MODELOWANIE BELEK PIĘCIOWARSTWOWYCH

MODELOWANIE

BELEK PIĘCIOWARSTWOWYCH

Krzysztof Magnucki

¹

, Paweł Jasion

¹

, Mikołaj Smyczyński

^1a

1Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Poznańska e-mail: ^amikolaj.smyczynski@put.poznan.pl

Streszczenie

W pracy przedstawiono model belki trójwarstwowej, w którym uwzględniono cienkie warstwy kleju łączące okła- dziny z rdzeniem. Sformułowano całkowitą energię potencjalną belki, a z zasady stacjonarności tej energii wyzna- czono układ równań różniczkowych równowagi. Układ ten rozwiązano i wyznaczono ugięcie belki. Wyniki rozwią- zania analitycznego porównano z wynikami numerycznymi MES. Zamieszczono przegląd literatury z uwzględnie- niem współczesnych badań.

MODELLING OF FIVE LAYER SANDWICH BEAMS

Summary

The subject of the paper is an analysis of deflection of a five layer sandwich beam. The mechanical and physical properties vary through the thickness of the beam and depend on the material of each layer, which are: the metal face, binding material (the glue) and metal foam core. The main aim of the paper is to present an analytical model of the five layer beam and to compare the results of the analyses obtained theoretically and numerically. Moreover, the proposed model is compared with a three layer sandwich beam model.

In the paper a mathematical model of the field of displacements, which include a share effect and a bending mo- ment, is presented. The system of partial differential equations of equilibrium for the five layer sandwich beam is derived on the basis of the principle of stationary total potential energy. The equations are analytically solved and deflection is obtained. The influence of the binding layer thickness and Young’s modulus on the value of deflection is analysed. Comparison of the results obtained in the analytical and numerical (MES) analysis are shown in graphs and figures.

1. WSTĘP

Konstrukcje trójwarstwowe są wytwarzane i stosowane od połowy dwudziestego wieku. Budowa oraz właściwo- ści mechaniczne rdzenia mają istotny wpływ na wy- trzymałość oraz obciążenia krytyczne tych konstrukcji.

Pierwsze modele konstrukcji trójwarstwowych przed- stawili C. Libove i S.B. Butdorf oraz E. Reisner w 1948 roku. Doskonalono je w następnych latach. Rozwój modelowania oraz wytwarzania konstrukcji trójwar- stwowych opisali Noor [9] i Vinson [12], przedstawili problemy wytrzymałości oraz stateczności. Wang [13]

opisał hipotezy wyższego rzędu uwzględniające ścinanie belek oraz płyt. Carrera [3] sformułował hipotezę zig- zag dla płyt wielowarstwowych. Chakrabarti [4] opra-

cował nowy model MES z uwzględnieniem teorii zig-zag dla analizy statycznej laminowanych belek warstwo- wych. Qin [10] zaprezentował modele analityczne me- chanizmów pękania belek warstwowych obciążonych siłą poprzeczną. Magnucka-Blandzi [6], Romanów [11], Magnucki [7] oraz Magnucki i inni [8] opisali wytrzyma- łość oraz stateczność konstrukcji warstwowych. Zenkert [14] przedstawił wytrzymałość belek wielowarstwowych uwzględniając rozłączenie warstw zewnętrznych z rdze- niem. Iaccarino [5] zbadał zachowanie się belki war- stwowej z cienkim rdzeniem oraz warstwami zewnętrz- nymi z materiału CFRP przy czystym zginaniu. Birman [2] przedstawił przegląd głównych badań nad materia-

na przełomie ostatnich 10 lat. Banhart [1] zaprezento- wał produkcję, charakterystykę oraz zakres zastosowań metali porowatych i pian metalowych.

Przedmiotem analizy jest belka pięciowarstwowa o długości

L

, szerokości

b

oraz wysokości

2

_f

2

_{b c}

H = t + t + t

, gdzie

t

_f jest grubością warstwy

rdzenia. Belka jest obciążona siłą

F

przyłożoną w połowie długości (rys. 1).

Rys.1. Schemat obciążenia belki pięciowarstwowej

2. MODEL ANALITYCZNY

Deformację płaskiego przekroju poprzecznego belki przedstawiono na rys.2.

