji zap asów doln ych i górnych d la d ' < d < d°, w ię c w ła śc iw o śc i trajek torii sform u łow an e w lem a ta c h 2. i 3. są słu s z n e d la w ek to ra z a p o trzeb o w a ń rów n ego zarów n o d° , jak i d. D la d an ego rozw iązan ia w ie lo e ta p o w y h oryzon t p la n o w a n ia m o ż n a p o d zie lić n a p od gru py sąsiad ujących ze so b ą e ta p ó w w ta k i sp o só b , że każdej p o d g ru p ie eta p ó w r + 1 , . . . , s o d p o w ia d a ro zw iązan ie elem en ta rn e o tej w ła śc iw o śc i, że n iezero w a p rod u k cja je st ty lk o w d ok ład n ie jed n y m ok resie t = r + 1. S tą d ro zw ią za n ie ( x ° , I °) m o ż n a p o d zie lić na cząstk ow e rozw iązania elem en ta rn e, czy li czą stk o w e tr a je k to rie o d sta n u 1° do 1° d la p ew n ych eta p ó w r , s . N iech 1 < t \ < t j < •■• < t u < T b ę d ą in d ek sa m i w szy stk ich okresów p rod u k cyjn ych , w których je st p rod u k cja n iezero w a , czy li z(tfc) > 0 , k = 1, . . . , K , n a to m ia st x ( t ) = 0 d la p o z o sta ły c h t.
B ę d z ie m y a n a lizo w a ć kolejn e rozw iązan ia e lem en ta rn e (tra je k to r ie od sta n u I T do sta n u / j ) od k o ń ca i p ok azyw ać, że p o z a m ia n ie d° n a d istn ie je tr a jek to ria d o p u szcza ln a ( x , I ) leż ą ca p o n iżej (x ° , 1°). R ozw ażm y trajek torie w okresach r + 1 , . . . pr z y czy m p o c z ą t
kow o przy jm ijm y , że s = 7/,-, r = 7), — 1 oraz / , = 1°,
W d a n y m kroku, w k tórym rozw ażam y trajek torie od stan u !r do sta n u / , , m a m y I , sp e łn ia ją c e I[ < I, < 1°. O zn aczm y A-“, = 1° + d°+i + • • ■ + d° — 1° oraz X r, = I , + dr + 1 H 1- d , — 7°. J e st o c z y w is te , że X T, < X°„, przy czy m tr a je k to r ia p rob lem u P ° z I ° d o 1° je s t d o p u szcza ln a .
R o zw a ży m y o d d zie ln ie przypadk i X r3 > 0 i X T, < 0. J eżeli X rl > 0, to , zg o d n ie z le m a te m 3 . (i), z a stęp u ją c X ° , przez X r, oraz sta rtu ją c z o tr zy m a m y tra jek to rię d o p u szc za ln ą p rob lem u P łą cz ą cą 1° z i , . D o p u szcza ln o ść w y n ik a z fa k tu , iż ze w z g lęd u n a w aru n ek , że d t < d° d la i = r + 1 , . . . , s zach od zi / t < 1° dla f = r + 1 , . . . , s , g d y ż
/ , = / “ + X T, — d r+i — • • — d, = I, + d t+i +■■•-(- d, < 1° 4- d“+1 + • • ■ + d^ — l°t .
W d ru gim p rzy p a d k u , jeżeli zach od zi X TS < 0, to zg o d n ie z le m a te m 3 .(ii) p rzy jm u jem y I T I , -(- d r +i + ■■■ + i w te d y dla problem u P tra jek to ria z zero w ą p rod u k cją X r, — 0 w y c h o d zi w o k resie r ze sta n u I r i d op row ad za do sta n u I, w o k resie s , przy c zy m a n a lo g icz n ie do p o p rzed n ieg o zach od zi
h < 1° t = r , . . . , s
a z a te m tr a je k to r ia ta je s t d op u szczaln a. R ealizu jąc kolejno pow yżej o p isa n y krok d la p o sz c ze g ó ln y ch rozw iązań elem en ta rn y ch , pok azu jem y, że d la d < d° istn ie je d o p u szc za ln e
R estrykcyjne transform acje zadań harmonogram owania produkcji z ograniczeniam i . .¿ 0 5
r o zw ią za n ie ( i , / ) prob lem u P s p ełn ia ją c e warunki x < z 0 i / < 1°. O trz y m a liśm y z a tem ro zw ią za n ie d o p u szc za ln e problem u P sp ełn ia ją c e w arunki 0 < x < and I 1 < / < 1°.
