Model wirnika jako obiekt sterowania

SYMPOZJOM "MODELOWANIE W MECHANICE"

POLSKIE TOWARZYSTWO MECHANIKI TEORETYCZNEJ I STOSOWANEJ Beskid Śląski. 1090

Zdzisław Gosiewski Wydział Mechaniczny

Wyższa Szkoła Inżynierska w Koszalinie

MODEL WIRNIKA JA KO OBIEKT STEROWANIA

Str e sz czenle. W referacie przedstawiono metodę redukcji modelu wirnika giętkiego pod kątem potrzeb sterowania.

Korzystając z metody perturbacji ogólny model wirnika przekształcono do postaci quasi-modaln e j . Postacie drgań podzielono na postacie sterowane i niesterowane. Wprowadzając mały parametr dokonano redukcji modelu.

1. Wstęp

Rozwój konstrucji łożysk elektromagnetycznych [1] oraz automatyki cyfrowej [2 ] umożliwia sterowanie nawet tak szybkimi procesami, jakimi są drgania wirników giętkich. Ze względu na szybkość tych procesów konieczne jest maksymalne skrócenie czasu obliczania prawa sterowania przez regulator cyfrowy. Jedną z dróg prowadzących do tego celu jest redukcja modelu wirnika. W pracach [3.4,51 przedstawiono metodę redukcji modelu ciągłego i zaprojektowano sterowanie dla przypadku, gdy postacie drgań są całkowicie r o z s p rz ę ga ln e. Obecnie dokona się takiej redukcji dla ogólnego dyskretnego modelu wirnika.

2 . Ouasi-modalny model wirnika

Zgodnie z rozważaniami przeprowadzonymi w [6,7] ogólny model liniowy wirnika ma postać:

Msq0 + (DS + » S S )40 + <KS + K s s )qo - Fqw + B qu, (1)

102 Z. Gosiewski

gdzie M s , D s , K s są symetrycznymi macierzami odpowiednio: masową, tłumienia i sprężystości. D ss jest macierzą skośnie symetryczną, tzw. “giro sk o po wą ". a K ss jest macierzą skośnie symetryczną, niezachowawczą. tzw. "obiegową" (circulatory [81). gdyż jest związana z s n a m i prostopadłymi do kierunku ugięcia wału wirnika.

Wszystkie wyżej wymienione macierze mają wymiar [LxL). Wektory q Q , w, u są odpowiednio w e k t o r a m i :współrzędnych uogólnionych, wymuszeń i sterowań. jest macierzą wymuszeń, a jest macierzą sterowań.

Rozwiązanie problemu własnego, układu (ł) jest kłopotliwe, ponieważ macierz układu jest niesymetryczna. Dlatego do rozwiązania problemu własnego układu (1 ) stosuje się często metodę perturbacji [8,91. W metodzie tej, w pierwszym przybliżeniu rozwiązuje się problem własny układu gi ro s ko po we g o:

M sq0 + D SSq 0 + K sq c = 0 . (2 )

a następnie rekurencyjnie rozwiązuje się problem w łasny pełnego modelu (1 ).

Jeżeli macierze M s . D s s , K s są macierzami dodatnio określonymi, to wartości własne układu (2 ) są czysto urojone, parami sprzężone:

ki - iuij, a prawostronne i lewostronne wektory własne są zespolone, parami sprzężone i są sobie równe [9,10]. Dlatego rozwiązanie problemu własnego takiego zachowawczego układu giroskopowego sprowadza się do rozwiązania równania:

(Ks -u?Ms +uiDs s )Ui: - O. (3)

Wprowadzając część rzeczywistą i część urojoną wektora własnego llj

» U ? + iU* możemy uniknąć rozwiązywania problemu własnego w dziedzinie liczb zespolonych i zastąpić równaniem problemu własnego z rzeczywistą macierzą symetryczną:

Ze względu na symetrię macierzy rozwiązanie powyższego problemu jest stosunkowo proste nawet dla układów o dużej wartości wymiaru L.

Naprężenia wstępne, siły odśrodkowe nieskompensowane przez siły sprężystości lub inne tego typu obciążenia mogą prowadzić czasami do sytuacji, kiedy macierz K s jest ujemnie określona. Wówczas obok wartości własnych czysto urojonych mogą pojawić się rzeczywiste wartości własne. W tym przypadku nie można posługiwać się równaniem

(4), lecz można zastosować do rozwiązania problemu własnego metodę przedstawioną w [9].

