Siła tarcia

1

Wykład 3

Dynamika punktu Dynamika punktu

materialnego materialnego

Wrocław University of Technology 15-X-2011

2

Isaac Newton

„If I have seen farther than other men, it is because I have stood on the shoulders of giants.”

„Jeśli widzę dalej, to dlatego, Ŝe stałem na ramionach olbrzymów”

Kogo miał na myśli?: Tycho Brahe, Jan Kepler, Galileo Galilei.

„What we know is a drop, what we don't know is an ocean.”

„Co my wiemy, to tylko kropelka. Czego nie wiemy, to cały ocean.”

„I was like a boy playing on the sea-shore, and diverting myself now and then finding a smoother pebble or a prettier shell than ordinary, whilst the great ocean of truth lay all undiscovered before me.”

„Nie wiem, jak wyglądam w oczach świata, lecz dla siebie jestem tylko chłopcem bawiącym się na morskim brzegu, pochylającym się i znajdującym gładszy kamień lub piękniejszą muszelkę niŜ inne, podczas gdy wielki ocean prawdy jest ciągle zakryty przede mną.”

3

Zasady dynamiki Newtona

Dynamika to dział mechaniki, w którym bada się związki między

wzajemnymi oddziaływaniami ciał i zmianami ich ruchu. Dynamika zajmuje się siłami działającymi na ciała i źródłami tych sił.

Siła to wielkość wektorowa, która jest miarą oddziaływania mechanicznego innych ciał (otoczenia) na dane ciało. Jest to oddziaływanie, które moŜe nadać ciału przyspieszenie.

Masa ciała to wielkość fizyczna, charakteryzująca ciało:

- miara „liczebności” materii (stąd definicje wzorca masy w Sèvres pod ParyŜem);

- miara bezwładności ciała, czyli jego reakcja na działającą nań siłę oraz prędkość, osiągana pod działaniem tej siły.

Jest to wielkość skalarna.

4

I zasada dynamiki Newtona

KaŜde ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, dopóki działanie innych ciał nie zmusi go do zmiany tego

stanu.

Ciało, na które nie działają Ŝadne siły zewnętrzne, lub działające siły się

równowaŜą, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym:

0

0 ⇒ =

= a

F r

r

Inaczej nazywana zasadą bezwładności.

• obalenie nauki Arystotelesa: gdy nie ma sił zewnętrznych, ciała muszą się zatrzymać!

• istnienie inercjalnego układu odniesienia – czyli właśnie takiego, w którym ciało spoczywa jeśli nie działają na niego siły.

5

I zasada dynamiki Newtona

moneta

6

∑

∑

=

=

=

N

i

i i N

i

i

m v

p p

v m p

1 1

v v

v

v v

II zasada dynamiki Newtona

Pęd

( ) ^{m a}

dt v m d v

dt m F d

dt m p

F d r r

r v v r

=

=

=

= ⇒

= , const

Dla punktu materialnego

Dla układu punktów materialnych

II zasada dynamiki dla ruchu postępowego

F jest wypadkową sił zewnętrznych (wypadkowa sił wewnętrznych, działających między częściami składowymi układu, wynosi zero, gdyŜ znoszą się one na mocy III zasady dynamiki)

7

II zasada dynamiki Newtona

Jednostką siły w układzie SI jest jeden Niuton [1N].

2

1 1

1 s

kg m N = ⋅

JeŜeli cząstka porusza się z przyśpieszeniem a w układzie inercjalnym, to działa na nią siła równa iloczynowi masy bezwładnej cząstki i jej przyśpieszenia.

2 2

dt r m d

dt v m d a

m F

v r v

r = = =

Gdy masa jest stała:

8

II zasada dynamiki Newtona

Jeśli na dwie róŜne masy podziałamy tą samą siłą, to moŜemy napisać:

2 2

1 1

a m F

a m F

r r r r

=

=

stąd wynika, Ŝe

Widać więc, Ŝe pod wpływem tej samej siły większa masa ulega mniejszemu przyśpieszeniu, a mniejsza większemu.

Masa bezwładna jest miarą oporu jaki cząstka stawia przyśpieszeniom.

1 2

2 1

m a

m = a

9

II zasada dynamiki Newtona

) , ,

( t

dt r r d

F F

r r r r =

Ruch cząstki znajdujemy rozwiązując równanie:

) , ,

) ( (

2 2

dt t r r d

dt F t r m d

r r r r

=

Równaniem ruchu Newtona.