O
Z tw ie rd ze n ia 1. w yn ik a n a stęp u ją cy w niosek d o ty c z ą cy m o żliw o ści z a w ęż a n ia zbioru d o p u szcza ln eg o po p rzez o b n iże n ie górnego o g ra n iczen ia d la stan u k oń cow ego AJ. P r z y j
m ijm y, ż e d la d a n eg o d = ( d i , . , . , d j ) m am y pew n e ro zw ią za n ie ( i , 7) p ro b lem u P ( d ) ta k ie, że sta n k oń cow y sp e łn ia w arunek I lT < ¡t < Ajt. N iech d ’ = d oraz w p ro w a d źm y d° ró żn e o d d je d y n ie w o sta tn im okresie, t/f — d j + J r — ¡t- U zy sk u je m y p rob lem P ° , przy c zy m r o zw ią za n ie (x °, 1°) tak o tr zy m a n e g o problem u P ° u zysk an e z ( x , 7) sp ro w a d za sta n koń cow y / ° ( 7 ’) do w artości /j.. R ozw iązan ie to je s t o c z y w iś cie ró w n o w a żn e ro zw ią z a n iu (x , A) p ro b lem u p ierw o tn eg o P o w artości końcow ej sta n u m a g a zy n u Ar- T w ie rd ze n ie 1.
m ó w i, ż e d la k ażd ego rozw iązan ia d o p u szcza ln eg o ( i ° , 1°) p rob lem u P ° d a ją ceg o sta n koń cow y I ° ( T ) = Aj. (tem u rozw iązaniu o d p o w ia d a (x , 7) p rob lem u P ta k ie , ż e 7 r > Aj.), m o żn a z n a leź ć ro zw ią za n ie d o p u szcza ln e ( x , I ) problem u P sp ro w a d za ją ce do stan u koń
cow ego Aj- i s p e łn ia ją c e 0 < x < x° oraz I 1 < A < 7°. Z a tem d la m o n o to n ic z n ie rosn ących funkcji k o sztó w F ( x ) , / / ( / ) m o ż em y o b n iży ć stan końcow y / £ d o p o zio m u Aj. b ez o b a w y u traty o p ty m a ln e g o rozw iązan ia.
T ransform acje restry k cy jn e
Zbiór o g ra n iczeń stru k tu raln ych C d la jed n o sto p n io w eg o p rob lem u w ielo w y m ia ro w eg o ze zreg u la ry zo w a n y m i ogra n iczen ia m i na. p o zio m y zapasów m in im a ln y ch i m a k sy m a ln y ch je s t p o sta ci
L = { ( x , A ) : I ( t - 1 ) + * ( / ) - 1(1) = d t, x ( t ) > 0, l [ < I ( t ) < / “, i = 1, . . . , T } (15)
przy c z y m w s z y s tk ie p a r a m e tr y i z m ie n n e są w ek toram i. Z biór C m o ż n a o c z y w iś c ie zd e- k o m p o n o w a ć n a n ie za le żn e p o d zb io ry £ ; d la p o szczeg ó ln y ch w yrob ów i 6 N .
S z c ze g ó ln a p o s ta ć zbioru rozw iązań dop u szczaln ych C p ozw ala n a w y g o d n ą ch arak te ry z a cję b a zo w y ch rozw iązań od p o w ia d a ją cy ch p u n k tom w ierzch o łk o w y m {j/r : r 6 R } oraz kieru nk ów d o p u szcza ln y c h ( y d : d € D ) . O b ecn e ro zw a ża n ia u m o ż liw ią m o d y fik a cję zbioru d o p u szcza ln eg o p op rzez p o m in ięcie rozw iązań jed n o ro d n y ch oraz (e w en tu a ln ie ) za w ężen ie w ielo ścia n u r o zp ięteg o na p u n k tach w ierzch ołk ow ych o d p o w ia d a ją c y ch d o p u sz
106 E, Toczylowski
cza ln y m ro zw ią za n io m b a zo w y m .
Cb = {y '• y € C, y = W » gdzie £ A* = 1,0 < \ b, b e B]
beB beB
p r z y c z y m y = (x , I ). Jest to w iclościan ograniczony, o tr zy m a n y z £ p rzez p o m in ię c ie ro zw ią za ń je d n o ro d n y ch od p o w ia d a ją cy ch kieru nk om d o p u szcza ln y m .
