ANALIZA MOBILNOŚCI ROBOTA TRZYKOŁOWEGO NA BAZIE JEGO MODELU

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 44, s. 265-275, Gliwice 2012

ANALIZA MOBILNOŚCI ROBOTA TRZYKOŁOWEGO NA BAZIE JEGO MODELU

MACIEJ TROJNACKI¹,KRZYSZTOF KURC²

1 Przemysłowy Instytut Automatyki i Pomiarów PIAP, e-mail: mtrojnacki@piap.pl

2 Politechnika Rzeszowska, Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa, e-mail: kkurc@prz.edu.pl

Streszczenie. W pracy analizuje się mobilność robota Pioneer 2DX na bazie jego modelu dynamiki. W badaniach wykorzystuje się dwie wersje modelu, tj. model uproszczony i model dokładny. Oba modele uwzględniają warunki współpracy kół jezdnych z podłożem, przy czym model dokładny bierze dodatkowo pod uwagę występowanie poślizgów. Analiza możliwości ruchowych robota jest ograniczona do przypadków jego ruchu z zadaną prędkością po podłożu o różnych przechyleniach/pochyleniach i właściwościach mechanicznych. Wyniki badań są zaprezentowane w postaci zbiorczej oraz w formie wybranych symulacji wykonanych z zastosowaniem pakietu Matlab/Simulink.

1. WSTĘP

O ruchu robota w zróżnicowanym terenie decydują jego możliwości ruchowe, określane mianem mobilności (ang. mobility). Można ją zdefiniować jako zdolność poruszania się robota z zadanymi parametrami ruchu w określonych warunkach środowiskowych, z uwzględnieniem występujących ograniczeń robota [1]. W celu określenia mobilności analizuje się ruch robota po podłożu o różnych właściwościach mechanicznych i nachyleniach oraz zdolność pokonywania przez niego przeszkód terenowych o różnym kształcie i wysokości (np. krawężniki, schody). O możliwościach ruchowych robota w danym terenie decyduje szereg czynników, w tym:

 rodzaj układu ruchu (np. kołowy, gąsienicowy, nożny, hybrydowy, skaczący) i jego geometria,

 charakterystyka efektorów (np. rodzaj ogumienia kół jezdnych robotów kołowych),

 parametry masowe robota,

 ograniczenia wynikające z charakterystyk napędów (np. ich mocy, maksymalnej prędkości obrotowej, maksymalnego momentu napędowego),

 ograniczenia wydajności akumulatorów itd.

Dotychczas bardzo popularnym układem jezdnym przeznaczonym do poruszania się w zróżnicowanym terenie był układ gąsienicowy. Jednakże obserwując rynek robotów mobilnych, można zauważyć, że coraz częściej odchodzi się od robotów gąsienicowych na rzecz robotów kołowych [4]. Można także coraz częściej spotkać przykłady rozwiązań robotów hybrydowych, tj. łączących cechy lokomocji ciągłej i dyskretnej [2].

Analiza mobilności danego robota może być wykonywana w dwóch zasadniczych celach, tj. w celu opracowania i przetestowania konstrukcji mechanicznej i układu sterowania robota.

Na etapie projektowania konstrukcji mechanicznej przeprowadzona analiza mobilności bazująca na modelu dynamiki robota może pozwolić na sprawdzenie spełnienia stawianych wymagań oraz optymalizację konstrukcji. Analiza ta może być wykonana ponownie na prototypie robota w celu zweryfikowania wyników analizy wykonanej dla modelu robota.

W ramach niniejszej pracy analizuje się możliwości ruchowe mobilnego robota trzykołowego, biorąc pod uwagę ograniczenia wynikające z dynamiki robota i rodzaju terenu, po którym się on porusza.

2. MODEL ROBOTA

Do badań symulacyjnych dotyczących mobilności robota wykorzystywane zostaną dwa modele mobilnego robota kołowego Pioneer 2DX, tj. model uproszczony i model dokładny.

Jako model dokładny jest użyty model robota opracowany w ramach publikacji [3]. Model ten został opracowany z użyciem uniwersalnej metodyki modelowania analitycznego dynamiki mobilnych robotów kołowych. Uwzględnia ona m.in. warunki współpracy kół jezdnych z podłożem i występowanie poślizgów.