Jest ono równowaŜne trzem równaniom dla poszczególnych składowych.

) , ,

, ,

, , ) (

(

) , ,

, ,

, , ) (

(

) , ,

, ,

, , ) (

(

2 2

2 2

2 2

dt t dz dt

dy dt

z dx y x dt F

t z m d

dt t dz dt

dy dt

z dx y x dt F

t y m d

dt t dz dt

dy dt

z dx y x dt F

t x m d

z y x

=

=

=

10

II zasada dynamiki Newtona

v

v

v

t

t t

1 blok = m_C

1 blok

2 bloki

1 cięŜar =F_g

1 cięŜar 2 cięŜary

Przyspieszenie = a

Przyspieszenie = 2a

Przyspieszenie = 1/2a

Prosta weryfikacja eksperymentalna

11

II zasada dynamiki Newtona

a r ∝ F r

C

a 1

∝ m r

0.169 5.9

2 1

0.235 4.125

2 2

0.32 3.125

1 2

0.219 4.275

1 1

a t

m F

Wyniki doświadczenia, da się zapisać jako:

a m m F

a F

C

g

r r

r

r = lub =

Masa m pokonywała w kaŜdym przypadku drogę 2 m.

Widać, Ŝe oraz

12

Zasada superpozycji sił

Jeśli na dany punkt działa kilka sił, to siła wypadkowa jest sumą wektorową sił składowych.

F

r F

r F

r

∑

=

= +

+ +

=

i

i N

W

F F F F

F

1 2

1

...

r v r

r

r

13

Zasada superpozycji sił Przykład 1

y

x 45^o

53^o

30^o 300N

150N

200N F₁ F₂

F₃

N N

F

N N

F

o y

o x

100 30

sin ) 200 (

173 30

cos ) 200 (

1 1

=

=

= r =

r

N N

F

N N

F

o y

o x

212 135

sin ) 300 (

212 135

cos ) 300 (

2 2

=

=

−

= r =

r

N N

F

N N

F

o y

o x

124 233

sin ) 155 (

93 233

cos ) 155 (

3 3

−

=

=

−

= r =

r

Siła wypadkowa:

N N

N N

F F

F F

F

N N

N N

F F

F F

F

y y

y iy

Wy

x x

x ix

Wx

188 )

124 (

212 100

132 )

93 (

) 212 (

173

3 2

1

3 2

1

=

− + +

= +

+

=

=

−

=

− +

− +

= +

+

=

=

∑

r ∑

r

N N

N F

F

F

=

+

= ( − 132 )

+ ( 188 )

= 230

14

Zasada superpozycji sił Przykład 2

Jaka musi być wartość siły F aby składowa równoległa do rampy

wypadkowej siły działającej na skrzynię o masie m wynosiła 60N? Ile wtedy wynosi składowa prostopadła do rampy?

20^o F_┴

F_II

Q Q_II

Q_┴

F

W kierunku równoległym do rampy „x”:

o o

wx

F Q F Q

F r =

−

= cos 30 − sin 20

W kierunku prostopadłym do rampy „y”:

o o

wy

Q F Q F

F r =

−

= cos 20 − sin 30

15

Kilka waŜnych sił

Siła cięŜkości (grawitacji)

Jest to siła jaką dane ciało jest przyciągane przez inne ciało.

Najczęściej rozpatrywane przypadki to gdy tym drugim ciałem jest Ziemia. W tym przypadku siła

cięŜkości F_g jest to siła skierowana do środka Ziemi – czyli pionowo w dół.

Zakłada się równieŜ, Ŝe układ odniesienia związany z Ziemią jest inercjalny.

W postaci wektorowej:

gdzie g – wektor przyspieszenia ziemskiego (9,81m/s²)

mg F

=

g m j

mg j

F

F v

v

=

−

=

−

= ˆ ˆ

16

Kilka waŜnych sił CięŜar

CięŜar ciała Q nazywa się wartość bezwzględną siły potrzebnej do zapobieŜenia spadkowi ciała, mierzonej przez obserwatora na Ziemi.

