Index of /rozprawy2/11418

Pełen tekst

(1)AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA im. Stanisława Staszica w Krakowie WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ I ROBOTYKI. Praca doktorska. Zjawisko zderzenia ciał nieswobodnych w układach technicznych. prof. dr hab. inż. Jerzy Michalczyk Promotor pracy. mgr inż. Mariusz Warzecha Autor pracy. Kraków, 2018.

(2) Zawartość. Streszczenie w języku polskim .................................................................................................. 4 Streszczenie w języku angielskim .............................................................................................. 5 1. Wstęp ...................................................................................................................................... 6 1.1 Przegląd obecnego stanu wiedzy ...................................................................................... 7 1.1.1 Współczynnik restytucji............................................................................................. 9 1.1.2 Modelowanie kontaktu............................................................................................. 12 1.1.3 Zderzenie w układach wielobryłowych ................................................................... 14 1.2 Cel i zakres pracy ........................................................................................................... 16 2. Zderzenie 3 ciał .................................................................................................................... 17 3. Budowa modelu zderzenia 3 ciał w dziedzinie czasu .......................................................... 26 3.1 Model bazujący na sile Hertza-Stajermana .................................................................... 26 3.2 Model LSD ..................................................................................................................... 29 3.3 Wybór modelu siły zderzenia oraz zapisanie równań opisujących zderzenie 3 ciał w młocie hydraulicznym .......................................................................................................... 32 3.4 Implementacja równań ruchu i badania symulacyjne ..................................................... 37 3.5 Porównanie rezultatów otrzymanych metodą symultaniczną i sekwencyjną z rezultatami symulacji ............................................................................................................................... 41 4. Zderzenie młotka z nadawą w kruszarce młotkowej............................................................ 45 4.1 Impulsy sił zderzenia młotka z nadawą oraz młotka z wirnikiem w fazie kompresji .... 46 4.2 Impulsy sił zderzenia młotka z nadawą oraz młotka z wirnikiem w fazie restytucji ..... 54 4.3 Wyznaczenie maksymalnej siły oraz czasu zderzenia na podstawie obliczonych impulsów sił zderzenia ......................................................................................................... 57 4.4 Model zderzenia młotka z nadawą oraz młotka z wirnikiem w dziedzinie czasu .......... 62 4.5 Maksymalna siła zderzenia – porównanie rezultatów otrzymanych z wykorzystaniem impulsów siły zderzenia oraz modelu zderzenia w czasie.................................................... 67 5. Siły działające na łożyska wibratora kraty inercyjnej jako przykład wykorzystania opracowanej metody w ruchu ogólnym ................................................................................... 72 5.1 Impulsy siły zderzenia nadawy z korpusem oraz korpusu z wibratorem ....................... 75 2.

(3) 5.2 Obliczenie sił działających na łożyska wibratora kraty wstrząsowej ............................. 94 6. Możliwości wykorzystania opracowanego podejścia w praktyce inżynierskiej .................. 99 6.1 Przykład 1 – fala naprężeń wywołana uderzeniem młotka kruszarki w nadawę ......... 100 6.2 Przykład 2 Przyspieszenia punktów na powierzchni nadawy wywołane uderzeniem kraty wstrząsowej ............................................................................................................... 105 6.3 Uwagi wynikające z przeprowadzonych analiz ............................................................ 112 7. Podsumowanie ................................................................................................................... 114 Załącznik 1 Masa zredukowana w zderzeniu oraz wpływ konfiguracji zderzających się ciał na maksymalną siłę zderzenia ..................................................................................................... 117 Załącznik 2 Kod źródłowy symulacji wykorzystanej w rozdziale 3 ...................................... 121 Załącznik 3 Maksymalna siła zderzenia - uzupełnienie rozumowania z rozdziału 4 ............ 144 Bibliografia............................................................................................................................. 149. 3.

(4) Streszczenie w języku polskim W pracy rozważono możliwości wykorzystania mechaniki klasycznej w modelowaniu zjawiska zderzenia ciał nieswobodnych w układach technicznych, w których zderzenie jednego z elementów wywołuje również zderzenia pomiędzy elementami będącymi z nim powiązanych. Przedstawiono krótki przegląd opisanych w literaturze sposobów modelowania zjawisk zachodzących w trakcie zderzenia. Wyjaśniono możliwości, jakie daje mechanika klasyczna w zakresie modelowania zderzenia w układzie wielobryłowym, na który narzucone są więzy, przedstawiając podejście sekwencyjne i symultaniczne. Następnie na przykładzie młota pneumatycznego przeprowadzono analizę porównawczą obu podejść w odniesieniu do stworzonego modelu w dziedzinie czasu. Na podstawie otrzymanych rezultatów zaproponowano zalecenia wykorzystania obu podejść. Wnioski jakie wyciągnięto z badania przypadku zderzeń zachodzących w trakcie pracy młota pneumatycznego wykorzystano w trakcie modelowania zderzenia nadawy z młotkiem oraz młotka z wirnikiem w kruszarce młotkowej. Przypadek ten został również wykorzystany do zaproponowania metody pozwalającej na wyznaczenie maksymalnej siły zderzenia na podstawie jej impulsu, który otrzymać można z rozważań na kanwie mechaniki klasycznej. Możliwość wykorzystania zaproponowanych rozwiązań w bardziej złożonych przypadkach została przedstawiona na przykładzie zderzenia nadawy z korpusem oraz korpusu z wibratorem kraty inercyjnej. Przykłady układów technicznych zostały dobrane i uszeregowane w taki sposób, że złożoność ich modelowania rośnie od początku do końca pracy, pozwalając zarówno na łatwiejsze zrozumienie koncepcji zaproponowanego rozwiązania jak i pokazując jego możliwości. Dodatkowo przedstawiono dwa przykłady prezentujące możliwości wykorzystania rezultatów w praktyce inżynierskiej. Praca uzupełniona została trzema załącznikami. Dwa z nich, załącznik 1 oraz 3, wyjaśniają zagadnienia, które są istotne dla pełnego zrozumienia pracy, ale nie były z nią bezpośrednio związane. W załączniku 2 zamieszczony jest kod źródłowy symulacji, stworzony dla modelu młota pneumatycznego.. 4.

(5) Streszczenie w języku angielskim In the presented thesis possibilities of modelling collision in multibody, constrained technical systems using classical mechanics have been investigated. Short overview of models available in the literature for modeling phenomenon taking place during collision has been given. Possibilities given by classical mechanics for modeling collision in constrained multibody systems have been explained basing on simultaneous and sequential approach. On the example of a pneumatic drill comparison of both approaches has been made, using as a reference model created in time domain. Basing on those results rules for using both of them have been proposed. They have been then used to choose proper approach in modeling collision occurring during work of hammer crusher, which means collision between feed and hammer and hammer and rotor. This case has been also used to propose a new method allowing calculation of maximal collision force using impulse of this force calculated from equation based on classical mechanics. Forces calculated thanks to using this method have been cross-checked by simulation made in time domain. The possibility of use of proposed methods in more complicated situation has been shown on example of shake-out grid. Examples of investigated technical system have been chosen and ordered with growing modelling complexity, allowing better understanding of the idea of solution on one hand and showing its capability on the other. Additionally two examples show possibility of an application of results in an engineering work. The thesis is supplemented with three appendixes. Appendix 1 and 3 explain topics crucial for proper understanding of the thesis but not directly linked with it. The source code of simulation made for pneumatic drill has been given in the appendix 2.. 5.

(6) 1. Wstęp Zjawisko zderzenia przyciąga uwagę naukowców i inżynierów od bardzo dawna. Bazując na pracy [1] można stwierdzić, że pierwsze prace naukowe nad zjawiskiem zderzenia zostały przeprowadzone w XVII w. przez Wallisa Wren’a i Huygens’a. Efektem prac Huygensa było wyprowadzenie prawa zachowania pędu dla zderzających się ciał, które można uważać za fundamentalne w klasycznym podejściu do modelowania zderzenia. Później, w swojej słynnej pracy [2], Newton odwołuje się do rezultatów pracy Wren'a i jako pierwszy definiuje współczynnik restytucji. Badanie zjawiska zderzenia związane było z potrzebą udzielenia odpowiedzi na szereg pytań, które pojawiały się w szerokim obszarze dziedzin, poczynając od astrofizyki a kończąc na robotyce. Zaangażowani w badania nad zjawiskiem zderzenia są zatem astrofizycy, którzy początków planet doszukują się w zderzeniach i łączeniu się mniejszych obiektów (ziaren, pyłu) w procesie tzw. akrecji [3], biomechanicy, którzy badają dynamikę ruchu sportowców [4] czy chemicy, opisujący reakcje cząsteczek gazów. Również inżynierowie mierzą się z nim pracując nad rozwiązaniami dla szeregu gałęzi przemysłu, takich jak np.: przemysł wojskowy (penetracja różnego rodzaju osłon przez pociski), przemysł samochodowy (zapewnienie bezpieczeństwa pasażerom), przemysł morski (zabezpieczanie statków przed efektami potencjalnych. kolizji),. czy. przemysł. lotniczy. (konstrukcja. podwozia. samolotu).. Zainteresowanie inżynierów zjawiskiem zderzenia związane jest z ich potrzebą analizowania układów mechanicznych, w których: . zderzenie jest podstawowym aspektem działania (np. kruszarki młotkowe, kraty inercyjne, młoty, prasy). . zderzenie jest efektem ubocznym pracy (zużycie węzłów kinematycznych, które wywołuje luzy pomiędzy współpracującymi częściami). . zderzenie jest niezamierzonym rezultatem działania (np. zderzenia ramienia robota z otoczeniem). Zderzeniem, w zakresie jaki będzie analizowany w niniejszej pracy, nazwać można proces nagłego zetknięcia dwóch lub więcej ciał stałych znajdujących się w ruchu lub inaczej, można określić go jako nagłą zmianę prędkości ciał, bez powiązanej z tą zmianą, znacznej zmiany ich położenia. [5], [6] Zderzenia ciał powodują powstawanie sił chwilowych, czyli sił osiągających znaczne wartości w stosunku do pozostałych sił działających na ciało, ale 6.

