Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L IT E C H N IK I ŚLĄ SK IEJ 1994
Seria: M E C H A N IK A z. 115 Nr kol. 1230
H enryk K O P E C K I
W ydział Budow y M aszyn i Lotnictw a P olitech n ik a R zeszow ska
P O D O B IE Ń S T W O M O D E L O W E D LA R E O L O G IC Z N Y C H R Ó W N A Ń STA N U
S treszczenie. W pracy rozw aża się zagadnienie podobieństw a m odelow ego dla rów nań konstytutywnych odpow iadających nieliniowej lepkosprężystości. W szczególności rozw aża się podobieństw o dla przypadku, gdy właściwości reolgiczne o śro d k a opisuje rów nanie konstytutyw ne sform ułow ane przez Z.Bychaw skiego i A .Foxa. Z w rócono uwagę na podobieństw o opisu właściwości Teologicznych i fotoreologicznych ośrodka.
M O D E L SIM IL A R IT Y F O R R H E O L O G IC A L C O N S T IT U T IV E E Q U A T IO N S
Sum m ary. T h e p roblem o f m odel similarity for constitutive eq u atio n s of n o n lin e a r viscoelasticity is considered in th e p ap er. Sim ilarity fo r th e case when Theological p ro p e rtie s o f the m aterials are p re se n te d by eq u atio n given bv Z.Bychaw ski and A .Fox is considered in particular. T h e re is payed atten tio n t o
sim ilarity in description of Theological an d photo-rheological o f m odel m aterials.
M O D E L L Ä H N L IC H K E IT F Ü R R H E O L O G IS C H E Z U S T A N D S G L E IC H U N G E N
Z usam m enfassung. In d er A rbeit wird das P roblem d e r M odellähniichkeii für die d e r n ich tlin earen V iskoelastizität en tsp rech en d en k o n stitu tiren G leichungen e rö rte t. Im b eso n d eren wird die Ä hnlichkeit b etreffs des Falls, w enn die th eo lo g isch en E igenschaften des M edium s durch die von Z.Bychaw ski und A.Fox fo rm u lierte konsttutive G leichung beschriben sind, in B e tra c h t gezogen. M an hat a u f die Ä hnlichkeit d e r B eschreibung d er Theologischen und photorheoiogischen E ig en sch aften aufm erksam gem acht.
R ozległość zastosow ań ustrojów nośnych we w spółczesnej technice ukonstytuow ała obszary, w których uw zględnianie odkształceń opóźnionych, będących następstw em Teologicznych właściwości m ateriału, staje się nieodzow ne. R eologiczne właściwości ośrodka, w szczególności narażonego na działanie podw yższonej tem p eratu ry , mogą doprow adzić do zaistnienia znacznych, rozwijających się w czasie deform acji konstrukcji.
T ego rod zaju stany zaaw ansow anych odkształceń charakteryzują się z reguły nieliniowością związków fizykalnych dla przyczyny i skutku, a także często nieliniow ością geom etryczną stanu odkształcenia i przem ieszczenia. W odniesieniu do wielu konstrukcji, np. konstrukcji cienkościennych, jed n o cz esn e uw zględnianie obu rodzajów nieliniowości staje się nieodzow nym w arunkiem właściwego opisu procesu deform acji ustrojów nośnych.
Ju ż na e ta p ie teoretycznego form ułow ania problem u napotykam y pew ne trudności, z których najistotniejszą jest w ybór adekw atnego rów ania stanu. W ynika to z faktu, iż większość dośw iadczalnych b ad ań Teologicznych właściwości m ateriału je st wykonywana na p ró b k ach poddaw anych jednoosiow em u rozciąganiu, a w ięc w w arunkach odbiegających istotnie od stanu naprężenia, jak i charakteryzuje konstrukcje rzeczywiste.
W spom niany p roblem nie stanowi ograniczenia b adań m odelow ych w obec faktu, iż m ateriały m odelow e wykazują rów nież cechy reologiczne. W tej sytuacji form ułow anie kryteriów podobieństw a dla zagadnień nieliniowych reologii konstrukcji pow inno być po p rzed zo n e wnikliwą analizą do b o ru adekw atnego rów nania konstytutyw nego.
