ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ
S e r i a : A u tom atyka, z , 27 N r k o l . 396
________ 1974
M a c ie j B a r g i e l s k i
I n s t y t u t Kompleksowych Systemów S te ro w a n ia
NUMERYCZNE WYZNACZANIE OBSZARÓW STAHIIłTOŚCI W SYSTEMACH AUTOMATYKI KOMPLEKSOWEJ
S t r e s z c z e n i e . W p r a c y p rz e d s ta w io n o ró ż n e s t r u k t u r y system ów a u to m a ty k i k o m p le k so w ej. D o k ła d n ie j omówiono s t r u k t u r ę program ow ą, w ska
z u ją c n a m ie js c e p ro b lem u w y z n a c z a n ia o b sz aró w s t a b i l n o ś c i w t e j s t r u k t u r z e . N a s tę p n ie podano tw ie r d z e n ie u m o ż liw ia ją c e w y z n a c z en ie d l a pew nej k l a s y rów nań ró ż n ic z k o w y c h p e łn y c h obszarów s t a b i l n o ś c i . T w ie rd z e n ie z i lu s tr o w a n o a l g o r y tmem p o s tę p o w a n ia o ra z p rz y k ła d a m i zarów no d l a ró w n a ń d e te r m in is ty c z n y c h , j a k i z p a ra m e tra m i s t o c h a s ty c z n y m i.
1 . S t r u k t u r a s y s te m u a u to m a ty k i kom pleks owe .1
W sp ó łc z e śn ie u k s z t a ł t o w a ł a s i ę s t r u k t u r a s y ste m u a u to m a ty k i kom ple
kso w ej £1 , 6 ] p rz e d s ta w io n a sc h e m a ty c z n ie n a r y s . 1 . Można j ą w sp o só b o g ó ln y p o d z i e l i ć n a s t r u k t u r ę u rz ą d z e n io w ą i program ow ą.
\Jn*jdz«ruA 2*wnęirxrtO
* UktidtJ po-
¿redniczĄce do komuni
kacji
*pro
cyfrow A
zierujĄcA < - 5
i
cesem
\JaAflhtetaA ko- mumkAcp z ape- rtiorcjm nadto- rufĄof* proces
P R
0
C E S
R y s. 1 . O g ó ln a s t r u k t u r a sy ste m u a u to m a ty k i kom pleksow ej
92 M aciej B a rg le la id .
W s t r u k t u r z e u r z ą d z e n io w e j r o l ę c e n t r a l n e j je d n o stk i s t e r u j ą c e j s p e ł n i a zw ykle m in ik o m p u te r z a p e w n ia ją c y p rz e p ły w i p r z e tw a r z a n ie in f o rm a c j i pom iędzy p o sz c z e g ó ln y m i e le m e n ta m i om aw ianej s t r u k t u r y . Minikompu
t e r t e n k o m unikuje s i ę z p ro cesem p o p rz e z u r z ą d z e n i a p o ś r e d n ie ssące z a p e w n ia ją c e p o b i e r a n i e i n f o r m a c j i o p r o c e s i e i j e j zam ianę n a p o s t a ć a k c e p to w a ln ą p r z e z m aszynę c y fro w ą , a t a k ż e u m o ż liw ia ją c e czy n n e o d d z ia ły w a n ie n a p r o c e s . O p e r a to r p r o c e s u kom u n ik u je s i ę z nim z a p o ś r e d n i c twem j e d n o s t k i s t e r u j ą c e j p o p rz e z u r z ą d z e n ia k o m u n ik a c ji z o p e r a to re m , z a ś u r z ą d z e n i a z e w n ę trz n e u m o ż liw ia ją g ro m a d z e n ie i wydawanie in f o rm a c j i o p r o c e s i e w p o s t a c i r a p o r tó w u tr w a la n y c h n a u r z ą d z e n ia c h ty p u d r u k a r k a w ie rs z o w a , d a l e k o p i s , p e r f o r a t o r c z y p am ięć masowa.
S t r u k t u r y program ow e, w p r z e c iw ie ń s tw ie do u rz ą d z e n io w y c h , s ą s p r a wą umowną - c h o d z i t u bowiem o pewne p o g ru p o w an ie program ów . Można j e w ię c d z i e l i ć zarów no od s t r o n y j e d n o s t k i c e n t r a l n e j , j a k i od s t r o n y p r o c e s u . S t r u k t u r a t a , z p u n k tu w id z e n ia j e d n o s t k i c e n t r a l n e j , prow aj- d z i do p o d z i a ł u n a program y u ż y tk o w e , p o m o c n ic z e , z a r z ą d z a ją c e o z y s z e r e g u j ą c e . Od s t r o n y z a ś p r o c e s u , co d a l e j j e s t i s t o t n e , o d p o w ied n i po
d z i a ł p r z e d s ta w ia r y s . 2 .
