Probabilistische niveau II berekeningen toegelicht aan de hand van voorbeelden met twee stochasten

(1)

MET TWEE STOCHASTEN i r . W. M e e r m a n s c . i .

n r .

13780506 V

2e h e r z i e n e d r u k a p r i l 1983 T e c h n i s c h e H o g e s c h o o l D e l f t A f d e l i n g d e r C i v i e l e T e c h n i e k V a k g r o e p W a t e r b o u w k u n d e

(2)

N I V E A U - I I B E R E K E N I N G E N T O E G E L I C H T VOOR TWEE STOCHASTEN De k a n s op b e z w i j k e n a l s g e v o l g v a n o v e r s c h r i j d i n g v a n h e t d r a a g v e r m o g e n v a n de p a a l f u n d e r i n g v a n e e n w a t e r k e r e n d e c o n s t r u c t i e a l s g e s c h e t s t i n f i g . 1 w o r d t o n d e r z o c h t . V o o r de e e n v o u d w o r d t v e r o n d e r s t e l d d a t h e t v e r s c h i l t u s s e n de b o v e n - e n de b e n e d e n w a t e r s t a n d k l e i n i s t . o . v . de b o v e n w a t e r s t a n d : H,. - H „ < < H^ . l i K 1/ A l s g e v o l g h i e r v a n k a n h e t a a n g r i j p i n g s p u n t v a n de r e s u l t e r e n d e k r a c h t d o o r h e t v e r s c h i l i n w a t e r d r u k o v e r de c o n s t r u c t i e w o r d e n a a n g e n o m e n op \ H^ b o v e n de bodem, t e r w i j l de k r a c h t z e l f e e n g r o o t t e k r i j g t v a n B § (Hj^ - Hj^) ( z i e f i g . 2 ) . De m a x i m a l e ( b r e u k - ) s p a n n i n g i n e e n f u n d e r i n g s p a a l w o r d t g e s t e l d op p N/m^. De g e b r u i k t e g r o o t h e d e n w o r d e n n a d e r o m s c h r e v e n i n t a b e l I .

(3)

r .

i « — ^ — - I

De p a a l b e l a s t i n g S w o r d t : S = ^ G + ^ o f S = 1 G + 1 /'w ^ « L ( \ -

V ^

( 1 ) H e t p a a l d r a a g v e r r a o g e n R i s : R = p A A l s S > R z a l de p a a l b e z w i j k e n . A l s b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e z w o r d t g e d e f i n i e e r d : . 4 ƒ P /'w g

^ l ' ~

^R^ ^ z = p A - - i - f G + B e z w i j k e n z a l o p t r e d e n a l s z e e n w a a r d e ( O a a n n e e m t , z = z ( X ^ , X ^ ) L I N E A I R I N X^ EN X^. X^ EN X^ NORMAAL ( 2 ) ( 3 ) V E R D E E L D S t e l , d a t z o w e l de b r e u k s p a n n i n g v a n e e n f u n d e r i n g s p a a l p a l s c o n s t r u c t i e g e w i c h t G n o r m a a l v e r d e e l d e s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n z i j n , t e r w i j l a l l e a n d e r e p a r a m e t e r s d e t e r m i n i s t i s c h e g r o o t h e d e n z i j n . De v e r o n d e r s t e l d e e i g e n -s c h a p p e n v a n de p a r a m e t e r -s z i j n w e e r g e g e v e n i n o n d e r -s t a a n d e t a b e l :

(4)

V a r i a - O m s c h r i j v i n g b e l e P A G g B 1 w b r e u k s p a n n i n g f u n d e r i n g s p a a l o p p e r v l a k d w a r s d s n , p a a l ( s c h i j n b a a r ) c o n s t r . g e w i c h t s o o r t e l i j k e m a s s a v a n w a t e r v e r s n e l l i n g t . g . v . de z w a a r t e -k r a c h t b o v e n w a t e r s t a n d b e n e d e n w a t e r s t a n d p i j l e r a f s t a n d p a a l a f s t a n d V e r d e -l i n g N D N D D D D D D G e m i d d e l d e 1 11 X 10^ N/m^ 20 X 10^ N 3

1000 kg/m'

9,812

m/s 20 m 17 m 63 m ^0 m 2 S t a n d a a r d -a f w i j k i n g ^ x . 1 1,1 X 10^ N/m' k X 10^ N/m' N = n o r m a a l v e r d e e l d e g r o o t h e i d D = d e t e r m i n i s t i s c h e g r o o t h e i d T a b e l I I n e e n n i v e a u I l - b e r e k e n i n g w o r d t de b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e g e l i n e a r i s e e r d . S t e l , d a t z e e n f u n c t i e i s v a n n n o r m a a l v e r d e e l d e s t o c h a s t i s c h o n a f h a n k e -l i j k e v a r i a b e -l e n : z = f ( x ^ , x ^ , x ^ , , x ^ )

ik

) D e z e f u n c t i e k a n i n h e t p u n t ( x ^ * , x ^ * , x ^ * , , x ^ * ) w o r d e n o n t w i k k e l d i n e e n T a y l o r r e e k s . B i j l i n e a r i s e r e n w o r d e n t e r m e n met o r d e h o g e r d a n é é n v e r w a a r l o o s d . B i j b e n a d e r i n g w o r d t d a n : z = f ( x ^ , x ^ , x ^ , , x ^ ) ^ f ( x ^ * , x ^ * , X j * , , x ^ * ) + n _{^ f} - ( ^ i - V )

^ f t K . =

X . * 1=1 1 1 1 ( 5 ) è f w a a r i n ( ^ • J " ) ^ ^ _ ^ * p a r t i ë l e a f g e l e i d e v a n f n a a r i n h e t p u n t x^- x^* i i ~ i v o o r s t e l t . z i s n u g e s c h r e v e n a l s e e n s o m m a t i e v a n n o r m a a l v e r d e e l d e s t o c h a s t i s c h o n -a f h -a n k e l i j k e v -a r i -a b e l e n , w -a -a r d o o r z e v e n e e n s e e n n o r m -a -a l v e r d e e l d e v -a r i -a b e l e i s met g e m i d d e l d e / t ^ ~ ^^•]* ^ ^ 2 * ' "^^3*' ' "^n* ^ f + I ik - X.*) ( ^ ) / X. .1 hx. X. = 1=1 1 X. * 1 1 1 ( 6 )

(5)

^ 3 f ^ e n s t a n d a a r d a f w i j k i n g 0"^ = \ l ^ (-^^ ) 7>x. X.

= X.

_X.

( 7 ) i= 1 i i l l I n h e t o n d e r h a v i g e v o o r b e e l d ( g e t a l w a a r d e n u i t t a b e l I i n g e v u l d ) w o r d t z , - „ 1000 « 9 , 8 1 2 H 20 ( 2 0 - 17) H 63 z = p « 3 - 1 G 2 i n ï ö ( 3 a ) o f z = 3 p - l G - 9272340 ( 8 ) U i t ( 5 ) v o l g t : z 3 p* - -i G* - 92723^0 + ( p - p * ) H 3 + ( G - G*) H ( - 1 ) o f z = 5 P - - J G - 9 2 7 2 3 ^ 0 . D a t d i t g e l i j k i s a a n ( 8 ) b e h o e f t g e e n v e r w o n d e r i n g t e w e k k e n . I m m e r s , (8 ) ( v o l g e n d u i t ( 3 ) ) w a s r e e d s e e n l i n e a i r e f u n c t i e i n p e n G. ( V e r d e r o p z u l l e n p e n a l s s t o c h a s t e n w o r d e n b e s c h o u w d . D a n i s z g e e n l i n e a i r e f u n c t i e i n p e n H^^). H e t d o e t e r i n d i t g e v a l n i e t t o e , i n w e l k p u n t z w o r d t g e l i n e a r i s e e r d . De f u n c t i e z = z ( p , G ) k a n w o r d e n v o o r g e s t e l d a l s e e n v l a k i n d e r u i m t e ( z i e f i g . 3 ) .

(6)

6 -H e t v e r l o o p v a n de b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e z e l f i s n i e t zo b e l a n g r i j k . We z i j n s l e c h t s g e ï n t e r e s s e e r d i n d i e c o m b i n a t i e s v a n w a a r d e n v a n p e n G w a a r -v o o r z e e n w a a r d e k l e i n e r d a n n u l a a n n e e m t . De s c h e i d i n g t u s s e n z > O e n z < O w o r d t g e v o r m d d o o r de c i l i n d e r met r i c h t k r o m m e de d o o r s n i j d i n g v a n de b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e met h e t v l a k z = O e n b e s c h r i j v e n d e n e v e n w i j d i g a a n de z - a s . I n f i g . 3 l i g g e n p u n t e n met z < O r e c h t s v a n de ( r e c h t e ) r i c h t l i j n . I n h e t o n d e r h a v i g e v o o r b e e l d i s de v e r g e l i j k i n g v a n de c i l i n d e r : p = - j - ( 1 G + 92723^^0) ( 9 ) I n d i t g e v a l i s de c i l i n d e r o n t a a r d i n e e n p l a t v l a k , e v e n w i j d i g a a n de z - a s De v r a a g i s n u : w a t i s de k a n s op a l l e c o m b i n a t i e s v a n p - e n S - w a a r d e n w a a r u i t e e n w a a r d e v a n de b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e z < O v o l g t . Z o w e l p a l s G z i j n n o r m a a l v e r d e e l d e n o n g e c o r r e l e e r d v e r o n d e r s t e l d . De k a n s d i c h t h e i d v a n z w o r d t d a n g e v o n d e n a l s h e t p r o d u k t v a n de a f z o n d e r l i j k e k a n s d i c h t h e d e n v a n p e n G. De g e z a m e n l i j k e k a n s d i c h t h e i d v a n p e n G k a n w o r d e n v o o r g e s t e l d a l s e e n " G a u s s h o e d " ( z i e f i g . 4 ) . D o o r op de p e n G a s a l s e e n h e i d de s t a n d a a r d -a f w i j k i n g v -a n p r e s p . G t e k i e z e n w o r d t de " G -a u s s h o e d " r o t -a t i e s y m r -a e t r i s c h . De r o t a t i e - a s i s de r e c h t e e v e n w i j d i g a a n de z - a s d o o r h e t p u n t (^t , /WQ) • De g e v r a a g d e k a n s i s nu de i n h o u d o n d e r de " G a u s s h o e d " r e c h t s v a n de c i l i n -d e r met a l s r i c h t k r o m m e -de -d o o r s n i j -d i n g v a n -de b e t r o u w b a a r h e i -d s f u n c t i e met h e t v l a k z = O e n b e s c h r i j v e n d e n e v e n w i j d i g a a n de z - a s . V e e l a l w o r d t f i g . k w e e r g e g e v e n a l s e e n b o v e n a a n z i c h t ( z i e f i g . 5 ) w a a r i n de c i r k e l s ƒ3 = 1, ƒ3 = 2 e t c . z i j n g e t r o k k e n r o n d h e t m i d d e l p u n t (^^^ /'Q) e n met s t r a l e n v a n r e s p . Im, 2», ... de l e n g t e m a a t v a n de s t a n d a a r d a f w i j -k i n g ( d i e i m m e r s op b e i d e a s s e n g e l i j -k i s g e -k o z e n ) . V o l g e n s ( 6 ) e n ( 8 ) i s h e t g e m i d d e l d e v a n z: / 2 " 3 p* - l G* - 9.272.3^+0 + (^^ - p * ) H 3 + (^^ - G*) H ( - 1 ) o f /^^ = - 9 . 2 7 2 . 3 ^ 0 + 3 M 11 H 1 0 ^ - 1 H 2 0 H 1 0 ^ = 1 3 . 2 7 2 . 6 6 0 K V o l g e n s ( 7 ) e n ( 8 ) i s de s t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n z : (T^ = y . 3 ^ « « 1 0 ^ ) + ( - 1 ) ^ « ( i f H 1 0 ^ ) 3 . 8 5 a . 7 5 6 , l 8 N

(7)

(8)