Z kolei model uproszczony pomija występowanie poślizgów kół jezdnych i jest opisany w niniejszym punkcie pracy. W modelu tym zakłada się, że robot porusza się z zadaną prędkością vR po płaskiej powierzchni. Wielkościami charakteryzującymi współpracę kół jezdnych z podłożem są współczynniki przyczepności µp i oporów toczenia fr. Pomija się wpływ sił aerodynamicznych na ruch robota oraz siły tarcia w parach kinematycznych.

W ramach pracy wyznacza się możliwy zakres pochylenia terenu β (rys. 1a), zakładając wówczas, że przechylenie α jest równe zero. Z kolei wyznaczając możliwy zakres przechylenia terenu α (rys. 1b) zakłada się, że pochylenie β jest równe zero.

Wyznaczając możliwy zakres pochylenia terenu β, analizuje się ruch postępowy korpusu robota. Ruch robota opisuje się w płaszczyźnie Rxz układu związanego z robotem (rys. 1a-b), zakładając, że środek masy leży w tej płaszczyźnie. Początek układu współrzędnych związany z robotem przyjmuje się w punkcie R w połowie odcinka łączącego środki geometryczne przednich kół jezdnych. Środki geometryczne poszczególnych kół jezdnych oznacza się jako Ai (i = 1, 2, 3). Przednie koła robota oznacza się także indeksem f, który dotyczy kół 1 i 2, tj.

odpowiednio lewego i prawego. Samonastawne koło podpierające znajdujące się z tyłu oznacza się indeksem b lub alternatywnie numerem 3.

a) b) c)

Rys. 1. Uproszczony model robota: ruch po pochylonym (a) i przechylonym terenie (b), model koła jezdnego (c) (lf = xCM, lb = l + xCM, h = rf + zCM, l = lf + lb, l1 = A1R = A2R) Zakłada się, że koła jezdne robota toczą się bez poślizgu, dlatego spełnione są następujące zależności:

i i Rx

R v r

v  ^ => ^_iv /_R r_i =>  _i v /_R r_i, (1) z

Ffz

2

Fbz

β

G

CM x A_f

Ab

R

τi

Tiy

Fiz

r Ai Riz

Rix

Fix

Ffx

2

Fbx

θi

z

z

F2

z

F3

α

G

CM y A₂

A1

R

y

F2 F_3y

A₃ F1y

z

F1

gdzie: i – nr koła jezdnego, ri – promień geometryczny tego koła, ^_i i ^_i – odpowiednio:

prędkość i przyspieszenie kątowe obrotu własnego koła.

Dynamiczne równania ruchu robota dla ruchu po pochylonym terenie mają postać:

) sin(

2F F m g 

v

m_R _Rx  _fx  _bx _R , (2)

0 ) cos(

2   

 F F m g 

v

m_R _{Rz fz bz R} , (3)

0 2

) 2

(    



 _{fx bx fz f bz b}

Ry F F h F l F l

I  , (4)

gdzie: m_R, I_Ry – masa całkowita robota i masowy moment bezwładności względem osi równoległej do y i przechodzącej przez środek masy robota, xCM, zCM – współrzędne jego środka masy w układzie związanym z robotem, l = lf + lb – odległość osi przednich kół do środka samonastawnego koła podpierającego mierzona na kierunku osi x układu związanego z robotem, rf – promień geometryczny napędzanych przednich kół jezdnych, lf = xCM, l_b = l + x_CM, h = r_f + z_CM.

Dynamiczne równanie ruchu dla kół jezdnych robota traktowanych jako ciała sztywne może być zapisane jako:

iy i ix i i

iy F r T

I     , (5)

gdzie: Iiy – masowy moment bezwładności koła jezdnego względem jego osi obrotu własnego, τi – moment napędowy (τb = τ3 = 0, bo napędzane są tylko przednie koła robota), Tiy = – Fiz fr

r_i – moment oporu toczenia, f_r – współczynnik oporów toczenia.

W równaniu (4) pominięto momenty oporu toczenia kół jezdnych, gdyż mają one niewielki wpływ na dynamikę robota traktowanego jako całość w stosunku do pozostałych momentów sił.

Rozwiązanie układu równań (1) – (5) jest następujące:





f m gr f c s  r I  I  r r

  _  _       , (6)





fx m g f l c hs ls l m r l f h l I r r

F  _  _  _      , (7)





R

bx m g f l c hs r f h l I r r

F  _  _    , (8)





m

F_fz  _{R b }  _ _{f f} , (9)





m

F_bz  _R ( _{f }  _)_{f f} / , (10) gdzie: s_β = sin(β), c_β = cos(β).

