Modelowanie belek ciągłych grafami przepływu sygnałów

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: MECHANIKA z. 73

_______ 1891 Nr kol. 699

Józef WOJNAROWSKI, Andrzej MEDER

MODELOWANIE BELEK CIĄGŁYCH GRAFAMI PRZEPŁYWU SYGNAŁÓW

Streszozenie. Przedstawiono zastosowanie grafów przepływu sygna­

łów w analizie wieloprzęsłowyph belek ciągiyoh. Bazując na netodzie sił i netodzie trzech momentów pokazano sposób modelowania belek oiągłyoh grafem przepływu sygnałów. Obliozenia tą metodą można pro­

wadzić przy wykorzystaniu elektronioznej techniki obliozenioweJ.

Szybki rożwój elektronicznej teohniki obliczeniowej doprowadził do po­

szukiwania metod, za pomooą któryoh w łatwy sposób dokonuje się algoryt- mizacji i automatyzacji obliozeń inżynierskioh. Jedną z nioh jest metoda grafów przepływu sygnałów [1,2,3]. Zastosowanie Jej w analizie układów li- niowo—sprężystyoh ułatwia dokonanie oiągu przekształceń przy rozwiązywa­

niu tego zagadnienia.

Można zauważyć, że metody klasyczne stosowane przy rozwiązywaniu ukła­

dów liniowo-sprężystyoh, takie Jak: metoda sił, przemieszozeń, trzeoh mo­

mentów, ozy metoda Crossa [k,5] • nogą być przedstawione w postaoi grafu przepływu sygnałów [6,7,8,9] .

Oczywiste jest, że dla różnych postaoi zapisu układu algebraioznycfe rów­

nań liniowych wyróżnia się kilka rodzajów grafów przepływu sygnałów.

W praoy tej rozpatrywane są dwa rodząJa grafów przepływu sygnałów:gra­

fy Masona - M [2,3] i grafy Coatesa - C [i] .

Graf M odpowiada zapisowi układu algebraicznych równań liniowyoh w po­

staoi:

1=1 l=k i pokazany jest na rysunku 1.

Graf C, przedstawiony na rysunku 2, określa Jednoznaoznie układ alge­

braicznych równań liniowyoh zapisanych w postaoi:

1. WSTĘP

n

(1)

6 J. Kojntromlil. A. Heder

Rys. 1

2. GRAFY METODY SIŁ

Bas Dsruasenia ogólnoAoi rozwaZaó ograniosyny alf do rozwaAania bolki dwukrotni« atatyosnie niewyznaozalnej (rym. 3a). Jako wislkoóoi hipersta- tyozne przyjęto raakoja Rj 1 Rj.

V oalu wyznaczenia wislkoóoi biparatatyosnyoh przyjęto atatyoznla wy zna - osalny okład, w któryn oddziaływanie podpór zastąpiono raakojani hipersta- tyosnyni.

PonlswaZ w niajsoaob podpór przenieszozanla liniowa w układzia rzeoży­

wi a tya aą równe saro, otrzymujemy równania:

Ax3r ♦ Ax3P = °*

ń x 3R * ń x 5P = °*

( 3 )

Modelowanie belek ciągłych grafami..

Z

gdzie:

¿ x ^ p , ń3cjp “ przemieszczenia w układzie statycznie wyznaozalnym wywo­

łane siłami czynnymi,

& X j R , ń - przemieszczenia w układzie statycznie wyznaozalnym wywo­

łane nieznanymi reakojami hiperstatycznymi.

i

( b )

(c)

Przenioszozenia A i a n JK i A x in oraz 5K A i a n i JF A x łn utolna iryrazić róir-5F naniaml:

8 J. Wojnarowski. A. Meder

Ostateoznie więc otrzymujemy:

X 3 *33 + X 5 *35 + P *32 + M *34 = °-

X 3 *53 + X 5 S55 + P *52 + M *54 = °* (s) Zauważmy, że zależności (3) i (4) można przekształcić do postaci:

X„ ---- ^ s32P --- 2 1 m ----25. X ,

X 5 =

( 6 )

33 33 33 3

'52-2=- P - 554

— m -

x

55 55 • 55 J

gdzie:

- liczby wpływowe [5] .