8 -De b e t r o u w b a a r h e i d s i n d e x ƒ3 i s g e d e f i n i e e r d a l s f2. z z o d a t v o o r d i t g e v a l : A ~ 1 3 . 2 7 2 . 6 6 0 ^ , , ' 3 . 8 5 8 . 7 5 6 , , 2 8 ~ ^ ' ^ ^ D i t i s i n f i g . 5 w e e r g e g e v e n d o o r h e t l i j n s t u k MT. H e t p u n t T: 1) l i g t op de l i j n , g e d e f i n i e e r d d o o r z = O e n 2) h e e f t op d e z e l i j n de m a x i m a l e k a n s d i c h t h e i d . U i t d e n o r m a l e v e r d e l i n g ( " o p z o e k e n " i n e e n t a b e l v o o r de n o r m a l e v e r d e l i n g ) k a n n u e e n v o u d i g de k a n s op b e z w i j k e n w o d e n b e p a a l d : P r ( z ^ O) = 1 - ^ (ƒ!) ( 1 1 ) h e t g e e n v o o r h e t o n d e r h a v i g e g e v a l o p l e v e r t : P r ( z ^ O) = 1 - ^ (3,4't.) 0 , 0 0 0 2 9 0 9 ... o f c a . 2 , 9 * 10"^ Om de m a t e w a a r i n e e n b e p a a l d e p a r a m e t e r i n v l o e d h e e f t op h e t b e z w i j k e n t e b e o o r d e l e n , w o r d t z j j n a a n d e e l i n de t o t a l e v a r i a n t i e b e s c h o u w d : P a r a m e t e r V a r i a n t i e V a r i a n t i e v a n z A a n d e e l p ( 3 * ( 1 , 1 * 10*") P 73% P r 2 ( 3 . 8 5 8 . 7 5 6 , 2 8 ; ^ G ( - 1 ) ^ * ( i f * 10*^)

2.r/o

T e r v e r h o g i n g v a n de v e i l i g h e i d z a l d u s e e r d e r " i e t s " m o e t e n w o r d e n g e d a a n a a n de p a a l b r e u k s t e r k t e ( b v . d o o r e e n m e e r c o n s t a n t e o f b e t e r e b e t o n k w a l i t e i t v o o r d e p a l e n t e g e b r u i k e n ) d a n t e s t r e v e n n a a r e e n c o n s t a n t e r o f l a -g e r ( s c h i j n b a a r ) c o n s t r u c t i e -g e w i c h t . z = z ( X ^ , X2) N I E T L I N E A I R I N X-^ EN X j - 2^1 NORMAAL V E R D E E L D V e r o n d e r s t e l l e n we n u , d a t n i e t h e t ( s c h i j n b a a r ) c o n s t r u c t i e g e w i c h t G, m a a r h e t o p p e r v l a k v a n de d w a r s d o o r s n e d e A, v a n e l k d e r f u n d e r i n g s p a l e n n o r m a a l 2 2 i s v e r d e e l d , met g e m i d d e l d e jA^ = . 3 m e n s t a n d a a r d a f w i j k i n g (X^ = 0 , 5 m . De n u g e h a n t e e r d e g e g e v e n s z j j n w e e r g e g e v e n i n de v o l g e n d e t a b e l :

(9)

V a r i a b e l e P A G g V e r d e l i n g G e m i d d e l d e

,6

H B 1 R N N D D D D D D D

11 * 10

20 * 10

1000

kg/m

9,812

m/s

20 ra

17

m

65

m

kO ra

N/m' N

5

2

S t a n d a a r d a f w i j k i n g

1,1 * 10^

N/ra^

0,5

T a b e l I I N = n o r m a a l v e r d e e l d e g r o o t h e i d D = d e t e r r a i n i s t i s c h e g r o o t h e i d D e z e g e g e v e n s i n g e z e t i n v g l . ( 3 ) l e v e r t :

z = p A - 19.272.3^0

L i n e a r i s e r e n v o l g e n s v g l . ( 5 ) g e e f t :

**z Ki3.272.66O + ( p - 11 * 10^) * 3 + (A - 5 •) * 11 * 10^**

o f

**z x 3 * p + 11 * 10^ A - 52.272.3^+0**

(12 )

(13 )

w a a r b i j i s g e l i n e a r i s e e r d i n h e t p u n t (/*p>/*y^» ^ ^Ap' /'a'^^'

(10)

-10-D e n k e n we o n s b o v e n h e t v l a k z = O w e e r e e n k a n s d i c h t h e i d s b e r g ( " G a u s s h o e d " ) a l s i n f i g . ^t, d a n b l i j k t d a t de l i n e a r i s e r i n g i n i^^, yU^, z ija^, y U ^ ) ) e e n s l e c h t e b e n a d e r i n g g e e f t v o o r de u i t e i n d e l i j k e k a n s b e r e k e n i n g ( z i e f i g . 7 ) . I n h e t h o r i z o n t a a l g e a r c e e r d e g e b i e d r e c h t s b o v e n i n f i g . 7 i s d i t n i e t z o e r g . De k a n s b e r g i s d a a r l a a g ( m e e r d a n c a . '+,2* de s t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n h e t g e m i d d e l d e v e r w i j d e r d ) e n de i n h o u d d a a r o n d e r d r a a g t d u s n i e t v e e l b i j a a n de b e z w i j k k a n s . Bij v e r w a a r l o z e n v a n d i t g e b i e d w o r d t de b e z w i j k k a n s i e t s t e k l e i n b e r e k e n d . V e e l m e e r a f w i j k i n g v a n de b e z w i j k k a n s w o r d t v e r o o r z a a k t d o o r h e t i n f i g . 7 v e r t i c a a l g e a r c e e r d e " t e v e e l m e e g e n o m e n " o p p e r v l a k ( e n d u s de i n h o u d o n d e r de e r b o v e n g e l e g e n k a n s d i c h t h e i d s b e r g ) . De k a n s d i c h t h e i d i n d i t g e b i e d i s g r o o t omdat h e t v l a k r o n d h e t g e m i d d e l d e l i g t . D o o r l i n e a r i s e r i n g v a n z i n (yltp, yw^, z (^p, JU^)) w o r d t ( i n d i t g e v a l ) de b e z w i j k k a n s s t e r k o v e r s c h a t . E e n b e t e r e b e n a d e r i n g v a n de b e z w i j k k a n s w o r d t g e v o n d e n i n d i e n z g e l i n e a r i -s e e r d w o r d t i n h e t p u n t op z = O d a t de m a x i m a l e k a n -s d i c h t h e i d h e e f t , h e t z . g . " d e s i g n p o i n t " P ( z i e f i g . 8 ) . Om d i t p u n t t e k u n n e n b e r e k e n e n ( w a a r -v o o r ook s t a n d a a r d n u m e r i e k e s u b r o u t i n e s b e s t a a n ) k a n w o r d e n b e d a c h t , d a t l o o d r e c h t op z = O s t a a t i n d i e n a l s e e n h e d e n op de a s s e n de s t a n d a a r d a f w i j k i n g e n v a n de r e s p e c t i e v e l i j k e v a r i a b e l e n z i j n g e k o z e n . PM i s d a n de a f -s t a n d v a n M t o t de l i j n z = O. N o r m e r e n we (12 ) v o l g e n s de s t a n d a a r d a f w i j k i n g e n i n h e t v l a k z = O:

**p ff * k <r - 19.272.5^0 = O**

(11)

o f

1,1 * 10^ * J * 0,5 * A - 19.272.3^+0 = 0 (1^+ )

dan kunnen de coördinaten van een w i l l e k e u r i g punt K op deze kromme worden

geschreven a l s :

19.272.3^0

1,1 * 10 * 0,5 A

= A

^ 35,0^+06

A

(15 )

Het punt M h e e f t a l s coördinaten:

-M

= 10 )

) = 6 )

(16 )

De a f s t a n d van een punt op de kromme t o t h e t punt M w o r d t gegeven door:

(17 )

W i l h e t ( w i l l e k e u r i g gekozen) punt K h e t ( g e d e f i n i e e r d e ) punt P v o o r s t e l

-l e n , dan moet de -l e n g t e van KM m i n i m a a -l z i j n ;

(18 )

mm

(PM2) . ( 3 5 ^ . 10)2 ^ ( L - 6 ) 2

(12)

1 2

-en moet:

d (PM^) _ 2if55, 689845 ^ 700,8125636 ^ „ ; 1? - n

d Ap Ap

o f

2 Ap'^ -

12 Ap^ + 700,8123636 Ap - 2455, 689845= O (19 )

w a a r u i t Ap moet worden o p g e l o s t .

I n h e t algemeen i s een v i e r d e g r a a d s v e r g e l i j k i n g n i e t a n a l y t i s c h o p l o s b a a r .

(19 ) z a l dan ook numeriek moeten worden o p g e l o s t , b i j v o o r b e e l d met een

p r o c e d u r e van Newton Raphson. Voor Ap w o r d t gevonden: Ap 3.854697

waar-u i t een waarde voor p v o l g t van 9,090369 ( b i j v o o r b e e l d door m i d d e l van

(15 ) .

Voor PM = y9 v o l g t u i t deze waarden:

fi X

2,330183

De h i e r v o o r vermelde s t a n d a a r d numerieke s u b r o u t i n e s voor de b e p a l i n g van

p

werken a n d e r s . Een mogelijkheid i s weergegeven i n onderstaand r e k e n s c h e

-m a : ( z i e ook f i g . 9. Voor h e t co-mputerprogra-m-ma z i e b i j l a g e I ) .

1) l i n e a r i s e e r de genormeerde b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e z i n een gekozen punt

( b i j v o o r b e e l d h e t punt

iu^,u.

, z

i^^,

/« ) ) i n h e t o n d e r h a v i g e v o o r b e e l d ) .

A ' p A p

2) b e p a a l op de d o o r s n i j d i n g van de g e l i n e a r i s e e r d e f u n c t i e met h e t v l a k

* )

z = O h e t punt met de maximale k a n s d i c h t h e i d

3) b e p a a l de waarde van de b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e z i n d i t p u n t . I n d i e n

deze minder dan € ( |£( " w i l l e k e u r i g k l e i n " ) van O ( n u l ) a f w i j k t , i s h e t

" d e s i g n p o i n t " gevonden, zo n i e t , h e r h a a l de procedure dan v a n a f 1 ) ,

waarbij nu w o r d t g e l i n e a r i s e e r d i n h e t onder 2) gevonden p u n t .

Deze p r o c e d u r e c o n v e r g e e r t voor monotone b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e s , ( z . b i j l . 4 )

U i t de b e t r o u w b a a r h e i d s i n d e x ƒ3 = 2,33 ••• kan de bezwijkkans m.b.v. de n o r

-male v e r d e l i n g worden berekend:

Pr ( z ^ O) = 1 - ^ ( 2 , 3 3 •••) ^ 9,9 * 10"^

* ₎

D i t komt erop neer, d a t i n h e t z = O-vlak een l o o d l i j n wordt n e e r g e l a t e n

u i t h e t punt (/<A,

M )

op de ( l i n e a i r e ) d o o r s n i j d i n g . Het v o e t p u n t van

A ^ p

deze l o o d l i j n i s h e t punt met maximale k a n s d i c h t h e i d op de l i n e a i r e

door-s n i j d i n g .

(13)

^iel

voer

Me

Xl :

Pereken:

Bereken y^Mle 4:

J^erêken

I

Peteken

perekcn vtor^lLei:

.3 3 - i f ^

Pereke^

UI i roer:

Pereken

(14)

De w e r k e l i j k e bezwijkkans z a l i e t s g r o t e r zijn, n l . de i n h o u d onder de

kans-d i c h t h e i kans-d s b e r g kans-d i e i n f i g . 8 boven h e t gearceerkans-de g e kans-d e e l t e l i g t .

De b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e

z = p A - 19.272.340 ( 1 2 )

g e l i n e a r i s e e r d i n h e t " d e s i g n p o i n t " (3,854697 * 0,5 ,9,090369 * 1,1 * 10^,0)

o f (1,9273485 ^9,9994058' * 10 ,0) w o r d t v o l g e n s ( 5 ) :

z » 1,927.348.5 * 9,999.405.8 * 10^ - 19.272.340 + ( p - 9,999.405.8* 10^)

* 1,927.348.5+(A - 1,927.348.5)«9,999.405.8* 10^

o f

z K 1,927.348.5p + 9,999.405..8 10^ * A - 38.544.680 ( 2 0 )

h e t g e e n een ANDERE r e c h t e i s dan (13 ) .

We c o n t r o l e r e n door deze t e berekenen a l s h e t q u o t i e n t van

JU.^

en CT^.