P r z e d s ta w io n a t u s t r u k t u r a p r o g r a m o w a l i , 2 , 6 3 j e s t s t r u k t u r ą w ie
lo w a rstw o w ą . W arstv/a n a j n i ż s z a - k o m u n ik a c ji z p ro cesem zap ew n ia po
b i e r a n i e i o b ró b k ę danych o p r o c e s i e , w y z n a c z an ie i wydawanie w a r t o ś c i z a d a n y c h r e g u la to r ó w k o n w e n c jo n a ln y c h z a in s ta lo w a n y c h w p r o c e s i e , c z y w r e s z c ie b e z p o ś r e d n ie s te r o w a n ie c y fro w e .
Warstyyę o p t y m a l i z a c j i ty /o rz ą p ro g ram y o p t y m a l i z a c j i s t a n u u s t a l o n e go , p ro g ram y w y z n a c z a n ia t r a j e k t o r i i zm iany s t a n u p r o c e s u , c z y w re sz c i e p ro g ram y w y z n a c z a n ia o b s z a r u d o p u s z c z a ln y c h zm ian p a ra m e tró w n p . ze w zg lęd u n a s t a b i l n o ś ć .
P ro g ram y w a rstw y a d a p t a c j i z a p e w n ia ją i d e n t y f i k a c j ę i a d a p t a c j ę mo
d e l u , z a ś p ro g ra m y w a rstw y In fo rm o w a n ia k ie ro w n ic tw a z b i e r a n i e d an y ch c h a r a k t e r y z u j ą c y c h p r o c e s - t z n . c e n t r a l n ą r e j e s t r a c j ę d a n y c h .
W łaściw e w s p ó ł d z i a ł a n i e program ów t y c h w a rstw o r a z r e a l i z a c j ę z a d a ń s ta w ia n y c h p r z e d c e n t r a l n ą j e d n o s tk ą s t e r u j ą c ą zapevm ia p ro g ram n a d z o r c z y u a k ty w n ia ją c y o d p o w ied n ie do z a i s t n i a ł e j s y t u a c j i p ro g ra m y .
Numeryczne w y z n a c z an ie obszarów s t a b i l n o ś c i . . 93
R y s. 2 . Struktura programowa systemu automatyki Kompleksowej
o r o c
e:s
R y s . 3 . S zczeg ó ło w a s t r u k t u r a program ow a
94 M acie j B a r g l e l a k i
Program y w y z n a c z a n ia o b s z a ru d o p u s z c z a ln y c h zm ian p a ra m e tró w w ią ż ą c e s i ę b e z p o ś r e d n io z problem em w y z n a c z a n ia obsżarów s t a b i l n o ś c i n a l e ż ą do program ów w a rstw y o p t y m a l i z a c j i . S t r u k t u r ę program ow ą sy ste m u au
to m a ty k i kom pleksow ej u w z g lę d n ia ją c ą w sp o só b s z c z e g ó ln y t ę p ro b le m a ty k ę p r z e d s ta w ia r y s . 3 .
Na p o d s ta w ie d an y ch p rz y g o to w a n y c h p r z e z pro g ram y p o b i e r a n i a i n f o r m a c j i o p r o c e s i e , program y w arstw y a d a p t a c y j n e j d o k o n u ją i d e n t y f i k a c j i i s t o t n e g o w m odelu p r o c e s u p a r a m e tr u a , po czym p ro g ram y w ar
s tw y o p t y m a l i z a c j i w y z n a c z a ją o b s z a r s t a b i l n o ś c i . D o ra z w y z n a c z a ją o p ty m a ln e p a r a m e tr y p r o c e s u x q m ie s z c z ą c e s i ę w tym o b s z a rz e o g r a n i
c z e ń . P a r a m e tr y x q przek azy w an e s ą program om s te r u ją c y m , r e a l i z u j ą cym n a s ta w a n ie p a ra m e tró w p r o c e s u n a w yznaczoną w a r to ś ć xq .
D otychczasow e p r a c e d o ty c z ą c e s t a b i l n o ś c i £4 , 6 , 7 , 8^] b y ły w s z y s t
k i e prow adzone z p u n k tu w id z e n ia ja k o ś c io w e g o , prow adzącego zaw szę do w arunków w y s ta r c z a ją c y c h , a l e n i e k o n ie c z n y c h . N ie s t a r a n o s i ę o p ra c o wać t a k i c h m eto d , k t ó r e p o z w o liły b y d l a p o s z c z e g ó ln y c h , k o n k re tn y c h p rzypadków w yznaczyć o b s z a r y s t a b i l n o ś c i s p e ł n i a j ą c e w a ru n k i k o n ie c z n e i w y s t a r c z a j ą c e . Z a d a n ie t o j e s t m ożliw e do z r e a liz o w a n ia n a d ro d z e wy k o r z y s t a n i a m aszyn m atem atycznych i m etod n u m erycznych.
I d e n t y f i k a c j a p a r a m e tr u i s t o t n e g o a może dawać w y n ik i w p o s t a c i d e t e r m i n i s t y c z n e j bąd ź s t o c h a s t y c z n e j , co p ro w a d z i do p ro b lem u wyzna
c z a n i a obszarów s t a b i l n o ś c i rów nań ró ż n ic z k o w y c h d e te r m in is ty c z n y c h jak i z p a ra m e tra m i s to c h a s ty c z n y m i.