(7) występujących w krótkich okresach czasowych. Są one w znacznej mierze przyczyną trudności związanych z modelowaniem zjawiska zderzenia, które zaliczyć trzeba do jednego z najbardziej problematycznych w dynamicznej analizie ruchów ciał. W następnej części niniejszego rozdziału przedstawiony zostanie zarys obecnego dorobku naukowców i inżynierów w tematyce modelowania zjawiska zderzenia oraz sformułowany zostanie zakres i cel. W pracy będą analizowane zderzenia ciał o budowie zwartej (możliwość zaniedbania energii drgań ciał zderzających się).. 1.1 Przegląd obecnego stanu wiedzy W szerokim obszarze matematycznego modelowania zderzenia, wyróżnić można kilka odrębnych, nie mniej jednak pozostających ze sobą w relacji, aspektów. Mianowicie: . modelowanie. zderzenia. z. wykorzystaniem. mechaniki. klasycznej. –. model. „bezczasowy” . siły kontaktowe pomiędzy ciałami. . propagacja fali naprężeń wywołanej zderzeniem. . odkształcenia plastyczne i utrata spójności materiału występujące na granicy zderzających się ciał. Z każdym z tych aspektów związana jest znaczna ilość zagadnień, które w sposób ogólny starano się zebrać i streścić poniżej aby zasygnalizować poszczególne zagadnienia i metody. Modelowanie zderzenia z wykorzystaniem mechaniki klasycznej bazuje na zastosowaniu zasady zachowania pędu i momentu pędu. Dyssypacja energii zachodząca w trakcie zderzenia wyrażana jest przy pomocy współczynnika restytucji, którego poprawna wartość jest decydująca dla otrzymania realistycznych wyników, dlatego poświęcony mu zostanie osobny podrozdział. W literaturze znaleźć można wiele pozycji, w których mechanika klasyczna wykorzystana jest do analizy różnych przypadków zderzenia. Przykłady pozycji literaturowych to: [5], [6], [7]. Wykorzystanie mechaniki klasycznej do modelowania zderzenia prowadzi do otrzymania równań algebraicznych, których rozwiązanie nie nastręcza problemów. Fakt ten można uważać za jedną z przyczyn, dla których to podejście jest w praktyce rozpowszechnione. Mechanika klasyczna w modelowaniu zderzenia ma jednak znaczącą wadę, nie pozwala na obliczenie wartości sił, występujących w trakcie zderzenia. 7.

(8) Poznanie naprężeń powstających w ciałach podczas zderzenia jest innym ciekawym aspektem modelowania tego zjawiska. W tym celu wykorzystywane są modele opisujące kontakt, które chociaż stworzone do modelowania kontaktu zachodzącego statycznie (bardzo powoli) zostały zmodyfikowane w celu opisu kontaktu w trakcie zderzenia. Podstawowym modelem jest tutaj zmodyfikowany model Hertz'a (poszerzony przez Sztajermana) pozwalający na określenie relacji pomiędzy siłą zderzenia a deformacją zderzających się ciał. Tym samym możliwym jest również obliczenie czasu trwania zjawiska zderzenia. W przypadkach, w których stosowanie modelu Hertza nie jest możliwe stosuje się modele numeryczne. Relacja siły zderzenia i lokalnej deformacji ciał jest również często uzupełniana o tłumienie, które pozwala zamodelować dyssypację energii zachodzącą w trakcie zderzenia. Dokładniejszy przegląd modeli opisujących kontakt w trakcie zderzenia zostanie dokonany w podrozdziale 1.1.2. Jednym z rezultatów zderzenia ciał są elastyczne fale naprężeń, które w nich powstają i propagują się od punktu zderzenia po całym ciele. Jeśli energia zamieniona w ten sposób w energię wibracji stanowi znaczną porcję całkowitej energii zderzenia, zjawiska falowe zachodzące w ciałach nie powinny być pomijane i podejście klasyczne może prowadzić do znacznych błędów. Różnorakie podstawowe problemy (np. uderzenie masy skupionej w pręt) zostały zaprezentowane m. in. w takich pozycjach jak: [6], [8]. W momencie, w którym odkształcenia wywołane falą naprężeń powstałą w wyniku zderzenia przekraczają zakres odkształceń elastycznych, charakterystycznych dla danego materiału, opis z wykorzystaniem elastycznych efektów falowych staje się niewystarczający. Sytuację taką napotyka się głównie w zderzeniach z dużymi prędkościami, które występują w wyniku stosowania różnego rodzajów materiałów wybuchowych czy też różnorakich pocisków. W pracy [6] przedstawiono metody wykorzystywane do modelowania takich przypadków.. Wyróżnić. tutaj. można. dwa. podstawowe. podejścia:. wykorzystanie. hydrodynamicznej teorii zachowania ciał stałych oraz teorii propagacji fal odkształcenia plastycznego. Pierwsza z nich modeluje odkształcenie plastyczne jako rezultat lokalnej zmiany gęstości ciała. Równanie wiążące ciśnienie w materiale ze zmianami gęstości i temperatury (lub entropii) jest wykorzystywane wraz z równaniami zachowania pędu, energii i masy. W przypadku teorii propagacji fal odkształcenia plastycznego, materiał w obszarach, w których doszło do odkształcenia plastycznego uważany jest za nieściśliwy. Równanie stanu wiążące naprężenia, odkształcenia względne oraz szybkość tych odkształceń jest także niezależne od temperatury. W pracach [9] oraz [10] zauważono, że dla przypadków, w 8.

(9) których obciążenia występują w długich okresach czasu, zachodzą one w wysokich temperaturach lub też występują duże szybkości odkształceń w modelowaniu zachowania materiałów elasto-plastycznych uwzględnić należy zależność odkształcenia plastycznego od szybkości odkształcenia względnego. W pracy [11] przedstawiono szeroką analizę wykorzystania fali odkształcenia plastycznego zarówno z modelami wykorzystującymi zależność od prędkości odkształceń jak i z pominięciem takiej zależności. 1.1.1 Współczynnik restytucji. Podstawowym założeniem w klasycznej teorii zderzenia jest nieskończona sztywność zderzających się ciał, które w konsekwencji pociąga za sobą zerowy czas zderzenia. Prawo zachowania pędu zazwyczaj jest niewystarczające (poza przypadkami granicznymi) do obliczenia prędkości zderzających się ciał po zderzeniu. Rozważane są dwa skrajne przypadki: zderzenia idealnie sprężystego oraz plastycznego. Pierwszy zakłada zachowanie energii kinetycznej zderzających się ciał. Drugi z kolei, że ciała ulegają "sklejeniu" i po zderzeniu poruszają się jak jedno ciało o masie będącej sumą mas ciał, które się zderzyły. Rzeczywiste zderzenia zazwyczaj nie są jednak ani idealnie sprężyste, ani idealnie plastyczne, dlatego też aby uwzględnić częściową utratę energii wprowadzono współczynnik restytucji R. Jako pierwszy podał go Newton, wiążąc prędkość względną zderzających się ciał przed i po zderzeniu. Współczynnik restytucji jako stosunek prędkości względnej po zderzeniu do prędkości względnej przed zderzeniem może zatem przyjmować wartości od 0 do 1. Skrajne wartości współczynnika restytucji odpowiadają skrajnym przypadkom zderzeń: R=1 dla zderzenia idealnie sprężystego oraz R=0 dla zderzenia idealnie plastycznego. Alternatywną definicją współczynnika restytucji jest definicja Poissona, gdzie współczynnik restytucji określony jest jako stosunek impulsu siły zderzenia w drugiej fazie zderzenia do impulsu siły zderzenia w pierwszej fazie zderzenia ( równanie (1) ). Obie definicje są równoważne dla przypadku zderzenia centralnego prostego oraz mimośrodowego, pod warunkiem, że nie występuje tarcie (ciała są gładkie). 𝑅=. Π𝐼𝐼 Π𝐼. (1). gdzie: R – współczynnik restytucji Π𝐼 ,Π𝐼𝐼 – impuls siły zderzenia w pierwszej i drugiej fazie zderzenia 9.

(10) Współczynnik restytucji definiowany jest również w oparciu o energię, poprzez określenie stosunku pracy wykonanej przez odkształcenie elastyczne zderzających się ciał w trakcie drugiej fazy zderzenia do energii zgromadzonej w trakcie pierwszej fazy zderzenia [12]. Taka definicja współczynnika restytucji wymaga jednak uwzględniania lokalnego odkształcenia zderzających się ciał w okolicy punktu zderzenia i można ją zastosować w przypadku, w którym prędkości zderzających się ciał są znacznie mniejsze od prędkości rozchodzenia się fali odkształcenia wywołanej zderzeniem. Π. 𝑅2 =. 𝐼𝐼 ∫Π 𝑣 (Π)𝑑Π 𝐼. Π𝐼 ∫0 𝑣(Π)𝑑Π. (2). gdzie: R – współczynnik restytucji v() – prędkość w funkcji impulsu siły zderzenia Współczynnik restytucji można traktować jako miarę globalnej utraty energii kinetycznej w wyniku zderzenia. Uwzględnia on zatem takie formy dyssypacji energii jak praca wykonana w trakcie odkształcenia wiskoelastycznych materiałów zderzających się ciał, odkształcenia plastyczne czy też wibracje zderzających się ciał. Współczynnik restytucji nie jest cechą materiałową zderzających się ciał i zależy również od ich prędkości względnej oraz geometrii w obszarze, w którym dochodzi do kontaktu pomiędzy zderzającymi się ciałami. [13], [14], [15] Współczynnik restytucji nie jest zatem wielkością stałą, którą można by zdefiniować np. w oparciu o parę materiałów z jakich wykonane są zderzające się ciała, a jego wartość zależy od wielu czynników i posiada naturę po części losową. [16], [17] W pracy [18] przedstawiono rezultaty badań eksperymentalnych, w których analizowano wpływ prędkości zderzających się ciał na wartość współczynnika restytucji. Pokazano, że wartość współczynnika restytucji rośnie wraz ze spadkiem prędkości względnej zderzających się ciał, co można potencjalnie uzasadnić zmniejszeniem plastycznej deformacji zderzających się ciał w okolicy punktu zderzenia. W pracy tej zwrócono również uwagę na problemy występujące przy doświadczalnym. wyznaczaniu współczynnika restytucji, takie jak geometria. zderzających się ciał czy też sposób powtarzania zderzeń. W pracy [19] wykorzystano Metodę Elementów Skończonych do zbadania współczynnika restytucji dla zderzenia kuli z powierzchnią. Otrzymane wyniki potwierdziły wpływ prędkości zderzających się ciał jak również właściwości materiałów, z których wykonane są zderzające się ciała, na wartość 10.