Volgens ( 6 ) en (20 ) i s h e t gemiddelde van z:

~ ^/p " 9,999.405.8* 10^) * 1,927.348.5+ (/^ " 1,927.348.5)

* 9,999.405.8* 10^

o f

/U^ = 12.654.371

Volgens ( 7 ) en (20 ) i s de s t a n d a a r d a f w i j k i n g van z:

(T^ ^ \^i,927.34^5^ 1,1^ * 10^^ + 9,999.^5.8^ * 10^2 * 0,5^*

o f

cr = 5. 430.. 634 N

/2>zz —

= 12»654,371 _ 2,330.183, hetgeen overeenkomt met de e e r d e r berekende

5.430.634 waarde

Analoog aan h e t e e r s t e v o o r b e e l d beschouwen we nog de aandelen van de v a r i

-a n t i e s v-an b r e u k ( d r u k ) s p -a n n i n g i n de p -a -a l : p en h e t o p p e r v l -a k v-an de dw-ars-

dwars-doorsnede van de p a a l : A i n de t o t a l e v a r i a n t i e .

Parameter V a r i a n t i e V a r i a n t i e van z Aandeel

P 1,927.348.5^ 1,1^ * 10^2 '^^'^

29,4917825 * 10

(15)

H i e r u i t b l i j k t d a t , w i l l e n we de kans op bezwijken v e r k l e i n e n , h e t e f f e c t i e

-ver i s " i e t s " aan de dwarsdoorsnede A t e doen ( b v . h e t o p p e r v l a k van de

dwarsdoorsnede v e r g r o t e n , waardoor

U. w o r d t v e r g r o o t ) dan aan de b r e u k

-d r u k s p a n n i n g p.

z = z (X^, X^) NIET LINEAIR IN X^ EN X^. X-i X^ NIET BEIDE NORMAAL VERDEELD

V e r o n d e r s t e l l e n we nu de p a a l d r u k b r e u k s p a n n i n g p en de b o v e n w a t e r s t a n d H

L

a l s v a r i a b e l e n i n ons probleem ( z i e f i g .

1 ) .

De parameter p w o r d t weer a l s

een normaal v e r d e e l d e s t o c h a s t aangenomen met

**u = 11 * 10^**

N/m^ en

6 2 P

(Tp =

1,1 * 10

N/m . A l s t o e v o e g i n g bij de parameter wordt een mogelijke

o p w a a i i n g i n beschouwing genomen. De o v e r s c h r i j d i n g s k a n s van w o r d t

v e r o n d e r s t e l d een exponentiële v e r d e l i n g t e hebben v o l g e n s :

H

_ ( _ o _ )

Pr (H > H ) = e

( 2 1 ) —O O

Deze k a n s v e r d e l i n g , nu geschreven a l s o n d e r s c h r i j d i n g s k a n s , z o a l s g e b r u i

-k e l i j -k i n de s t a t i s t i e -k :

H

• ( ° )

Pr (H ^ H ) =

1

- e

( 2 2 ) — O

o

i s g r a f i s c h weergegeven i n f i g .

1 0 .

(16)

-16-T h e o r e t i s c h k a n de o p w a a i i n g v o l g e n s deze v e r d e l i n g o n e i n d i g g r o o t worden.

De v e r o n d e r s t e l l i n g , waaronder v g l . ( 3 ) werd a f g e l e i d , n l . d a t h e t w a t e r

-s t a n d -s v e r -s c h i l k l e i n zou z i j n , gaat dan n i e t meer op.

Een b e p e r k i n g v o o r de bovenwaterstand w o r d t gevormd door de hoogte van de

c o n s t r u c t i e : H ( z i e f i g . 2 ) . V e r o n d e r s t e l l e n we, d a t de b o v e n w a t e r s t a n d

n i e t hoger k a n komen dan de bovenkant van de c o n s t r u c t i e , en d a t

maxi-maal 0,5 m b e d r a a g t . (Of d i t f y s i s c h reëel i s , l a t e n we h i e r b u i t e n be¬

*)

s c h o u w i n g ) . We v e r o n d e r s t e l l e n voor de o p w a a i i n g dus een AFGEKAPTE

ex-ponentiële v e r d e l i n g . De kans, d a t een o p w a a i i n g t u s s e n O en 0,5 ni o p t r e e d t

w o r d t op 100% g e s t e l d .

A l s nieuwe k a n s v e r d e l i n g voor de o p w a a i i n g w o r d t g e d e f i n i e e r d : ( z i e f i g . 11)

fö

a l s H ^ 0

H

Pr (H ^ H ) =

—o ^

O

1 0,31

(1-e

^'^'^)^^ *

(1-e °'5'')als

O < ^

0,5

1-e

p a l s H > 0,5

(23 )

Bij p r o b a b i l i s t i s c h e beschouwingen z a l men z i c h s t e e d s moeten a f v r a g e n o f

het w i s k u n d i g model de f y s i s c h e r e a l i t e i t d e k t . H i e r o p w o r d t i n een

volgende p a r a g r a a f nader ingegaan.

(17)

I n v g l . ( 3 ) k a n de o p w a a i i n g a l s " t o e s l a g " op de ( v a s t e ) w a t e r s t a n d

worden i n g e b r a c h t :

z = p A -

. r ^w

s

(H^ + H ) 2 (H +

L

O

L

« 0

- ^ X

z = p A

-t

j ^ +

1

J

De h i e r b i j gehanteerde gegevens zijn opj

genomen i n t a b e l I I I

V a r i a b e l e

V e r d e l i n g

Gemiddelde

S t a n d a a r d a f w i j k i n g

P

N

11 * 10^ N/m^

1,1 * 10^ N/m^

A

D

3 -G

D

20 * 10^ N/m^

-/^w

D

1000 kg/m-^

-g

D

9,812 m/s^

D

20 m

L

H

o

AE

a O , l 8 5 7 m

*

)

^ 4,46673 "1

D

17 ra

-B

D

63 m

-1

D

ko

m

(24 )

N = normaal v e r d e e l d e g r o o t h e i d

Tabel I I I

AE= g r o o t h e i d met A f g e k a p t e Exponentiële v e r d e l i n g

*)

Deze waarden zijn voor h e t v e r v o l g n i e t v a n b e l a n g

De k a n s d i c h t h e i d van de o p w a a i i n g w o r d t v e r k r e g e n door differentiëren van

(23 ) :

H

p (H^)

c:

4 * 0,31

O

0,31

Ï 7 2 ¥

0,31

_voor

_{O < E (}

_0,5

_{(25 )}

e l d e r s

en i s weergegeven i n f i g .

1 2 .

(18)

-18-De gezamenlijke k a n s d i c h t h e i d s f u n c t i e van p en i s nu geen "Gausshoed"

meer. De k a n s d i c h t h e i d s b e r g h e e f t een vorm a l s g e s c h e t s t i n f i g . I J .

(NB.

z i j n ) .

(NB. p ( p , H^) = p ( p ) * p (H^) omdat p en s t o c h a s t i s c h o n a f h a n k e l i j k

I n d i e n i n v g l . ( 2 4 ) de numerieke gegevens van t a b e l I I I worden v e r w e r k t ,

o n t s t a a t :

r

1000 * 9,812 * (20 + H ) 2 * (20+H -1?) * 63

z = p * 3 - ^ * 20 * 10^ . 2

o f

z = 3 p - 7.726,95 H ^- 332.258,85 H 2- 4.018.014 H - 19.272.340 (26 )

O ' 0 O

(19)

Voor de v a s t s t e l l i n g van de bezwijkkans moet de i n h o u d van de k a n s d i c h t

-h e i d s b e r g van f i g . 13 boven -h e t g e b i e d w a a r i n z < O ( g e a r c e e r d i n f i g . 1 4 )

worden b e p a a l d .

A l s b e n a d e r i n g kan de k a n s v e r d e l i n g van H ( f i g . 10, v g l . (23 ) ) worden

* ) °

vervangen door een normale v e r d e l i n g . H i e r d o o r w o r d t f i g . 13 v e r v a n g e n

door een "Gausshoed". De v r a a g i s nu: door welke normale v e r d e l i n g moet

de k a n s v e r d e l i n g van H^ worden vervangen?

Het i s mogelijk een gegeven v e r d e l i n g i n een b e p a a l d punt t e vervangen door

een normale v e r d e l i n g d i e i n d a t punt d e z e l f d e kans en d e z e l f d e k a n s d i c h t

-h e i d ( r a a k l i j n i n d a t p u n t ) -h e e f t a l s de gegeven v e r d e l i n g .

De p r o c e d u r e w o r d t t o e g e l i c h t aan de hand van f i g . 15

S t e l , we w i l l e n de k a n s v e r d e l i n g , v o o r g e s t e l d door de g e t r o k k e n l i j n i n

*

f i g .

I 5

- I v o o r de waarde H = H benaderen door een normale v e r d e l i n g ,

0 0 ^

d i e v o l d o e t aan bovenomschreven voorwaarden. Bij de waarde H^ kan u i t de

gegeven k a n s v e r d e l i n g Pr (H^ ( H^) = g (H^) de kans Pr (H^ ^ H^ ) worden

b e r e k e n d .

We beschouwen nu een "eenheidsnormale" v e r d e l i n g ( d . i . een normale v e r d e

-l i n g met gemidde-lde O ( n u -l ) en s t a n d a a r d a f w i j k i n g 1 (één), v o o r g e s t e -l d door

NB. Het vervangen van w i l l e k e u r i g welke v e r d e l i n g door normale v e r d e l i n

-gen i s kenmerkend voor "Niveau I l - b e r e k e n i n g e n " .

(20)

-20-^5 (X ^ X) . ( Z i e de g e t r o k k e n l i j n i n f i g . 15 - I I ) . We b e p a l e n de waarde van

* * *

de s t o c h a s t X, s t e l X , waarvoor ^ ( X ^ X ) = Pr (H^ ^ ) door i n v e r s i e

( " t e r u g z o e k e n " i n een t a b e l voor de normale v e r d e l i n g ) : gegeven de kans,

v i n d t dan de waarde voor de s t o c h a s t d i e daarbij b e h o o r t :

X* = ( P r (H ^ H * ) ) .

' —O O

De waarde v a n de k a n s d i c h t h e i d v o l g e n s een "eenheidsnormale" k a n s d i c h t

-h e i d s f u n c t i e , d i e bij deze waarde X b e -h o o r t (aangegeven door

^ ( X * ) = ( P r (H^ <^ ^o*^'') ^ w o r d t i n f i g . 15-IV aangegeven door

het l i j n s t u k FC.

if

De gegeven k a n s d i c h t h e i d ( p (H^ ) , z i e f i g . 1 5 - I I I ) i s i n f i g . 15-IV

weergegeven door h e t l i j n s t u k EF. W i l de k a n s d i c h t h e i d van de benaderende n o r

male v e r d e l i n g g e l i j k zijn aan de gegeven k a n s d i c h t h e i d , dan moeten de o r d i

-n a t e -n i -n f i g . 15 -IV met ee-n f a c t o r EF/CF worde-n v e r g r o o t . Het o p p e r v l a k

onder de Gausskromme moet e c h t e r ( v o l g e n s d e f i n i t i e van k a n s d i c h t h e i d ) 1 (één)

b l i j v e n . A l s de o r d i n a t e n i n f i g . 15IV met een f a c t o r EF/CF worden v e r

-g r o o t , dan moeten de a p s i s s e n worden v e r m e n i -g v u l d i -g d met een f a c t o r CF/EF.

Een kenmerkende apsiswaarde i s de s t a n d a a r d a f w i j k i n g , d i e 1 (één) was, en

d i e dus ook moet worden v e r m e n i g v u l d i g d met een f a c t o r CF/EF.

N

De s t a n d a a r d a f w i j k i n g van de vervangende normale v e r d e l i n g (Tu w o r d t dan:

H

o

N

CF

f { f ' '

^o^A

V = " =

—

-

—

° ^ (27 )

i i ^=:ït

_{o EF P}

/-TT \

(21)

I n h e t punt B van f i g . 1 5 - 1 1 k r i j g t de ( d o o r een o n d e r b r o k e n l i j n

aangege-*

ven) benaderende normale v e r d e l i n g nu een r a a k l i j n met een h e l l i n g p (H^ ) .