2 . Numeryczne w y z n a c z a n ie o b s z a ru s t a b i l n o ś c i rów nań d e t e r m i n i s t y c z nych
W a u to m a ty c e k o n ę le k so w e j p r z e z m odel p r o c e s u rozum iem y t a k ą form ę je g o o p i s u , k t ó r a n a d a je s i ę do w c z y ta n ia do p a m ię c i m aszyny c y fro w e j i może być p o d sta w ą s t e r o w a n i a . Mogą w ię c być m odele w p o s t a c i a n a l i t y c z n e j , g ra fo w e j c z y ję z y k o w e j.
M atem atycznym m odelem a n a lity c z n y m p r o c e s u j e s t b a rd z o c z ę s t o rów n a n ie ró ż n ic z k o w e ( l u b u k ła d ró w n ań )
x a f ( x , a )
Num eryczne Y /yznaczanie o b szar¿w s t a b i l n o ś c i . . . 95
g d z ie a j e s t s t a ł ą YYyznaczoną w p r o c e s i e i d e n t y f i k a c j i . R o zw ią zan ie t e g o ró w n a n ia , b ę d ą c e r e p r e z e n t a c j ą p rz e b ie g ó w zach o d zący ch v.' p ro c e s i e , można o p is a ć f u n k c ją
x ( x Q, t )
z a l e ż n ą od Y/arunków p o czątk o w y ch xq . Z p u n k tu y /id z e n ia s te r o w a n ia i - s t o t n a j e s t odpovdedź n a p y t a n i e c z y y/ychodząc z danego v/arunku po
czątk o w eg o xq r o z w ią z a n ie z m ie rz a do p u n k tu s t a b i l n e g o , a vri.ęc r o z w ią z a n ia ró w n a n ia
f ( x , a ) => 0
zwanego p u nktem s ta c jo n a r n y m te g o ró w n a n ia .
Z b ió r punktów p o s i a d a ją c y c h t ę w ła s n o ś ć , że s t a r t u j ą c e z n ic h t r a j e k t o r i e dochodzą do p u n k tu s ta c jo n a r n e g o n a z y w a j obszarem s t a b i l n o ś c i te g o ró w n a n ia w zględem warunków p o czątk o w y ch [ 8 ] .
P r z y jm u ją c , że punktem s ta c jo n a rn y m ro z p a try w a n e g o ró w n a n ia j e s t p o c z ą te k u k ła d u y y sp ó łrzę d n y ch , a n a l i t y c z n i e można t e n o b s z a r z a p is a ć
D = « ix : lim x ( x , t ) = 0
O I 1 O 4t- * OO- „ 0
Rozważmy p rzy k ład o w o ró w n a n ie
x + (1 - x )x + x = 0
W l i t e r a t u r z e k l a s y c z n e j £7 ] można z n a le ź ć wyznaczone o b s z a ry s t a b i l n o ś c i te g o r ó w n a n ia . I t a k :
x o b s z a r s t a b i l n o ś c i w zględem zm iennych
D2 c j*
b ę d ą c y pasem o s z e r o k o ś c i 1 o ra z
96 M aciej B a r g i e l s k i
* o b s z a r s t a b i l n o ś c i w zględem warunków p o cz ą tk o w y c h , b ę d ą c y m aksym alną k u lą w p isan ą w o b s z a r DgS
D1 = - |( x ,x ) s x 2 + x2 ^ 1 j> .
(p rz y jm u ją c p r z e s t r z e ń m e try c z n ą e u k lid e s o w ą ) .
;W*zyscy a u to r z y p o d k r e ś l a j ą , że j e s t t o o b s z a r w y s ta r c z a ją c y , je d n a k n i * k o n ie c z n y i n i e b y ło m etody p o z w a la ją c e j w yznaczyć o b s z a r y k o n ie c z n e .
D la w y z n a c z e n ia o b szaró w s p e ł n i a j ą c y c h w a ru n k i k o n ie c z n e i w y s ta r - o z a ją c e ja k o ś c io w a t e o r i a rów nań ró ż n ic z k o w y c h j e s t n i e p r z y d a t n a . P r o b lem t e n można je d n a k ro z w ią z a ć n a i n n e j d ro d z e , w y k o r z y s tu ją c e t ę moż
l i w o ś c i , j a k i e s t w a r z a j ą m aszyny m atem atyczne i m etody n u m ery czn e.