Na ciało, którego przyspieszenie względem Ziemi wynosi zero (układ inercjalny), działają dwie siły: skierowana w dół siła cięŜkości F_g i równowaŜąca ją siła o wartości Q, skierowana pionowo w górę.

) 0 ( )

0

( Q F m

m F

Q −

= ⇒ =

=

CięŜar Q ciała jest równy wartości bezwzględnej sił cięŜkości F_g działającej na to ciało.

mg

Q =

17

Kilka waŜnych sił CięŜar

Pomiar cięŜaru ciała Q musi być wykonywany wtedy, gdy ciało nie porusza się z przyspieszeniem pionowym w

stosunku do Ziemi.

CięŜar Q ciała to inna wielkość fizyczna niŜ jego masa!

CięŜar to wartość siły a jego związek z masą określa druga zasada dynamiki Newtona.

CięŜar kuli do kręgli o masie 7.2kg wynosi 71N na Ziemi, lecz tylko 12N na KsięŜycu. Masa tej kuli jest taka sama na Ziemi i na KsięŜycu, lecz na

KsięŜycu przyspieszenie wynosi jedyne 1.7m/s².

18

Kilka waŜnych sił

N r

Siła normalna

Nazwa pochodzi od terminu matematycznego normalny, co znaczy prostopadły.

Gdy ciało naciska na powierzchnię, choćby pozornie bardzo sztywną, powierzchnia ta ulega deformacji i działa na ciało siłą

normalną N, prostopadłą do powierzchni.

Q r

N r

Q r

y

x

y

y

N mg ma

ma Q

N − = − =

)

(

y

m g a

ma mg

N = + = +

Wartość siły normalnej dla dowolnej wartości przyspieszenia a_y w kierunku pionowym wynosi:

Gdy a_y = 0 wtedy

N = mg

19

Kilka waŜnych sił NapręŜenia

20

Kilka waŜnych sił

Tarcie

N r

Q r

Siła tarcia

Ciała zaczyna się ruszać

f

f

F s

f

r N

r

Q r F

s

f

 r

←

21

Kilka waŜnych sił

Tarcie

• Jeśli ciała się nie porusza, to siła tarcia statycznego f_s oraz składowa siły F równoległa do powierzchni, się równowaŜą.

•Maksymalna wartość siły f_smax dana jest wzorem:

N f

r r

µ

=

przy czym µ_s jest współczynnikiem tarcia statycznego.

• Jeśli ciało zaczyna się ślizgać po powierzchni, to wartość siły gwałtownie maleje do wartości f_k równej:

przy czym µ_k jest współczynnikiem tarcia kinetycznego.

N f

r r

µ

max

=

22

Kilka waŜnych sił

Siła dośrodkowa

Ruch jednostajny po okręgu z punktu widzenia dynamiki.

Zgodnie z I zasadą dynamiki tylko ruch jednostajny prostoliniowy moŜe istnieć bez działania sił. Ruch jednostajny po okręgu wymaga istnienia

dodatkowej siły. Według II zasady dynamiki wartość liczbowa tej siły wyraŜa się zaleŜnością:

a m F r r

=

Przyspieszenie a w ruchu jednostajnym po okręgu:

R R

a

V

2

= ω r =

Stąd

T R R

R m

F

mV

2 2

2

= ω = 4 π

r =

23

Kilka waŜnych sił

Siła odśrodkowa

Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki działaniu siły dośrodkowej, na ciało krąŜące po okręgu, musi towarzyszyć działanie siły odśrodkowej na tzw.

„więzy”. Przez więzy rozumiemy te ciała, które wymuszają ruch po okręgu.

W naszych przykładach takimi więzami będą: ręka wprawiająca kamień w ruch za pośrednictwem sznurka, szyna kolejowa, Ziemia i jądro atomowe.

Siła odśrodkowa F_odś jest równa co do wartości sile dośrodkowej F_doś lecz ma zwrot przeciwny

Siła dośrodkowa (działająca na ciało) nie równowaŜy się z siłą odśrodkową (działającą na więzy), gdyŜ obie siły działają na róŜne ciała.

odś

doś

F

F

r

r = −

24

Zdarzenie Oddziaływanie Siła A Siła B

Zderzenie kul Bilardowych

Cios bokserski

Uderzenie piłki rakietą

III zasada dynamiki Newtona

Gdy dwa ciała oddziałują ze sobą, siły z jakimi działają one na siebie mają taką samą wartość bezwzględną i przeciwne kierunki. Siły te nazywamy siłami akcji i reakcji.