De benaderende normale v e r d e l i n g kan worden geschreven a l s

N

- ( — — ) en deze moet voor X = X de gegeven waarde Pr (H^ ^ )

**^ -/^E^* , N**

aannemen. Bijgevolg moet g e l d e n :

<i

(

^

—

-

) = Pr (H^ ^ ) , w a a r i n ^

cr °

H *

O

nu nog a l s e n i g e onbekende o v e r b l i j f t . Deze l o s s e n we a l s v o l g t op:

* N

X ,

H

i t ƒ ( ^ — ^ ) = Pr (H^ ^ ) v o l g t :

U i t

cr *

H

O

* N

X

-^E *

f p r

(4 ^ H;)}

o f

N

r *

H

O

N

*

H

O

I n d i e n we nu voor H en X d e z e l f d e s c h a l e n k i e z e n (m.a.w. i n p l a a t s van X

O

nu s c h r i j v e n ) , dan w o r d t h e t gemiddelde van de vervangende normale v e r

-d e l i n g :

N

H * - - i " " ' H

O O

V g l . (27 ) en v g l . (28 ) k a r a k t e r i s e r e n samen de vervangende normale ver¬

*

d e l i n g i n h e t punt = .

*

L i g t de vervangende normale v e r d e l i n g eenmaal v a s t door de keuze van H ,

dan kan h e t rekenschema u i t de v o r i g e p a r a g r a a f worden t o e g e p a s t om een

* )

" d e s i g n p o i n t " t e v i n d e n .

Ook h i e r r i j s t de v r a a g o f de b e r e k e n i n g nog w e l b e t r e k k i n g h e e f t op de

f y s i s c h e r e a l i t e i t . De vervangende normale v e r d e l i n g l a a t n l . waarden van

Ho t o e , d i e l o p e n van

-00

t o t +00, t e r w i j l v o l g e n s de gegeven k a n s v e r d e

-l i n g

H

Q begrensd i s . I n de volgende p a r a g r a a f w o r d t h i e r o p nader ingegaan.

(22)

_22-Opgemerkt moet worden, d a t h e t a l d u s gevonden " d e s i g n p o i n t " a f h a n k e l i j k i s

van de keuze van h e t punt w a a r i n de vervangende normale v e r d e l i n g i s

b e p a a l d . A l s "beste b e n a d e r i n g " zouden we h e t l i e f s t h e t punt op de

door-s n i j d i n g van de b e t r o u w b a a r h e i d door-s f u n c t i e met h e t v l a k z = O k i e z e n , waarvoor

de k a n s d i c h t h e i d v o l g e n s de gegeven k a n s v e r d e l i n g e n maximaal i s , maar d a t

i s op voorhand n i e t bekend. Een rekenschema om d i t punt t e benaderen ( b e

-kend a l s een "Approximate f u l l d i s t r i b u t i o n approach") l u i d t a l s v o l g t :

1)

D e f i n i e e r een " d e s i g n p o i n t " d a t " o n e i n d i g v e r weg l i g t " en k i e s s t a r t

-waarden voor d i v e r s e s t o c h a s t e n .

2) Vervang de gegeven v e r d e l i n g e n van de n i e t - n o r m a a l v e r d e e l d e s t o c h a s t e n

i n de gekozen punten door benaderende normale v e r d e l i n g e n .

3) Normeer de b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e z en l i n e a r i s e e r deze i n de h i e r v o o r

bepaalde waarden van de s t o c h a s t e n .

k)

Bepaal op de d o o r s n i j d i n g van de g e l i n e a r i s e e r d e b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e

met h e t v l a k z = O h e t punt met de maximale k a n s d i c h t h e i d , waarbij

ge-b r u i k wordt gemaakt van de ge-benaderende normale v e r d e l i n g e n .

5) Bepaal de waarde van de b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e z i n d i t p u n t . I n d i e n

deze minder dan £ ( j£| " w i l l e k e u r i g k l e i n " ) van O ( n u l ) a f w i j k t , i s een

b e n a d e r i n g van het " d e s i g n p o i n t " gevonden, zo n i e t , h e r h a a l dan de p r o

-cedure vanaf 3) , waarbij nu g e l i n e a r i s e e r d w o r d t i n h e t onder

k)

gevon-den p u n t .

6) V e r g e l i j k h e t benaderde " d e s i g n p o i n t " met d a t , gevonden i n de v o r i g e

c y c l u s . ( I n de e e r s t e c y c l u s wordt v e r g e l e k e n met een " o n e i n d i g v e r "

d e s i g n p o i n t ) . I n d i e n h e t nieuw benaderde d e s i g n p o i n t minder dan ^

( 1 ^ 1 " w i l l e k e u r i g k l e i n " ) van het i n de v o r i g e c y c l u s bepaalde a f w i j k t ,

i s h e t d e s i g n p o i n t voldoende nauwkeurig benaderd. Zo n i e t , k i e s dan

a l s s t a r t w a a r d e n voor de d i v e r s e s t o c h a s t e n de waarden i n h e t nu

bena-derde d e s i g n p o i n t en s t a r t een volgende b e r e k e n i n g s c y c l u s , t e b e g i n n e n

bij 2 ) . E.e.a. i s weergegeven i n f i g . 16. Voor h e t computerprogramma:

z i e b i j l a g e I I .

DE 'RELATIE TUSSEN DE DIVERSE BEREKENINGEN EN DE FYSISCHE REALITEIT

B e r e k e n i n g e n i n de c i v i e l e t e c h n i e k hebben v e e l a l t o t d o e l , de c o n s t r u c t i e

zodanig t e d i m e n s i o n e r e n , d a t de kans op bezwijken onder de op d i e c o n s t r u c

-t i e werkende k r a c h -t e n aanvaardbaar k l e i n i s . H i e r b i j d i e n -t h e -t b e g r i p

"con-s t r u c t i e " r u i m t e worden opgevat. Bij waterbouv/kundige c o n "con-s t r u c t i e "con-s d i e n t

bv. de omringende grond waaraan de f u n d e r i n g zijn s t a b i l i t e i t o n t l e e n t ,

mede i n beschouwing t e worden genomen.

(23)

^fel ^ocr ^lle

y-4

^/"k

(24)

Een c o n s t r u c t i e k a n bezwijken a l s g e v o l g van v e l e mogelijke mechanismen.

Het i n h e t voorgaande behandelde v o o r b e e l d had b e t r e k k i n g op h e t

mecha-nisme: "bezwijken van de c o n s t r u c t i e a l s g e v o l g van o v e r s c h r i j d i n g v a n de

b r e u k d r u k s p a n n i n g i n de f u n d e r i n g s p a l e n " . Andere mechanismen voor de

con-s t r u c t i e i n f i g . 1 zijn b i j v o o r b e e l d :

1) o v e r s c h r i j d i n g van h e t opneembare b u i g e n d moment i n de f u n d e r i n g s p a l e n .

( I n h e t v o o r b e e l d werden de f u n d e r i n g s p a l e n opgevat a l s p e n d e l s t i j l e n .

Ze kunnen e c h t e r ook zijn ingeklemd i n de v l o e r p l a a t ) .

2) s t a b i l i t e i t s v e r l i e s a l s g e v o l g van o n t g r o n d i n g ( p i p i n g ) .

3) o v e r s c h r i j d i n g van h e t opneembaar b u i g e n d moment i n de v e r b i n d i n g t u s s e n

p i j l e r s en v l o e r p l a a t .

e t c .

P r o b a b i l i s t i s c h e sommen, z o a l s behandeld i n h e t voorgaande, geven s l e c h t s

u i t s p r a k e n over de kans op bezwijken VOLGENS EEN BEPAALD MECHANISME. De

be-zwijkkans van de c o n s t r u c t i e i s de som v a n de bebe-zwijkkansen v o l g e n s ALLE

me-chanismen, d i e kunnen o p t r e d e n . Hoe e r moet worden gehandeld i n d i e n

meer-dere mechanismen e l k a a r beïnvloeden, b l i j f t h i e r onbesproken.

Bij p r o b a b i l i s t i s c h e b e r e k e n i n g e n z a l men z i c h steeds moeten a f v r a g e n o f de

b e r e k e n i n g ( e n de d a a r i n voorkomende p a r a m e t e r s ) i n d e r d a a d b e t r e k k i n g

h e e f t op de f y s i s c h e r e a l i t e i t . Beschouw b i j v o o r b e e l d f i g . 13- Voor waarden

van <. - 27 m t r e d e n op de bezwijkgrens z = O waarden op v a n de

bezwijk-d r u k s p a n n i n g p, bezwijk-d i e k l e i n e r zijn bezwijk-dan O ( n u l ) . D i t i s e c h t e r een TREKspanning,

waarvoor de k a n s v e r d e l i n g geheel anders k a n v e r l o p e n dan aangenomen voor de

d r u k s p a n n i n g . Bij de f o r m u l e r i n g t r a d d i t probleem n i e t op omdat daar H^

begrensd was t u s s e n O en 0,5 m. Bij b e n a d e r i n g door een normale v e r d e l i n g

worden e c h t e r waarden voor H^ t u s s e n -oo en + 0 0 geïntroduceerd. I n h e t

o n d e r h a v i g e g e v a l i s d a t n i e t v a n b e l a n g omdat h e t gebied van p a a l b r e u k

-t r e k s p a n n i n g e n voldoende v e r v a n h e -t d e s i g n p o i n -t a f l i g -t . De i n h o u d onder

de "Gausshoed" i s daar, hoe dan ook, v e r w a a r l o o s b a a r k l e i n .

Erger i s , d a t b i j v a r i a b e l e b o v e n w a t e r s t a n d ook de hefboomsarm a ( z i e f i g . 2)

v a r i e e r t . Ook h e t "schijnbaar g e w i c h t " G w o r d t door de v a r i a b e l e w a t e r s t a n d

beïnvloed. D i t houdt i n , d a t aan de b a s i s e i s van n i v e a u I l - b e r e k e n i n g e n ,

n l . d a t de beschrijvende parameters ( b a s i s v a r i a b e l e n ) o n g e c o r r e l e e r d moeten

zijn, n i e t i s v o l d a a n .

T e n s l o t t e zijn, o m w i l l e van de d u i d e l i j k h e i d , steeds p e r probleem s l e c h t s

twee s t o c h a s t e n beschouwd. Het b e h o e f t geen b e t o o g , d a t voor een e c h t e p r o

-b a -b i l i s t i s c h e som, a l l e s t o c h a s t e n ook a l s s t o c h a s t e n moeten worden

"meege-nomen". A l s v o o r b e e l d i s i n b i j l a g e I I I een u i t w e r k i n g opgenomen w a a r i n

zo-wel p a l s G, A en H^ a l s s t o c h a s t e n zijn i n g e v o e r d . De h i e r b i j gehanteerde

gegevens zijn opgenomen i n t a b e l I V ,

(25)

P

N

, 2

2 A

N

3 ra

0,5

G

N

20 * 10^ N/m^

k 10^*

N/m^

w

g

D

1000 kg/m^

-w

g

D

9,812 ra/s^

-D

20 ra

-H

O

AE

_{0,1857 m}

_{4,46673 m}

D

17 m

_

B

D

63 ra

-1

D

ko

ra

T a b e l IV

N = normaal v e r d e e l d e g r o o t h e i d

(26)

-26-E i X J L_ c^t G

e;

X AANTAL BASISVARIABELEN 2 GEMIDDELDEN p M( 1 ) 1 1 0 0 0 0 0 0 A M< 2 ) 3 STANDAARDAFWIJKINBEN S( 1 ) 1 1 0 0 0 0 0 S( ) .5 B e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e : Z= 1 3 7 2 7 6 6 0 B e m i d d e l d e v a n Zi = 1 3 7 2 7 6 6 0 S t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n Zs = 6 4 1 4 0 4 7 . 0 8 4 3 3 B e t r D U w b a a r h e i d s i n d e 3 > ! : BETA= 2 . 1 4 0 2 4 9 3 3 3 9 2 F a a l k a n s : P ( Z < = 0 ) = . 0 1 6 1 6 7 2 5 2 9 B 4 dZ/dX dZ/dX*Sx (dZ/dX*S!!> '-2 (ALFA) •••••2 ALFA p +3.OOE+000 + 3 , 3 0 E + 0 0 6 + 1 , 0 9 E + 0 1 3 + 2 6 . 4 7 + . 5 1 A + 1 . 1 0 E + 0 0 7 +5.50Ë+006 + 3 . 0 3 E + 0 1 3 + 7 3 . 5 3 + . 8 5 R e k e n t i j d s ALFA*BETA*Ï X* NIEUW + 1 . 2 0 1 E + 0 0 6 + 9 . 7 9 9 E + 0 0 6 + 9 . 1OOE-001 + 2 . C>9C>E+000 4 . 1 1 4 E 1 3 100 = O DAGEN 18.0B6 SECONDEN