P re z e n to w a n a t u m eto d a w y k o rz y s tu je pewne w ła ś c iw o ś c i t r a j e k t o r i i rów nań s p r z ę ż o n y c h . Na p r z y k ła d rów naniem sp rzężo n y m do p rzy k ład o w eg o j e s t
x — ( i - x 2 )x + x = 0
c h a r a k t e r y z u j ą c e s i ę id e n ty c z n y m k s z t a ł t e m t r a j e k t o r i i , a je d y n ie k i e r u n e k r u c h u po n i c h d l a t-w- oo d l a rów nań podstaw ow ych i s p rz ę ż o n y c h j e s t p rz e c iw n y |jT]» P o d staw ą do w y k o r z y s ta n ia t e j w ła s n o ś c i rów nań s p rz ę ż o n y c h do w y z n a c z a n ia o b szaró w s t a b i l n o ś c i rów nań ró ż n ic z k o w y c h z w y c z a jn y ch , j e s t n a s tę p u ją c e
T w i e r d z e n i e
N ie c h p raw a s t r o n a u k ła d u
x ■= f ( x )
s p e ł n i a w a ru n k i t w i e r d z e n i a o i s t n i e n i u i je d n o z n a c z n o ś c i
Num eryczne w y z n a c z an ie o b szaró w s t a b i l n o ś c i . . . 97
i n i e c h jedynym skończonym je g o p u nktem s ta c jo n a r n y m b ę d z ie p o c z ą te k u k ła d u w s p ó łrz ę d n y c h . J e ś l i j e s t on punktem równowagi s t a b i l n e j , a r o z w ią z a n ie y = y ( y Q, t ) ró w n a n ia s p rz ę ż o n e g o
y ** - f ( y )
g d z ie o d le g ło ś ć J (y o , 0 ) ^ e d o w o ln ie m a łe j l i c z b y d o d a t n i e j j e s t z b ie ż n e do pew nej f u n k c j i o k re so w e j H ( t ) , k t ó r e j wykresem n a p ł a s z c z y ź n ie fa z o w e j u k ła d u s p rz ę ż o n e g o j e s t krzyw a j ( y ) - j ( y 1 , y 2 ) t o o b - s z a r
Dq = <jx: x fi i n t j ( x 1 , - x 2 )
j e s t obszarem s t a b i l n o ś c i ró w n a n ia podstaw ow ego. J e ś l i f u n k c j a H ( t ) n i e i s t n i e j e w & , t o o b szarem s t a b i l n o ś c i t e g o ró w n a n ia j e s t c a ł y ob
s z a r iii .
Dowód p rz e d s ta w io n e g o t w i e r d z e n i a z a m ie sz c zo n y j e s t w d o d a tk u A do n i n i e j s z e j p r a c y . Z t w i e r d z e n i a te g o n a ty c h m ia s t w ynika a lg o r y tm d l a m aszyny c y fro w e j p o z w a la ją c y n a w y z n a c z en ie p e łn e g o o b s z a ru s t a b i l n o
ś c i . Schem at blokow y i o d p o w ia d a ją c y mu p ro g ram n a p is a n y w ję z y k u AL- G0L-1204 z a m ie sz c zo n y j e s t w d o d a tk u B.
P r z y pomocy t e g o p ro g ram u w yznaczono o b s z a r s t a b i l n o ś c i ró w n a n ia p rz y k ła d o w e g o p r z e d s ta w io n y n a r y s . 4 . C ien k ą l i n i ą p r z e d s ta w io n o n a ty m ry s u n k u o b s z a r s t a b i l n o ś c i o trzy m an y m etodą a n a l i t y c z n ą . Porównu
j ą c o ba t e o b s z a ry można s t w i e r d z i ć z n a c z n e , bo w ynoszące o k . 4255, po
w ię k s z e n ie p o l a p o w ie r z c h n i o b s z a ru u z y sk a n e g o p re z e n to w a n ą m etodą w s to s u n k u do u z y sk a n e g o m etodą a n a l i t y c z n ą .
9 8 M aciej B a rg ie ls ir i.
e b s u A r s i & b i l n o i a w i f z n & c z c n u m t r l o d ą r d w r r & ń
s p r z ę ż o n y c h
R y s . 4 . P oró w n an ie obszarów s t a b i l n o ś c i u z y sk a n y c h ró ż n y m i m etodam i
3 . Numeryczne w y z n acz an ie o b s z a ru s t a b i l n o ś c i rów nań z p a ra m e tra m i s t o - c iia sty c z n y m i
Kie. l y s t k i e p r o c e s y prow adzą w s e n s i e m o d e li do rów nań r ó ż n ic z k o wych r w sp ó łc z y n n ik a c h s t a ł y c h . Są i t a k i e , k tó r y c h m odele p row adzą do równań- ró ż n lc z -o w y c h o w s p ó łc z y n n ik a c h zm iennych, k t ó r e w p r o c e s i e i - d e n t y f i k o .c j i mogą być id e n ty fik o w a n e t y l k o z d o k ła d n o ś c ią do i c h n i e k tó r y c h param e tró w s to c h a s ty c z n y c h .