Rys.2. Schemat przemieszczeń w przekroju poprzecznym belki

Pole przemieszczeń sformułowano następująco:

1. górna okładzina

− ( 1 2 + x

1

+ x

2

) ≤ ζ ≤ − ( 1 2 + x

1

) ( ) ^{= −} _ ^{ +} ( ) x _ ^

dx t dw x

u , ζ

_c

ζ ψ

₁ (1)

2. górna warstwa kleju

− ( ^{1 2} + x

1

) ≤ ζ ≤ − ^{1 2}

( ) ( ) ( ( ) ( ) ) _



 



  −



 



 +

− +

−

= x x

x x dx

t dw x

u

_{c 1 2}

1

2

2

1

, ζ ζ ψ 1 ζ ψ ψ

(2)

3. rdzeń

− 1 / 2 ≤ ζ ≤ 1 / 2

( ) ^{= −} _ ^{ −} ( ) x _ ^ dx

t dw x

u , ζ

_c

ζ 2 ψ

₂ (3)

4. dolna warstwa kleju

1 / 2 ≤ ζ ≤ 1 2 + x

1

( )

²

( ) (

¹

( )

²

( ) )

1

1 1

,

^c

2

u x t dw x x x

dx x

ζ = −  ^ ζ − ψ −  ^ ζ − ^  ψ − ψ ^ 

 

 

⁽⁴⁾

5. dolna okładzina

1 / 2 + x

1

≤ ζ ≤ 1 / 2 + x

1

+ x

2

( ) = − _ ^ − ( ) x _ ^ dx

t dw x

u , ζ

_c

ζ ψ

₁ (5)

gdzie:

c b

t t

x

₁

= /

,

x

₂

= t

_f

/ t

_c,

ζ = z / t

_c,

ψ

1

( ) ^x = ^u

1

^{( x ) / t}

_c,

ψ

2

( ) ^x = ^u

2

^{( x ) / t}

_c. Odkształcenia dla każdej warstwy są następujące:

1. górna okładzina

( )

2

1

x c 2

d x

t d w

dx dx

ε = − ^  ζ + ψ ^ 

 

^,

γ

_xz

= 0,

(6)

2. górna warstwa kleju

( ) ( ) ( )

2

2 1 2

2

1

1 1

x c

2

x d x d x

t d w

dx dx x dx dx

ψ ψ ψ

ε = −  ^ ζ + − ^  ζ + ^  ^  − ^  ^ 

 

   

 

^,

[

1 2

]

1

1 ( ) ( ) ,

xz

x x

γ = x ψ − ψ

(7)

3. rdzeń

( )

2

2

2

2

x c

d x

t d w

dx dx

ε = − ζ ^  − ψ ^ 

 

^,

γ

_xz

= 2 ψ

²

( ), x

(8)

4. dolna warstwa kleju

( ) ( ) ( )

2

2 1 2

2

1

1 1

x c

2

x d x d x

t d w

dx dx x dx dx

ψ ψ ψ

ε = −  ^ ζ − − ^  ζ − ^  ^  − ^  ^ 

 

   

 

^,

[

1 2

]

1

1 ( ) ( ) ,

xz

x x

γ = x ψ − ψ

(9)

5. dolna okładzina

( )

2

1

x c 2

d x

t d w

dx dx

ε = − ^  ζ − ψ ^ 

 

^,

γ

_xz

= 0

. (10)

Związki fizyczne, zgodnie z prawem Hooke’a, dla poszczególnych warstw są postaci:

x

x

E ε

σ =

,

τ

_xz

= G γ

_xz. (11)

Moment gnący w dowolnym przekroju poprzecznym belki

( ) ( )

2 3

2 2 2

1 1 2

1 1 1 1

( ) 2 2 1

12

1 1

3 4 3 2 ,

6 6 6

b x c f f b b c

A

f f b c b

M x zdA bt E c E c E d w

dx

x d d

E c E x E E x x

dx dx

σ

ψ ψ

 

= = −  + +  −

 



    

−   + +   −   + +    

∫

(12)

gdzie:

(

1

)

1

1

x 1 x

c

_b

= +

, 2 1

( 3 6

1

4

1²

)

12

1 x x x

c

_b

= + +

,

c

1_f

= x

2

( 1 + 2 x

1

+ x

2

)

,

( )

²

2 2 1 1 2 2 2

1 12 1 3 6 4

f

12

c = x   x + x + x + + x + x  

^.

Siła poprzeczna w dowolnym przekroju poprzecznym belki

( )

1 2

( )

_xz

2

_{c b}

( )

_{c b}

( )

A

Q x = ∫ τ dA = bt   G ψ x + G − G ψ x  

^, (13)

gdzie:

( )

2 1

c c

c

G E

= υ

+

^,

^{2 1} ( )

b b

b

G E

= υ

+

^.