L J I T V O E R

B e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i B : Z = O G e m i d d e l d e v a n Z: S t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n Z: B e t r o u w b a a r h e i d s i n d e x : BETA= 2 . 3 3 0 1 8 3 1 4 3 2 1 F a a l k a n s : P ( Z < = 0 ) = . 0 0 9 8 9 8 2 1 4 2 8 9 1 3 7 2 7 6 6 0 5 4 3 0 6 0 4 . 6 6 2 7 X < I ) mu ( I ) p 9 9 9 9 3 2 B . 5 4 3 0 5 1 1 0 0 0 0 0 0 A 1 . 9 2 7 3 6 3 4 1 4 1 6 3 s i gma < I ) 1 1 0 0 0 0 0 .5 A a n d e e l i n v a r i a n t i e (7.) 1 5 . 2 4 1 0 9 2 9 2 2 8 4 . 7 5 8 9 0 7 0 7 7 8 R e k e n t i j d s O DAGEN 3 6 . 6 3 3 SECONDEN

(27)

10 I ALLE VERDELINGEN NORMAALs "PROBAB"

20 PRINTER I S 7 0 1 , 8 0 PRINT CHR* ( 2 7 ) S("C"S<CHR* (O) «<CHR* ( 1 2 ) 30 PR I NT CHR$ ( 2 7 ) S<" N"SXHRifi ( 1 2 )

40 SETTIME 0,0 3 W9=0

5 0 DIM M ( 5 0 ) , S ( 5 0 ) , S I ( 5 0 ) , S 2 ( 5 0 ) , X ( 5 0 ) , X I ( 5 0 ) , A * C 1 5 0 ]

6 0 PRINT " I I v I V O E R V I <=» D*=>-riP»S"TiftTTEr-IErrMT" " 70 ! INPUT AANTAL BASISVARIABELEN

80 PRINT "AANTAL BASISVARIABELEN";® READ m PRINT N 5) PRINT 9 0 ! INVOER

100 PRINT ;TAB(6);"GEMIDDELDEN STANDAARDAFWIJKINGEN" 110 FOR I = i TO N

120 READ A * C 3 * I - 2 , 3 * 1 . 1 , M d ) , S ( I ) ; i ) PRINT A* C3* I - 2 , 3* I ] ; "M ( " ; I ; " ) " ; M ( 1) ; TAB ( 2 5 ) ; "S ("; I ; " ) " ; S ( I ) 130 NEXT I 140 PRINT 150 ! BEREKENING m u ( Z ) = M l 160 FOR 1=1 TO N 170 X ( I ) = M ( I ) 180 NEXT I 190 GOSUB 1080 2 0 0 M1=Z 2 1 0 ! BEREKENING X ' ( I ) = - - X 1 ( I ) 2 2 0 FOR 1=1 TO N 2 3 0 A = X ( I ) 2 4 0 I F S ( I ) = 0 THEN D = , 0 0 0 1 5) GOTO 2 6 0 2 5 0 D = S ( I ) * . 0 0 0 1 2 6 0 X ( I ) = A + D 2 7 0 GOSUB 1 0 8 0 S Z1=Z 2 8 0 X ( I ) = A - D 2 9 0 GOSUB 1 0 8 0 © Z2=Z 3 0 0 X ( I ) = A 3 1 0 X I ( I ) = ( Z 1 - Z 2 ) / ( 2 * D ) 3 2 0 DISP " X ' ( " ; I ; " ) = " ; X I < I > 3 3 0 NEXT I 3 4 0 ! BEREKENING X M I ) * S ( I ) = S 1 ( I ) EN SIGMAz=S2 3 5 0 S2=0 3 6 0 FOR 1=1 TO N 3 7 0 S I ( I ) = X 1 (I))ÜS(I) 3 8 0 S2=S2+S1 (I)---2 3 9 0 NEXT I 4 0 0 S2=SQR(S2) 4 1 0 ! BEREKEN btbh-f Z 4 2 0 GOSUB 1080 4 3 0 I ALS A B S ( Z ) < E P S I L O N , DAN u i t v o e r 4 4 0 I F ABS ( Z X . 0 0 0 0 0 1 THEN 5 5 0 4 5 0 ! BEREKEN a l - f a ( I ) =S2 ( I ) 4 6 0 FOR 1=1 TO N 3 S 2 ( I ) = S 1 ( I ) / S 2 4 7 0 D I S P " a l f a ( " 5 I ; " ) = " ; S 2 ( I ) © NEXT I 4 8 0 ! BEREKEN BETA 4 9 0 S3=0 © FOR 1=1 TO N 3 S 3 = S 3 + ( M ( I ) - X ( I ) ) * X 1 ( I ) » NEXT I 5 0 0 B = ( Z + S 3 ) / S 2 S D I S P "BETA=";B

5 1 0 I F W9=0 THEN PRINT 3 PRINT "ME:<=*M V I = ^ 1 _ 1 _ J E : " :i) GOSUB 7 9 0 3 W9=l S PRINT ;5) PRINT

5 2 0 ! BEREKEN NIEUWE X ( I )

5 3 0 FOR 1=1 TO N 3 X ( I ) = M ( I ) - S 2 ( I ) * B * S ( I ) 3 NEXT I 5 4 0 GOTO 2 2 0

(28)

-28-5 6 0 F'RINT 5 7 0 PRINT " B c ? t r o u w b a a r h e : i d s f u n c t i e : Z = "!Z 5 8 0 PRINT " B e m i d d e l dB v a n Z: =--";Ml 5 9 O P R I N T " S t a n d a

s.rd

a f w i j i< i n

g

v a n

It

= " ; S 2 6 0 0 PRINT " B e t r o u w b a a r - h e i d s i ndBK ! BETA=";B 6 1 0 GOSUB 7 3 0 6 2 0 PRINT " F a a l k a n s : P ( Z < = 0 ) = " ; P 6 3 0 PRINT

6 4 0 PRINT ; T A B ( 7 ) ; "X ( I ) " ; T A B ( 2 3 ) ; " m u d ) "!TAB<36) ; " s i g m a ( I ) ";TAB(50> ; " A a n d e e l i n v a r i a n t i e (7.) "

6 5 0 PRINT

6 6 0 FOR 1=1 TO N

6 7 0 PRINT A*C3* d - 1 ) + 1 , 3* I 3 ; TAB ( 6 ) ; X d ) ; TAB ( 2 2 ) ; M ( I ) ; TAB ( 3 5 ) ;S( I ) ; TAB ( 4 9 ) ; ( S K I ) /S2>-''2*100

6 8 0 NEXT I 6 9 0 PRINT

7 0 0 PRINT " R e k e n t i j d : =";DATE;"DAGEN";TIME;"SECONDEN" 7 1 0 PRINT "NPAG" 3 PRINT "NPAG"

7 2 0 END 7 3 0 B I = , 3 1 9 3 8 1 5 3 3 B 2 = - . 3 5 6 5 6 3 7 8 2 3 B 3 = l . 7 8 1 4 7 7 9 3 7 3 B 4 = - l . 8 2 1 2 5 5 9 7 8 3 6 5 = 1 , 3 3 0 2 7 4 4 2 9 7 4 0 B7=0 ;5 I F B<0 THEN B=-B 3 B 7 = l 7 5 0 T = l / ( 1 + . 2 3 1 6 4 1 9 * B ) 7 6 0 P=1-EXP (-B--2/2) /SQR ( 2 * P I ) * ( B I *T+B2*T---2+B3*T--3+B4*T---4+B5*T---5) 7 7 0 I F B7=0 THEN P = l - P 7 8 0 RETURN 7 9 0 PRINT 8 0 0 PRINT " B e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e : Z=";Z 8 1 0 PRINT " G e m i d d e l d e v a n Z: =";M1 8 2 0 PRINT " S t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n ' Z : ="!S2 8 3 0 PRINT " B e t r o u w b a a r h e i d s i n d e x : BETA="!B 8 4 0 GOSUB 7 3 0 8 5 0 PRINT " F a a l k a n s : P ( Z < = 0 ) = " ; P 8 6 0 PRINT

8 7 1 PRINT 5 TAB ( 7 ) ; "dZ/dX" ; TAB ( 1 5 ) ; "dZ/dX*SM " ; TAB ( 2 4 ) ; " (dZ/dX*S;() ••-2" ; TAB ( 3 7 ) ; " (AL FA)-•2"; 8 7 2 PRINT ; T A B ( 4 6 ) ; " A L F A " ; T A B ( 5 5 ) ; " A L F A * B E T A * S ; ! " ; T A B ( 6 8 ) ; " X * NIEUW" 8 9 0 PRINT S W=0 9 0 0 FOR 1=1 TO N 9 0 1 W 7 = I N T ( S ( I ) * 1 0 0 + , 5 ) / 1 0 0 9 1 0 W 6 = I N T ( X 1 ( I ) * 1 0 0 + , 5 ) / 1 0 0 9 2 0 W 5 = I N T ( S 1 ( I ) * 1 0 0 + , 5 ) / l O O 9 3 0 W 4 = I N T ( S 1 ( I ) - - 2 * 1 0 0 + . 5 ) / l O O 3 V9=S1 d ) •'••2/S2-'^2 9 4 0 W 3 = I N T ( 1 0 0 0 0 * V 9 + , 5 ) / 1 0 0 0 0 3 W3=100*W3 9 5 0 W2=SGN(W6)* INT(SQR(W3* 1 0 0 + . 5 ) ) / 1 0 0 9 6 0 W1 = INT (W2^(B*W7*100+. 5 ) / l O O S) W=W+V9 9,61 W 9 = M ( I ) - W 1

9 7 0 PRINT USING 9 9 1 ; A*C3*d-1)+1,3*I3,W6,W5,W4,W3,W2,Wl,W9 9 9 0 NEXT I 9 9 1 IMAGE 3A,3(SD.DDE,X),X,SDD,DD,X,SD.DD,5X,2(SD.DDDE,X) 1000 PRINT 1 0 1 0 PRINT ! T A B ( 2 6 ) ; I N T ( 1 0 0 * S 2 - - 2 + , 5 ) / l O O ; T A B ( 3 8 ) ; I N T ( 1 0 0 * I N T ( 1 0 0 * W + . 5 ) ) / l O O 1 0 2 0 PRINT 1 0 3 0 PRINT " R e k e n t i j d : =";DATE;"DAGEN";TIME;"SECONDEN" 1 0 4 0 RETURN 1 0 5 0 DATA 2 1 0 6 0 DATA "p " , 1 1 0 0 0 0 0 0 , 1 1 0 0 0 0 0 1 0 7 0 DATA "A ",3,.5 1 0 8 0 Z = X ( 1 ) * X ( 2 ) - 1 9 2 7 2 3 4 0 1 0 9 0 RETURN

(29)

B T A R T W A H R D E X 6 ( 1 ) = p 1 1 0 0 0 0 0 0 S T A R T W A A R D E X 6 ( 2 ) = H a . 1 B 5 7 D A G E N 0 S E C O N D E N 1 3 5 . 1 7 2 Z= 0 L A A T S T E V E R A N D E R I N G I N B E T A = - . 0 0 0 0 0 0 1 3 2 6 8 B E T A = 3 . 8 5 5 5 8 9 4 8 9 6 4 P r ( Z< 0 ) = . 0 0 0 0 5 7 7 4 6 9 3 1 G E M I D D E L D E V A N Z = 1 3 0 8 6 1 7 4 . 8 7 0 6 S T A N D A A R D A F W I J K I N G V A N Z = 3 3 9 6 7 1 8 . 5 9 9 6 9 A A N D E E L D E E L V A R I A N T I E S X ( 1 > : p 9 4 . 3 8 6 2 5 2 0 2 4 8 V. X( 2 >:Ho 5 . 6 1 3 7 4 7 9 7 4 7 4 X W A A R D E N V A R I A B E L E N X< 1 ) = p 6 8 7 9 6 1 4 . 4 6 3 6 9 M ( 1 ) = 1 1 0 0 0 0 0 0 S ( 1 ) = llOOOOO X ( 2 ) = H o .3/^096649679 M ( 2 > = . 1 5 7 5 9 1 1 0 1 9 8 8 S ( 2 ) = . 1 8 9 7 8 8 7 2 0 4 8 9