A na B B

na

A

F

F

r

r = −

25

Zastosowanie praw dynamiki Newtona Przykład 3.

Blok marmuru, którego cięŜar wynosi 2 ^x 10⁴ N jest

zawieszony za pomocą liny do dźwigu (Rys). CięŜar liny wynosi 4 ^x 10² N.

(A) Znajdź napręŜenie w górnej i dolnej części liny, gdy blok i lina są w spoczynku.

(B) Znajdź napręŜenie w górnej i dolnej części liny, kiedy blok porusza się w dół z przyspieszeniem 2.50 m/s².

(A) Gdy układ się nie porusza

∑ F

^{= 0}

− Q

− Q

= 0 T

N N

N Q

Q

T

=

+

= 2 ⋅ 10

+ 4 ⋅ 10

= 2 . 04 ⋅ 10

NapręŜenie u góry liny T₁ (rys) wynosi:

Ql

Qb

T1

26

Zastosowanie praw dynamiki Newtona

∑ F

^{= 0}

NapręŜenie przy bloku T₂ (rys) wynosi:

2

− Q

= 0 T

N Q

T

=

= 2 ⋅ 10

(B) Blok i lina poruszają się z przyspieszeniem a_y = 2.5 m/s².

Korzystając z II zasady dynamiki Newtona moŜna wyznaczyć masy liny i bloku Qb

T2

s kg m

N g

m

Q

2040

/ 81 . 9

10 2

2

4

=

= ⋅

= kg

s m

N g

m

Q

40 . 8 /

81 . 9

10 4

2

2

=

= ⋅

=

y b

l l

b

Q m m a

Q

T

− − = ( + )

N a

m m

Q Q

T

4 2

4 2

10 52

. 1 )

5 . 2 ( ) 2040 8

. 40 ( 10

4 10

2

) (

⋅

=

−

⋅ +

+

⋅ +

⋅

=

= +

+ +

=

27

Zastosowanie praw dynamiki Newtona Przykład 4.

Bloczek o cięŜarze 10N jest zawieszony na nierozciągliwej, niewaŜkiej lince jak przedstawiono na rysunku. Jakie są wartości napręŜeń?

Q

45^o 30^o

y

x T

T

45^o 30^o

T

=10N

∑ F

⁼ ma

^{= 0}

0 45

cos 30

cos

2

° − T ° =

T

x:

y: ∑ F

⁼ ma

^{= 0}

0 30

sin 45

sin

1

° + T ° − T =

T

28

Zastosowanie praw dynamiki Newtona Przykład 4.

Q

y

x T

T

45^o 30^o

T

=10N N N

T T

tg N T

tg T T

32 . 30 7

cos

45 cos 97

. 8

30 cos

45 cos

97 . 30 8

45 cos 45

sin

30 45

cos 45

sin

1 2

3 3 1

° =

°

= ⋅

° =

= °

° =

° +

= °

° =

° +

= °

29

Zastosowanie praw dynamiki Newtona Przykład 5.

Jak duŜa jest siła podczas kopnięcia?

Masa piłki wynosi około 0.4 kg.

Potrzebujemy oszacować przyspieszenie piłki, które jest zmianą prędkości piłki w określonym czasie. Na początku piłka nie porusza się a tuŜ po kopnięciu w czasie 0.01s ma prędkość około 30m/s. Stąd

 

 

=

− =

= /

01 3000 .

0

0 30

s m s

s a m

A siła wynosi

 

 

=

⋅

=

=

= N

s kg m ma

F 0 . 4 * 3000 1200

⇒ m = 122 kg

30

Siła oporu i prędkość graniczna

ZaleŜność wartości siły oporu D od prędkości względnej V :

2

2

1 C SV D r = ρ

przy czym C jest wyznaczonym doświadczalnie współczynnikiem oporu aerodynamicznego, ρ gęstością płynu, S polem przekroju poprzecznego ciała.

• Jeśli ciało spada wystarczająco długo, to w pewnej chwili siły D i Q się równowaŜą, czyli a = 0 - ciało spada ze stałą prędkością tzw. Graniczną.

S C V Q

Q SV

C

t

t

ρ ρ

2 2 0

1

=

⇓

=

−