K o rz y stn y zbiór restry k cy jn y u zysk ujem y dokonując n a stęp u ją ceg o z a w ężen ia
£ > { ( * , / ) : ( * , / ) € £ ,
1(T)
= I'T} . (16)N a s tę p n ie p o d sta w ia ją c I? = I [T i dokonując ponow nej regu laryzacji p o z io m ó w górnych z a p o m o c ą w zoru (1 2 ) otrzy m u jem y regu laryzację £ r zbioru restry k cy jn eg o £ ° . Z biór £ r m o ż n a p r z ed sta w ić rów n ow ażn ie jak o kom b in ację w y p u k łą rozw iązań w ierz ch o łk o w y ch
£ r = {y : y 6 £ , y = £ Ary r, gd zie £ Ar = 1 ,0 < A „ r 6 R ] (1 7 )
r £R rgfi
g d z ie { y r, r S R } je s t zbiorem p u n k tów w ierzch ołk ow ych .
W r e z u lta c ie o trzy m u jem y n a stęp u ją cy (restryk cyjn y) p rob lem o p ty m a liza cji:
P r o b l e m Pr :
m in F ( y ) (1 8 )
przy og ra n iczen ia ch
H { y ) < 0 (19)
y € £ r. (2 0 )
T w i e r d z e n i e 2 . Jeż el i w pr obl emi e j e d n o s t o p n i o w y m z ogól ny mi p o z i o m a m i z a p a s ó w dol nych i g ó r n y c h f u n k c j e F , H s ą mo n o t o n i c z n i e niernalejące, n a t o m i a s t z bi ór £ r j e s t regu- l ar y z ac j ą zbioi-u z def i ni owanego p r z e z ( 16), to probl em P m a w ł a ś c i w o ś ć R.
Do wó d . T w ie rd ze n ie j e s t u ogóln ien iem tw ierd zen ia 4 .4 , p racy [7], str.8 7 na p rzyp ad ek d o w o ln y ch p o zio m ó w zap asów m in im aln ych i m ak sy m a ln y ch . Z biór £ m o ż n a zd ek o m p o - n ow ać n a n ie za le żn e p o d zb io ry £,- d ia poszczególn ych w yrobów i G N . D la u p ro szc z e n ia zap isu p o m ija m y dalej in d ek s w yrobów i i rozw ażam y p o je d y n cz y w yrób . J eżeli d la p r o b lem u P z za p o trzeb o w a n iem d dla y = ( z , / ) € £ zach od zi I ( T ) = b > I j , to ro zw ią za n ie to m o ż n a p r z ed sta w ić rów now ażnie ja k o p ew n e rozw iązan ie d o p u szcza ln e y p e w n eg o pro
b le m u P o tr zy m a n e g o z P p rzez za m ia n ę za p o trzeb o w a n ia w o sta tn im o k resie d o w artości
Restrykcyjne transform acje zadań harinonogram owania produkcji z ograniczeniam i . ■ ¿07
d-T — d r + b — / j . P o n iew a ż d od atk ow o rozw iązan ie to m a stan koń cow y rów n y i lT , w ięc zach odzi y 6 £ r (d ), tj. rozw iązan ie to n ależy do restrykcji p rob lem u P .
Z tw ie rd ze n ia 1. w yn ik a z a te m n a ty c h m ia st, że dla dow oln ego y; = (x,-, / , ) € C, istn ie je rozb icie y; = y,- - f y,- ta k ie, że y; € £ ,y oraz y,- > 0, przy czy m C „ je s t tw o rzo n e d la i an a lo g iczn ie do (1 6 ).
N a za k o ń c z en ie p o d sta w ia m y y = (y;);gjv. Z m o n o to n iczn o ści F oraz H w yn ik a, ze F { y ) < F ( y ) oraz I l ( y ) < H ( y ) < 0 . 0
3 . T r a n s f o r m a c j a z a d a ń h a r i n o n o g r a m o w a n ia p r o d u k c j i w s y s t e m a c h w i e l o s t o p n i o w y c h
C h arak teryzacja zb ioru C d la sy stem ó w w ielostop n iow ych .