(30)

-30-10 I A p p r o x i m a t e F u l l D i s t r i b u t i o n A p p r o a c h "AFDAOP" 2 0 PR INTER I S 7 0 1 , 8 0 3 PR I NT CHR* ( 2 7 ) S<" C " ?.:CHR* (O) .S:CHR$ ( 1 2 ) 3 0 PRINT CHR* (27)S<"N"S<CHR*(a) 4 0 SETT I ME 0,0 a) READ N9 5 0 OPTION BASE 1 6 0 ! DECLARATIES 7 0 DIM C ( 2 0 0 ) , X ( 3 1 ) , P 4 ( 3 1 ) , X 6 ( 8 ) , M ( 8 ) , M 2 ( 8 ) , S ( 8 ) , S 1 ( 8 ) , S 3 ( 8 ) , X 7 ( 8 ) , X 8 ( 8 ) , A * L 1 0 0 0 3 SO i STARTWAARDEN x i *

9 0 FOR 1 = 1 TO N9 3 PRINT "STARTWAARDE X Ó ( " ; 1 5 " ) = " ; 3 READ A S C S * I - 4 , 5 * I J® PRINT A* C 5 * I - 4 , 5 * n ;

100 READ X6(I);J) PRINT X 6 ( I ) 3 NEXT I 1 1 0 PRINT

1 2 0 ! CONSTANTEN VOOR BEREK.FiN(O, 1) EN INVERSE DAARVAN 130 C ( l ) = . 8 8 6 2 2 6 9 2 5 4 5 3 140 C ( 2 ) = . 2 3 2 0 1 3 6 6 6 5 3 5 150 C ( 3 ) = . 1 2 7 5 5 6 1 7 5 3 0 6 1 6 0 C ( 4 ) = 8 . 6 5 5 2 1 2 9 2 4 1 5 E - 2 170 C ( 5 ) = 6 . 4 9 5 9 6 1 7 7 4 5 4 E - 2 180 C ( 6 ) = 5 . 1 7 3 1 2 8 1 9 8 4 6 E - 2 1 9 0 C ( 7 ) = 4 . 2 8 3 6 7 2 0 6 5 1 8 E - 2 2 0 0 C ( 8 ) =3,,646592930S5E-2 2 1 0 C ( 9 ) = 3 , 1 6 8 9 0 0 5 0 2 1 6 E - 2 2 2 0 C ( 1 0 ) = . 0 2 7 9 8 0 6 3 2 9 6 5 2 3 0 C ( l l ) = 2 . 5 0 2 2 2 7 5 8 4 1 2 E - 2 2 4 0 C ( 1 2 ) = 2 . 2 6 0 9 8 6 3 3 1 8 9 E - 2 2 5 0 C ( 1 3 ) = 2 . 0 6 0 6 7 8 0 3 7 9 1 E - 2 2 6 0 C ( 1 4 ) = 1 . 8 9 1 8 2 1 7 2 5 0 8 E - 2 2 7 0 C ( 1 5 ) = 1 . 7 4 7 6 3 9 7 0 5 6 3 E - 2 2 8 0 C ( 1 6 ) = 1 . 6 2 3 1 5 0 0 9 a 7 7 E - 2 2 9 0 C ( 1 7 ) = 1 . 5 1 4 6 3 1 5 0 6 3 2 E - 2 3 0 0 C ( 1 8 ) = 1 . 4 1 9 2 3 1 6 0 0 2 5 E - 2 3 1 0 C ( 1 9 ) = 1 . 3 3 4 7 3 6 4 1 9 7 4 E - 2 3 2 0 C ( 2 0 ) = 1 . 2 5 9 4 0 0 4 8 7 1 3 E - 2 . 3 3 0 C ( 2 1 ) = l . 1 9 i e 2 9 5 9 3 6 4 E - 2 3 4 0 C ( 2 2 ) = l . 1 3 0 8 9 7 0 1 0 5 9 E - 2 3 5 0 C ( 2 3 ) = 1 . 0 7 5 6 8 2 5 3 0 3 3 E - 2 3 6 0 C ( 2 4 ) = 1 • 0 2 5 4 2 7 4 0 8 1 9 E - 2 3 7 0 C ( 2 5 ) = 9 . 7 9 5 0 0 5 7 7 0 0 7 E - 3 3 8 0 C ( 2 6 ) = 9 . 3 7 3 7 2 9 8 1 9 1 8 E - 3 3 9 0 C ( 2 7 ) = S . 9 8 5 9 7 8 5 0 2 8 4 E - 3 4 0 0 C ( 2 8 ) = 8 , 6 2 7 9 5 3 5 8 0 7 1 E - 3 4 1 0 C ( 2 9 ) = 8 . 2 9 6 4 0 5 9 2 7 7 4 E - 3 4 2 0 C ( 3 0 ) = 7 , 9 8 8 5 4 0 1 6 2 6 E - 3 4 3 0 C ( 3 1 ) = 7 . 7 0 1 9 3 8 4 3 2 2 6 E - 3 4 4 0 C ( 3 2 ) = 7 , 4 3 4 4 9 9 0 1 7 8 3 E ~ 3 4 5 0 C ( 3 3 ) = 7 . 1 8 4 3 8 6 5 1 1 2 7 E - 3 4 6 0 C ( 3 4 ) = 6 . 9 4 9 9 9 1 1 0 1 0 6 E - 3 4 7 0 C ( 3 5 ) = 6 . 7 2 9 8 9 5 0 8 5 3 4 E - 3 4 8 0 C ( 3 6 ) = 6 . 5 2 2 8 4 5 1 6 1 4 5 E - 3 4 9 0 C ( 3 7 ) = 6 . 3 2 7 7 2 9 3 6 4 3 4 E - 3 5 0 0 C ( 3 8 ) = 6 . 1 4 3 5 5 7 7 7 0 3 8 E - 3 5 1 0 C ( 3 9 ) = 5 . 9 6 9 4 4 6 2 6 9 7 3 E - 3 5 2 0 C ( 4 0 ) = 5 . 8 0 4 6 0 2 B 5 3 S 3 E - 3 5 3 0 C ( 4 1 ) = 5 . 6 4 8 3 1 5 9 7 5 5 5 E - 3 5 4 0 C ( 4 2 > = 5 . 4 9 9 9 4 4 6 2 6 2 E - 3 5 5 0 C ( 4 3 ) = 5 . 3 5 8 9 0 9 8 4 1 6 9 E - 3 5 6 0 C ( 4 4 ) = 5 , 2 2 4 6 a 7 4 0 3 6 9 E - 3 5 7 0 C ( 4 5 ) = 5 . 0 9 6 8 0 1 5 4 4 7 1 E - 3 5 8 0 C ( 4 6 ) = 4 , 9 7 4 8 1 9 4 9 9 7 4 E - 3 5 9 0 C ( 4 7 ) = 4 . 8 5 B 3 4 6 7 7 4 9 6 E - 3 6 0 0 C ( 4 e ) = 4 , 7 4 7 0 2 3 0 2 5 e 8 E - 3 6 1 0 C ( 4 9 ) = 4 . 6 4 0 5 1 8 4 5 5 5 6 E - 3

(31)

6 4 0 C ( 5 2 ) = 4 . 3 4 7 0 1 6 3 9 5 0 2 E - 3 6 5 0 C ( 5 3 ) = 4 . 2 5 6 9 9 8 7 0 7 1 8 E - 3 6 6 0 C ( 5 4 ) = 4 . 1 7 0 5 1 1 2 7 4 1 3 E - 3 6 7 0 C ( 5 5 ) = 4 . 0 8 7 3 5 2 9 9 1 l l E - 3 6 8 0 C ( 5 6 ) = 4 . 0 0 7 3 3 7 6 4 3 5 E - 3 6 9 0 C ( 5 7 ) = 3 , 9 3 0 2 9 2 5 5 9 3 1 E - 3 7 0 0 C ( 5 8 ) = 3 . 8 5 6 0 5 7 4 0 5 0 5 E - 3 7 1 0 C ( 5 9 ) = 3 . 7 8 4 4 8 3 1 0 7 4 7 E - 3 7 2 0 C ( 6 0 ) = 3 . 7 1 5 4 3 0 8 8 6 1 3 E - 3 7 3 0 C ( 6 1 > = 3 . 6 4 B 7 7 1 3 8 3 6 8 E - 3 7 4 0 C ( 6 2 ) = 3 . 5 S 4 3 8 3 8 8 2 7 4 E - 3 7 5 0 C ( 6 3 ) = 3 . 5 2 2 1 5 5 5 9 9 3 E - 3 7 6 0 C ( 6 4 ) = 3 . 4 6 1 9 8 1 0 4 4 1 4 E - 3 7 7 0 C ( 6 5 ) = 3 . 4 0 3 7 6 1 4 4 4 8 7 E - 3 7 8 0 C ( 6 6 ) = 3 . 3 4 7 4 0 4 2 2 1 8 6 E - 3 7 9 0 C ( 6 7 ) = 3 . 2 9 2 8 2 2 5 1 2 3 E - 3 8 0 0 C ( 6 8 ) = 3 . 2 3 9 9 3 4 7 3 7 5 E - 3 8 1 0 C ( 6 9 > = 3 . 1 8 8 6 6 4 2 0 8 6 6 E - 3 S 2 0 C ( 7 0 ) = 3 . 1 3 8 9 3 8 7 6 7 3 7 E - 3 8 3 0 C ( 7 1 ) = 3 . 0 9 0 6 9 0 4 5 7 3 2 E - 3 8 4 0 C ( 7 2 ) = 3 . 0 4 3 8 5 5 2 2 4 0 4 E - 3 8 5 0 C ( 7 3 ) = 2 , 9 9 8 3 7 2 6 3 9 9 E - 3 8 6 0 C ( 7 4 ) = 2 . 9 5 4 1 8 5 6 5 2 0 7 E - 3 8 7 0 C ( 7 5 ) = 2 . 9 1 1 2 4 0 3 5 1 0 6 E - 3 8 8 0 C ( 7 6 ) = 2 . 8 6 9 4 a 5 7 5 8 2 2 E - 3 8 9 0 C ( 7 7 ) = 2 , 8 2 8 8 7 3 6 2 9 7 4 E - 3 9 0 0 C ( 7 a ) = 2 . 7 8 9 3 5 S 2 7 6 6 6 E - 3 9 1 0 C ( 7 9 ) = 2 , 7 5 0 8 9 6 3 9 S 5 7 E - 3 9 2 0 C ( 8 0 ) = 2 , 7 1 3 4 4 6 9 3 0 1 3 E - 3 9 3 0 C ( 8 1 ) = 2 , 6 7 6 9 7 0 B 9 9 2 8 E - 3 9 4 0 C ( 8 2 ) = 2 . 6 4 1 4 3 1 2 9 6 1 E - 3 9 5 0 C ( 8 3 ) = 2 . 6 0 6 7 9 2 9 5 1 3 1 E - 3 9 6 0 C ( 8 4 ) = 2 . 5 7 3 0 2 2 4 2 3 7 4 E - 3 9 7 0 C ( 8 5 ) = 2 . 5 4 0 0 8 7 8 9 5 8 8 E - 3 9 8 0 C ( 8 6 ) = 2 . 5 0 7 9 5 9 0 7 6 9 2 E - 3 9 9 0 C ( 8 7 ) = 2 , 4 7 6 6 0 7 1 1 2 6 2 E - 3 1 0 0 0 C ( 8 8 ) = 2, 4 4 6 0 0 4 5 0 1 4 8 E 1 0 1 0 C ( 8 9 > = 2. 4 1 6 1 2 5 0 1 6 7 2 E -1 0 2 0 C ( 9 0 ) = •-> ^ _{3 8 6 9 4 3 6 3 3 5 5 E -} ^% 1 0 3 0 C ( 9 1 ) = 2, 3 5 8 4 3 6 4 6 1 3 6 E - 3 1 0 4 0 C ( 9 2 ) = 3 3 0 5 S 0 6 a 0 4 5 E - 3 1 0 5 0 C ( 9 3 > = 3 0 3 3 5 4 4 8 2 9 E - 3 1 0 6 0 C ( 9 4 ) = 2 7 6 7 3 7 0 1 7 3 a E -