P ro c e d u rę form ułow ania kryteriów podobieństw a m odelow ego dla zagadnień, w których m a te ria ł konstrukcji w ykazuje właściwości reologiczne, zilustrow ano na przykładzie rów nania konstytutyw nego odpow iadającego teorii nieliniowej lepkosprężystości [1], [2].
T e o ria ta m oże posłużyć do opisu właściwości Teologicznych o bszernej klasy m ateriałów , zarów no m etali, ja k i niem etali. Form ułuje ona praw o konstytutyw ne w postaci nieliniow ego o p e ra to ra całkow ego, otrzym anego w wyniku uogólnienia na zakres nieliniowy zasady superpozycji odkształceń w czasie.
Podstaw ow ym i założeniam i teorii są: izotropow ość, jed n o ro d n o ść i nieściśliwość m ateriału; deform acja natychm iastow a w ogólnym przypadku m a c h a ra k te r nieliniowy.
U ogólniona zasad a superpozycji została ujęta w form ę całki Stjeltjesa, któ ra istnieje przy założeniu ograniczonej w ariacji składowych stanu nap rężen ia, a przy spełnieniu w arunku całkow alności pochodnych tych składowych, staje się o n a całką R iem anna. W wyniku zw iązek między składowym i ten so ra odkształcenia e ^ ft) i składowym i dew iatora na p rę ż e n ia s^ (t) przyjm uje form ę:
P odobieństw o m odelow e dla Teologicznych 175
‘o
(1)
W rów naniu tym Fe oznacza nieliniową funkcję o dpow iadającą deform acji natychm iastow ej, H - uogólnioną funkcją pełzania, t - czas (chwilę obserw acji), Iq - chwilę początkow ą, r - czas bieżący.
Z godnie z przyjętą teo rią je d n ą z możliwych form rep rezen tacji uogólnionej funkcji pełzania je s t zw iązek:
gdzie C(C-t) je s t współczynnikiem pełzania, a Fc[ a e (T)] - w spółczynnikiem zwiększającym.
W szczególnym przypadku, gdy współczynnik pełzania C(t- t) je s t liniową funkcją czasu, wówczas
cc uw zględnione w rów naniu ( 1) prow adzi do następującej postaci rów nania konstytutyw nego:
gdzie przyjęto, że Iq=0, a więc stan początkowy dla procesu p ełza n ia zadany jest stanem natychm iastow ym .
F unkcje Fc i Fe uzależnione od aktualnego stanu nap rężen ia przyjm ujem y w postaci d w uparam etrow ych związków potęgowych:
(2)
( 3 )
( 4 )
0
( 5 )
gdzie A i B są stałym i materiałow ym i, a m i n - liczbami charakteryzującym i stopień nieliniowości. Zw iązki te uwzględnimy w rów naniu konstytutywnym (4), otrzym ując:
R ów nanie (6 ) je st identyczne z praw em pełzania m etali podanym przez O dqvista w pracy [3].
R ozw ażm y inny p rzypadek szczególny, gdy współczynnik pełzania C( I -t) m a c h arak ter wykładniczy, tj. gdy
C{t - t) = C0e"r('"tl (7)
gdzie C i y są stałym i m ateriałow ym i. W ówczas rów nanie konstytutyw ne (1) przyjm uje form ę:
c r -'{ t)+ ^ -B C 0r \ . (8 )
2 2 o*
Sform ułujem y kryteria podobieństw a dla rów nań (6) i (8). W tym celu w prow adzam y następ u jące skale podobieństw a:
. E K ~ n L K = £
B m K" rrr ' f a
C p t p v 6r ,q ,
K = ~ S — K = — K = ---- K = --- •
K* r - ' r ‘ r L e m
o
Indeksy p odn o szą się do m ateriału konstrukcji rzeczywistej (p ro to ty p u ), a m - do m ateriału m odelu.