Z kolei do analizy możliwości ruchu robota po przechylonym terenie można zapisać równania:

0 )

3 sin(

1  





v

m _R

i iy

Ry

R  , (11)

0 )

3 cos(

1  





v

m _R

i iz

Rz

R  , (12)

0 )

( ³

1 1 2

1   

 F F l



IRx z z i iy , (13)

które po uwzględnieniu odpowiednich ograniczeń pozwalają na wyznaczenie dopuszczalnego zakresu kąta przechylenia terenu α.

3. ANALIZA MOBILNOŚCI ROBOTA

W niniejszym artykule analiza mobilności robota Pioneer 2DX jest ograniczona do przypadków jego ruchu po podłożu o różnych przechyleniach/pochyleniach i właściwościach.

Biorąc pod uwagę model dynamiki robota oraz jego napędów, można wyznaczyć zakres, w którym robot może się poruszać. Zakłada się, że możliwy jest przejazd robota przez dany

rodzaj terenu, jeżeli może on poruszać się z zadaną prędkością i spełnione są ograniczenia wynikające z dynamiki robota, rodzaju podłoża i jego przechylenia/pochylenia.

Aby był możliwy ruch robota po pochylonym terenie, muszą być spełnione ograniczenia:

0

iz 

F , _pF_iz F_ix _pF_iz, (14) czyli wszystkie koła robota muszą mieć cały czas kontakt z podłożem i wartość składowej wzdłużnej siły reakcji podłoża nie może przekraczać wartości siły tarcia rozwiniętego, przy czym µp oznacza maksymalną wartość współczynnika przyczepności dla pary opona-podłoże (ang. peak value [5]). Współczynnik ten jest także określany mianem współczynnika przyczepności przylgowej, w odróżnieniu od współczynnika przyczepności poślizgowej występującego w przypadku ślizgania opon, który z kolei można przyjąć, że jest równy współczynnikowi tarcia kinetycznego.

Zakłada się, że w przypadku niespełnienia powyższych ograniczeń przejazd robota przez dany rodzaj terenu jest niemożliwy. Zakłada się przy tym, że warunek ruchu robota z zadaną prędkością jest spełniony, jeżeli robot może poruszać się z dokładnością nie gorszą niż 5%, tj.

np. w przypadku ruchu robota po terenie pochylonym w dół w stosunku do kierunku jazdy robot nie może jechać z prędkością większą niż 105% prędkości zadanej.

Współpracę opon robota z poszczególnymi rodzajami terenu charakteryzują współczynniki przyczepności i oporów toczenia. Przyjęte do badań rodzaje terenu i wartości współczynników zestawione są w tabeli 1. Wartości tych współczynników bazują na pracy [5]. Z uwagi na to, że w literaturze nie znaleziono wartości współczynnika oporu toczenia dla lodu, w pracy przyjęto jego wartość fr = 0,01.

Tabela 1. Przyjęte w pracy wartości współczynników przyczepności (tarcia) i oporów toczenia dla opony i wybranych rodzajów podłoża [5]

Rodzaj podłoża

Współczynniki przyczepności

przylgowej μp

Współczynnik oporów toczenia fr

asfalt / beton 0,85 0,015

walcowany żwir 0,6 0,02

nieutwardzona droga 0,68 0,05

lód 0,1 0,01

Zakres kątów przechylenia terenu α, przy których dla poszczególnych rodzajów podłoża nie następuje jeszcze boczne zsuwanie się robota w przypadku jego ruchu podłużnego można wyznaczyć z zależności (11) – (13), zakładając stałą prędkość ruchu robota, brak pochylenia terenu (β = 0) oraz maksymalne wartości składowych poprzecznych sił reakcji podłoża. Dla uproszczenia rozważań i ze względu na dostępne w literaturze dane przyjmuje się, że wartość współczynnika tarcia statycznego jest w tym przypadku równa wartości współczynnika przyczepności przylgowej μp.

W tym przypadku bierze się zatem pod uwagę ograniczenie:

iz p iy iz

pF F  F

  

 . (15)

Należy zwrócić uwagę na fakt, że trywialne rozwiązanie:

) arctg(

)

arctg(_p   _p

 (16)

zależy w tym przypadku jedynie od wartości współczynnika µ_p.