Wprowad;'my p o j ę c i e o b s z a r u s t a b i l n o ś c i p r o c e s u s to c h a s ty c z n e g o x.fc w zględem p ra w d o p o d o b ie ń stw a ( j , 2 ] z d e fin io w a n e g o ja k o
' e = - x : P < jx (x ,t ¿ e . O ^ e
Num eryczne w y z n a c z an ie o b szaró w s t a b i l n o ś c i . . . 99
( p r z y j ę t o t u , p o d o b n ie j a k i p o p r z e d n io , że p o c z ą te k u k ła d u w s p ó łr z ę d n y c h j e s t punktem s ta c jo n a r n y m s t a b i l n y m ) . J e s t t o w ięc t a k i o b s z a r , że d l a warunków p o c z ą tk o w y c h z je g o w n ę tr z a p r o c e s x^ o s i ą g n i e sw ój p u n k t rów now agi z praw dopodobieństw em n i e m niejszym n iż - e . Zadaniem do r o z w ią z a n ia j e s t t u w y z n aczen ie d l a d a n e g o , k o n k re tn e g o p r o c e s u ob
s z a r u s t a b i l n o ś c i S ^ , w k tó ry m p ro c e s j e s t s t a b i l n y w podanym s e n s i e z zadanym praw dopodobieństw em Pza(j* R o z w ią z a n ie p o sta w io n e g o p roblem u m ożna o trzy m ać dwiema d ro g am i:
1 ° Z n a le z ie n ie r o z k ł a d u Q (x ) p ra w d o p o d o b ień stw a p r z e j ś c i a p r o c e s u z p u n k tu x do p o c z ą tk u u k ła d u w sp ó łrz ę d n y c h : x —*- 0 d l a w s z y s tk ic h i n t e r e s u j ą c y c h w a r t o ś c i x , a n a s t ę p n i e o k r e ś l e n i e o b s z a ru
Sp = -jx : Q ( x ) ^ p j -
2 ° B e z p o ś re d n ie z n a l e z i e n i e o b s z a r u je d y n ie n a p o d s ta w ie rów nań o p is u ją c y c h p r o c e 3 0
D la p ro c e só w , k tó r y c h m odele d ad zą s i ę p r z e d s ta w ić w p o s t a c i pew nej k l a s y ró w n ań ró ż n ic z k o w y c h z p a ra m e tra m i s to c h a s ty c z n y m i można z a s t o sow ać m etodę 1 ° . 0 t e j k l a s i e rów nań z a k ła d a s i ę dodatkow o (o p ró c z z a ło ż e ń t w i e r d z e n i a ) , że s p e ł n i a h i p o t e z ę A jzerm an a, t z n . c i ą g ł ą i e d - n o z n a c z n ą z a le ż n o ś ć r o z w ią z a ń od w a r t o ś c i p a r a m e tr u s to c h a s ty c z n e g o u :
V* u^ < u 2 ( l u b > u 2 ) , V t : p ( x ( x Q, t j u 1 ) , 0 ) < j ( x ( x Q, t j u 2 ) , 0 )
D la p r z e d s t a w i e n i a s p o so b u p o s tę p o w a n ia z m ie r z a ją c e g o do w y z n a c z e n ia o b s z a r u s t a b i l n o ś c i w w yżej podanym s e n s i e r o z p a tr z m y , d l a x i s t a l e n i a u w a g i, ró w n an ie
x + (1 — x ) x + (1 + u ) x = 0
g d z i e u j e s t zm ienną losow ą o r o z k ł a d z i e rów nom iernym n a p r z e d z i a l e [ a , b ] = [ 1 , 3 ] , a za d an e p raw dopodobieństw o P za d = 0 ,6 5 .
1 0 0 M a c ie j B a r g i e l s k i
A lgorytm j e s t n a s t ę p u j ą c y :
( i ) w y z n a c z en ie o b sz a ró w s t a b i l n o ś c i D& i ró w n a n ia ,w k tó ry m p a r a m e tr u p r z y jm u je s t a ł e w a r t o ś c i a o r a z b . J e s t t o p ro b le m w y z n a c z a n ia o b sza ró w s t a b i l n o ś c i rów nań ró ż n ic z k o w y c h zw y czajn y ch o s t a ł y c h w s p ó łc z y n n ik a c h , k t ó r y można ro z w ią z a ć p r z e d s ta w io n ą wy
ż e j m etodą rów nań s p r z ę ż o n y c h ,
( l i ) w y z n a c z en ie o b s z a r u T b ęd ąceg o p i e r ś c i e n i e m
T = (D \ D. ) U (D, \ D )
a b b a
\
w ew nątrz k t ó r e g o r o z w ią z a n ia ró w n a n ia w y jścio w eg o s ą s t a b i l n e lu b n i e , w z a l e ż n o ś c i od w a r t o ś c i p a r a m e tr u u . G ra n ic a w ięo o b s z a r u s t a b i l n o ś c i w zględem p ra w d o p o d o b ie ń stw a n a le ż y do T i w ew nątrz n ie g o n a le ż y j e j s z u k a ć . O z n a c z a ją c bowiem p r z e z Q ( x ,x ) praw dopo
d o b ie ń stw o d o j ś c i a t r a j e k t o r i i ro z p a try w a n e g o ró w n a n ia do p o c z ą tk u u k ła d u w s p ó łrz ę d n y c h z a c h o d z i:
V x , x € D O D. : < ł(x ,x ) *» 1
O. D
V x , x óe R2 n C d ^ E ^ ) : Q(x,x) = 0 V x , x £ T : 0 < Q ( x , x ) < 1
z a ś n a b rz e g u 9D o b s z a r u s t a b i l n o ś c i
V x , x 6 3D Q ( x ,x ) = p zad
Poniew aż Q (x ) ja k o p raw d o p o d o b ień stw o d o j ś c i a do p o c z ą tk u u k ł a du w s p ó łrz ę d n y c h j e s t n ie m a le ją c ą f u n k c j ą x , w ięc
, ° ) < j ( x 2 , 0 ) : Q(x1 ) > Q (x2 )
co o k r e ś l a a lg o r y tm p o s z u k iw a n ia b rz e g u 3 D. Szukany o b s z a r s t a b i l n o ś c i j e s t o c z y w iś c ie je g o w n ę trz e m .