D o d a n ie s t r o n a m i w y ra ż e ń s k a l a r n y c h :

U*(\2M S + \ jD ss + K 3 )Uj - 0, -U*(k?M3 + k^D33 + K s )Uj - 0.

daje analog dobrze znanej zasady biortogonalności:

U*U>.? + (Xj - kjJ D3 3 ]!^ = 0, dla i* j . (5 )

*

gdzie Uj jest w ektorem transponowanym i sprzężonym do wektora H . Dodanie stronami innych wyrażeń skalarnych:

U*(MS + D ss/Xj + K s /k?)Uj -

0

-U*(MS + 0SS/Xi + K s/k?)Uj - 0

daje inną postać zasady bi ortogonalności:

U*[ ( l A j - l / k j J D33 + ( l / X ^ - l / x f ) K s ]U - = 0 dla i* j. (6)

Korzystając ze związków (5) i (6) znormalizujemy wektory w ł a s n e :

U* [M3 + D ss/(>.j+ X i)]H:j - 'Sjj. (7a)

+ K S ]«j - (Tb)

gdzie £ ^ j jest deltą KroneckerO..: Ze znormalizowanych wektorów własnych ir konstruujemy macierz modalną U.

Dokonując następującej transformacji współrzędnych q « Up w równaniach (1 ) oraz mnożąc te równania lewostronnie przez macierz

*

U , która jest transponowana i sprzężona wzgledem macierzy U, otrzymamy następujące równanie ruchu układu:

p +Dfp + K ? sp + Lp - r,» + B,u. (

8

g d z i e : D3 - U*DSU, K3s = U*KSSU, L = d i a g [ - X ? J . r , - u *r q - B * “ q

Dla przypadku gdy X i- ioi oraz mac ie r ze i 'o3 są blokowo—diagonalne, to (8 ) jest macierzową postacią układu równań z

(31, który przedstawia postacie całkowicie rozsprzężone. Obecnie osłabimy to ostatnie założenie przyjmując, że macierze » ? . i K? 3 nie są diagonalne. Równania (8 ) przepiszemy w postaci:

p + Dp + Kp “ Bu + Fw, (9)

104 Z. Gosiewski

gdzie: D-D?. K-KfS + L , B-B,. r-F,. Macierze D i • K nie są teraz macierzami blokowo-diagonalnymi, chociaż równania ruchu są quasi-modalne, gdyż dominujący udział w każdym z równań ma jedna postać d r g a ń .

3. Redukcja modelu wirnika

Zwykle p pierwszych postaci drgań decyduje o stabilności i poziomie amplitud drgań wirnka. Tymi postaciami będziemy sterować.

Pozostałe f-L-p są postaciami nieste r ow an ym i . Częstość własna u k -wp p , związana z najwyższą z postaci sterowanych, będzie mniejsza od częstości własnych związanych z postaciami niesterowanymi. Wprowadzimy ma ł y parametr T k"^ p p ^ f k ' Można zauważyć, że im wyższa postać drgań ( tym mniejszą wartość ma parametr T k związany z tą postacią. Uwzględniając podział na postacie sterowane i niesterowane równanie ruchu zapiszemy w następującym kształcie:

p p + ® l|D2 P P + k i!k2/ t 2 p P B dP U + r dp f t . »3 D 4 f t . K3 iK4A 2

P f. _B df. r df.

(

)

Wprowadzając wektory współrzędnych iT,T

stanu y s -[yT fT,T

i wektor opiszemy X - I p ^ . p L T X f- [ ( l / T2 )p|.(l/T)p^)

ruchu i równanie pomiaru we współrzędnych przestrzeni stanu:

w y j ś ć : równania

gdzie.-

‘p “ A 1X P + A2x f + B PU + F p"' cxf - A

3

4

rs - C PX P + T C fx f'

(lla) (1 lb) (lic)

0 I n 0 0 o O

0 I f

a<

,-K i ■’“ i.

A2"

- K2 :- ^d 2 A 3 “

_k3: d3

A 4 “

-K4 |-tD4

a konstrukcja pozostałych macierzy i równania pomiaru podana jest w pracach [3,7].

Dla bardzo małego r z równania (llb) otrzymamy:

x f - -A41*(A3x p + B fu + r fw). (1 2)

P o d s ta w im y p o w y ż sz e w y r a ż e n i e d o r ó w n a n ia ( l l a ) . P o m i ja j ą c w r ó w n a n iu ¿ l i c ) c z ł o n z m ałym . p a r a m e tr e m o trzy m am y ró w n a n ia z re d u k o w a n e g o m o d e lu o b i e k t u :

U 3 a ) (13b)

g d z i e : Ap -A1 -A 2A - 1A3 B ^ - B p - A ^ B j . r p o - r p -A 2A "1r f . A x + B u + F h

P P PO po C r>X n'P P

P r z e d s t a w i o n e w p r a c a c h [ 3 , 4 , 5 ] m eto d y k o n s t r u o w a n i a u k ła d u s t e r o w a n i a , d l a z r e d u k o w a n e g o m o d e lu o b i e k t u z c a ł k o w i c i e r o z s p r z ę z o n y m i p o s t a c i a m i d r g a ń , m ożna z równym s k u tk ie m z a s to s o w a ć d l a z re d u k o w a n e g o m o d e lu o b i e k t u ( 1 3 ) , w k tó r y m n i e ma c a ł k o w i t e g o r o z s p r z ę ż e n i a p o s t a c i . Tym samym o p i s a n e w w y ż e j p o d a n y c h p r a c a c h m e to d y mogą b y ć w y k o r z y s t a n e w u k ł a d a c h a k ty w n e g o s t e r o w a n i a d r g a n ia m i d o w o ln e g o w i r n i k a , k t ó r e g o d y n a m ik a d a j e s i ę o p i s a ć m odelem lin io w y m .