Z kolei biorąc pod uwagę możliwość przewrócenia się robota na bok, można wyznaczyć drugi zakres kąta przechylenia terenu α, tj. korzystając z zależności:

0

iz 

F , _pF_iz F_iy _pF_iz. (17)

Zakładając graniczne przypadki, tj., w których F1z = 0 i F3z = 0 (czyli w konsekwencji F1y = 0 i F_3y = 0) oraz F_2z = 0 i F_3z = 0 (stąd F_2y = 0 i F_3y = 0) otrzymuje się:

) / arctg(

) /

arctg(l₁ h   l₁ h

  , (18)

gdzie: l₁ – połowa rozstawu kół jezdnych, tj. odległości środków geometrycznych kół: lewego i prawego (rys. 1b).

Wynika stąd, że w tym przypadku zakres kąta przechylenia terenu zależy jedynie od położenia środka masy robota i rozstawu napędzanych kół jezdnych.

Uzyskany dopuszczalny zakres wartości kąta przechylenia terenu, dla których nie następuje boczne zsuwanie się robota dla poszczególnych rodzajów podłoża w przypadku jego ruchu podłużnego zestawiono w tabeli 2. Natomiast dopuszczalny zakres kąta przechylenia terenu ze względu na możliwość przewrócenia się robota na bok jest w przypadku robota Pioneer 2DX znacznie szerszy ze względu na stosunkowo niskie położenie środka masy robota, czyli dużą wartość l₁/h. Innymi słowy, niezależnie od rodzaju terenu wcześniej nastąpi boczne zsunięcie się robota niż jego przewrócenie na bok.

Tabela 2. Dopuszczalny zakres kąta przechylenia terenu dla wybranych rodzajów podłoża i ruchu podłużnego robota

Rodzaj podłoża Dopuszczalny zakres kąta przechylenia terenu α w [^o] asfalt / beton ( 40,4, +40,4) walcowany żwir ( 31,0, +31,0) nieutwardzona droga ( 34,2, +34,2)

lód ( 5,71, +5,71)

4. BADANIA SYMULACYJNE

W badaniach symulacyjnych, dotyczących robota mobilnego Pioneer 2DX, prezentowanych w niniejszej pracy w celu oszacowania możliwości ruchowych robota po pochylonym terenie analizuje się przypadki, w których:

 korpus robota porusza się ruchem postępowym do przodu z zadaną stałą prędkością,

 robot rozpoczyna ruch, rozpędzając się do zadanej prędkości, porusza się z tą prędkością, a następnie hamuje.

W obu przypadkach wykorzystuje się uproszczony model dynamiki robota oraz model dokładny, tj. uwzględniający występujące poślizgi kół jezdnych.

W badaniach możliwości ruchu robota po pochylonym terenie zakłada się brak przechylenia robota oraz bierze pod uwagę różne rodzaje terenu, po których się on porusza.

Do badań symulacyjnych dla dokładnego modelu dynamiki robota przyjęto wartości parametrów opisane w pracy [3]. Natomiast dla uproszczonego modelu dynamiki opisanego w niniejszej pracy przyjęto następujące parametry:

 wymiary geometryczne: l = 0,217 [m], l1 = 0,163 [m], rf = 0,0825 [m], rb = 0,04 [m],

 masa całkowita robota mR = 9,17 [kg],

 współrzędne środka masy robota: xCM = 0.07 [m], yCM = 0 [m], zCM = 0 [m],

 masowe momenty bezwładności: I_fy = 0,007 [kg m²], I_by = 0,00055 [kg m²].

W badaniach symulacyjnych w pakiecie Matlab/Simulink została użyta stałokrokowa metoda całkowania Rungego-Kutty (ode4) z krokiem Δt = 0.0001 [s].

Zbiorcze wyniki symulacji dla przypadku ruchu robota do przodu ze stałą prędkością po pochylonym terenie z zastosowaniem uproszczonego modelu dynamiki robota pokazano na rys. 2.

Należy zauważyć, że w przypadku symulacji ruchu robota ze stałą prędkością z zastosowaniem modelu uproszczonego otrzymane wyniki nie zależą od wartości tej prędkości.