Równania (4) i (5) przedstawione są w postaoi grafu C (rys. 4a,b,o), natomiast zależności (6) i (7) w postaoi grafu M (rys. 5a,b,o).

Zauważmy, że w grafach C i M, przedstawionych na rys. 4c i 5 o , wielko- śoi zewnętrzna ozynne reprezentowane są przez wierzchołki źródłowe, nato­

miast wierzchołki reprezentuJąoe hiperstatyozne wielkośoi podporowe są wierzohołkami pośrednimi.

Każdy wierzohołek źródłowy reprezentująoy uogólnioną siłę ozynną połą- ozony jest łukiem z każdym wierzohołkiem pośrednim reprezentującym hiper- statyozną wielkość podporową. "Pomiędzy wierzohołkami pośrednimi istnieją pętle utworzone przez luki wzajemne.

V przypadku grafów C każdy węzeł pośredni posiada dodatkowo pętlę wła­

sną.

Na podstawie powyższej analizy można narysować graf M lub C dla do­

wolnej belki ciągłej statycznie niewyznaozalnsj bez wypisywania równań ka­

nonicznych metody sił.

Przykładowo na rysunkaoh 6 i 7 przedstawiono grafy M i C dla układu trzykrotnie statyoznie niewyznaozalnego oboiążonego k-siłami uogólnionymi ozynnymi Q 1#

2.1. Rozwiązanie grafów metody sił

Dla ilustracji metody rozważmy belkę dwukrotnie statyoznie niewyznaozal- ną przedstawioną na rysunku 8a. Przyjmijmy za wielkośoi hiperstatyozne re­

akcje Rg i Rg (rys. 8b).

Na rysunkaoh 9a i 10a przedstawiono graf M i graf C, odpowiadające roz­

ważanemu układowi (rys. 8a),

Modelowaniebelek oiąglyohgrafami

10 J. Wojnarowki, A. Heder

Qi Qz Qł Qk-2 Q u Q«

Rys. 6

Qi Q2 Qï Q w Q u Q»

R y s . 8

Modelowanie belek ciągłych grafami..

11

W

( b )

fc)

C d )

Rys. 9

12 J. Wojnarowski. A.Meder

(a)

( b )

(c)

Cd)

Rys. 10

Rozwiązująo powyższe grafy metodą przekształceń*^ dochodzimy do grafów pokazanych na rysunkach 9d i lOd. Kolejne etapy przekształoeń grafów przed­

stawiono na rysunkach 9a - 9d i lOa - 10d. Zauważmy, że uzyskane grafy (rys, 9d i 10d) umożliwiają wyznaczeni# hiperstatyoznej wielkości podporo- wej, jeżeli tylko znane są liozby wpływowe.

Przedstawiony powyżej sposób analizy układów liniowo-sprężystyoh pole­

ga więc na ujęciu metody sił w postaoi grafu przepływu sygnałów i rozwią­

zaniu grafu metodą przekształoeń. V takim postępowaniu pomijamy etap wy­

pisywania równań kanonioznyoh metody sił.

W wielu przypadkaoh, a szczególnie wtedy, gdy grafy zawierają większą liozbę wierzchołków, metoda przekształoeń grafu Jest praooohłonna i w oc­

lu rozwiązania grafu stosuje się formułę Masona [2,3] dla grafu M lub formułę Desoera dla grafu C [i].

Modelowanie belek oiągłyoh «rafami..._____________________________________1_2_

3. GRAFY METODY TRZECH MOMENTÓW

V celu przedstawienia metody trzech momentów w postaoi grafu przepływu sygnałów rozważmy dwa sąsiednie przęsła belki ciągłej wielęprzęsłoweJ (ry­

sunek 1l).