2.1. RÓWNANIA RÓWNOWAGI

Energię potencjalną odkształcenia sprężystego zdefiniowano następująco

( ^{f f f} ) ^dx

bt dV U

L

Ec Eb Ef c V

xz xz x

x

∫

∫ ^{+ = + +}

=

2

0

) 1 2 (

1 ε σ γ τ

ε , (14)

gdzie:

 





 





 

 

 + 

 −





 

= 

2 1 2 1 2 2 1 2

2 2 2

2

2

dx x d dx d dx

w c d dx

w c d

t E

f

_{Ef f c f f}

ψ ψ

,

( )

( ) [ ]

2 2

2 1 2

2 2

1 1

2

1 1 2 1 2

2 1

1 1 1

2

1 2 2

1 1 2

1 1

1 1

2

1 1

2 1 2

1 2

1 2 ( ) ( ) ,

4

Eb b c b

b

b

d d

f E t c d w

dx x dx x dx

c d w d d d d

x dx x dx x dx dx x dx

d d

x G x x

x dx dx x

ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

  

=   − +  +

  



   

+  − +   − +  +

 

 

  

+  − +   + −

  

) ( 4 12 2

1

2

2 2

2 2

2

2

G x

dx d dx

w t d E

f

_{Ec c c}

ψ

_c

ψ

 +



 



 −

=

.

Praca obciążenia zewnętrznego

0 L

W = ∫ qwdx

^{. (15)}

Z zasady stacjonarności całkowitej energii potencjalnej

δ ( ^U

ε

^{− W} ) ^{= 0}

, po wykonaniu całkowania otrzymano układ trzech cząstkowych równań różniczkowych równowagi:

( )

( )

4 3

3 1

2 2 4 1 1 1 3

3 2

1 1 3

1 1

2 2 3 4

12 6

1 3 2 ,

6

c f f b b c f f b

c b

d

bt E c E c E d w E c E x x

dx dx

E E x x d q

dx

ψ

ψ

   

+ + − + + +

       



−   + +     =



(16)

( )

[ ]

2 2

3

1 2

1 1 1 3 2 1 2 1 2

1 2

2 1

1 1 1

3 4 2

6 3 3

2 ( ) ( ) 0,

f f b f b b

b c

d d

E c E x x d w E x E x E x

dx dx dx

G x x

x t

ψ ψ

ψ ψ

   

+ + −  +  −

 

   

+ − =

(17)

( ) ( )

2 2

3

1 2

1 1 3 1 2 1 2

1 2

2 2

1 1

1 1 1

3 2 2

6 3 3

2 1 2

( ) 4 ( ) 0,

c b b c b

b

c b

c c

d d

E E x x d w E x E E x

dx dx dx

G x G G x

x t t x

ψ ψ

ψ ψ

+ + − − + +

 

 

 

− +  +  =

 

(18)

Pierwsze równanie (16) układu jest równoważne z równaniem momentu gnącego (12). Zatem, do dalszej analizy przy- jęto układ trzech równań (12), (17) oraz (18), w którym występują trzy funkcje:

w x ( )

- ugięcie oraz

ψ

₁

( ) x

i

ψ

₂

( ) x

- bezwymiarowe przemieszczenia.

2.2. UGIĘCIE BELKI

Belka pięciowarstwowa obciążona jest siłą poprzeczną

F

przyłożoną w środku jej długości. Moment gnący jest równy

( ) 1

b

2

M x = Fx

, zatem po prostych przekształceniach układu trzech równań (12), (17) oraz (18) sprowadzono do dwóch:

( ) ^{( )}

[ ]

2 2

2 1 2

12 11 22 2 12 13 11 23 2

11 2 1 2 12 3

1

2 ( ) ( ) ,

2

b

c c

d d

a a a a a a a

dx dx

G F

a x x a

x t bt

ψ ψ

ψ ψ

− + −

+ − =

(19)

( ) ( )

2 2

1 2

12 31 11 32 2 13 31 11 33 2

11 2 2 31 3

4 ( ) ,

2

c

c c

d d

a a a a a a a a

dx dx

G F

a x a

t bt

ψ ψ

ψ

− + −

+ =

(20)

gdzie:

11 2 2

2 2 1 ,

f f b b

12

c

a = E c + E c + E

12 1 1

(

1

)

1 3 4 ,

f f

6

b

a = E c + E x + x

( )