Num eryczne w y z n a ć z a n ie o b szaró w s t a b i l n o ś c i » , , . 1 0 1
P o s łu g u ją c s i ę m aszyną c y fro w ą do r e a l i z a c j i p rz e d s ta w io n e g o a lg o ry tm u u z y sk a n o d l a om aw ianego, p rzy k ła d o w e g o ró w n a n ia o b s z a r s t a b i l n o ś c i p r z e d s ta w io n y n a r y s . 5 , n a k tó ry m c ie n k ą k r e s k ą p rz e d s ta w io n o o b s z a r s t a b i l n o ś c i ró w n a n ia n i e z a b u rz o n e g o , t z n . r ó w n a n ia , w k tó ry m u = 0 . J a k w id a ć , w prow adzenie z a b u rz e ń losow ych z m n ie js z a o b s z a r s t a b i l n o ś c i .
obaO r s i t bUrto^c*
ttiea A -
b u t x o * t « g o
R y s . 5 . P o ró w n an ie o b s z a r u s t a b i l n o ś c i z r y s . 4 z o b sza rem s t a b i l n o ś c i z praw dopodobieństw em P zad ” 0 ,6 5 ró w n a n ia z a b u rz o n e g o
W ro zp atry w an y m p r z y k ł a d z i e p a r a m e tr s t o c h a s t y c z n y u p rz y jm o w a ł w a r t o ś c i w o g ra n ic z o n y m p r z e d z i a l e . P r a k ty c z n ie t y l k o z t a k i m i p aram e
t r a m i mamy do c z y n i e n i a . N ie m n ie j je d n a k , r o z p a t r u j ą c p a r a m e tr y z n i e sk o ń c z o n e g o p r z e d z i a ł u ( n p . o r o z k ł a d z i e norm alnym ) p ro b le m w y z n a c z a-
M aciej B a r g i e l s k i
n i a o b s z a ru s t a b i l n o ś c i można ro z w ią z a ć p r z e d s ta w io n ą m etodą p r z e z ob
c i ę c i e brzegów r o z k ł a d u t z w . ogonów w t a k i s p o s ó b , ab y o d rz u c o n e w ar
t o ś c i b y ły przyjm ow ane z d o s t a t e c z n i e małym praw dopodobieństw em £ 1 J .
4 . W nioski i uw agi końcowe
Podsum ow ując, można by s t w i e r d z i ć , że w w y z n a c z an iu o b szaró w s t a b i l n o ś c i d l a c e ló w a u to m a ty k i kom pleksow ej m etody ja k o śc io w e n i e mogą odd ać t a k i c h u s ł u g , j a k m etody num eryczne, p ro w ad zące z r e g u ł y do w ię
k s z y c h obszarów s t a b i l n o ś c i w zględem warunków p o cz ą tk o w y c h . N ie mogę je d n a k t w i e r d z i ć , że p rz e d s ta w io n e t u p r z y p a d k i r o z w ią z u ją w y s ta r c z a j ą c o p ro b le m , a l e s ą d z ę , że mogą być one p o d sta w ą do d a ls z e g o ro z w o ju num erycznych m etod o cen y obszarów s t a b i l n o ś c i , k t ó r e , j a k s i ę w y d a je , p o z o s ta n ą j e s z c z e j a k i ś c z a s jednym z i s t o t n y c h problem ów m odelow ania i s t e r o w a n i a p ro c e s a m i p ro d u k c y jn y m i.
LITERATURA
1 . B a r g i e l s k i M.s W yznaczanie obszarów s t a b i l n o ś c i w s y ste m a c h autom a
t y k i k o m p lek so w e j. P r a c a d o k t o r s k a , P o l i t e c h n i k a Ś l ą s k a , G liw ic e 1 9 7 2 .