(11) współczynnika restytucji. Otrzymane wyniki pokazały zgodność z wartościami uzyskanymi eksperymentalnie, potwierdzając tym samym możliwość wykorzystania symulacji z użyciem Metody Elementów Skończonych do wyznaczania współczynnika restytucji dla konkretnych przypadków zderzeń. W pracy [13] wprowadzono pojęcie gęstości strumienia energii, zdefiniowanej jako:. =. 𝑚𝑤 𝑣 2 2𝑟𝑤3. (3). gdzie: mw – masa zredukowana zderzających się ciał v – prędkość względna ciał na kierunku zderzenia rw – zredukowany promień krzywizny zderzających się ciał 𝑟𝑤 = 𝑚𝑤 =. 𝑟𝑖 𝑟𝑗 𝑟𝑖 + 𝑟𝑗. (4). 𝑚𝑖 𝑚𝑗 𝑚𝑖 + 𝑚𝑗. (5). Tak zdefiniowana wielkość gęstości strumienia energii pozwala na eksperymentalne wyznaczenie współczynnika restytucji w funkcji tej wielkości dla konkretnych materiałów z jakich wykonane są zderzające się ciała dla zderzenia centralnego, prostego. Zależność ta została uogólniona na przypadek zderzenia mimośrodowego ciał gładkich w pracy [20]. Generalnie zatem współczynnik restytucji podczas zderzenia ciał zależy od własności mechanicznych materiałów, z jakich wykonane są zderzające się ciała, ich geometrii w okolicy punktu zderzenia jak również prędkości względnej przed zderzeniem. W związku z tymi zależnościami, tworzenie tablic współczynników restytucji, podobnie jak ma to miejsce np. ze współczynnikami tarcia, ma ograniczoną przydatność praktyczną. Główną zaletą konceptu współczynnika restytucji jest jego matematyczna prostota. Algebraiczna zależność pomiędzy prędkością względną zderzających się ciał przed i po zderzeniu pozwala na określenie prędkości po zderzeniu poprzez rozwiązanie równania algebraicznego. Nie mniej jednak praktyczna, inżynierska informacja uzyskana w taki sposób jest bardzo zależna od właściwej wiedzy na temat wartości współczynnika restytucji w konkretnym przypadku. Wyznaczenie takiej wartości bardzo często jest związane z. 11.

(12) przeprowadzeniem odpowiednich eksperymentów. Co więcej, siły działające na ciało nie mogą zostać wyznaczone z wykorzystaniem tego modelu. Pomimo tych wad współczynnik restytucji jest podstawowym narzędziem, które wykorzystane jest do analizy wielu problemów, w których dochodzi do zderzenia. [5], [6], [7] W pracy [7] wprowadzono również współczynnik "μ" opisujący stosunek impulsu stycznego do impulsu normalnego. Jeśli w modelowaniu zderzenia uwzględniane jest tarcie pomiędzy zderzającymi się ciałami i wykorzystywany jest model tarcia Coulomba, współczynnik "μ" można uważać za współczynnik tarcia dynamicznego o ile poślizg zachodzi przez cały czas kontaktu. Współczynnik tarcia „μ” może być dodatni lub ujemny aby uwzględnić fakt dyssypacji energii, która zachodzi w trakcie poślizgu. Dla zderzeń, w których względna prędkość styczna nie jest równa 0, w pracy [7] proponuje się styczny współczynnik restytucji, który wiąże ze sobą styczną prędkość przed oraz po zderzeniu. Można pokazać że istnieje związek pomiędzy „μ” oraz Rstyczne. Dlatego dla rozwiązania problemu, w którym analizujemy również prędkości styczne podczas zderzenia wystarczy znajomość dwóch współczynników R oraz Rstyczne.. 1.1.2 Modelowanie kontaktu. Klasyczna teoria zderzenia opisana powyżej przyjmuje założenie upraszczające, że zderzające się ciała są idealnie sztywne. Rzeczywiste obiekty fizyczne ulegają jednak deformacji, dlatego czas zderzenia jest różny od zera. Dążenie do dokładniejszego opisu zjawiska zderzenia doprowadziło do jego rozważenia jako zjawiska dynamicznego, zachodzącego w czasie, gdzie zderzające się ciała ulegają lokalnej deformacji, w skutek której wygenerowana zostaje siła działająca na zderzające się ciała. Kluczowym dla tego podejścia jest właściwy model opisujący siłę działającą na ciała w funkcji lokalnej deformacji i szybkości tej deformacji. Również określenie parametrów tego modelu jest bardzo istotne. W swojej ogólnej formie zależność opisująca siłę zderzenia może przyjąć formę: 𝐹 = 𝐹𝑐 (𝜉) + 𝐹𝑣 (𝜉, 𝜉)̇ + 𝐹𝑝 (𝜉, 𝜉)̇. (6). gdzie: 𝐹𝑐 (𝜉)- siła sprężystości (zachowawcza). 12.

(13) 𝐹𝑣 (𝜉, 𝜉)̇ - siła opisująca tłumienie wiskotyczne związane z własnościami materiałów, z których wykonane są zderzające się ciała, taki model jest pewnym uproszczeniem, bliższe prawdy jest wykorzystanie tłumienia materiałowego, jak zaproponowano w pracy [20] 𝐹𝑝 (𝜉, 𝜉)̇ - siła opisująca rozproszenie energii związane z odkształceniem plastycznym, która może być wyznaczona na podstawie krzywej odkształcenia dla każdego z materiałów, z których wykonane są zderzające się ciała Ponieważ człon równania (6) związany ze sprężystością jest najbardziej istotny, zostanie rozważony dokładniej poniżej. Bardziej obszerny zbiór literatury dotyczący modeli wykorzystywanych w modelowaniu siły zderzenia można znaleźć w [21]. Dodatkowo w rozdziale 3 przeprowadzono również analizę wybranych modeli uwzględniających dyssypację energii w trakcie zderzenia. W zakresie opisu siły sprężystości występującej w równaniu (6), z pewnością za najbardziej znaczącą należałoby uznać pracę Hertza dotyczącą mechaniki kontaktu pół-nieskończonych ciał elastycznych opublikowaną w 1882 roku [22]. W pracy [23] przedstawiono bardzo dobre podsumowanie jej rezultatów wraz z tabelą wzorów. Teoria Hertza przewiduje dystrybucję naprężeń w obszarze kontaktu dla dwóch ciał których powierzchnie są obrotowe. Pozwala także na określenie naprężeń rozciągających i tnących wewnątrz materiałów. Dzięki temu możliwym było ustalenie, że maksymalne naprężenia nie występują na powierzchni kontaktu, ale pod nią, wewnątrz materiału, co może prowadzić do pęknięć i innych uszkodzeń materiału, które nie będą widoczne na powierzchni ( tzw. punkty Bielajewa [24] ). Bardzo powszechnie używaną relacją wiążącą siłę zderzenia z lokalną deformacją dla ciał jest: 3. 𝐹 = 𝑘𝐻 𝜉 2. (7). gdzie: F - siła normalna ściskająca ciała kH - współczynnik sprężystości zależny od geometrii w obszarze kontaktu oraz własności materiałowych zderzających się ciał ξ- deformacja lokalna zderzających się ciał Równanie (7) zostało wykorzystane w pracy [25] do zbadania zderzenia dwóch kul. W ten sposób została wyznaczona maksymalna siła zderzenia oraz czas jego trwania. Podobne. 13.

(14) podejście można znaleźć również w [5] oraz [6]. Te analizy tworzą tak zwaną Hertz’owską teorię zderzenia. Warto zaznaczyć że relacja Hertza daje się stosować tylko dla kontaktów, w których kontaktujące się powierzchnie są obrotowe i stopień ich przylegania ma charakter lokalny w stosunku do ich gabarytów. Innymi słowy, relacja Hertza nie może zostać wykorzystana jeśli promienie krzywizn zderzających się ciał są zbyt zbliżone do siebie, np. łożyska ślizgowe lub w kontakcie płaszczyzna-płaszczyzna. W pracy [11] rozważono takie właśnie przypadki i podano rozważania teoretyczne jak również rezultaty eksperymentu. Dla przypadku węzła cylindrycznego oparto rozważania na sinusoidalnej dystrybucji naprężenia w kontakcie pomiędzy wałem a łożyskiem. W celu obliczenia rozkładu ciśnienia rozważono dwie zależności: 𝐹 = 𝑘𝜉. (8). 𝐹 = 𝑘′𝜉2. (9). oraz. Przeprowadzone doświadczenia dla żeliwa i hartowanej stali pokazały, że model kwadratowy ( równanie (9) ) daje lepszą korelację siły w łożysku ślizgowym kiedy przyłożone jest większe obciążenie na jednostkę długości. Dla mniejszych obciążeń, zależność liniowa daje lepsze efekty. 1.1.3 Zderzenie w układach wielobryłowych. W dostępnej literaturze przedstawiającej rezultaty badań naukowych dotyczących zjawiska zderzenia w układach wielobryłowych dominują modele wykorzystujące dynamikę ciała sztywnego, przy czym w ich obrębie wyróżnić można dwa podejścia: . modele wykorzystujące siłę zderzenia ciągłą w czasie. . modele wykorzystujące zasadę zachowania pędu i momentu pędu do rozwiązania problemu zderzenia. Modele wykorzystujące ciągłą siłę zderzenia definiują ją w oparciu o przyjęty model kontaktu (patrz wcześniejszy podrozdział). Tak zamodelowany układ ciał może zostać zasymulowany w sposób „ciągły”, tzn. w momencie zderzenia (kontaktu pary ciał) pojawia się siła zderzenia, która ma charakter ciągły w czasie, i której działanie wpływa na ruch zderzających się ciał. W 14.