13 1 1

1 3 2 ,

6

^{c b}

a =   E + E x + x  

^a

²²

^{= 2  } _ ^{E x}

^{f 2}

^{+ 1} ₃ ^{E x}

^{b 1}

^{ } _ ^,

23 1

1 ,

3

^b

a = E x

31 1 1

(

1

)

1 1 ,

f f b

6

c

a = E c + E x + x + E

32 f 2 b 1 33

(

1

)

3

^{c b}

Układ równań rozwiązano w sposób przybliżony stosując metodę Bubnova-Galerkina. Przyjęto następujące postaci funkcji:

( )

_a

sin x , w x w

L

= π

₁

( )

₁

cos x ,

x L

ψ = α π

₂

( )

₂

cos x .

x L

ψ = α π

(20)

Po ortogonalizacji układu (19, 20), otrzymano

3 4

2 ,

a

w FL π D

=

⁽²¹⁾

gdzie

11 3

1 12 2 13

1 ,

D a bt

a a

α α

= + % + %

12 22 31 12 1

0

a k a k ,

α % = A ⁺

₂ ^{31 11 12 21}

0

a k a k , α % = A ⁺

0 11 22 12 21

, A = k k − k k

2

2 11

11 12 11 22 2

1

2

^b

,

c

G a L

k a a a

x t π

= − + +    

 

2 11

12 12 13 11 23 2

1

2

^b

,

c

G a L k a a a a

x t π

= − +    

  k

²¹

= a a

^{12 31}

− a a

^{11 32}

,

( )

2 11

22 13 31 11 33 2

4

^c

.

c

G a L

k a a a a

π t

= − − +    

 

Przykładowe ugięcia środka belki pięciowarstwowej

w

w zależności od grubości warstwy kleju oraz jej właściwości zamieszczono w Tabeli 1. Przyjęto następujące dane:

t

_f

= 1 mm , H = 20 mm , E

_f

= 65600 MPa ,

1200 ,

E

c

= MPa

L = 100 mm , b = 50 mm , F = 1 kN

.

Tabela 1. Ugięcia belki

w mm [ ]

dla różnych grubości warstwy kleju oraz różnych modułów Younga

Wyznaczone wartości ugięcia (21) uzyskano dla funkcji (20) z jednym współczynnikiem każda. Zwiększono liczbę współczynników tych funkcji, zapisano:

1 11 13

( ) cos x cos 3 x ,

x L L

π π

ψ = ψ + ψ

_{2 21 23}

3

( ) cos x cos x ,

x L L

π π

ψ = ψ + ψ

(22)

_{1 3}

3

( ) sin x sin x

w x w w

L L

π π

= +

.

Po ortogonalizacji układu (19, 20), otrzymano ugięcie w postaci

3

max 1 3 4

1 3

1 1 2

2 ,

L FL

w w w w

D D π

 

=     = − =  + 

   

⁽²³⁾

gdzie:

11 3 1

12 11 13 21

1

^c

,

D a bt

a ψ a ψ

= + +

11 3 3

12 13 13 23

9 ,

1 9

c

D a bt

a ψ a ψ

=

+ +

12 22 31 12

11

0

a a , A

α α

ψ = ⁺

31 11 12 21

21

0

a a , A

α α

ψ = ⁺

12 22 31 12

13

0

a a , B

β β

ψ = ⁺

31 11 12 21

23

0

a a , B

β β

ψ = ⁺

( )

2

2 11

11 12 11 22 2

1

2

^b

,

c

G a L a a a

x t

α π

= − − +    

 

2 11

12 12 13 11 23 2

1

2

^b

,

c

G a L a a a a

x t

α π

= − +    

 

α

²¹

= a a

^{12 31}

− a a

^{11 32}

, ( )

2 11

22 13 31 11 33 2

4

^c

,

c

G a L a a a a

α t

π

= − − +    

 

( )

2

2 11

11 12 11 22 2

1

9 2

^b

,

c

G a L a a a

x t

β π

= − − +    

 

( )

2 11

12 12 13 11 23 2

1

9 2

^b

,

c

G a L a a a a

x t

β π

= − +    

  β

21

= 9 ( a a

12 31

− a a

11 32

) ,

( )

2 11

22 13 31 11 33 2

9 4

^c

.

c

G a L a a a a

β t

π

= − − +    

 

Wartości liczbowe ugięcia zestawiono w tabeli 2.