Wynika to z faktu, że w tym modelu pominięto siły aerodynamiczne, opory ruchu w parach kinematycznych oraz założono stałe wartości współczynników przyczepności i oporów toczenia, tj. niezależne od prędkości. Wartości momentów napędowych i składowych wzdłużnych sił reakcji podłoża dla kół jezdnych pokazano na rys. 2a-d, biorąc pod uwagę ograniczenia wynikające z rodzaju podłoża, po którym porusza się robot. Uzyskane wyniki są ograniczone do przedziału, w którym spełnione są wszystkie ograniczenia dotyczące sił reakcji podłoża.

a) beton / asfalt b) walcowany żwir

c) nieutwardzona droga d) lód

e) f)

Rys. 2. Wyniki symulacji ruchu robota do przodu ze stałą prędkością po pochylonym terenie Na rys. 2e zilustrowano wartości składowych wzdłużnych sił reakcji podłoża Ffx dla poszczególnych rodzajów terenu wraz z ich wartościami granicznymi, tj. Ffxmin = µp Ffz oraz F_fxmax = µ_p F_fz. Otrzymane w wyniku symulacji wartości składowych normalnych sił reakcji podłoża (rys. 2f) nie zależą od rodzaju terenu, po którym porusza się robot. Z otrzymanego rozwiązania na Ffz i Fbz wynika, że ze względu na ograniczenie Fiz ≥ 0 zakres kąta pochylenia terenu β w przypadku ruchu robota ze stałą prędkością wynosi:

7 , 60 ) / arctg( 



 l_b h

 [^o],  arctg(l_f /h)40,3 [^o]. (19) W wyniku symulacji zauważono, że możliwy zakres kąta pochylenia terenu, w którym możliwy jest ruch robota, jest najbardziej zawężony ze względu na minimalną wartość składowej wzdłużnej siły reakcji dla przednich kół jezdnych. Zakres ten może być wyznaczony na podstawie dynamicznych równań ruchu oraz ograniczeń µp Ffz ≤ Ffx ≤ µp

F_fz. Rozwiązanie ogólne jest w tym przypadku złożone. Rozwiązanie szczególne można uzyskać w prosty sposób dla znanych wartości współczynników przyczepności μ_p i oporów toczenia fr oraz parametrów określających położenie środka masy robota, tj. lf, lb i h (rys. 1a).

 [^o]

f [Nm]

-30 -15 0 15 30 45

-40 -20 0 20

-2.5 0 Ffx [N] 10 Fbx [N] 2.5

 [^o]

f [Nm]

-30 -15 0 15 30 45

-40 -20 0 20

-2.5 0 Ffx [N] 10 Fbx [N] 2.5

 [^o]

f [Nm]

-30 -15 0 15 30 45

-40 -20 0 20

-2.5 0 Ffx [N] 10 Fbx [N] 2.5

 [^o]

f [Nm]

-5 -2.5 0 2.5 5

-10 -5 0 5 10

-2.5 0 Ffx [N] 10 Fbx [N] 2.5

 [^o]

-30 -15 0 15 30 45

-40 -20 0 20 40 beton / asfalt

walcowany żwir nieutwardzona droga lód

F_fx [N]

 [^o]

-30 -15 0 15 30 45

0 20 40

60 Ffz [N] Fbz [N]

W badaniach analizowany był też możliwy zakres ruchu robota ze względu na ograniczenia napędów, zakładając maksymalną, według producenta, prędkość robota wynoszącą 1,6 [m/s]. W wyniku tych badań okazało się, że zakres ten jest szerszy w stosunku do zakresu wynikającego z ograniczeń siłowych, dlatego w niniejszej pracy zdecydowano się pominąć opis ograniczeń ruchu robota ze względu na napędy.

Gdy bierze się pod uwagę zmienną prędkość ruchu robota, pojawiają się kolejne ograniczenia, które zawężają zakres jego możliwości ruchowych.

Najbardziej krytycznymi przypadkami są rozpędzanie i hamowanie robota, co jest związane z zazwyczaj dużym przyspieszeniem.

W ramach niniejszej pracy wykonano analizę mobilności robota dla przypadku rozpędzania, jazdy ze stałą prędkością i hamowania dla różnych prędkości maksymalnych oraz różnego rodzaju podłoża i jego pochylenia. W tym przypadku do analizy stosowany był uproszczony model dynamiki robota oraz model dokładny opisany w pracy [3]. Dla modelu dokładnego uzyskano, ogólnie rzecz biorąc, węższy zakres możliwego ruchu robota. Należy mieć oczywiście na uwadze, że zakres ten zależy w dużym stopniu od założonej maksymalnej prędkości ruchu.