(15) przypadku modeli wykorzystujących zasadę zachowania pędu i momentu pędu, w momencie zderzenia rozwiązywany jest algebraiczny układ równań, który pozwala na wyznaczenie nowych wektorów prędkości zderzających się ciał. Wektory prędkości zderzających się ciał są aktualizowane w oparciu o otrzymane wyniki a w modelu w ogóle nie występuje siła zderzenia. Nieciągłości wywołane zderzeniem są przyczyną wyzwań w numerycznym całkowaniu równań ruchu. Jako dwa główne problemy w symulacjach numerycznych można określić dwa aspekty: . potrzebę scałkowania krótkotrwałych sił zderzenia, wywołującą konieczność znacznej redukcji kroku całkowania i podnoszącą tym samym ilość obliczeń koniecznych do wykonania. . potrzebę określenia momentu, w którym dochodzi do zderzenia. Wymienione powyżej aspekty zyskują jeszcze na znaczeniu w układach wielobryłowych (ang. multibody) z więzami, w których, w wyniku zderzenia inicjującego, dochodzi do wielu zderzeń pomiędzy powiązanymi ciałami. Na kanwie mechaniki klasycznej do takiego problemu można podejść na dwa sposoby. (1) Pierwszym jest traktowanie zderzeń oddzielnie i rozpatrywanie ich po kolei. Kolejno rozpatrywane zderzenia tworzą niejako sekwencję, podejście można zatem nazwać sekwencyjnym. (2) Drugim jest założenie, że wszystkie zderzenia zachodzą jednocześnie. W takim wypadku, w celu znalezienia szukanych wielkości należy rozwiązać układ równań, a podejście nazwać można symultanicznym. Dla takich przypadków zderzeń wielokrotnych rozwiązania skupiają się głównie na prostych przypadkach zderzeń kul swobodnych [26] czy próbach dopracowania modelu wahadła Newtona [27]. Ciekawym przypadkiem jest analiza zderzenia zachodzącego pomiędzy komponentami zestawu kołowego w efekcie najechania na nierówność szyny [28]. Opracowane metody wykorzystuje się również w modelowaniu zderzeń, które są efektem luzów powstających w węzłach kinematycznych [29], [30] czy też analizy mechanizmów o zmiennej strukturze [31]. Opisane powyżej zagadnienia stanowią jedynie zarys badań teoretycznych i eksperymentalnych nad zjawiskiem zderzenia. Autor, ze względu na rozmiar pracy, był zmuszony do ograniczenia ilości przedstawionych osiągnięć nauki w tej dziedzinie. Zagadnienia starano się dobierać w taki sposób, aby były one pomocne w dalszym czytaniu 15.

(16) pracy i pozwalały ją umieścić w szerszym kontekście. Pomimo starań, Autor zdaje sobie również sprawę, że do części rezultatów badań nie udało mu się dotrzeć, co również można uznać za jeden z czynników wpływających na kształt przedstawionego przeglądu.. 1.2 Cel i zakres pracy Cel niniejszej pracy można określić w następujący sposób: 1) Porównanie i ocena zasadności stosowania klasycznych metod analizy zderzeń w odniesieniu do kolizji ciał nieswobodnych 2) Budowa modelu matematycznego oraz adaptacja narzędzi symulacyjnych dla zbadania przebiegu zjawiska fizycznego zderzenia ciał nieswobodnych 3) Określenie możliwości wykorzystania metod mechaniki klasycznej w celu wyznaczenia obciążeń węzłów kinematycznych podczas zderzenia ciał nieswobodnych na wybranych przykładach. Dla takich celów ogólnych można zdefiniować następujące cele szczegółowe: - analiza zderzeń zachodzących w układzie centralnym, na przykładzie pracy młota pneumatycznego, z wykorzystaniem podejścia sekwencyjnego i symultanicznego - budowa modelu numerycznego, z siłą zderzenia reprezentowaną w dziedzinie czasu, w celu weryfikacji rezultatów otrzymanych metodą symultaniczną i sekwencyjną - przedstawienie zalet i wad podejścia sekwencyjnego i symultanicznego, opracowanie zaleceń ich wykorzystania - zbadanie obciążeń występujących w układzie mimośrodowym płaskim w elementach kruszarki młotkowej, - opracowanie metody pozwalającej na obliczenie maksymalnej siły zderzenia na podstawie impulsu tej siły wyznaczonej metodą klasyczną - analiza przypadku przestrzennego, mimośrodowego zderzenia 3 ciał na przykładzie zderzenia kraty inercyjnej z nadawą Ponadto w pracy starano się wskazać możliwości dalszej analizy podlegającego zderzeniu układu ciał, tak by na podstawie wyników uzyskanych z w. w. analiz, było możliwym przejście do badania zjawisk związanych z rozpływem falowym energii w ciałach podlegających zderzeniu. Pomimo tego, że w pracy rozważania teoretyczne prezentowane są na przykładach układów technicznych, ich parametry nie stanowią odzwierciedlenia konkretnych obiektów, a pracę postrzegać należy głównie w aspekcie teoretycznym.. 16.

(17) 2. Zderzenie 3 ciał Metodą najczęściej stosowaną do modelowania zjawiska zderzenia w układach wielobryłowych (ang. multibody) jest podejście polegające na kolejnym rozważeniu zderzeń pomiędzy ciałami układu i traktowanie poszczególnych zderzeń jako zjawiska bezczasowe: [5], [32], [27], [33], [34]. Podejście takie nazywane będzie w niniejszej pracy sekwencyjnym, ponieważ rozpatrywane kolejno zderzenia pomiędzy dwoma ciałami układu tworzą sekwencję zderzeń. Alternatywnym podejściem jest rozważenie zderzenia w układzie wielobryłowym (ang. multibody) jako zjawiska, które zachodzi jednocześnie dla wszystkich zderzających się ciał. [28], [32] Takie podejście w niniejszej pracy nazywane będzie symultanicznym. Jest ono rzadziej spotykane w literaturze, czego przyczyn można doszukiwać się m. in. w większej złożoności obliczeniowej. W rozdziale niniejszym przedstawiono rezultaty wykorzystania obu podejść do zamodelowania zderzenia zachodzącego w komponentach młota pneumatycznego. Wybór młota pneumatycznego jest wynikiem poszukiwania takiego układu technicznego, w którym w trakcie jego działania zachodziłoby zjawisko zderzenia pomiędzy elementami, z których jest wykonany, a jego budowa byłaby na tyle prosta aby możliwe było jej zamodelowanie wykorzystując jedynie 3 ciała. Jest to wybór arbitralny i można sobie wyobrazić alternatywne układy, które spełniałyby podane wymagania i z powodzeniem mogłyby go zastąpić. Jako taki stanowi przykład z grupy układów technicznych, do których można zastosować rozważania przedstawione w tym rozdziale. W tym momencie nadmienić należy, że obliczenia przeprowadzone w niniejszej pracy pomijają zjawiska falowe zachodzące w zderzających się ciałach. Uproszczenie takie jest uzasadnione dla ciał zwartych. Należy zatem zwrócić uwagę na to, czy konkretna geometria bijaka i grota pozwala na traktowanie ich jako ciał zwartych. W przeciwnym wypadku obliczenia wykonane analogicznie do tych przedstawionych w niniejszej pracy mogą prowadzić do znacznych błędów. Poglądowo młot pneumatyczny przedstawiono na rys.1. W uproszczeniu taki młot zbudowany jest z obudowy, w której znajduje się bijak oraz grot. Ruch bijaka wywoływany jest ciśnieniem powietrza zgromadzonego w obudowie. Następnie bijak przekazuje zgromadzoną energię grotowi, którego zadaniem jest rozbicie bloku (bryły). Dochodzi zatem do dwóch zderzeń: pomiędzy bijakiem a grotem oraz pomiędzy grotem a rozbijanym blokiem. Analizując dogłębniej przedstawiony schemat można by się doszukać również zderzenia fali ciśnienia powstałej w powietrzu z bijakiem, nie mniej jednak zjawisko takie nie jest na ogół 17.

(18) znaczące dla przypadku młota pneumatycznego i nie będzie rozważane. W modelu przyjęte zostaną warunki początkowe opisujące stan bijaka w momencie, który następuje tuż przed zderzeniem z grotem. W tak uproszczonej reprezentacji młota pneumatycznego wyróżnić można zatem 3 ciała pomiędzy którymi dochodzi do zderzenia: bijak, grot oraz rozbijany blok.. rys.1Poglądowe przedstawienie młota pneumatycznego. Na rys. 2 przedstawiono schematycznie młot pneumatyczny wraz z oznaczeniami, które wykorzystane zostały w obliczeniach. Ciała zostały ponumerowane, otrzymując kolejno numery 1, 2 oraz 3 dla bijaka, grota oraz rozbijanego boku. Jako mi (i = 1, 2, 3) oznaczone zostały masy ciał, kolejno bijaka, grota oraz rozbijanego ciała. Położenie każdego z ciał opisywane jest wzdłuż osi Ox współrzędną xi (i = 1, 2, 3). Współczynnik restytucji dla pary zderzających się ciał oznaczono jako Rj (j = 1, 2), przy czym indeks dolny j jest mniejszym numerem ciała biorącego udział w zderzeniu. Do oznaczania prędkości zderzających się ciał wykorzystano następujące oznaczenia: 𝑥̇ 𝑖 = 𝑣𝑖𝑘. (10). gdzie: i = 1, 2, 3 – numer ciała którego prędkość jest oznaczana. 18.

(19) k = 0, 1 ,2 – liczba opisująca etap, dla którego podawana jest prędkość, 0 dla prędkości początkowej ciał przed zderzeniem, 1 po zderzeniu bijaka z grotem, 2 po zderzeniu grota z rozbijanym ciałem Dodatkowo w oznaczeniach prędkości pojawia się * w indeksie górnym. Tak oznaczona prędkość oznacza prędkość ciała po zakończeniu pierwszego etapu zderzenia (etapu ∗ kompresji). Dla przykładu 𝑣10 oznacza prędkość bijaka po zakończeniu fazy kompresji w. zderzeniu bijaka z grotem. Dla uproszczenia przyjęto również założenie, że na ciała działają wyłącznie siły, będące wynikiem wzajemnych zderzeń. Przyjęto również, że rozbijane ciało jest reprezentowane poprzez masę zredukowaną, zatem jego zderzenie z bijakiem będzie centralne. W załączniku 1 przedstawiono podejście pozwalające na zredukowanie dowolnej bryły do punktu masowego, zatem takie założenie poczynione w tym miejscu nie wpływa na ogólność przedstawionego rozwiązania. Dodatkowo założono, że rozbijane ciało znajduje się na sypkim podłożu, co pozwala na pominięcie reakcji podłoża w trakcie przebiegu zderzenia z grotem.. rys. 2 Schemat przedstawiający elementy młota pneumatycznego wraz z oznaczeniami użytymi w obliczeniach. Analizę postawionego problemu rozpoczęto od wykorzystania metody sekwencyjnej, w której występują dwa, następujące po sobie, zderzenia. W pierwszej kolejności dochodzi do zderzenia bijaka z grotem, następnie grot uderza w rozbijane ciało. Bijak posiada prędkość 19.