Rys. 11

Równanie trzech momentów 5 dla tyoh przęseł można zapisać w postaoi:

a i,i-1 M i-1 + a i,i M i + a i,i+1 M i+1 " b i = °>

lub po przekształceniu:

M i = *1,1-1 M i-1 + *1,1*1 M i+ 1 + V (9>

Dla belki ciągłej o n podporach otrzymujemy układ n równań, którego rozwiązaniem są niewiadome momenty podporowe. —^

Podstawowe aksjomaty algebry grafów przepływu aygpałów podano w 1,2,3

II* J. Wojnarowski, A. Meder

i

/IV

lii TT

y

Rys. 12

7 T T

F«s

• <> i1 1> t

-fcfe -b3

0», • Osz 0 « 054

k ' ^ t e

<*t

¿3 Qh Rys. 13

1

34

O *

)v

Qss

► 1 > 1 » 1 > •

d 2 d 4 < V

* 2 1 ________ ^ ( 4 5 ( 5 4

(•12 ^{( 2 5 ( 3 4 ( 4 5}

Rys. 1l*

Rozważmy dla przykładu belkę ozteroprzęsłową (rys. 12).Układ równań meto­

dy trzeoh momentów dla tej belki przedstawiono w postaoi grafów C i M aa rysunkach 1 3 i 1^.

Analizując otrzymane grafy (rys. 13 i li*) można zauważyć, że postać gra­

fu dla każdego wewnętrznego przęsła belki oiągłej Jest taka sama (rys. 15 i 1 6).

W przypadku przęsła zewnętrznego (rys. 17 i 18) otrzymujemy graf mniej złożony.

W związku z tym można narysować graf C lub M dla dowolnej belki wielo- przęsłowej, pomijając wypisywanie równań metody trzeoh momentów. Uzysku­

jemy przez to znaozne zmniejszenie ozasu obliozeń.

Modelowani« belek oląglyoh grafuil.

ii

Gr a i C przęsła L 1*1

Rys. 15

G ra f M przęsła Lÿ1

Rys. 16

16

t-

•Vin-?

n-1 . n

"25"

-bu

MrH Q n -1in M n

G r o { G przęsta zewnętrznego ze wspornikiem Rys. 17

1

I V Wl,n

M n

G

raí M

Modelowanie belek ciągi^oh graf ani. 17

3.1. Metoda ogólna. Reguły Desoera i Masona

Metoda ogólna rozwiązywania grafów przepływu sygnałów polega na zasto­

sowaniu reguły Desoera [i] y przypadku grafów C lub reguły Masona [2,3]

w przypadku grafów M.

Postać tych reguł jest identyozna*^:

' 9i \ TkDk

sj = E --- 5--- (10) i

gd z i e :

s. - zmienna wyjściowa,

J •

s ^ - sygnał źródło grafu przyporządkowany i-temu wierzchołkowi, - transmitanoja k-tej ścieżki otwartej,

- wyznacznik części grafu, która nie styka się z k-tą ścieżką otwar­

tą,

D - wyznacznik grafu.

Według reguły Desoera wyznaoznik grafu C określa się zależnością:

D = ( - l)nTmn> (11)

gdz i e :

Tmn - iloczyn transmitancJi m - t e j kombinaoji zawierającej wszystkie w ę ­ zły grafu z w y j ą t k i e m źródeł, z n nie stykających się pętli.

Dla grafów M, zgodnie z regułą Masona, wyznaoznik grafu obliozamy ze

D = 1 + (-i)1 Tb1 ♦ (-1)2 Tm2 + ... + (-1)D T ^ , (12)

g d z i e :

T - iloczyn transmitanoji m-tej możliwej kombinacji z n* nie styka- mn

jąoyoh się pętli.

Dla przykładu wyznaozymy sosent M2 na podstawie grafu (rys, 13) sto­

sując regułę Desoera. *

V tym oelu wszystkie motliwe kombinacje nie stykających się pętli przed­

stawiono na rysunku 1 9, zaś rysunek 20 przedstawia wszystkie śoie&ki otwar­

te węzła repr.zentuJąoego moment M2 i ioh wyznaczniki. Stosując wzór (10) otrzymujemy równanie (1 3) określające szukany moment M 2#

N .

x ^Inaozej dla poszozególnyoh reguł wyznacza się wielkości występujące w.

wzorze (l0).

18 J. Wojparowaki, A. Meder

^21

Q21

Q<2 Qzi M i ^ ^ ~ ^ ^ r ' 2

a 12

a,

Mia

Mic

Jl2 M T A n 5 - a ^ W J e a * ,

Jï-i

0

0 5 5 +

.m2 rt%

o

M.

054

a.'45 J33

M -3 “ ^33^45^54

+

Ni M 5

0

M ’ % > S

( b ) ( ^ ) OizQziQssQmQs s

C¡33 Q44 _ a 5S +

g 32 J ¿ 2 ± _

- a „ a « o 32a „ Q j , Û2Ï

0,2

b

a<,

M2<T

a »

0

Mí.