Wynika on także z przebiegu zmian prędkości kątowych obrotu kół jezdnych, tj. zawęża się on tym bardziej, im większe są przyspieszenia kątowe obrotu tych kół. Na rys. 3 pokazano przebieg zadanej prędkości ruchu robota dla prędkości maksymalnej vRmax = 0,5 [m/s] i wynikający z niego przebieg przyspieszenia.

Rys. 3. Przebieg zadanej prędkości ruchu robota dla vRmax = 0,5 [m/s] (a) oraz wynikający z niego przebieg przyspieszenia (b)

W tabeli 3 pokazano uzyskane w wyniku symulacji zakresy możliwego ruchu dla stałej prędkości ruchu, natomiast w tabeli 4 dla zmiennej prędkości, tj. obejmującej fazy:

rozpędzania, jazdy ze stałą prędkością i hamowania.

Tabela 3. Dopuszczalny zakres kąta pochylenia terenu dla ruchu robota ze stałą prędkością

Rodzaj podłoża

Dopuszczalny zakres kąta pochylenia terenu β w [^o] Model

uproszczony

Model dokładny

vR = 0,5 [m/s] vR = 1,0 [m/s] vR = 1,5 [m/s]

asfalt / beton (–23,3, +40,4) (–21,6, +38,5) (–21,5, +38,0) (–21,0, +31,7) walcowany żwir (–17,9, +27,9) (–16,8, +27,2) (–16,4, +27,0) (–14,0, +25,0) nieutwardzona droga (–19,2, +32,1) (–17,4, +31,0) (–17,2, +30,8) (–15,5, +28,0) lód (–3,54, +4,20) (–1,4, +4,9) (–1,2, +4,8) (–1,1, +4,5)

t [s]

0 1 2 3 4

0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.5 v_R [m/s]

t [s]

0 1 2 3 4

-1 -0.5 0 0.5

1 a_R [m/s]

a) b)

Tabela 4. Dopuszczalny zakres kąta pochylenia terenu dla ruchu robota ze zmienną prędkością

Rodzaj podłoża

Dopuszczalny zakres kąta pochylenia terenu β w [^o] Model

uproszczony

Model dokładny

Model uproszczony

Model dokładny v_Rmax = 0,5 [m/s],

aRmax = 0,75 [m/s²]

v_Rmax = 1,0 [m/s], aRmax = 1,5 [m/s²] asfalt / beton (–19, +36) (–16, +27) (–15, +32) (–14, +26) walcowany żwir (–13, +23) (–10, +17) (–9, +19) (–7, +16) nieutwardzona droga (–14, +28) (–11, +20) (–10, +24) (–9, +20)

lód – – – –

W symulacjach ruchu robota ze zmienną prędkością zadanymi parametrami ruchu były parametry kątowe obrotu własnego kół jezdnych. W przypadku dokładnego modelu dynamiki robota w związku z występowaniem poślizgów kół jezdnych, przede wszystkim w początkowej i końcowej fazie ruchu, prędkość korpusu robota była nieco niższa w przypadku wjazdu robota na wzniesienie, a wyższa w przypadku zjazdu ze wzniesienia.

Analizując wyniki symulacji zaprezentowane w tabelach 3 i 4, można zauważyć, że największe zakresy kąta pochylenia terenu β występują w przypadku ruchu robota ze stałą prędkością. W przypadku rozpędzania robota do prędkości vRmax = 0,5 [m/s] i hamowania zakresy te, tak jak należało się spodziewać, są węższe w porównaniu z ruchem robota ze stałą prędkością.

Porównując uzyskane w tym przypadku wyniki symulacji dla uproszczonego i dokładnego modelu dynamiki robota, można zauważyć, że, ogólnie rzecz biorąc, szersze zakresy kąta β uzyskano dla modelu uproszczonego. W przypadku ruchu robota po lodzie, dla założonego przebiegu prędkości okazało się, że nie jest możliwy jego ruch, co wynika z przyjętych założeń modelu, że składowe wzdłużne sił reakcji podłoża nie mogą przekroczyć wartości tarcia rozwiniętego. Z kolei biorąc pod uwagę model dokładny, okazuje się, że możliwy jest ruch robota w ograniczonym zakresie kąta β, przy czym z uwagi na występujące duże wartości poślizgu rzeczywista prędkość ruchu robota istotnie różni się od założonej, tj. występują błędy większe niż 5%.