2 . B a r g i e l s k i M .: N ie k tó r e m o ż liw o ś c i num erycznego w y z n a c z a n ia o b s z a rów s t a b i l n o ś c i . P o d sta w y S te r o w a n ia , t . 3 ( i 9 7 3 ) » z . 2 , s . 1 0 9 -1 1 6 . 3 . C hasm Ł nskij R .Z .: U s to jc z iw o s t s i s t i e m d i f f e r e n c j a l n y c h u r a w n ie n ij
p r i s ł u c z a j n y c h w o z m u sz c z e n ijac h i c h p a ra m e tró w . N auka, Moskwa 1969, 4 . Hahn W.: T h eo ry and a p p l i c a t i o n o f L iap u n o v fs d i r e c t m eth o d , P r e n -
t i c e - H a l l I n c . , Englew ood C l i f f s , N . J . 1 9 6 3 .
5 . S t r u b l e R .A .: Rów nania ró ż n ic z k o w e n i e l i n i o w e PWN, W arszawa 1 9 6 5 . 6 . W ęgrzyn S , : P o d sta w y a u to m a ty k i. PWN, Wars z awa 1972.
7 . 'Węgrzyn S . , G i l l e J . C . : 0 pewnym w y s ta rc z a ją c y m w arunku s t a b i l n o ś c i , A rch. E l e l c t r . , t . X I I I , z e s z . 1 , 1 9 6 4 .
8 . W ęgrzyn S . , G i l l e J . C . , V id a l P . , P a lu siń slc L 0 . : Y/prow adzenie do a n a l i z y s t a b i l n o ś c i w p r z e s t r z e n i a c h m e try c z n y c h , PTO,W arszawa 1970.
Numerycane w y zn ac zar.ie obszarow s t a b i l n o s c i . . . 103
kKUJIEHHOE H A X O liflJ illh E OEJIAC'TBi yC TO iPiL A O G TL 3 OfcOTEMAX KGl/JIJIEKGHOil A JT O iaA T M fo
P e 3 k m e
3 p a O o T e n p e ^ c T a B J ie H H p a 3 H u e c x p y K T y p u c h c t s u KOMiiJieKC- hoM aBTOMaTHKu „ B o jiee noftpofiH O o n i i c a H a n p o rp a M U H a a c x p y K x y — p a , BBDTopoM noK asano mbcto npoSneMH Haxo»cfleHMS oCJiacTeM y c T o i i u j i s o - c t k , E a Jib m e n p e flC T a B J ie H a x e o p e M a , n o sB a Jia jo in a a H a x o j H T t noJtH H e ofiJiacT M ycxoiiuw B O C T H ,hjih H e K o T o p o r o K j i a c c a o 6 h k h o - beHHHX ^H<i)43epeHitnaJibHtDC ypaB H eH M ii0 T e o p e w a H JiJH oC Tpvipyexcfl a a r o p H T M o u b « 3 H K e AJirOJI h npnuepaMH KaK Rjia x c T e p m H H C T H - neC K w x y p a B H e H u ii T aK h c o cjiyMaiiHbiMK n ap a M e x p a M H o
NUMERICAL PINKING OP STABILITY AREAS IN COMPLEX CONTROL SYSTEMS
S u m m a r y
I n t h i s p a p e r s o m e - s t r u c t u r e s o f com plex c o n t r o l s y s te m s a r e p r e s e n t e d . More a c c u r a t e l y a s o f tw a r e s t r u c t u r e i s d e s c r i b e d t o show n p l a c e o f s t a b i l i t y a r e a s f i n d i n g p ro b le m i n t h i s s t r u c t u r e . A Theorem a l lo w in g t o s o lv e p ro b le m o f f i n d i n g f u l l s t a b i l i t y a r e a s f o r some c l a s s o f o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a tio n s i s i n t r o d u c e d . T h is th e o re m i s i l u - s t r a t e d by a lg o ry th m i n ALGOL and b y exam ples b o th f o r d e t e r m i n i s t i c and w i t h s t o c h a s t i c p a r a m e te r s e q u a t i o n s .
D o d ate k A 105
Dodatek A
T w i e r d z e n i e
N iech prawa str o n a układu ( i ):
x o f ( x ) , x £ R2 (i )
s p e łn ia warunki tw ie rd zen ia o i s t n ie n i u i Jednoznaczności:
V x 6 £ l C R 2 : f ( x ) 6 C , f x ( x ) CC ( 2 )
i n ie ch Jedynym skończonym Jego punktem stacjonarnym b ęd zie p oczątek układu współrzędnych. J e ś l i J e st on punktem równowagi s t a b i l n e j , a rozw iązan ie y = y ( y o » t ) równania sprzężonego
y = - i ( y ) ( 3 )
g d z ie o d le g ło ść § (yQ, 0 ) ^ e dowolnie m ałej l i c z b y d odatniej J est zb ieżn e do pewnej fu n k c ji okresowej H ( t ) , k tó re j wykresem na p ła s z -
1 2
c z y źn ie fazow ej układu sprzężonego J est krzywa j ( y ) = j ( y ,y ), t o ob
s z a r
D q <= «jx: x £ in t j ( x \ - x 2 )j>- (4)
J e s t obszarem s t a b i ln o ś c i równania podstawowego. J e ś l i fu n k cja H(t ) n ie i s t n i e j e w & , t o obszarem s t a b i ln o ś c i te g o równania J es t c a ły ob
s z a r ifti.