0

V 0

^{'V 0}

⁰

0

a«

H z *

0

0

Qjï

a.

*V 0

⁰

^ > N , '

0 "

Q55

QuOnQviQijQjs

O54

+

---- '^>Mls

O43

+

V 0

Qm 0 5 5 11

D

,19

Modelowanie belek ciągłych grafami. 19

O

o ,

Mi ' i

• 1

M,

)a„ 1

■"I

h„-

M z

M

M,

rvi

— S °55

- D1Qł(C|j^lłJQ 5l

+•

^ M 5

O o ,, O t u ( X b’a»a” Q"0»

O ,

M , a

J5

* (^)o

X b p * Q a f r f l a

^>.^4 ^ .a M 5

O a 4 O a « ^ 0" ^ 0”

20 J. Wojnarowski. A. Meder

H ____________ ~b l *21 ^a 33*44a55~a 34a43a55~a 33*45a54 ^ * ______________

2 _ a 12a21^a 34a43a 55+a33*45a 54-a33*44 5 5 ^ + a 1 1 23*32^“55a 44~*45*54J +

~b2*1 / a 34a i4 3a55*a 33ai45a5i<~a 33ai<iła5 5 ^ +a1 1*22 ^ a 34a4 3a 55 33a45 54-a33a44a55 }

~b 3*11 a23^a44a 55~a45a54 ^łb4 ~1 1a23*3i<*55~b5*1 la23*34a 45 (1 3)

V podobny sposób można wyznaczyć inne szukaie momenty, tzn. i M

5

Zastosujemy teraz regułę Masona do wyznaczenia momentu dla grafu M z rysunku 14.

Wszystkie możliwe kombinacje z n niestykaJąoych się pętli dla rozpa­

trywanego grafu pokazano na rysunku 21.

Na podstawie zależności (12) wyznacznik grafu wynosi:

D '= 1 - (t)2t21 + *2 3 * 3 2 + *34*43 + *45*54^ + t1 2t2 1t34t 43 +

+ *12*21*45*54 + *23*32*45*54’

Na rysunku 22 przedstawiono wszystkie ¿ciężki otwarte grafu pomifdzy źródłami a wierzoholkiem reprezentującym moment M 0 eraz wyznaczone lek

l z transmitanoJe i wyznaozniki.

Zgodnie z regułą Masona szukaDy moment M2 wynosi:

M ^ 1*21^1~*34*43 ~ *45*54^ * d2 ^ 1"*34*43 ~ *45*54^ * 2 1-(*12*21 + *23*32 + 34*43 + *45*54 ^ + *12*21*34*43 +

* d 3*23(1 ~ *45*54^ * d4*23*34 ł d5t23t3l«tt»5 (llł) + *12*21*45*54 + *23*32*45*54

Zależność (l4) Jest eczywiśoie analogiozna do otrzymanej poprzednio zależ­

ności (1 3).

Przykład

Ola ilustracji metody dokonano obliczeń belki ozteropraęsłoweJ ze wepoi*- nikiem, poddanej możliwym oboiążeniom zewnętrznym. Rozważaną belkę, jej grafy M i C oraz uzyskane wyniki obliozeń przedstawiono na rysunku 23.

Modalowanie belek ciąglyoh graf»ni... ₂₁

d, M,

Í21

m .

Rya. 21 T , * d , t z\

Q 1=

\

T 2 - d z 0 2 = \ -

T ,

1 52

T « = c¡

4

23

Rya. 22

22 J. Wojnarowski. A. Meder

♦ Mc

« m 5

M, - 1. 765 [ k N m ] M2 - - 1 , 0 3 I k Nm]

M 3 - -2X109 [ k N m ] [ k Nm]

[ k N m ] M 4 - U,1

M5 - - 8

F2- ^ k N

Rys. 23

Modelowanie belek oiągłyoh grafami. 23

I ł . W N IO SKI

Zastosowanie metody grafów przepływu sygnałów w analizie wieloprzęsło- wych belek ciągłych w znaczny sposób upraszcza procedurę obliczeń, W me­

todzie tej kaZdy nieznany moment podporowy wyzmaeza się niezależnie od po—

zostałyoh. Jest to dodatkowa korzyść w przypadku, gdy choemy wyznaczyć tylko interesu jąee nas momenty podporowe.