Na rysunkach 4 i 5 pokazano wybrane wyniki symulacji uzyskane dla modelu uproszczonego, zakładając ruch robota po podłożu betonowym o kącie pochylenia β = 15 [^o] z maksymalną prędkością wynoszącą odpowiednio vRmax = 0,5 [m/s] oraz vRmax = 1,0 [m/s].

Rys. 4. Wyniki symulacji ruchu robota ze zmienną prędkością po podłożu betonowym, v_Rmax = 0,5 [m/s], β = 15 [^o] – model uproszczony

Rys. 5. Wyniki symulacji ruchu robota ze zmienną prędkością po podłożu betonowym, vRmax = 1,0 [m/s], β = 15 [^o] – model uproszczony

t [s]

0 1 2 3 4

0 0.4 0.8 1.2 1.6

2 f [Nm]

t [s]

0 1 2 3 4

-20 0 20

40 Ffx [N] _pFfz [N] Ffz [N]

t [s]

0 1 2 3 4

0 0.4 0.8 1.2 1.6

2 f [Nm]

t [s]

0 1 2 3 4

-20 0 20

40 Ffx [N] _pFfz [N] Ffz [N]

a) b)

a) b)

Analizując zaprezentowane wyniki symulacji dla modelu uproszczonego (rys. 4-5), można zauważyć, że w przypadku zadanej większej prędkości ruchu występują większe maksymalne wartości momentów napędowych, co jest związane z większymi maksymalnymi wartościami przyspieszeń podczas rozpędzania i hamowania. W przypadku ruchu robota po podłożu betonowym o kącie pochylenia β = 15 [^o] składowa wzdłużna siły reakcji podłoża dla przednich kół jezdnych (rys. 5b) osiąga wartość maksymalną, tj. odpowiadająca tarciu rozwiniętemu (Ffx = μp Ffz). Przypadek ten jest zatem graniczny.

Na rysunkach 6 i 7 pokazano z kolei wyniki analogicznych symulacji dla modelu dokładnego. Dla prędkości maksymalnej vRmax = 0,5 [m/s] uzyskano zbliżone wyniki symulacji w stosunku do modelu uproszczonego (por. rys. 4 i 6). Istotną różnicą jest to, że w początkowej fazie ruchu robota, wskutek występujących poślizgów kół jezdnych, występują chwilowo duże wartości składowej wzdłużnej siły reakcji podłoża dla przednich kół jezdnych oraz duże wartości momentów napędowych.

Większe różnice w wynikach symulacji dla modelu dokładnego w stosunku do modelu uproszczonego występują przy większej maksymalnej prędkości ruchu robota, wynoszącej np.

vRmax = 1 [m/s], co wynika m.in. z większych wartości przyspieszeń. W tym przypadku większą rolę odgrywają więc poślizgi kół jezdnych. Analizując wyniki takiej symulacji (rys. 7), można zauważyć, że zadany ruch robota nie może być zrealizowany z wymaganą dokładnością.

Ze względu na występujące poślizgi kół jezdnych robot nie może rozpędzać się z założonym przyspieszeniem. W związku z tym w początkowej fazie ruchu robota jego prędkość jest mniejsza od zadanej, przy czym błąd tej prędkości jest większy niż zakładane 5% (rys. 7c).

W trakcie rozpędzania robota składowa wzdłużna siły reakcji podłoża osiąga wartość maksymalną odpowiadającą wartości siły tarcia rozwiniętego (rys. 7b). Z tego faktu wynika z kolei ograniczenie momentu napędowego, które powinno być wprowadzone przez sterownik robota w trakcie rozpędzania (rys. 7a). W przypadku modelu uproszczonego, pomijającego występowanie poślizgu kół jezdnych, przebieg momentu napędowego jest bardziej regularny i wynika bezpośrednio z zadanego przyspieszenia (rys. 5a).