P odstaw iając do rów nania konstytutyw nego (6) i ( 8) wielkości zao p atrzo n e indeksam i odpow iednio p i m , otrzym ujem y dwa fom alnie identyczne rów nania odnoszące się do m ateriału konstrukcji rzeczywistej i m odelowej. Z kolei, elim inując z jed n eg o z rów nań (np. z rów nania dla m ateriału konstrukcji) wielkości oznakow ane indeksem p (na podstaw ie przyjętych skal podobieństw a), otrzym ujem y zw iązek, który zachow uje identyczność z rów naniem (8), jeśli spełnione są następujące relacje pom iędzy skalam i podobieństw a:
- dla rów nania (8 )
k e = k a < K , = l K e = K B K ™ K Co Km = 1 (10)
K r k, = 1 JCr k, = 1 s tą d K, = K X , (1 1 )
P odobieństw o m odelow e dla Teologicznych 177
- dla rów nania ( 6 )
(12)
R ozw iązane przykładow o szczególne przypadki ilustrują p ro ced u rę identyfikacji kryteriów podobieństw a dla Teologicznych rów nań stanu. M nogość tworzyw konstrukcyjnych - a co zatym idzie - rożnorodność możliwości form alnego ujęcia Teologicznych właściwości wymaga każdorazow o uściślania postaci funkcji pełzania.
O ddzielnym p roblem em związanym z badaniam i modelowym i ustrojów nośnych z m ateriałów uw ydatniających właściwości reologiczne je st stosow anie m etod polaryzacyjno-optycznych do w yznaczania rozkładów n ap rężeń i ich zm ian w czasie.
W ykonyw anie tego rodzaju b adań wymaga znajom ości praw a konstytutyw nego, opisującego fotoreologiczne właściwości m ateriału m odelowego.
Podstaw y teo rety czn e form ułow ania tego rodzaju praw zostały zap o czątkow ane w roku 1949 przez M indlina w pracy [4]. Z asadniczą ideą przedstaw ioną w e w spom nianej pracy je st ko n cep cja uzależnienia stałych elastooptycznych - naprężeniow ej i odkształceniow ej - jak o wielkości zależnych od czasu. W roku 1950 R e a d opublikow ał bardziej ogólną teo rię fotolepkosprężystości ośrodka ściśliwego [5], a w roku 1964 W illiams i A renz podali wyniki obszernych b ad ań i analiz dotyczących m ateriałów fotolepkosprężystych [6j. N a p odstaw ie otrzym anych wyników wyrazili opinię, iż do inżynierskich zastosow ań zw iązek m iędzy dw ójłom nością wymuszoną i właściwościami lepkosprężystym i m ateriału m oże być przyjm ow any jak o liniowy. M atem atycznym wyrazem takiego ujęcia problem u m oże być rów nanie p o d an e przez Dilla w pracy [7]
ujm ujące różnice odkształceń głównych e j( t) - £2(1) w zależności od param etrów optycznych. Z w raca uwagę fakt, iż odkształceniow a "stała" elastooptyczna C jest rów nież funkcją czasu. T ę zależność funkcyjną m ożna uściślić na podstaw ie próby pełzania m ateriału z jednoczesnym pom iarem zm ian rzędu izochromy w czasie.
Ł atw o zauw ażyć, że w przypadku szczególnym, gdy pom ijam y zm iany w czasie wielkości w ystępujących w rów naniu (13), otrzym am y podstaw ow e rów nanie elastooptykt
e 1(0 - e ł (/) = M 0)C W + j ę ( * - T ) ^ r f t . (13)
£, - £, = C N v (14)
D o rozw oju fotolepkosprężystości istotny w kład wniosły rów nież p ra c e T h eo carisa [8], [9] o raz P indery [10], [11].
B ad an ia m odelow e ustrojów nośnych z m ateriałów lepkosprężystych o p a rte na m eto d ach polaryzacyjno-optycznych nie należą do rozpow szechnionych. P rzeprow adzanie tego rodzaju b a d a ń w ymaga z jed n ej strony odpow iedniej bazy dośw iadczalnej do określania charakterystyk Teologicznych m ateriału m odelow ego z jednoczesnym o kreśleniem funkcjonalnej zależności, ujm ującej efekty optyczne w czasie; p o n ad to pew ne ograniczenie szerszego rozw oju b ad ań m oże stanow ić stosunkow o duży ro zrzu t właściwości fizycznych (głów nie Teologicznych) m ateriałów modelowych, w tym rów nież optycznie czynnych. Z drugiej strony odpow iedź na pytanie, w jaki sposób zachow a się konstrukcja nie tylko w sensie c h arak teru deform acji w czasie, lecz rów nież redystrybucji nap rężeń , (k tó re to inform acje jesteśm y w stanie uzyskać w nieporów nyw alnie krótszym czasie w stosunku do ek sp ery m en tu przeprow adzanego z obiektem rzeczywistym ), przem aw ia za d o sk o n alen iem m etodyki b ad ań modelowych ustrojów nośnych z m ateriałów o w łaściw ościach Teologicznych, jed n ak ż e za cenę w szechstronnych b ad a ń m ateriałow ych.