_i>

1 0 7 0 C ( 9 5 ) = 2 5 0 7 0 B 3 3 7 4 2 E - 3 1 0 8 0 C ( 9 6 ) = 2 2 5 2 4 9 3 5 3 1 E - 3 1 0 9 0 C ( 9 7 ) = 2 0 0 3 4 1 7 8 5 7 1 E - 3 1 1 0 0 C ( 9 8 ) = -7 1759Ó812526E- 3 1 1 1 0 C ( 9 9 ) = 2. 1 5 2 1 1 1 5 9 0 7 2 E - 3 1 120 C ( I O O ) =2 , 1 2 8 7 5 6 0 9 2 5 6 E -3 1 1 3 0 C ( l O l ) --.'^ _{. 1 0 5 8 8 6 1 9 7 6 6 E}_—3 1 140 C ( ] 0 2 ) ="7 . 0 a 3 4 8 7 0 9 6 3 E - ^1 1 150 C ( 1 0 3 ) =2 . 0 6 1 5 4 4 5 7 1 1 3 E —T; 1 1 6 0 C ( 1 0 4 ) . 0 4 0 0 4 4 9 6 7 9 6 E —3 1 1 7 0 C ( 1 0 5 ) =2 . 0 1 8 9 7 5 1 6 8 2 5 E -3 1 1 8 0 C ( 1 0 6 ) = 1 . 9 9 S 3 2 2 5 6 3 2 E - 1*. 1 190 C ( 1 0 7 ) =1 . 9 7 8 0 7 5 0 2 9 3 4 E -3 1 2 0 0 C ( I O B ) = 1 . 9 5 G 2 2 0 9 0 5 4 8 E -3 1 2 1 0 C ( 1 0 9 ) =1 . 9 3 8 7 4 8 9 7 0 9 B E „3 1 2 2 0 C ( l l O ) =1 . 9 1 9 6 4 8 4 2 5 2 3 E —3 1 2 3 0 C d l l ) = 1 . 9 0 0 9 0 8 8 6 8 2 I E 1 2 4 0 C ( 1 1 2 ) =1 . 8 S 2 5 2 0 2 8 2 2 2 E —3 1 2 5 0 C ( 1 1 3 ) = 1 . 8 6 4 4 7 3 0 1 4 5 E - 3

(32)

1 2 6 0 C < 1 1 4 ) = 1 . 8 4 6 7 5 7 7 6 0 B 4 E - 3 1 2 7 0 C ( 1 1 5 > = 1 . 8 2 9 3 6 5 5 5 0 0 7 E - 3 1 2 8 0 C < 1 1 6 ) = 1 . 8 1 2 2 8 7 7 2 9 2 9 E - 3 1 2 9 0 C < 1 1 7 ) = . 0 0 1 7 9 5 5 1 5 9 5 1 3 0 0 C ( 1 1 8 ) = 1 . 7 7 9 0 4 2 1 5 4 8 5 E - 3 1 3 1 0 C ( 1 1 9 ) = 1 . 7 6 2 8 5 8 5 6 5 1 2 E - 3 1 3 2 0 C < 1 2 0 ) = 1 . 7 4 6 9 5 7 6 6 8 7 9 E - 3 1 3 3 0 C ( 1 2 1 ) = 1 . 7 3 1 3 3 2 2 0 9 3 2 E - 3 1 3 4 0 C ( 1 2 2 ) = 1 . 7 1 5 9 7 5 1 7 4 8 5 E - 3 1 3 5 0 C ( 1 2 3 ) = 1 , 7 0 0 8 7 9 7 8 8 0 7 E - 3 1 3 6 0 C <124)=1.68Ó03949649E-3 1 3 7 0 C ( 1 2 5 ) = 1 . 6 7 1 4 4 7 9 6 3 2 5 E - 3 1 3 8 0 C ( 1 2 6 ) = 1 . 6 5 7 0 9 9 0 5 8 3 7 E - 3 1 3 9 0 C ( 1 2 7 ) = 1 . 6 4 2 9 8 6 8 5 0 3 8 E - 3 1 4 0 0 C ( 1 2 8 ) = 1 . 6 2 9 1 0 5 5 9 8 3 9 E - 3 1 4 1 0 C ( 1 2 9 ) = 1 . 6 1 5 4 4 9 7 4 4 5 5 E - 3 1 4 2 0 C ( 1 3 0 ) = 1 . 6 0 2 0 1 3 9 0 6 8 E - 3 1 4 3 0 C ( 1 3 1 > = 1 . 5 8 8 7 9 2 B 7 2 0 3 E - 3 1 4 4 0 C ( 1 3 2 ) = 1 . 5 7 5 7 8 1 5 8 9 5 l E - 3 1 4 5 0 C < 1 3 3 ) = 1 . 5 6 2 9 7 5 1 6 4 6 7 E - 3 1 4 6 0 C ( 1 3 4 ) = 1 . 5 5 0 3 6 8 a 5 3 1 E - 3 1 4 7 0 C ( 1 3 5 ) = 1 . 5 3 7 9 5 8 0 5 4 8 7 E - 3 1 4 8 0 C ( 1 3 6 ) = 1 . 5 2 5 7 3 8 3 0 9 1 E - 3 1 4 9 0 C ( 1 3 7 ) = 1 . 5 1 3 7 0 5 2 8 8 7 5 E - 3 1 5 0 0 C < 1 3 8 ) = 1 . 5 0 1 3 5 4 7 9 5 7 E - 3 1 5 1 0 C ( 1 3 9 ) = 1 . 4 9 0 1 8 2 7 5 5 9 2 E - 3 1 5 2 0 C ( 1 4 0 ) = 1 . 4 7 8 6 8 5 2 1 5 0 3 E - 3 1 5 3 0 C ( 1 4 1 ) = 1 . 4 6 7 3 5 8 3 3 3 S 8 E - 3 1 5 4 0 C < 1 4 2 ) = i . 4 5 6 1 9 a 3 8 4 4 6 E - 3 1 5 5 0 C ( 1 4 3 ) = 1 . 4 4 5 2 0 1 7 4 5 8 7 E - 3 1 5 6 0 C ( 1 4 4 ) = 1 . 4 3 4 3 6 4 9 0 0 5 6 E - 3 1 5 7 0 C ( 1 4 5 ) = 1 . 4 2 3 6 8 4 4 3 0 6 4 E - 3 1 5 8 0 C ( 1 4 6 ) = 1 . 4 1 3 1 5 7 0 1 4 4 3 E - 3 1 5 9 0 C ( 1 4 7 ) = 1 . 4 0 2 7 7 9 4 2 3 0 8 E - 3 1 6 0 0 C ( 1 4 8 ) = 1 . 3 9 2 5 4 8 5 1 7 3 9 E - 3 1 6 1 0 C ( 1 4 9 ) = 1 . 3 8 2 4 6 1 2 4 4 6 9 E - 3 1 6 2 0 C ( 1 5 0 ) = 1 , 3 7 2 5 1 4 6 3 5 9 4 E - 3 1 6 3 0 C ( 1 5 1 ) = 1 . 3 6 2 7 0 5 8 0 2 8 7 E - 3 1 6 4 0 C ( 1 5 2 ) = 1 . 3 5 3 0 3 1 9 3 5 2 5 E - 3 1 6 5 0 C ( 1 5 3 ) = 1 . 3 4 3 4 9 0 2 9 B 3 2 E - 3 1 6 6 0 C ( 1 5 4 ) = 1 . 3 3 4 0 7 a 2 3 0 2 3 E - 3 1 6 7 0 C ( 1 5 5 ) = 1 . 3 2 4 7 9 3 1 3 9 7 1 E - 3 1 6 8 0 C < 1 5 6 ) = 1 . 3 1 5 6 3 2 5 0 3 6 6 E - 3 1 6 9 0 C ( 1 5 7 ) = 1 . 3 0 6 5 9 3 8 6 5 0 2 E - 3 1 7 0 0 C ( 1 5 8 ) = 1 . 2 9 7 6 7 4 S 3 0 5 7 E - 3 1 7 1 0 C ( 1 5 9 ) = 1 . 2 S 8 8 7 3 0 6 B 9 3 E - 3 1 7 2 0 C d 6 0 ) = 1 . 2 8 0 1 8 6 3 0 8 5 2 E - 3 1 7 3 0 C d 6 1 ) = 1 . 2 7 1 6 1 2 3 3 5 7 2 E - 3 1 7 4 0 C d 6 2 ) = , 0 0 1 2 6 3 1 4 8 9 9 3 1 7 5 0 C ( 1 6 3 ) = 1 . 2 5 4 7 9 4 1 7 7 2 1 E - 3 1 7 6 0 C ( 1 6 4 ) = 1 . 2 4 6 5 4 5 8 3 7 8 1 E - 3 1 7 7 0 C ( 1 6 5 ) = 1 . 2 3 8 4 0 1 9 7 5 3 2 E - 3 1 7 8 0 C ( 1 6 6 ) = 1 . 2 3 0 3 6 0 6 3 9 6 7 E - 3 1 7 9 0 C ( 1 6 7 ) = ! . 2 2 2 4 1 9 9 2 8 7 8 E - 3 1 8 0 0 C ( 1 6 8 ) = . 0 0 1 2 1 4 5 7 7 9 8 7 1 8 1 0 C ( 1 6 9 ) = 1 . 2 0 6 8 3 3 0 0 3 7 8 E - 3 1 8 2 0 C ( 1 7 0 ) = 1 . 1 9 9 1 8 3 2 1 2 2 8 E - 3 1 8 3 0 C ( 1 7 1 ) = 1 . 1 9 1 6 2 6 8 S 8 0 7 E - 3 1 8 4 0 C d 7 2 ) = l . 1841Ó2347B8E-3 1 8 5 0 C ( 1 7 3 ) = l . 1 7 6 7 8 7 9 4 8 3 7 E - 3 1 8 6 0 C d 7 4 ) = l . 1 6 9 5 0 2 0 8 4 9 6 E - 3 1 8 7 0 C ( 1 7 5 ) = 1 . 1 6 2 3 0 3 1 9 0 7 E - 3 1 8 8 0 C ( 1 7 6 ) = l . 1 5 5 1 8 9 7 3 5 1 8 E - 3 1 8 9 0 C ( 1 7 7 ) = 1 . 1 4 8 1 6 0 2 2 3 4 7 E - 3

(33)