Rys. 6. Wyniki symulacji ruchu robota ze zmienną prędkością po podłożu betonowym, v_Rmax = 0,5 [m/s], β = 15 [^o] – model dokładny

t [s]

0 1 2 3 4

0 0.4 0.8 1.2 1.6

2 f [Nm]

t [s]

0 1 2 3 4

-20 0 20

40 Ffx [N] _pFfz [N] Ffz [N]

a) b)

Rys. 7. Wyniki symulacji ruchu robota ze zmienną prędkością po podłożu betonowym, vRmax = 1,0 [m/s], β = 15 [^o] – model dokładny

5. PODSUMOWANIE

W ramach pracy zaprezentowano wyniki analizy mobilności robota dla różnego rodzaju terenu, badając przede wszystkim wpływ jego różnego pochylenia. Przeanalizowano także dopuszczalny zakres kąta przechylenia terenu. W badaniach skupiono się na przypadku ruchu podłużnego robota po równym podłożu o różnych właściwościach. Zastosowano dokładny model dynamiki robota uwzględniający występowanie poślizgów kół jezdnych oraz model uproszczony zakładający toczenie się kół bez poślizgu.

Z wykonanych badań wynikają następujące główne wnioski:

 Dopuszczalny zakres kąta przechylenia terenu w ruchu podłużnym robota zależy od wartości współczynnika przyczepności pomiędzy oponami robota, a podłożem oraz od położenia środka masy robota.

 Dopuszczalny zakres kąta pochylenia terenu zależy od przebiegu zadanej prędkości ruchu robota, tzn. przede wszystkim od maksymalnych wartości prędkości i przyspieszenia, od położenia środka masy robota oraz współczynników przyczepności i oporów toczenia.

 Zakres ten jest ograniczony przede wszystkim ze względu na siły tarcia występujące na styku opon robota z podłożem.

 Jest on najszerszy dla przypadku ruchu robota ze stałą prędkością, co jest związane z brakiem przyspieszeń.

 Zastosowane napędy robota nie wprowadzają ograniczeń na jego ruch w analizowanym zakresie kątów pochylenia terenu.

 Składowe normalne sił reakcji podłoża dla ruchu podłużnego robota ze stałą prędkością nie zależą od rodzaju podłoża, po którym się on porusza.

 W przypadku dokładnego modelu dynamiki robota, wskutek występujących poślizgów kół jezdnych, prędkość ruchu korpusu robota różni się od wartości wynikającej z zadanej prędkości kątowej obrotu własnego napędzanych kół jezdnych.

 Z tego względu opisany w pracy uproszczony model dynamiki robota może być stosowany do analizy mobilności w zakresie niewielkich prędkości i przyspieszeń, których wartości zależą od rozpatrywanego robota.

t [s]

0 1 2 3 4

0 0.4 0.8 1.2 1.6

2 f [Nm]

t [s]

0 1 2 3 4

-20 0 20

40 Ffx [N] _pFfz [N] Ffz [N]

t [s]

0 1 2 3 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

v_R [m/s] v_Rd [m/s]

a)

c)

b)

LITERATURA

1. Sandin P.: Robot Mechanisms and Mechanical Devices Illustrated. New York: McGraw- Hill 2003.

2. Trojnacki M.: Modelling the motion of the mobile hybrid robot. "International Journal of Applied Mechanics and Engineering" 2010, 15(3), p. 885-893.

3. Trojnacki M.: Modelowanie i symulacja ruchu mobilnego robota trzykołowego z napędem na przednie koła z uwzględnieniem poślizgu kół jezdnych. "Modelowanie Inżynierskie"

2011, nr 41, t. 10, s. 411-420.

4. Trojnacki M., Szynkarczyk P., Andrzejuk A.: Tendencje rozwoju mobilnych robotów lądowych (1). Przegląd robotów mobilnych do zastosowań specjalnych. "Pomiary Automatyka Robotyka" 2008, 6, s. 11-14.

5. Wong J.Y.: Theory of Ground Vehicles. 3rd ed. New York: John Wiley&Sons, 2001.

MOBILITY ANALYSIS OF A THREE-WHEELED MOBILE ROBOT BASED ON ITS MODEL

Summary. In this paper the mobility of a three-wheeled mobile robot is analyzed based on its model. Two versions of the robot’s model are used in the research, i.e., the simplified one and the accurate one. Both models consider wheel-ground contact conditions. The accurate model of the robot takes additionally into account wheels’ slip. The analysis of the robot's mobility is limited to the cases of its motion with the desired velocity on the ground with various slopes and mechanical properties. The results of research are presented in aggregate form and in the form of selected simulations performed using Matlab/Simulink package.