W p rzy p a d k u sy s tem ó w p rodu kcyjnych złożon ych z w ielu sto p n i p ro d u k cy jn y ch sie ciow e o g r a n icz en ia bilan sów m agazyn ow ych w szy stk ich w yrobów są p o s ta ci
/ ¡ ( i - 1) + i i ( l ) - /,-(i) = d it + r ijX j(i), i £ N \ t = \ , . . . , T (2 1 ) yes,-
p rzy c zy m Si - zb iór bezpośredn ich n astęp n ik ów produ ktu i w grafie str u k tu r y p rod u k tów [7]. S to su ją c rek u ren cyjn ie p o d sta w ien ie
E i { t ) = / ¡ ( i) + r y E s {t ) oraz D it = d it + ^ r(J-D jt (2 2 )
¿6 S. ;£ i.
p o czą w szy o d w yrob ów finalnych, n a stę p n ie ich sk ła d o w y ch , aż d o ch o d zą c do su row ców i inn ych p ierw o tn y ch sk ła d n ik ó w (n ie m ających pop rzednik ów w grafie str u k tu r y p rod u k tó w ), b ila n s e m a g a zy n o w e m o żn a przed staw ić w rów now ażnej p o sta ci
E i ( t - l ) + x i { i ) - E i ( t ) = D iu i s N ; t = l , . . . , T (23)
z d o d a tk o w y m w aru n k iem
2 > y Ą ( 0 - £ i ( 0 < 0 , i € N ; t = \ , . . . , T (24) RS,
lub o g ó ln ie js z y m (p rzy n iezerow ych zapasach m in im aln ych )
U -f r ^ E f i t ) - E , ( t ) < 0 , i € N ; t = l , . . . , T (25) RS,
108 E. Toczyiowski
p rzy c zy m (2 3 ) je s t zbiorem ’’łatw ych" ograniczeń stru k tu ra ln y ch , a (25) m o ż n a w łą c z y ć do o g ra n iczeń zasob ow ych pod d aw an ych np. relaksacji L agrange‘a. J eżeli o g r a n icz en ia (2 5 ) z o sta n ą d o łą c zo n e do (2 ), to funkcja II nie b ędzie fu n k c ja ,m o n o to n iczn ie n ie m a le ją cą i n ie m o ż n a w te d y w y k o rzy sta ć tw ierd zen ia 4.4 z pracy [7] do u za sa d n ien ia tran sform acji siecio w ej. P o k a żem y jed n ak dalej, że rów nież w rozw ażanym przyp ad k u o g ó ln eg o m o d e lu p rodu kcji w ielo sto p n io w ej za d a n ie p o sia d a w łaściw ość R p o z w a la ją c ą n a tran sform ację siecio w ą .
W p ro w a d źm y d o zbioru C problem u P sieciow e ogra n iczen ia b ila n só w m a g a z y n o w y c h w s z y s tk ic h w y ro b ó w p o sta ci
r = { ( x , I ) \ I ( t - l ) + x ( l ) - R x ( t ) ~ I [ t ) = d „ 0 < x ( 0 ; L < / ( O < l u t = 1, . . - . T ) (2 6 )
p rzy c z y m m a cierz R — [r,,] je s t m acierzą p rzep ływ u m a teria łó w w s y s te m ie . P ro b le m P j e s t teraz o g ó ln y m za d a n iem h a n n o n o g ra m o w a n ia produkcji w sy s te m a c h w ie lo s to p n io w y c h , w k tó ry m , id e n ty c zn ie jak d la sy stem ó w je d n o sto p n io w y ch , fu n k cja F ( y ) rep rezen tu je w s z y s tk ie k o szty produ kcji i m agazyn ow an ia, n a to m ia st H ( y ) rep rezen tu je o g ra n icze
n ia n a d o s tę p n e za so b y (oraz ew en tu a ln ie inne warunki o g ra n icza ją ce w artości z m ien n y ch p ro d u k cy jn y ch oraz m a g a zy n o w y c h ).
T w i e r d z e n i e 3 . Ni e c h 71, / “ będą z r e g u l a r y z o wa n y mi p o z i o m a m i dla d' (E J - . Jeśl i d ' <
d ( x ) dl a d o p u s z c z a l n y c h x 6 X , f unkcj e F, II są mo n o t o n i c z n i e ni emal ej ące, to p r o b l e m P m a w ł a ś c i w o ś ć R.