1 9 0 0 C ( 1 7 8 ) = l . 1 4 1 2 1 3 1 9 5 1 2 E - 3 1 9 1 0 G ( 1 7 9 ) = l . 1 3 4 3 4 7 2 2 3 1 5 E - 3 1 9 2 0 C < 1 B O ) = 1 . 1 2 7 5 6 0 9 1 3 1 E - 3 1 9 3 0 C ( 1 B 1 ) = 1 . 1 2 0 8 5 2 9 0 2 1 4 Ë - 3 1 9 4 0 C ( 1 B 2 ) = 1 . 1 1 4 2 2 1 8 5 8 1 5 E - 3 1 9 5 0 C ( 1 8 3 ) = l . 1 0 7 6 6 6 4 7 S 8 9 E - 3 1 9 6 0 C ( 1 8 4 ) = 1 . 1 0 1 1 8 5 4 9 1 1 6 E - 3 1 9 7 0 C ( 1 8 5 > = 1 . 0 9 4 7 7 7 6 4 9 9 7 E - 3 1 9 8 0 C ( 1 8 6 ) = 1 . 0 8 8 4 4 1 7 3 7 8 2 E - 3 1 9 9 0 C ( 1 8 7 ) = 1 . 0 8 2 1 7 6 5 6 3 9 E - 3 2 0 0 0 C ( 1 8 8 ) = 1 . 0 7 5 9 a 0 9 6 3 4 E - 3 2 0 1 0 C ( 1 8 9 ) = 1 . 0 6 9 8 5 3 7 9 6 7 9 E - 3 2 0 2 0 C: ( 1 9 0 ) = 1. 0 6 3 7 9 3 9 4 9 1 3 E - 3 2 0 3 0 C: ( 1 9 1 ) = 1. 0 5 7 8 0 0 3 2 9 4 3 E - 3 2 0 4 0 C ( 1 9 2 ) = 1 . 0 5 1 8 7 1 8 7 0 0 2 E - 3 2 0 5 0 C ( 1 9 3 ) = 1 . 0 4 6 0 0 7 5 2 5 9 1 E - 3 2 0 6 0 C ( 1 9 4 ) = 1 . 0 4 0 2 0 6 2 7 4 1 9 E - 3 2 0 7 0 C ( 1 9 5 ) = 1 . 0 3 4 4 6 7 1 1 3 4 9 E - 3 2 0 8 0 C ( 1 9 6 ) = 1 . 0 2 a 7 8 9 0 6 3 3 9 E - 3 2 0 9 0 C ( 1 9 7 ) = 1 . 0 2 3 1 7 1 1 6 3 8 7 E - 3 2 1 0 0 C ( 1 9 8 ) = 1 . 0 1 7 6 1 2 4 7 4 7 9 E - 3 2 1 1 0 C ( 1 9 9 ) = 1 . O 1 2 1 1 2 0 7 5 4 E - 3 2 1 2 0 C ( 2 0 0 ) = 1 . 0 0 6 6 6 9 0 6 3 8 2 E - 3 2 1 3 0 X ( i ) = 2 2 1 4 0 P O R 1 = 2 T D 3 1 3 X ( I > = X ( I - 1 ) + . 1 2 1 5 0 NEXT I 2 1 6 0 P 4 ( l ) = . 9 7 7 2 4 9 8 6 8 0 5 2 2 1 7 0 P 4 ( 2 ) = . 9 8 2 1 3 5 5 7 9 4 3 7 2 1 8 0 P 4 ( 3 ) = . 9 8 6 0 9 6 5 5 2 4 8 7 2 1 9 0 P 4 ( 4 ) = . 9 8 9 2 7 5 8 8 9 9 7 8 2 2 0 0 P 4 ( 5 ) = . 9 9 1 8 0 2 4 6 4 0 7 5 2 2 1 0 P 4 ( 6 ) = . 9 9 3 7 9 0 3 3 4 6 7 4 2 2 2 0 P 4 ( 7 ) = . 9 9 5 3 3 8 8 1 1 9 7 6 2 2 3 0 P 4 ( 8 ) = . 9 9 6 5 3 3 0 2 6 1 9 7 2 2 4 0 P 4 ( 9 ) = . 9 9 7 4 4 4 8 6 9 6 7 2 2 5 0 P 4 ( 1 0 ) = . 9 9 8 1 3 4 1 8 6 7 2 2 6 0 P 4 ( 1 1 ) = . 9 9 8 6 5 0 1 0 1 9 6 8 2 2 7 0 P 4 ( 1 2 ) = . 9 9 9 0 3 2 3 9 6 8 2 2 8 0 P 4 ( 1 3 ) = . 9 9 9 3 1 2 8 6 2 1 2 2 9 0 P 4 ( 1 4 ) = . 9 9 9 5 1 6 5 7 5 9 2 3 0 0 P 4 ( 1 5 > = . 9 9 9 6 6 3 0 7 0 7 2 3 1 0 P 4 ( 1 6 ) = . 9 9 9 7 6 7 3 7 0 9 2 3 2 0 P 4 ( 1 7 ) = . 9 9 9 8 4 0 8 9 1 4 2 3 3 0 P 4 ( 1 a > = . 9 9 9 8 9 2 2 0 0 3 2 3 4 0 P 4 ( 1 9 ) = . 9 9 9 9 2 7 6 5 2 2 3 5 0 P 4 ( 2 0 ) = . 9 9 9 9 5 1 9 0 3 7 2 3 6 0 P 4 ( 2 1 ) = , 9 9 9 9 6 8 3 2 8 8 2 3 7 0 P 4 ( 2 2 ) = , 9 9 9 9 7 9 3 4 2 5 2 3 8 0 P 4 ( 2 3 ) = . 9 9 9 9 8 6 6 5 4 3 2 3 9 0 P 4 ( 2 4 ) = . 9 9 9 9 9 1 4 6 0 1 2 4 0 0 P 4 ( 2 5 ) = . 9 9 9 9 9 4 5 8 7 5 2 4 1 0 P 4 ( 2 6 ) = . 9 9 9 9 9 6 6 0 2 3 2 4 2 0 P 4 ( 2 7 ) = . 9 9 9 9 9 7 8 8 7 5 2 4 3 0 P 4 ( 2 8 ) = . 9 9 9 9 9 8 6 9 9 2 2 4 4 0 P 4 ( 2 9 ) = . 9 9 9 9 9 9 2 0 6 7 2 4 5 0 P 4 ( 3 0 ) = . 9 9 9 9 9 9 5 2 0 8 2 4 6 0 P 4 ( 3 1 ) = . 9 9 9 9 9 9 7 1 3 3 2 4 7 0 B l = . 3 1 9 3 8 1 5 3 3 B 2 = - . 3 5 6 5 6 3 7 3 2 ;5) 6 3 = 1 . 7 8 1 4 7 7 9 3 7 3 B 4 = - l . 8 2 1 2 5 5 9 7 8 3 B 5 = 1 . 3 3 0 2 7 4 4 2 9 2 4 8 0 ! H o o f d p r o g r a m m a " A F D A " 2 4 9 0 W 1 = I N F 2 5 0 0 ! B E R E K , m u ( X i ) N = M ( I ) E N s i g m a ( X i ) N = S ( I ) 2 5 1 0 F O R 1 9 = 1 T O N 9 3 ON 1 9 S O S U B 3 4 7 0 , 3 5 0 0 ;i) N E X T 1 9 2 5 2 0 ! S t e l K S T E R ( I ) C = X 6 ( I ) 3 = M ( I ) v o o r a l l e I

(34)

-34-2 5 3 0 FDR 1 = 1 TO N9 ;H) X 6 ( I ) = M ( I ) a' NEXT I 2 5 4 0 ! B e r e k e n mu<BTBHF)=Ml i n «STER<I)=M(I) 2 5 5 0 GDSUB 3 5 6 0 © H1=Z9

2 5 6 0 I B e r e k e n d ( B T B H F ) / d x < I ) v o o r a l l e I i n K ( I ) =!;STER ( I )

2 5 7 0 FOR 1 = 1 TO N9 .9 A 9 = X 6 ( I ) S) I F S ( I > =0 THEN D = . 0 0 0 1 S> BOTO 2 5 9 0 2 5 8 0 D = S ( I ) * . 0 0 1 2 5 9 0 X6<I)=A9H-D S) BOSUB 3 5 6 0 9 Z7=Z9 2 6 0 0 X 6 ( I ) = A 9 - D 3 BOSUB 3 5 6 0 3 ZB=Z9 3 X 6 ( I ) = A 9 2 6 1 0 X 7 ( I ) = ( Z 7 - Z 8 ) / ( 2 * D ) 2 6 2 0 NEXT I 2 6 3 0 ! B e r e k e n s i gma (BTBHF) = 8 2 v o o r x ( I ) =>!STER ( I ) 2 6 4 0 S2=0 3 FOR 1 = 1 TO N9 3 S3 ( I ) =X7 ( I > *S ( I ) 3 S2=S2+S3 ( I ) ••••2 3 NEXT I 2 6 5 0 S2=SQR(S2) 2 6 6 0 ! B e r e k e n BTBHF 2 6 7 0 GOSUB 3 5 6 0 3 DISP "Z=";Z9 2 6 8 0 ! A l s BTBHF < EPSILON d a n v e r d e l i n g e n a a n p a s s e n 2 6 9 0 I F A B S < Z 9 ) < . 0 0 0 0 1 THEN 2 8 0 0 2 7 0 0 ! B e r e k e n a l - f a ( I > 2 7 1 0 FOR 1=1 TO N9 3 S 1 ( I ) = 8 3 ( I ) / S 2 3 NEXT I 2 7 2 0 ! B e r e k e n n i e u w e BETA 2 7 3 0 A9=0 3 Q9=0 3 FOR 1 = 1 TO N9 3 A 9 = A 9 + ( M ( I ) - X 6 ( I ) ) * X 7 ( I ) 2 7 4 0 Q 9 = Q 9 + S 1 ( I ) * X 7 ( I ) * S ( I ) 3 NEXT I 2 7 5 0 B = ( Z 9 + A 9 > / Q 9 3 DISP "BETA=";B 2 7 6 0 ! B e r e k e n n i e u w e X < I ) s t e r b i n n e n r e s p . d e f i n i t i e g e b i e d e n 2 7 7 0 FOR 1 = 1 TO N9 3 X6 ( I ) =r-1 < I ) - S K I ) *B*S ( I ) 3 ON I GOSUB 3 5 9 0 , 3 6 0 0 2 7 8 0 NEXT I 2 7 9 0 GOTO 2 5 7 0 2 8 0 0 W=W1 3 W1=B 3 I F A B S ( W - W l > > . 0 0 0 0 0 1 THEN 2 5 1 0 2 8 1 0 ! UITVOER 2 8 2 0 PRINT "DAGEN";DATE;"SECONDEN";TIME 2 8 3 0 PRINT "Z=";Z9

2 8 4 0 PRINT "LAATSTE VERANDERINB I N BETA=";W-W1 2 8 5 0 PRINT "BETA="!B

2 8 6 0 DO=-B 3 GOSUB 3 4 0 0 3 PRINT " P r ( Z < 0 ) = " ; P 3 PRINT 2 8 7 0 PRINT "GEMIDDELDE VAN Z=";M1

2 8 8 0 PRINT "STANDAARDAFWIJKING VAN Z=";S2 3 PRINT 2 8 9 0 PRINT "AANDEEL DEELVARIANTIES"

2 9 0 0 FDR 1 = 1 TO N9 3 PRINT " X < " ; I ; " ) : " ; A « C 5 * 1-4, 5* I 3 ; S3 < I ) •••••2/S2--2* 1 0 0 ; " >:" 3 NEXT 1 3 PRINT

2 9 1 0 PRINT "WAARDEN VARIABELEN" 2 9 2 0 FDR 1=1 TO N9 2 9 3 0 PRINT "X < " ; I ; " > = " ; A * C 5 * I - 4 , 5 * I 3 ; X 6 ( I ) ; T A B ( 3 0 ) ; " M ( " ; I ; " > = " ; M ( I > ; T A D ( 5 5 ) ; " S ( " ; I i " ) = " ; S ( I ) 2 9 4 0 NEXT I 2 9 5 0 END 2 9 6 0 ! NORINI 2 9 7 0 P1=P 3 B6=0 2 9 8 0 I F P l < = . 5 THEN P=1-P1 3 B 6 = l

2 9 9 0 I F P > . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 AND B6=0 THEN K l = 8 3 PRINT " ! X ( " ; 1 9 ; " ) " ; K l 3 GOTO 3 0 5 0 3 0 0 0 I F P > . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 AND B 6 = l THEN K l = - B 3 PRINT " ! X ( " ; 1 9 ; " > " ; K l 3 GOTO 3 0 5 0 3 0 1 0 I F P < = . 5 3 9 8 2 7 8 3 7 2 7 7 THEN GOSUB 3 1 3 0

3 0 2 0 I F P > . 5 3 9 8 2 7 8 3 7 2 7 7 AND P < = . 9 7 7 2 4 9 8 6 8 0 5 2 THEN GOSUB 3 0 6 0 3 0 3 0 I F . 9 7 7 2 4 9 8 6 B 0 5 2 < P THEN GOSUB 3 2 7 0 3 0 4 0 I F B 6 = l THEN K1=-K1 3 0 5 0 RETURN 3 0 6 0 A2=P-.5 3 0 7 0 1=0 3 0 8 0 FDR N = l TO 2 0 0 3 0 9 0 I = I + C ( N ) * ( 2 * A 2 ) - < 2 * N - 1 ) 3 1 0 0 NEXT N 3 1 1 0 K 1 = I * S Q R ( 2 ) 3 1 2 0 RETURN 3 1 3 0 A 2 = S Q R ( P I ) * ( P - . 5 ) 3 K0=A2 3 N = 1 0 0 0 3 1 4 0 H=KO/N 3 E1=EXP(-H*H> 3 Z=0 3 Z1=0