(20) początkową 𝑣10 ≠ 0, a grot oraz rozbijane ciało pozostają w spoczynku. Korzystając z faktu, że prędkość względna zderzających się ciał wzdłuż kierunku zderzenia po zakończeniu fazy kompresji jest równa 0 dla zderzenia bijaka z grotem można napisać następujące równanie:. Ponieważ:. ∗ ∗ 𝑣10 − 𝑣20 =0. (11). ∗ ∗ ∗ ∗ 𝑣10 = 𝑣10 + ∆𝑣10 ; 𝑣20 = 𝑣20 + ∆𝑣20 równanie (11) można przekształcić do postaci:. (12). ∗ ∗ 𝑣10 + ∆𝑣10 − 𝑣20 − ∆𝑣20 =0 Następnie korzystając z faktu, że:. (13). ∗ ∆𝑣10. −Π1𝐼 = 𝑚1. (14). Π1𝐼 𝑚2. (15). ∗ ∆𝑣20 =. można przekształcić równanie (13) do postaci: Π1𝐼 = 𝑣10. 𝑚1 𝑚2 𝑚1 + 𝑚2. (16). gdzie: Π1𝐼 – impuls siły zderzenia bijaka z grotem po zakończeniu pierwszej fazy zderzenia. W równaniu (16) uwzględniono warunek początkowy dla grota, mianowicie 𝑣20 = 0. Wykorzystując współczynnik restytucji dla zderzenia bijaka z grotem, całkowity impuls siły tego zderzenia można wyrazić w formie następującego równania: 𝑚1 𝑚2 (1 + 𝑅1 ) (17) 𝑚1 + 𝑚2 Znajomość całkowitego impulsu siły zderzenia pozwala na wyznaczenie prędkości bijaka Π1 = Π1𝐼 + Π1𝐼𝐼 = Π1𝐼 + 𝑅1 Π1𝐼 = 𝑣10. oraz grota po zakończeniu zderzenia pomiędzy tymi ciałami: 𝑣11 = 𝑣10 (1 −. 𝑚2 (1 + 𝑅1 )) 𝑚1 + 𝑚2. (18). 𝑚1 (1 + 𝑅1 ) (19) 𝑚1 + 𝑚2 Po rozważeniu pierwszego z sekwencji zderzeń, zderzenia bijaka z grotem, możliwym jest 𝑣21 = 𝑣10. przejście do kolejnego zderzenia, zderzenia grota z rozbijanym ciałem. Postępowanie analogiczne do przedstawionego powyżej prowadzi do otrzymania następujących rezultatów:. 20.

(21) 𝑚2 𝑚3 (1 + 𝑅2 ) 𝑚 2 + 𝑚3. (20). 𝑚1 𝑚3 (1 + 𝑅1 ) (1 − (1 + 𝑅2 )) 𝑚1 + 𝑚2 𝑚 2 + 𝑚3. (21). Π2 = Π2𝐼 + Π2𝐼𝐼 = Π2𝐼 + 𝑅2 Π2𝐼 = 𝑣21. 𝑣22 = 𝑣10. 𝑚1 𝑚2 (1 + 𝑅1 ) (1 + 𝑅2 ) (22) 𝑚1 + 𝑚2 𝑚2 + 𝑚3 Równania (18), (21), (22) pozwalają na wyznaczenie prędkości zderzających się ciał przy 𝑣32 = 𝑣10. wykorzystaniu podejścia sekwencyjnego. Postawiony problem można rozwiązać również w inny sposób, jak już zostało wspomniane, wykorzystując podejście symultaniczne. W tym celu można analogicznie jak w podejściu sekwencyjnym wykorzystać fakt, że po zakończeniu pierwszej fazy zderzenia pomiędzy dwoma ciałami ich prędkość względna na kierunku zderzenia jest równa 0, przy czym, ponieważ w podejściu symultanicznym oba zderzenia zachodzą jednocześnie, rozwiązać należy następujący układ równań: ∗ 𝑣 ∗ − 𝑣20 =0 (23) { 10 ∗ ∗ 𝑣20 − 𝑣30 = 0 Korzystając z zależności analogicznych do (14) oraz (15), układ równań zapisać. można w postaci macierzowej w następujący sposób: (pamiętać należy, że ponieważ zderzenia bijaka z grotem oraz grota z rozbijanym ciałem zachodzą jednocześnie, na bijak działają równocześnie dwa impulsy sił zderzenia) 1 1 −( + ) 𝑚1 𝑚2. 𝑚2 [. Π1𝐼 −𝑣10 𝐼] = [ 0 ] Π2. (24) 1 1 𝑚2 −( + ) [ 𝑚2 𝑚3 ] Rozwiązanie powyższego układu równań prowadzi do otrzymania impulsów sił zderzenia po zakończeniu fazy kompresji. Impulsy te mogą zostać wyrażone w następującej formie: 𝑚1 (𝑚2 + 𝑚3 ) 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 (25) = 𝑚1 𝑚3 𝑣10 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 Wykorzystując obliczone impulsy sił zderzenia w fazie kompresji dane równaniem Π𝐼 [ 1𝐼 ] Π2. 𝑣10. (25) oraz współczynnik restytucji, wyznaczyć można całkowite impulsy sił zderzenia. Otrzymane wyniki podano poniżej: 21.

(22) 𝑚1 (𝑚2 + 𝑚3 ) (1 + 𝑅1 ) 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3. Π1 = Π1𝐼 + Π1𝐼𝐼 = Π1𝐼 + 𝑅1 Π1𝐼 = 𝑣10. (26). 𝑚1 𝑚3 (1 + 𝑅2 ) (27) 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 Ostatecznie prędkości wszystkich 3 ciał po zakończeniu zderzenia można wyrazić przy Π2 = Π2𝐼 + Π2𝐼𝐼 = Π2𝐼 + 𝑅2 Π2𝐼 = 𝑣10. pomocy równań: 𝑣11 = 𝑣12 = 𝑣10 (1 −. 𝑣21 = 𝑣22 = 𝑣10. 𝑚2 + 𝑚3 ((1 + 𝑅1 )) 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3. 𝑚1 ((𝑚2 + 𝑚3 )(𝑅1 + 1) − 𝑚3 (𝑅2 + 1)) 𝑚2 (𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 ). (28). (29). 𝑚1 (𝑅2 + 1) (30) 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 Przeprowadzone obliczenia pozwoliły na wyznaczenie prędkości zderzających się ciał 𝑣31 = 𝑣32 = 𝑣10. po zakończeniu zderzenia zarówno z wykorzystaniem podejścia sekwencyjnego jak i symultanicznego. Aby ułatwić porównanie otrzymanych wyników zebrano je w tab.1. Prędkość ciała. Podejście sekwencyjne 𝑣10 (1 −. 𝑣11 = 𝑣12. Podejście symultaniczne. 𝑚2 (1 𝑚1 + 𝑚2. 𝑣10 (1 −. + 𝑅1 )) 𝑣10 𝑣22 −. 𝑚1 (1 + 𝑅1 ) (1 𝑚1 + 𝑚2. 𝑚3 (1 + 𝑅2 )) 𝑚2 + 𝑚3. 𝑚1 (1 𝑚1 + 𝑚2 𝑚2 (1 + 𝑅2 ) + 𝑅1 ) 𝑚2 + 𝑚3. 𝑣10. 𝑚2 + 𝑚3 (1 + 𝑅1 )) 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3. 𝑚1 ((𝑚2 + 𝑚3 )(𝑅1 + 1) − 𝑚3 (𝑅2 + 1)) 𝑚2 (𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 ). 𝑣10 𝑣31 = 𝑣32. 𝑣10. 𝑚1 (𝑅2 + 1) 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3. tab.1 Zestawienie prędkości ciał po zderzeniu, otrzymanych z wykorzystaniem podejścia sekwencyjnego i symultanicznego. Jak widać po analizie wyników zebranych w tab.1, różnią się one dla obu sposobów rozwiązania. Aby zobrazować stopień tych różnic i dać wyobrażenie o ich zakresie, rozważono kilka przypadków, w których przyjęto wartości liczbowe parametrów i obliczono 22.

(23) prędkości ciał wykorzystując wyniki otrzymane zarówno dla podejścia sekwencyjnego jak i symultanicznego. Przyjęte wartości liczbowe parametrów służą jedynie porównaniu otrzymanych wyników i niekoniecznie odpowiadają istniejącemu układowi technicznemu. Współczynniki restytucji dobierano natomiast z zakresu 0,2 - 0,6 w celu zobrazowania wpływu ich różnych kombinacji na otrzymywane wartości prędkości. Współczynnik restytucji, jako że zależy nie tylko od materiału z jakiego wykonane są ciała, ich masy i geometrii w okolicy punktu zderzenia, ale również od prędkości zderzających się ciał, powinien zostać wyznaczony indywidualnie dla każdego zderzenia. Zostanie to uwzględnione w rozdziale 3 niniejszej pracy, w której stworzony model czasowy zderzeń zachodzących w młocie pneumatycznym będzie wykorzystany do zweryfikowania, które z podejść przedstawionych w niniejszym rozdziale jest bardziej adekwatne do modelowania zderzenia w wielobryłowych układach technicznych. Otrzymane wyniki zostały zamieszczone w tab.2. Wartości parametrów. Prędkości. dla. podejścia Prędkości. dla. podejścia. sekwencyjnego. symultanicznego. v11 = v12 = 0,2 m/s. v11 = v12 = -2,543 m/s. v22 = -1,455 m/s. v22 = 0,457 m/s. v31 = v32 = 0,465 m/s. v31 = v32 = 0,457 m/s. v11 = v12 = 0,2 m/s. v11 = v12 = -2,543 m/s. v22 = -0,873 m/s. v22 = 1,029 m/s. v31 = v32 = 0,407 m/s. v31 = v32 = 0,4 m/s. m1 = 10 kg. v11 = v12 = 1.4 m/s. v11 = v12 = -0,657 m/s. m2 = 15 kg. v22 = -1,091 m/s. v22 = -0,8 m/s. m3 = 150 kg. v31 = v32 = 0,349 m/s. v31 = v32 = 0,457 m/s. m1 = 10 kg m2 = 15 kg m3 = 150 kg v10 = 5 m/s R1 = 0,6 R2 = 0,6 m1 = 10 kg m2 = 15 kg m3 = 150 kg v10 = 5 m/s R1 = 0,6 R2 = 0,2. 23.