Do wó d . W od ró żn ien iu od sy stem ó w jed n o sto p n io w y ch zbioru C n ie m o ż n a b e z p o śred n io zd ek o m p o n o w a ć n a n ieza le żn e p o d zb io ry Ci d la p o szc zeg ó ln y ch w y ro b ó w i 6 N . D la u s ta lo n e g o ro zw ią z a n ia d o p u szcza ln eg o y ° = (z ° , I°) zd efin iu jm y d la k ażd ego i 6 N d n { x ° ) = di i + J2jes, r Hx j ( t ) oraz określm y n a stęp u ją ce c zą stk o w e zb io ry d o p u szc za ln e
£ ° = C i ( d i ( x ° ) ) = {(X,-,/,-) : li(t - 1) + x ¡(t) - /¡ ( i) = dit( x ° ),
x i ( 0 > 0 , / ! , < / i ( ł ) < / S , i = 1 T ) (2 7 )
D la każdego zbioru C° o k reślam y zbiór restryk cyjn y C°T p rzyjm u jąc sta n k o ń co w y m a g a zy n ó w rów n y Ifr = I\T . D la każdego u sta lo n eg o i € N m a m y p ro b lem je d n o s to p n io w y i b e z p o śr e d n io z tw ie rd ze n ia 2. w yn ik a, ż e dla d op u szcza ln eg o ro zw ią za n ia y° istn ie je n ie
R estrykcyjne transform acje zadań harntonogram owania produkcji z ograniczeniam i ..1 0 9
gorsze ro zw ią z a n ie y = (x, / ) problem u restrykcyjnego C° z w arun kiem l 7 = I 7 . R o z
w ią za n ie to je d n a k w ogólności n ie sp e łn ia rów nań b ilansów m a teria ło w y ch p ierw o tn eg o p ro b lem u w ielo sto p n io w eg o P .
P o k a żem y tera z, ż e o tr zy m a n e rozw iązan ie y 6 £ ° m o ż n a p r z e k sz ta łc ić w d o p u s z cza ln e r o zw ią za n ie n a le żą c e do zbioru restryk cyjn ego £ r , c zy li istn ie je ro zb ic ie y = y + y takie, ż e y £ £ r o ra z y > 0.
Z au w ażm y, ż e d la u s ta lo n eg o i d;(( x ) j e s t funkcją zm ien n ych X jty lk o d la ty c h w y ro b ó w j £ Si , k tó r e są n a stęp n ik a m i w yrob u i.
P o k a żem y dla k olejn ych w yrob ów i w yb ieran ych w o d p ow ied n iej k o lejn o ści, że z roz
w ią z a n ia yi — (*,-, li) € £ °r m o żn a u zysk ać d o p u szcza ln e ro zw ią za n ie restry k cy jn e s p e ł
n ia ją ce ró w n a n ia b ila n su m ateria ło w eg o . R o zp o czn iem y od w yrob ów fin a ln y ch , k tóre w grafie C n ie p o s ia d a ją n astęp n ik ów (d la których 5,- = 0). W d alszy ch krokach b ę d z iem y w y z n a c za ć rek u ren cy jn ie now e w artości x ,( i ) , l , ( t ) kolejno d la b ezp o śred n ich p o p rz e d n i
ków w y ro b ó w fin a ln y ch , ich b ezp ośred n ich pop rzednik ów itd ., id ą c w góre str u m ie n ia str u k tu r y a so rty m en to w ej p rod u k tów , aż do surow ców .
D la u sta lo n eg o i n iech ju ż b ęd z ie w y z n a czo n e d op u szcza ln e ro zw ią z a n ie r estry k c y jn e i j d la j 6 5 ,. Z a p o trzeb o w a n ie d ,,(x ) sp e łn ia warunek
d n ( i ) = d it -f 5 3 r« j ż ,( 0 < d i , ( x c)
;'£Si
S tą d z tw ie rd ze n ia 1. w y n ik a istn ie n ie rozw iązan ia y,- = (x,-, /¡) d o p u szc za ln e g o d la i-te g o p o d p ro b lem u restry k cy jn eg o (z w arun kiem /"r = l \ 7 ) n a leżą ceg o do zb ioru
£,>(<■/,( i ) ) = {(*,-, Ii) : / ,( ( - 1) -f x {( t ) - I i [ t ) = d it( x ) ,
X i ( t ) > 0 , l l t < I i ( t ) < i r „ t = \ , . . . , T ) (28)
N a za k o ń c z en ie p o d sta w ia m y y = (yi)i£N- Z m o n o to n iczn o ści F oraz H w y n ik a d la y < y , że -F(y) < F ( y ) oraz H { y ) < H ( y ) < OD
R eg u la ry za cja zap asów p rzy sp ełn ie n iu w y m a g a n ia , że d ’ < d ( x ) dla k a żd eg o d o p u sz czaln ego x , m o ż e sp o w od ow ać, że zo sta n ie u tw orzon a restrykcja p rob lem u . J e że li je d n a k w arunek te n jest sp ełn io n y , to je st to je d y n y warunek w y m a g a n y do u z y sk a n ia restry k cji k o ń co w eg o p o zio m u zapasów . T w ierd zen ie 3. lok alizu je z a te m m ie js c e restry k cji do
110 E. Toczylowski
p ro b lem u z n a le z ie n ia od p o w ied n ieg o zap otrzeb ow an ia d ‘ w y m a g a n eg o d o regu laryzacji zapasów .