LITER A TU R A
[1] Bychawski Z. Fox A.: Som e fundam ental concepts o f th e theory o f n onlinear viscoelasticity. A rch. M ech. Stos., 6, 18, 1966.
[2] Bychawski Z. Fox A.: T heory o f nonlinear viscoelasticit behavior. A rch. M ech. Stos., 4, 19, 1967.
[3] O dqvist F .K .G . H u lt J.: K riechfestigkeit m etallischer W erkstoffe. Springer, Berlin 1962.
[4] M indlin R .D .: M athem atical theory of photo-viscoelasticity. J. A ppl. Phys., 20, 1949.
[5] R e a d W .T.: Stress analysis for com pressible viscoelastic m aterials. J. A ppl. Phys., 21, 7, 1960.
[61 W iliam s M .L. A ren z R .J.: T h e engineering analysis o f linear viscoelastic m aterials.
Exp. M ech. 4, 9, 1964.
[7] Dill E .H .: O n the theory o f photo-viscoelasticity. Univ. o f W ashington, D ept. A eron.
an d A stron., R e p . 63, 1, 1963.
[8] T h eo caris P.S.: E xperim ental solution o f elastic - plastic p lan e stress problem s. J.
A ppl. M ech. 12, 1962.
[9] T h eo caris P.S. M ylonas D.: Viscoelastic effect in b riefrin g en te coatings. J. A ppl.
M ech., 28 T ran s A sm e, 83, 1961.
P o dobieństw o m odelow e dla Teologicznych 179
[10] P in d e ra J.T.: R em ark on p ro p erties o f a photoviscoelastic m aterials. Exp. M ech., 6,
[11] P in d e ra J.T.: R eolgiczne własności m ateriałów modelowych. W N T, W arszaw a 1962.
[12] K opecki H .: Problem y analizy stanów nap rężen ia ustrojów nośnych w św ietle b adań ek sperym entalnych m etodam i m echaniki m odelow ej. Z esz. N auk. Polit. Rzeszow skiej, M ech an ik a z. 26, Rzeszów 1991.
R ecenzent: Prof, dr hab. inż. E ugeniusz Switoński W płynęło do R ed ak cji w grudniu 1993 r.
A b stract
In m any technical p roblem s it is necessary to tak e nonlinearities into co nsideration in o rd e r to p ro p e rly describe stress and strain state. E ven during th e stage o f th e th eo retic p ro b lem fo rm u latio n we en c o u n te r som e difficulties. T he m ost im p o rtan t one is the selection o f an a p p ro p ria te sta te equation. M odel testings could be helpful in it.
In such a case o n e should define a p ro ced u re to form u late criteria o f m odel similarity.
A constitutive e q u a tio n referrin g to no n lin ear theory o f viscoelastic state is p re se n te d in the w ork as an exam ple o f such a p ro ced u re. T h e p ro c e d u re fo rm u lates constitutive law in form o f n o n lin e a r integral o p e ra to r being a result o f a n o n lin ear gen eralizatio n o f the su p erp o sitio n principle fo r strains. T h e basic assum ption o f th e theory are: isotropy, hom ogeneity, incom pressibility o f th e m aterial. In stan tan e o u s d efo rm atio n has in g eneral case n o n lin e a r c h aracter. T h e g en eralized principle o f su p erp o sitio n is show n in form of Stjeltjes integral, w hich exists u n d e r assum ption o f lim ited v ariations o f stress state co m p o n en ts. If derivatives o f th e se co m ponents are integrable, th en th e integral becom es R iem an n integral. T h e p re se n te d p ro ced u re Of m odel similarity criteria form u latio n could be used in exp erim en ts taking ad v an tag e o f polarization. In such a case constitutive law describing p h o to rh eo lo g ic p ro p e rtie s o f th e m odel m aterial m ust b e know n. T h eo retical basics o f fo rm u latio n o f such laws, conceived by M indlinam an d g en eralized by R ead , W illiams an d A reu z, assum e lin ear relationship betw een te m p o rary double refractio n and viscoelastic p ro p e rtie s o f th e m aterial. Such research es are also co n d u cte d a t R zeszów T echnical U niversity, lead by th e au th o r.