WaZną zaletą grafu przepływu sygnałów jest jege niezmienniczy charak­

ter względem warunków podporowych.

Metoda grafów przepływu sygnałów, zastosowana w analizie wieloprzęsło- wyoh belek ciągłych, pozwala na opuszozenie etapu wypisywania równań meto­

dy sił lub równań trzech momentów. Pozwala ona również w prosty sposób wykorzystać elektroniczną teohnikę obliozeniową [i#] . Prowadzi to do zna­

cznego uproszczenia i zmniejszenia praoeehłenności obliczeń belek statycz­

nie niewyznaozalnych.

L IT E R A T U R A

[1] Rajcyn T . M . : Synteza układów sterowania autematyoznego metodą grafów.

WNT, Warszawa 1973 (tłuraaozenie książki: T.M. PaiiUKH: CzHTe3 CHCTeM aB- roKaiHMecKoro ynpaajieHHK Meioiou Hanpaa.ieHHHX rpa$o». SKepra« 1970).

[2] Robiohaud L . , Boisvert M . , Robert J . : Grafy przepływu sygnałów. PWN, Warszawa 1968 (przekład ksiąZki - Graphes de fluenoe, Applications a 1 ’eleotrotechnique et a 1 ’ eleotronique. Caloulateurs analogiques et d i g i t a u x .Eyrolles, Paris 1961).

[3] Wojnarowski J. : Grafy i liozby strukturalne jake modele układów mecha­

nicznych, IPKM, PTMTiS Nr 38, Gliwioe 1977.

[4] Błaszkowiak S., Kączkowski Z.: Metoda Crossa. PWN, Warszawa 1963.

[5] Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wytrzymałość materiałów. WNT, Warszawa 1978.

[6] Gerstle K.H. : Flow graphs in struotural analysis. Journal of the Struc­

tural Division, Proceeding of the ASCE No St10, I960, 125-137.

[7] Feng C.C., Benton R.D. : Flow graph of moment distribution. Journal of the Struotural Division, Proceeding of the ASCE, No St2, 196*ł, ss. 153 -177.

[8] Feng C.C., Stead K.A.: Slope defleotion and moment flow graphs. Jour­

nal of the Struotural Division. Proceeding of the ASCE, No St3, 1967.

[9] Wojnarowski J . , Meder A.: Zastosowanie grafów przepływu momentów do analizy belek statyoznie niewyznaozalnych. Sesja "Przemysł i my",IPKM Zeszyt 20/5^, Gliwice 197^, ss. 109-127.

[10] Young K.R. , Hoberock L . L . , Thompson J . G . : An algorithm for automatic reduction of complex signal flow graphs. Journal od Dynamic Systems, Measurement and Control, Trans. ASME ser. G. vol. 98 Nr k, December 1976, 367-379.

Recenzent: Prof. zw. dr hab. Kazimierz Wrześniowski

Wpłynęło do Redakcji 26.1.1981 r.

M O flEJIH PO B A H H E H 3 P A 3 P E 3 H H X EAJIOK r?A$OM C H TK AJIO B

Zk__________________________________________________ J. No.jparowski, A. Meder

P e 3 x) u e

npe^cTaBAeHO npHMeHemie rpa$OB cnmajiOB jjih aHajiH3a Hepa3pe3HHX 6aJioK.

Ea3npya Ha ueTo*e chji h ypaBHegaax ipex MoaeaioB, noxa3aH onoooS MoaejiHpo- Banaa Hepa3pe3Btcc SaJiOK rpa$ou curnajio». Pacqeiu bthm «eio^OM moxho npo- aecia, Hcnoai.3ya 3JieKipoHHyio sinwcjiHTejibHyx lexiwKy.

MODELLING OF CONTINUOOS BEAMS BY SIGNAL FLOW GRAPHS

S u m m a r y

Id this papar the use of signal flov graphs in the analysis of conti­

nuous beams is presented.

The way of modelling of continuous beans is shown on the ground of the method of foroes and equations of thmee moments. These calculations can be carried out using the electronic teohnique ef oaloulatien.