(24) v10 = 5 m/s R1 = 0,2 R2 = 0,6 m1 = 15 kg m2 = 10 kg m3 = 150 kg v10 = 5 m/s R1 = 0,6. v11 = v12 = 1.8 m/s. v11 = v12 = -2,314m/s. v22 = -2,4 m/s. v22 = 0,686 m/s. v31 = v32 = 0,48 m/s. v31 = v32 = 0,686 m/s. v11 = v12 = 1.8 m/s. v11 = v12 = -2,314 m/s. v22 = -1,5 m/s. v22 = 1,971 m/s. v31 = v32 = 0,42 m/s. v31 = v32 = 0,6 m/s. v11 = v12 = 2.6 m/s. v11 = v12 = -0,486 m/s. v22 = -1,8 m/s. v22 = -2,057 m/s. v31 = v32 = 0,36 m/s. v31 = v32 = 0,686 m/s. R2 = 0,6 m1 = 15 kg m2 = 10 kg m3 = 150 kg v10 = 5 m/s R1 = 0,6 R2 = 0,2 m1 = 15 kg m2 = 10 kg m3 = 150 kg v10 = 5 m/s R1 = 0,2 R2 = 0,6 tab.2 Prędkości ciał po zderzeniu dla różnych wartości parametrów przy wykorzystaniu podejścia sekwencyjnego oraz symultanicznego. W oparciu o otrzymane wyniki analityczne ( tab.1 ), jak również analizę otrzymanych wartości liczbowych dla kilku przypadków przyjętych parametrów, można dokonać kilku wstępnych spostrzeżeń, które mogą ukierunkować dalsze działania mające na celu udzielenie odpowiedzi na pytanie, które z podejść jest bardziej adekwatne do modelowania zderzenia w wielobryłowych układach technicznych. Zauważyć można między innymi, że: - Końcowa prędkość ciała nr 3 w podejściu symultanicznym nie zależy w ogóle od współczynnika restytucji dla zderzenia ciała 1 z ciałem 2. Wydaje się to być nielogiczne, 24.

(25) ponieważ można by oczekiwać, że stopień dyssypacji energii podczas zderzenia ciała 1 z ciałem 2, który opisywany jest współczynnikiem restytucji, wpływa na ilość energii przekazanej ciału nr 3, a zatem również na jego prędkość. - Końcowe prędkości ciał nr 2 oraz 3 są sobie równe w przypadku, w którym zachodzi równość pomiędzy współczynnikami restytucji R1 oraz R2. Można łatwo pokazać podstawiając do równań (29) oraz (30) wartość R zamiast R1 oraz R2, że taka zależność będzie zachodzić dla podejścia symultanicznego zawsze. Warto również w tym miejscu zwrócić uwagę na fakt, że z przypadkiem, w którym prędkości obu ciał są sobie równe po zakończeniu zderzenia mamy do czynienia w układach technicznych, w których występują więzy dwustronne. - W przyjętych zakresach parametrów prędkość ciała nr 1 po zakończeniu zderzenia w przypadku podejścia sekwencyjnego jest dodatnia (ciało nie zmienia zatem kierunku ruchu), w przypadku podejścia symultanicznego ciało po zderzeniu porusza się w przeciwnym kierunku niż przed zderzeniem. Dalsze rozważania mające na celu ocenę, w jakich przypadkach należy stosować podejście symultaniczne a w jakich sekwencyjne, będą prowadzone w rozdziale 3, w którym zbudowano czasowy model zjawiska zderzenia zachodzącego podczas pracy młota pneumatycznego. Model ten został wykorzystany jako odniesienie do porównania rezultatów otrzymywanych przy wykorzystaniu metod przedstawionych w tym rozdziale przy różnych konfiguracjach badanego układu.. 25.

(26) 3. Budowa modelu zderzenia 3 ciał w dziedzinie czasu Jednym z przyjętych podejść w modelowaniu zjawiska zderzenia w czasie jest potraktowanie zderzających się ciał jako odkształcalnych jedynie w otoczeniu punktu zderzenia [5]. Rozważane są zatem ciała sztywne, podobnie jak w podejściu bezczasowym wykorzystanym w rozdziale 2 niniejszej pracy, z tą jednak różnicą, że w niewielkim obszarze w okolicy punktu, w którym dochodzi do kontaktu w trakcie zderzenia dopuszcza się odkształcenie ciał, które można zamodelować elementem sprężystym, który dodatkowo może być uzupełniony o tłumienie. Zbudowanie modelu matematycznego zderzenia 3 ciał w dziedzinie czasu wymaga zatem przyjęcia zależności, którą opisywane będzie wzajemne odkształcenie zderzających się ciał i siła powstająca w wyniku tego odkształcenia. Ponieważ tworzony model ma na celu ocenę rezultatów otrzymanych w podejściu sekwencyjnym i symultanicznym, zaprezentowanych w rozdziale 2, przyjęty opis odkształcenia zachodzącego w trakcie zderzenia i siły będącej jego rezultatem powinien pozwalać na uwzględnienie dyssypacji energii występującej w trakcie zderzenia. Co więcej powinien on pozwalać na wyrażenie. wielkości. tej. dyssypacji. poprzez. współczynnik. restytucji,. ponieważ. wykorzystywany on był zarówno w podejściu sekwencyjnym jak i symultanicznym. Rozważono dwa modele, które spełniają powyższe wymagania. Poniżej zaprezentowano krótki opis każdego z nich oraz zarysowano tok myślowy , który doprowadził do ich otrzymania. W celu dokładniejszego zapoznania się z ich wyprowadzeniem, warto odnieść się do przywołanych artykułów, w których autorzy dokładnie opisują proponowane przez nich zależności opisujące siłę zderzenia.. 3.1 Model bazujący na sile Hertza-Stajermana Pierwszy z rozważanych modeli siły zderzenia przedstawiony został w pracy [20] i opiera się na zależności Hertza-Stajermana danej równaniem (31), które opisuje kontakt pomiędzy dwoma ciałami poprzez wykorzystanie nieliniowej sprężyny. 𝐹 = 𝑘𝐻 𝜉𝑝. (31). gdzie: 𝑘 𝐻 - współczynnik proporcjonalności wyznaczony na podstawie własności materiałów, z których wykonane są zderzające się ciała, oraz ich geometrii w okolicy punktu zderzenia 𝜉 - wzajemna deformacja zderzających się ciał. 26.

(27) p – wykładnik zależny od stopnia szczelności przylegania powierzchni Zależność Hertza-Stajermana może zostać wykorzystana do opisu szerokiego zakresu ciał, których powierzchnie w okolicy punktu kontaktu mogą zostać potraktowane jako regularnie obrotowe. Wykładnik p zależy od tak zwanego stopnia szczelności przylegania i dla powierzchni drugiego rzędu wynosi p = 3/2. Model ten jest jednak idealnie sprężysty i nie uwzględnia dyssypacji energii. Relacja opisująca rozproszenie energii w trakcie zderzenia przy założeniu dominującego efektu tłumienia materiałowego dana równaniem (32) jest punktem wyjściowym rozumowania przedstawionego w [20]. Dla takiego przypadku siłę działającą na zderzające się ciała w obu fazach zderzenia można w schematyczny sposób przedstawić jak pokazano na rys. 3. 1 ∆𝐿 = 𝜓𝐸 2. (32). gdzie: ∆𝐿 - utrata energii w trakcie zderzenia w wyniku zjawiska tłumienia materiałowego, obliczona dla ½ pętli histerezy, co ma miejsce w przypadku zderzenia 𝜓 2𝜋. = 𝜂 – współczynnik rozproszenia. E – całkowita energia potencjalna systemu. rys. 3 Zależność siły zderzenia od względnego odkształcenia ciał - reprezentacja schematyczna dla modelu z dominującą dyssypacją energii poprzez tłumienie materiału. 27.

(28) Obliczając stratę energii wykorzystując relację (32) oraz pole powierzchni, pomiędzy krzywymi, zakreskowane na rys. 3, które również reprezentuje stratę energii, a następnie porównując obie wielkości, można wyrazić zmianę sprężystości w równaniu HertzaStajermana poprzez współczynnik rozproszenia w następujący sposób: 𝑝+1 1 𝐻 𝜉𝑚𝑎𝑥 Δ𝑘 𝐻 𝑝+1 𝜓 𝑘 𝜓 = 𝜉𝑚𝑎𝑥 ⇒ 𝛥𝑘 𝐻 = 𝑘 𝐻 2 𝑝+1 𝑝+1 2. (33). W wyrażeniu (33) ciągle nie występuje jednak współczynnik restytucji. Aby stratę energii podczas zderzenia wyrazić przy jego pomocy posłużono się twierdzeniem Carnota, opisującym stratę energii kinetycznej w trakcie zderzenia i danym równaniem (34). 1 − 𝑅2 Δ𝐸 = 𝑚𝑤 𝑣𝑤2 2. (34). gdzie: Δ𝐸 - strata energii kinetycznej w trakcie zderzenia R – współczynnik restytucji 𝑚𝑤 - masa zredukowana zderzających się ciał 𝑣𝑤 - prędkość względna zderzających się ciał na kierunku zderzenia Energia kinetyczna zderzenia zamieniana jest w pierwszej fazie zderzenia w energię potencjalną odkształcenia zachodzącego w zderzających się ciałach. Zgodnie z przyjętym przebiegiem siły zderzenia przedstawionym na rys. 3 w pierwszej fazie zderzenia nie dochodzi do dyssypacji energii, a zatem całkowita energia kinetyczna zderzenia zostanie zamieniona na energię potencjalną odkształcenia, można zatem zapisać: 𝜉𝑚𝑎𝑥. mw 𝑣𝑤2 = 2 ∫ 𝑘 𝐻 𝜉 𝑝 𝑑𝜉 = 0. 2𝑘 𝐻 𝑝+1 𝜉 𝑝 + 1 𝑚𝑎𝑥. (35). Podstawiając równanie (35) do równania (34) a następnie porównując z równaniem (33) otrzymano zależność (36). 𝑝+1 1 𝐻 𝜉𝑚𝑎𝑥 𝑘 𝐻 (1 − 𝑅 2 ) 𝑝+1 𝑘 𝜓 = 𝜉𝑚𝑎𝑥 ⇒ 𝜓 = 2(1 − 𝑅 2 ) 2 𝑝+1 𝑝+1. (36). Korzystając z równania (36) można ostatecznie zapisać wyrażenie na siłę, które będzie uwzględniało dyssypację energii i będzie mogło być wykorzystane do stworzenia modelu zderzenia 3 ciał w czasie. Wyrażenie to dane jest zależnością (37). 28.