Tabela 2. Ugięcia belki

w

_max

[ mm ]

dla różnych grubości warstwy kleju oraz różnych modułów Younga

Model numeryczny MES zbudowano z ośmiowęzłowych elementów bryłowych – rdzeń i warstwa łącząca, oraz czterowęzłowych elementów powłokowych – okładziny. Między poszczególnymi warstwami belki zadano odpowiednie warunki łączące. Okładziny odsu- nięto od warstwy kleju o pół grubości. Z uwagi na symetrię modelu rozważono jedynie ćwiartkę belki (rys.3).

Rys. 3. Model numeryczny belki pięciowarstwowej oraz jej postać ugięcia

Przeprowadzono analizę statyczną i wyznaczono ugięcia belki. Wymiary belki oraz własności materiału przyjęto takie same jak w rozwiązaniu analitycznym. Wartości ugięcia otrzymane z metody elementów skończonych przedstawiono na rys. 4, gdzie dla porównania zamiesz-

la 1 i tabela 2).

Rys. 4. Porównanie wyników uzyskanych metodą analityczną i MES

Różnice między wartościami ugięcia belki wyznaczone numerycznie metodą elementów skończonych- MES, a analitycznie z uwzględnieniem dwóch przybliżeń wynoszą: do 15% dla funkcji z jednym współczynni- kiem, natomiast do 2,5% dla funkcji z dwoma współ- czynnikami.

4. ZAKOŃCZENIE

W pracy przedstawiono teoretyczne modelowanie belek pięciowarstwowych. Zaproponowano model uwzględnia- jący warstwy kleju łączące okładziny z rdzeniem.

Uwzględniono energię odkształcenia postaciowego belki obciążonej siłą poprzeczną. Zbadano wpływ grubości warstwy łączącej oraz modułu Younga na wartości ugięcia.

Literatura

1. Banhart J.: Manufacture, characterisation and application of cellular metals and metal foams. “Progress in Material Science” 2001, 46, p. 559-632.

2. Birman V., Byrd L.W.: Modeling and analysis of functionally graded materials and structures. “Applied Mechan- ics Reviews” 2007, 60, 5, p. 195-216.

3. Carrera E.: Historical review of zig-zag theories for multilayered plates and shells. “Applied Mechanics Reviews”

2003, 56, 3, p. 287-308.

4. Chakrabarti A., Chalak H.D., Iqbal M.A., Sheikh A.H.: A new FE model based on higher order zigzag theory for the analysis of laminated sandwich beam with soft core. “Composite Structures” 2011, 93, 2, p. 271-279.

5. Iaccarino P., Leone C., Durante M., Caprino G., Lamboglia A.: Effect of a thin soft core on the bending behavior of a sandwich with thick CFRP facings. “Journal of Sandwich Structures and Materials” 2010, 13, 2, p. 159-175.

6. Magnucka-Blandzi E.: Stateczność belek i płyt trójwarstwowych oraz belek cienkościennych kształtowanych na zimno. Poznań: Wyd. Pol. Pozn., 2010. Rozprawy 449.

7. Magnucki K.: Wytrzymałość i stateczność belek-słupów trójwarstwowych. „Modelowanie Inżynierskie” 2011, nr 42, t. 11, s. 249-258.

8. Magnucki, K., Jasion, P., Szyc, W., Smyczynski, M.: Strength and buckling of a sandwich beam with thin bind- ing layers between faces and a metal foam core. In: The 2011 World Congress on Advances in Structural Engi- neering and Mechanics, Seoul, Korea 2011, p. 826-835.

9. Noor A.K., Burton W.S., Bert C.W.: Computational models for sandwich panels and shells. “Applied Mechanics Reviews” 1996, 49, 3, p. 155-199.

10. Qin Q.H., Wang, T.J.: An analytical solution for the large deflections of a slender sandwich beam with a metallic foam core under transverse loading by a flat punch. “Composite Structures” 2009, 88, 4, p. 509-518.

11. Romanów F.: Wytrzymałość konstrukcji warstwowych, statyka, stateczność, drgania, badania doświadczalne.

Zielona Góra: Wyd. Wyższej Szkoły Inżynierskiej, 1995.

12. Vinson J.R.: Sandwich structures. “Applied Mechanics Reviews” ASME 2001, 54, 3, p. 201-214.

13. Wang C.M., Reddy J.N., Lee K.H.: Shear deformable beams and plates. Amsterdam: Elsevier, 2000.

14. Zenkert D.: Strength of sandwich beams with interface debondings. “Composite Structures” 1991, 17, 4, p. 331- 350.

Temat realizowany w ramach grantu DS-MK 21-388/2011.