LITERATURA

[ i i M a g n e tic B e a r i n g . . E d. G . S c h w e i t z e r . S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n

1 9 8 8 . • . I,

T2] O r ło w s k i H . : K om puterow e u k ł a d y a u t o m a t y k i . WNT, W arszaw a 198 7 . [3] G o s ie w s k i Z . : ' R o t o r V i b r a t i o n C o n t r o l , P a r t I a n d I I . P r o c .

" R o t a t i n g M a c h in e r y D y n a m ic s" o f ' l l t h ASME C o n f . V i b r a t i o n s an d N o i s e , B o s to n 1 9 8 7 .

[4 ] G o s ie w s k i Z . : D i g i t a l C o n t r o l o f R o t o r V i b r a t i o n s . P r o c . 2nd Symp. T r a n s p o r t P h e n o m en a , a n d D y n am ics i n R o t a t i n g M a c h in e ry , H o n o lu lu 1 9 8 8 .

[5] G o s i e w s k i ' Z . : A M eth o d o f R o t o r V i b r a t i o n C o n t r o l v i a M i c r o - P r o c e s s o r . P r o c . " R o t a t i n g M a c h in e r y D y n a m ic s" o f 1 2 th ASME C o n f. V i b r a t i o n s a n d N o i s e , M o n t r e a l 1 9 8 9 .

[6] Adams M .L .: I n s i g h t s i n t o L i n e a r i z e d R o t o r D y n am ics - P a r t 2 . J . S o u n d a n d V i b r a t i o n , 1 1 2 ( 1 ) , . 1 9 8 7 ,«,.97-110.

[7] G o s ie w s k i Z . : A ktyw ne s t e r o w a n i e d r g a n ia m i w ir n ik ó w . W ydaw nictw a WSI K o s z a l i n , 1 9 8 9 .

¡8] M e i r o v i t c h L . , R y la n d G .: A P e r t u r b a t i o n T e c h n iq u e f o r G y r o s c o p i c S y s te m s w i t h S m a ll I n t e r n a l a n d E x t e r n a l D am ping. J . S ound a n d V i b r a t i o n , 1 0 0 ( 3 ) , 1 9 8 5 , « 3 9 3 - 4 0 8 .

[9J H a s s l i n g e r H . L . : A g e n e r a l p e r t u r b a t i o n t h e o r y f o r l a r g e d i s c r e t e l i n e a r d y n a m ic a l s y s t e m s . I n g e n i e u r - A r c h i v , 5 7 , 1 9 8 7 , W .61-72.

[lo j M e i r o v i t c h L . : A New M eth o d o f S o l u t i o n o f t h e E ig e n v a l u e P r o ­ b le m f o r G y r o s c o p i c S y s te m s . AIAA J o u r n a l , 1 2 ( 1 0 ) , 1 9 7 4 , 1 3 3 7 -1 3 4 2 .

106 Z. Gosiewski

MOAEJIb PO TOPA KAK OBvEKT PEryJlHnOBKM

Pe^CMe

B p a 6 o x e p a c c M a x p H B a e x c s . w e t o a p e A y K U H H H O A e j c r » & < o r o p o x o p a . Mcnojn>3ys) m o t o a n e p x y p 6 a u H H n p o o S p a a o a a H o o&myic MOAeju, p o x o p a 6 r j i a c H - M O A a m , ™ » b h a . B « a m K o a e 6 a H B H p a 3 A e J,eHO H a

p e r y j i w p y e M u A e „ » e p e r y j m p y M u e . Bboasi HeKox o p w f t M a a e H B K B H n a p a M e r p n p o n30«? A e H o p e A y x u M c MOAejin .

ROTOR MODEL AS CONTROL PLANT Summary

A m eth o d o f t h e r e d u c t i o n o f f l e x i b l e r o t o r m odel f o r t h e c o n t r o l p u r p o s e s i s p r e s e n t e d i n t h e p a p e r . By u s i n g t h e p e r t u r b a t i o n m e th o d t h e g l o b a l r o t o r m odel i s c o v e r t e d i n t o a quasi-m o d a l fo rm . V i b r a t i o n m o d es a r e d i v i d e d i n t o c o n t r o l l e d an d n o n c o n t r o l l e d o n e s . T he i n t r o d u c t i o n o f s m a l l p a r a m e t e r a l l o w s t h e r o t o r m odel t o b e r e d u c e d .