(29) 𝐹 = 𝑘 𝐻 𝜉 𝑝 {1 −. 1 − 𝑅2 [1 − 𝑠𝑔𝑛(𝜉)̇]} 2. (37). Jak stwierdzono w [20], jeśli strata energii wynikająca z tłumienia materiału nie jest częścią dominującą, równanie (37) ciągle jest prawdziwe, należy tylko użyć adekwatnej wartości współczynnika restytucji R. Przedstawione powyżej wyprowadzenie jest jedynie skrótowym przedstawieniem tego modelu. W celu jego dokładniejszej analizy należy zapoznać się z [20].. 3.2 Model LSD Nazwa LSD jest skrótem od angielskiej nazwy logical spring-dampers. Model zaproponowany w pracy [35] zakłada postać siły zderzenia danej równaniem (38). 𝐹 = 𝐾𝜉 + 𝐷(𝜉)𝜉̇. (38). gdzie: K – współczynnik sprężystości (może być zależy od współrzędnych uogólnionych lub czasu) D – współczynnik tłumienia (może być zależny od współrzędnych uogólnionych lub czasu) Kluczowym zagadnieniem jest wyznaczenie wartości współczynników K oraz D, które zostało zaprezentowane w pracy [35]. Poniżej przedstawiono jedynie sposób postępowania i jego rezultaty. W celu dokładniejszego zapoznania się z wyprowadzeniem należy odnieść się do źródła. Wyznaczenie współczynnika sprężystości opiera się o zasadę zachowania energii oraz pędu przy założeniu, że cała energia zderzenia ulega transformacji w energię odkształcenia sprężystego zderzających się ciał. Porównując energię układu, dla uproszczenia poruszającego się jedynie ruchem postępowym, przed zderzeniem i po zakończeniu fazy kompresji otrzymano równanie (39). 𝜉𝑚𝑎𝑥. 1 1 1 2 𝑚𝑖 𝑣𝑖2 + 𝑚𝑗 𝑣𝑗2 = (𝑚𝑖 + 𝑚𝑗 )𝑣𝑖𝑗 + ∫ 𝐾𝜉𝑑𝜉 2 2 2. (39). 0. gdzie: vi , vj – prędkości ciał przed zderzeniem vij – prędkość zderzających się ciał po zakończeniu pierwszej fazy zderzenia mi , mj – masy zderzających się ciał 29.

(30) ξij – odkształcenie zderzających się ciał Wspólną prędkość zderzających się ciał po zakończeniu pierwszej fazy zderzenia vij można wyznaczyć korzystając z zasady zachowania pędu i wyrazić za pomocą równania (40). 𝑣𝑖𝑗 =. 𝑚𝑗 𝑚𝑖 (𝑣𝑗 + 𝑣) 𝑚𝑖 + 𝑚𝑗 𝑚𝑗 𝑖. (40). Po obliczeniu całki w równaniu (39), jego przekształceniu i podstawieniu równania (40) otrzymano równanie (41). 2. 1 2 1 1 1 𝑚𝑗2 𝑚𝑖 2 2 𝐾𝜉𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖 𝑣𝑖 + 𝑚𝑗 𝑣𝑗 − (𝑣𝑗 + 𝑣) 2 2 2 2 𝑚𝑖 + 𝑚𝑗 𝑚𝑗 𝑖 1 𝑚𝑖 𝑚𝑗 2 = (𝑣𝑖 − 𝑣𝑗 ) 2 𝑚𝑖 + 𝑚𝑗. (41). Z zależności (41) można wyznaczyć współczynnik sprężystości w równaniu (38) i wyrazić przy pomocy równania (42). 𝐾=. 𝑚𝑖 𝑚𝑗 𝑣𝑖 − 𝑣𝑗 2 ( ) 𝑚𝑖 + 𝑚𝑗 𝜉𝑚𝑎𝑥. (42). Współczynnik sprężystości K w modelu LSD zależy zatem od mas zderzających się ciał, ich prędkości względnej przed zderzeniem oraz odkształcenia maksymalnego jakiemu ulegną w trakcie zderzenia. Model ten nie pozwala jednak na wyznaczenie tego odkształcenia, dlatego trzeba je przyjąć arbitralnie, co uznać należy za znaczną wadę tego modelu. Współczynnik tłumienia D przyjęto w pracy [35] jako relację opisaną wzorem (43) w celu zagwarantowania warunków brzegowych, jakie musi spełniać tłumienie w modelowaniu zderzenia. 𝐷 = 𝜇𝜉. (43). Energię utraconą w trakcie zderzenia można obliczyć jako różnicę energii kinetycznej zderzających się ciał przed i po zderzeniu, i wyrazić z wykorzystaniem współczynnika restytucji wzorem (44). Δ𝐸 =. 1 (1 − 𝑅 2 )𝑚𝑖 𝑚𝑗 2 ( ) (𝑣𝑖 − 𝑣𝑗 ) 2 𝑚𝑖 + 𝑚𝑗. (44). Energię tą można również obliczyć jako pole wyznaczone przez krzywą histerezy określającą siłę zderzenia w stosunku do wzajemnej deformacji ciał. Dla modelu LSD schematyczną. 30.

(31) krzywą histerezy pokazano na rys. 4, na którym zakreskowano również pole, które reprezentuje energię utraconą w trakcie zderzenia.. rys. 4 Zależność siły zderzenia od względnego odkształcenia ciał - reprezentacja schematyczna dla modelu LSD. Pole zakreskowane na wykresie przedstawionym na rys. 4 można wyznaczyć obliczając całkę daną równaniem (45). Δ𝐸 = ∮ 𝜇𝜉𝜉̇ 𝑑𝜉. (45). Do rozwiązania całki danej równaniem (45), w pierwszej kolejności potrzebne jest wyznaczenie zależności opisującej 𝜉̇ w funkcji 𝜉. Po podstawieniu takiej zależności do równania (45), obliczeniu całki i porównaniu otrzymanego wyniku z równaniem (44), (porównanie jest możliwie ponieważ energie wyznaczone w obu metodach powinny być sobie równe) obliczyć można współczynnik μ. Otrzymane w ten sposób rezultaty dane są równaniami (46) oraz (47). 2 3 𝐾(1 − 𝑅 2 )𝜉𝑚𝑎𝑥 μ= ( 3⁄ ) 4 2 2 2 2 (𝑣𝑖 − 𝑣𝑗 ) − [(𝑣𝑖 − 𝑣𝑗 ) − 𝛽 2 𝜉𝑚𝑎𝑥 ]. β=𝐾. 𝑚𝑖 + 𝑚𝑗 𝑚𝑖 𝑚𝑗. (46). (47). 31.

(32) Model LSD może zostać wykorzystany do modelowania zderzenia w sytuacjach, w których współczynnik restytucji R jest większy od 0,75. Ponieważ model nie pozwala na wyznaczenie maksymalnego odkształcenia a priori, należy wyznaczać je iteracyjnie. Wykonuje się to przyjmując w pierwszej iteracji jakąś wartość maksymalnego odkształcenia a następnie przeprowadzając symulację. Jeśli otrzymany wyniki jest niesatysfakcjonujący (zbyt duże różnice pomiędzy wielkością założoną a otrzymaną z symulacji) dokonuje się modyfikacji przyjętego odkształcenia i przeprowadza się symulację ponownie. Procedurę tą powtarza się do momentu otrzymania satysfakcjonującego rezultatu.. 3.3 Wybór modelu siły zderzenia oraz zapisanie równań opisujących zderzenie 3 ciał w młocie hydraulicznym Modele siły zderzenia opisane w podrozdziałach 3.1 oraz 3.2 poddano ocenie i ich zalety i wady zebrano w tab.3. Model oparty o siłę Hertza Zalety.  Możliwość. Model LSD. wyznaczenia. współczynnika sprężystości a.  Siła zderzenia jest ciągła w czasie. priori w oparciu o własności.  Dyssypacja energii następuje. materiałowe zderzających się. zarówno w fazie kompresji. ciał i ich geometrię w okolicy. jak i restytucji. zderzenia  Brak ograniczeń dotyczących wartości. współczynnika. restytucji  Prostsza implementacja (siła tłumienia. nie. występuje. wprost) Wady.  Siła zderzenia wyrażona w czasie nie jest ciągła.  Współczynnik restytucji musi być wyznaczony iteracyjnie  Możliwość. zastosowania. jedynie do przypadków, w których. współczynnik 32.

(33) restytucji R jest większy od 0,75 tab.3 Zalety i wady modelu opartego o siłę Hertza i modelu LSD. Na podstawie porównania zalet i wad obu przedstawionych modeli zdecydowano o wyborze modelu opartego o siłę Hertza. Decydującymi czynnikami na korzyść tego modelu była możliwość wyznaczenia współczynnika sprężystości a priori oraz brak ograniczeń dotyczących współczynnika restytucji. Na rys. 5 przedstawiono schemat młota pneumatycznego, na którym wprowadzono oś współrzędnych Ox oraz oznaczenia, które będą wykorzystywane w równaniach stworzonego modelu. Każdemu ze zderzających się ciał, czyli bijakowi, grotowi oraz blokowi nadano numery, odpowiednio 1, 2 oraz 3. Masę każdego z ciał oznaczono jako mi (i = 1,2,3), położenie środków mas każdego ciała wzdłuż przyjętej osi Ox opisuje współrzędna xi (i = 1,2,3). Dla uproszczenia przyjęto, że powierzchnia grota uderzana przez bijak ma kształt, który przybliżyć można promieniemr21 = ∞. W sposób uproszczony potraktowano również zakończenie grota, którego kształt przedstawiony jest jako fragment kuli o promieniu r23 . Uproszczenie takie wydaje się być uzasadnione, ponieważ grot w miarę eksploatacji młota ulega zużyciu, które powoduje tępienie jego końcówki. Dobierając odpowiednio małą wartość promienia r23 można próbować odwzorować ten proces, jednocześnie unikając problemów z matematycznym modelowaniem zderzenia ostro zakończonej końcówki grota z rozbijaną bryłą. W przypadku promienia r32 , czyli promienia krzywizny powierzchni rozbijanej bryły w okolicy punktu kontaktu z grotem, ustalenie adekwatnej wartości stwarza problemy, ponieważ nieregularności powierzchni mogą powodować jej znaczne rozbieżności. Przyjęty promieńr32 wpływa na współczynnik sprężystości Hertza 𝑘2𝐻 , zgodnie z równaniem (62), dzięki czemu można go użyć do modyfikacji jego wartości. Zostało to wykorzystane w przeprowadzonej analizie, jako że badano zachowanie modelu dla różnych relacji współczynników sprężystości Hertza 𝑘1𝐻 oraz𝑘2𝐻 . Pierwszy z nich jest dla przyjętego układu stały (zależy od geometrii i materiałów bijaka i grota), aby zatem uzyskać odpowiednią ich relację wykorzystano możliwości wpłynięcia na wartość współczynnika 𝑘2𝐻 poprzez promień r32 i tym samym określono sposób, w jaki jest ustalana jego konkretna wartość. Ponieważ rozbijana bryła znajduje się na sypkim podłożu (jest to kolejne z założeń upraszczających) można potraktować ją w trakcie zderzenia jako ciało swobodne. Tym samym wykorzystać można metodologię przedstawioną w załączniku 1 i przedstawić rozbijany blok jako ciało o masie. 33.