Jeżeli n ie z o sta n ie za p ew n io n y warunek d" < d ( x ) d la pew n ych x , c zy li g d y regu la- ry za cja zapćisów n ie b ę d z ie d o sta te c zn ie siln a, to p rzyjęcie restrykcji p rzez p o d sta w ie n ie m in im a ln eg o p o z io m u zap asów końcow ych m o że sp ow od ow ać su b o p ty m a ln o ść ro zw ią za n ia . D la za g w a ra n to w a n ia zach ow an ia p rzynajm niej je d n e g o z rozw iązań o p ty m a ln y c h n a le ż y p r zy k ła d o w o zrezygn ow ać z restrykcji sta n u zapasów k oń cow ych d la w yrob ów n ie b ę d ą c y c h w yro b a m i fin aln ym i.
L IT E R A T U R A
1. A fen ta k is P ., G avish B ., Karmarkar U .: C o m p u ta tio n a lly E fficien t O p tim a l S o lu tio n s to th e L o t-S izin g P rob lem in M u lti-S ta g e A ssem b ly S y s te m s . M a n a g em en t S cien ce, 3 0, 2 2 2 -2 3 9 , 1984.
2. A fen ta k is P., G avish B.: O p tim a l L ot-S izin g A lg o rith m s for C o m p lex P r o d u c t S tr u c tu res. O p era tio n s R esearch, 34, 237-249, 1986.
3. B lack b u rn J. D. and M illen R .A .: Im proved H eu ristics for M u lti-E c h e lo n R eq u ire m e n ts P la n n in g S y s te m s . M an agem en t S c ien ce, vol. 28 (Jan u ary 1982), p p .4 4 -5 6 . 4 . G raves S .C.: M u ltista g e Lot S izin g : An Itera tiv e A p p roach . In M u ltis ta g e P ro d u c
t io n /I n v e n to r y C on trol S y stem s: Theory' and P ra ctice, L .B . Schw arz (e d .), N orth H o lla n d , A m sterd a m , 1981.
5. K arn i R . and R oll Y .: A H eu ristic A lgorith m for th e M u lti-Item Lot S iz in g P ro b lem w ith C a p a city C o n stra in ts. HE T ra n sa ctio n s, v o l.14, N o .4, D e c ., 1982, p p .2 4 9-356.
6. S tein b erg E. and N apier H .A .: O p tim al M ulti-L evel Lot S izin g for R eq u irem en ts P la n n in g S y s te m s . M an agem en t S cien ce , 26, 1258-1271, 1980.
7. T o czy lo w sk i E.: N iek tó re m e to d y stru k tu ra ln e o p ty m a liza cji do stero w a n ia w d y s
k retn ych sy stem a c h w ytw arzan ia, W N T , 19S9 .
8. W agner M .M ., W h itin T .M .: D y n a m ie Version o f th e E co n o m ic L o t-sizin g M o d el.
M a n a g em en t S cien ce, 5 , pp. 8 9 -9 6 , 1958.
R ecen zen t: Prof. dr in ż. H en ryk K ow alow sk i
W p ły n ę ło d o R edak cji do 30.06 .1 9 9 6 r.
Restrykcyjne transform acje zadań harm onogram owania produkcji z ograniczeniam i .. .111
A b str a c t
T h e g en era l lo t-siz e sch ed u lin g problem for m u lti-sta g e s y s te m s in th e p r esen ce o f th e general m in im u m and m a x im u m lim ita tio n s on sto ck levels is a n a ly sed . E q u ivalen t r estr ictiv e tra n sfo rm a tio n s, w h ich arc b a sed on m o d ifica tio n s o f sto ck lim ita tio n s , are p resen ted .
It w a s sh o w n , t h a t , un der r ela tiv ely w eak a ssu m p tio n s, th e p rob lem can b e tran sform ed in to an eq u iv a len t r estr ictiv e o p tim iza tio n problem w ith th e red u ced in v en to ry lev els. T h e su fficien t co n d itio n s for su ch tra n sform ation , w hich are ba sed on reg u la riza tio n o f th e m in im u m and m a x im u m sto ck lev els, are given and proved.