(34) zredukowanej (w tym wypadku, zgodnie z oznaczeniami na rys. 5, będzie to masa m3), które zderza się z bijakiem centralnie.. rys. 5 Schemat młota pneumatycznego wraz z przyjętymi oznaczeniami użytymi w stworzeniu modelu zderzenia w dziedzinie czasu. Oprócz przedstawionych powyżej uproszczeń przy tworzeniu modelu przyjęto dodatkowo kilka założeń: - siła parcia powierza na bijak i siły tarcia pomiędzy bijakiem, grotem i obudową są pomijalnie małe (założenie takie jest uzasadnione, ponieważ oczekuje się sił zderzenia kilka rzędów wielkości większych od potencjalnych sił tarcia) - siła grawitacji działająca na wszystkie ciała biorące udział w zderzeniach jest pomijalnie mała (założenie takie można uzasadnić podobnie jak założenie wcześniejsze o siłach tarcia) - oś grota, która jest współosiowa z przyjętą osią Ox, jest w trakcie zderzenia prostopadła do powierzchni rozbijanej bryły w punkcie kontaktu bryły z grotem, zderzenie to jest centralne. 34.

(35) lub rozbijana bryła może zostać zamodelowana z wykorzystaniem koncepcji masy zredukowanej opisanej w rozdziale 3 - zderzające się ciała traktujemy jako ciała sztywne z wyjątkiem niewielkiego obszaru w okolicy miejsca zderzenia, który może ulegać deformacji - powierzchnię grota, która w trakcie zderzenia wchodzi w kontakt z bijakiem można uznać za płaską, zaś skończoną wartość promienia krzywizny założono w przypadku dolnej powierzchni bijaka Bazując na przyjętych założeniach oraz wprowadzonych oznaczeniach rozpocząć można budowanie modelu matematycznego wybranego układu technicznego. Korzystając ze współrzędnych xi (i =1,2,3) opisujących położenia środków mas zderzających się ciał można wprowadzić dwie nowe zmienne ξj (j = 1, 2) dane następującymi równaniami: 𝜉1 = 𝑥1 − 𝑥2. (48). 𝜉2 = 𝑥2 − 𝑥3. (49). Równania (48) oraz (49) można dwukrotnie zróżniczkować otrzymując: 𝜉1̇ = 𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2 , 𝜉1̈ = 𝑥̈ 1 − 𝑥̈ 2. (50). 𝜉2̇ = 𝑥̇ 2 − 𝑥̇ 3 , 𝜉2̈ = 𝑥̈ 2 − 𝑥̈ 3. (51). Wprowadzoną zmienną ξj (j = 1, 2) można wykorzystać do stworzenia warunku, który będzie służył do określenia czy w danej chwili czasowej dochodzi do zderzenia pomiędzy ciałami czy też nie. Zauważając, że zderzenie ma miejsce jeśli ξj> 0 (j = 1, 2) wprowadzono następującą funkcję: 𝛤𝑗 = {. 1 𝑔𝑑𝑦 𝜉𝑗 > 0 , 𝑗 = 1,2 0 𝑔𝑑𝑦 𝜉𝑗 ≤ 0. (52). Zgodnie z przyjętymi założeniami, jeżeli pomiędzy ciałami nie dochodzi do zderzenia, nie działają na nie żadne siły. Gdy dojdzie do zderzenia, np. bijaka z grotem, na oba ciała zaczyna działać siła będąca rezultatem ich wzajemnej deformacji w okolicy punktu zderzenia. Do jej zamodelowania wykorzystano wybrany model siły zderzenia oparty o siłę Hertza: 35.

(36) 𝐹𝑗 =. 3/2 𝑘𝑗𝐻 𝜉𝑗 (1. 1 − 𝑅𝑗2 − [1 − 𝑠𝑔𝑛(𝜉𝑗̇ )]) , 𝑗 = 1,2 2. (53). gdzie: 𝑘𝑗𝐻 – współczynnik sprężystości Hertza dla odpowiedniej pary zderzających się ciał Rj – współczynnik restytucji dla odpowiedniej pary zderzających się ciał Korzystając z wprowadzonych oznaczeń oraz równań (52) i (53) napisać można następujące równania ruchu: 1 − 𝑅12 [1 − 𝑠𝑔𝑛(𝜉1̇ )]) 𝛤1 = 0 2 3 1 − 𝑅12 𝑚2 𝑥̈ 2 − 𝑘1𝐻 𝜉12 (1 − [1 − 𝑠𝑔𝑛(𝜉1̇ )]) 𝛤1 2 3 1 − 𝑅22 + 𝑘2𝐻 𝜉22 (1 − [1 − 𝑠𝑔𝑛(𝜉2̇ )]) 𝛤2 = 0 2 3 1 − 𝑅22 𝐻 2 𝑚3 𝑥̈ 3 − 𝑘2 𝜉2 (1 − [1 − 𝑠𝑔𝑛(𝜉2̇ )]) 𝛤2 = 0 2 𝜉1 = 𝑥1 − 𝑥2 𝜉2 = 𝑥2 − 𝑥3 𝜉1̇ = 𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2 𝜉2̇ = 𝑥̇ 2 − 𝑥̇ 3 3/2. 𝑚1 𝑥̈ 1 + 𝑘1𝐻 𝜉1. (1 −. (54). (55). (56) (57) (58) (59) (60). Powyższe równania uzupełnić jeszcze można o wyrażenia pozwalające na obliczenie współczynnika Hertza dla danej pary zderzających się ciał. Korzystając z uproszczeń geometrycznych przedstawionych na rys. 5 oraz wzorów przedstawionych we wcześniejszych rozdziałach dla rozważanego przypadku młota pneumatycznego można napisać: 4 𝐸1 𝐸2 √𝑟 3 𝐸1 (1 − 𝜈12 ) + 𝐸2 (1 − 𝜈22 ) 12. (61). 4 𝐸2 𝐸3 𝑟 𝑟 √ 23 32 2 2 3 𝐸2 (1 − 𝜈2 ) + 𝐸3 (1 − 𝜈3 ) 𝑟23 + 𝑟32. (62). 𝑘1𝐻 =. 𝑘2𝐻 = gdzie:. 𝑘1𝐻 , 𝑘2𝐻 – współczynnik Hertza odpowiednio dla zderzenia bijaka z grotem oraz grota z rozbijanym ciałem. 36.

(37) E1, E2, E3 – moduł Younga materiału z jakiego wykonany jest odpowiednio bijak, grot oraz rozbijane ciało 𝑟12 , 𝑟23 , 𝑟32 – promienie krzywizny zderzających się ciał w okolicy punktu zderzenia, pierwsza cyfra indeksu dolnego podaje numer ciała, do którego należy opisywana powierzchnia a druga cyfra indeksu dolnego numer ciała, z którym ta powierzchnia wchodzi w kontakt podczas zderzenia, np. 𝑟12 oznacza promień krzywizny powierzchni należącej do ciała 1 (bijaka) wchodzącej w kontakt w trakcie zderzenia z ciałem nr 2 (grot), dodatkowo 𝑟21 = ∞ ponieważ przyjęto, że powierzchnia grota wchodząca w kontakt z bijakiem jest płaska. 𝜈1 , 𝜈2 , 𝜈3 – współczynnik Poissona materiału z jakiego wykonany jest odpowiednio bijak, grot oraz rozbijane ciało. 3.4 Implementacja równań ruchu i badania symulacyjne Równania modelu zostały zaimplementowane w języku Python z wykorzystaniem bibliotek będących wolnym oprogramowaniem licencjonowanym na licencji GNU GPL. Wykorzystane zostały biblioteki: numpy, scipy, matplotlib. Kod źródłowy, będący rezultatem tej implementacji, zamieszczony został w załączniku 2 niniejszej pracy. Stworzony skrypt pozwala na przeprowadzenie badań symulacyjnych dla różnych parametrów i pozwala na graficzną reprezentację wyników. Między innymi umożliwia wykreślenie zależności położenia i prędkości w czasie dla poszczególnych ciał, wyizolowanie momentów czasowych, w których dochodzi do zderzenia i wykreślenie deformacji zderzających się ciał, ich względnej prędkości i wielkości siły w czasie. Skrypt umożliwia również wygenerowanie animacji, która ułatwia interpretację otrzymanych wyników, i którą zachować można w pliku .mpeg. Podane możliwości są predefiniowane w kodzie źródłowym skryptu i stanowią jedynie kilka z wielu możliwości reprezentacji otrzymanych wyników. Dla zilustrowania działania stworzonego skryptu, wygenerowano przykładowe wykresy i zamieszono je na rys. 6, rys. 7 oraz rys. 8. Model użyty do ich wygenerowania posiadał następujące warunki początkowe i parametry: ξ10 = -0,1 [mm], ξ20 = 0 [mm], v10 = 5 [m/s], v20 = 0 [m/s], v30 = 0 [m/s], m1 = 1,5 [kg], m2 = 1,0 [kg], m3 = 150 [kg], R1 = R2 = 0,6, E1 = E2 = 2,05∙1011 [Pa],E3 =3∙109 [Pa], r12 = 0,2 [m], r23 = 0,001 [m], r32 = 3 [m]. Czas symulacji wynosił 3 ms. 37.

(38) 38. rys. 6 Przykładowe rezultaty zaimplementowanej symulacji: relacje odkształcenia względnego, względnej prędkości oraz siły zderzenia.

(39) 39. rys. 7 Przykładowe rezultaty zaimplementowanej symulacji: prędkości oraz położenia zderzających się ciał.

(40) 40. rys. 8 Przykładowy zrzut ekranu z animacji przedstawiającej zderzenia ciał.