D o w ó d
Jak wynika z z a ło ż e ń , prawe str o n y s p e łn ia j ą warunki tw ie r d z e n ia o i s t n i e n i u i Jednoznaczności rozwiązań układu równań różniczkow ych, a w ięc p rzez każdy punkt obszaru Jego o k r e ślo n o śc i SI p rzech od zi Jedna i ty lk o Jedna t r a j e k t o r ia .
P rzeb ieg t r a j e k t o r i i układu sprzężonego ( 3 ) J e st geom etrycznie id e n ty c zn y z p rzebiegiem t r a j e k t o r i i układu ( i ) , a Jedynie kierunek ruchu
D o d atek A
po n ic h d la t -*• 00 j e s t przeciwny £iT]. Jedyny skończony punkt s t a c j o narny układu (1) : x=0 z z a ło ż e n ia s t a b iln y , j e s t n iesta b iln y m punktem stacjonarnym układu sprzężonego ( 3 ). Mogą z a jś ć dwa przypadki:
a ) n ie s t a b iln a t r a j e k t o r ia układu ( 3 ) ro z w ija s i ę do pewnej fu n k c ji H ( t ) , H(t+T) = H ( t ) , g d zie T j e s t okresem t e j f u n k c ji,k tó r e j wy-
1 2 kresem na p ła s z c z y ź n ie fazowej te g o układu j e s t krzywa j ( y ,y ) d la t -*• 00 ,
b ) tr a j e k t o r ia układu (3 ) wychodzi z obszaru ift d la t-»-oo.
Oznacza t o (z uwagi na jednoznaczność rozw ią zań ), że w szy stk ie tr a je k t o r i e układu sprzężonego ( 3 ) zaczynające s i ę we wnętrzu krzywej j(y ^ y 2 ) r o z w ija ją s i ę do t e j krzyw ej. Tak w ięc w sz y stk ie t r a je k to r ie układu(1) zaczyn ające s i ę w zb io rze ( 4 ) n aw ijają s i ę na jedyny punkt sta cjo n a rn y w nim s i ę zn ajd u jący, t j . na początek układu współrzędnych.
W przypadku b ) t r a j e k t o r ie układu (3 ) ro z w ija ją s i ę poza g ran ice SI, a w ięc tr a j e k t o r ie układu ( i ) zaczynające s i ę w dowolnym punkcie ob
sza r u o k r e ś lo n o śc i równania naw ijają s i ę na punkt x = 0 , co koń
c z y dowód.
D o d atek A 107
Rys.
d&ne f
n|ik«wł
J o i t k d f i ć Wlp*łCłiMiłbrukemtnie wtrteicC funkcji
\ /
K ir 1
<
dobór t k A l i
<E°D
>
d ru k o w tn ie w y k r ę tu fu n k c ji
7 ( t ,. h>
( J t ó p )
5. Schemat blokowy programu wyznaczania obszaru s t a b i ln o ś c i meto
dą równań sprzężonych
1 08 D o d atek B
D o d a t e k B
be Kin
comment program w yznaczania obszaru s t a b i l n o ś c i równania rozniczkow ego d r u g ie g o rzędu metoda równania s p rzezo n eg o ;
i n t e g e r n;
rtfal u, v ,w , v 1 ,w 1 , p i , d w a p i , f , q , k r o k , d o k ł a d n o ś ć ;
?
procedure f u n k c j a ( a , b , c ) ; r e a l a , b , c ;
f u n k c j a ^ - ( 1 . 0 - c x c ) x c - b ;
?
n~100;
p i « 3 . 14159265359; dw api~pi+pi;
s e t i n p u t ( 1 );
i f k e y ( 10) th en b e g in
s e t in p u t ( O ) ; se_to u t p u t ( 0 ) ; p r i n t ( ‘
waruhki>->poczatkowe>-':MX, y , yprim , kro k , dokladnos c? *) end k e y ( 1 0 ) ;
r e a d ( u , v , w , k r o k , d o k ł a d n o ś ć ) ; f ^ f u n k c j a ( u , v , - w ) ;
q=w+krokxf; vl:=v+. 5x krokx( q+w);
w1=w+.5><krokx(f+funkcja(u+krok,v+krokxw,-q)) ;
START:b e g in
D o d a te k B
i n t e g e r i; r e al x,alfa st ar t, p,c ,d ; a r r a y y , y p r i m , a l f a [ 0 : n ] ;
procedure angle(k);
i n t e g e r k ; b e g i n real t;
t : = a r c c o s ( y [ k ] / s q r t ( y [ k ] x y [ k ] + y p r l m [ k ] x y p r i m [ k ] ) ) ; a l f a [ k j = = i f y p r i m [ k ] > 0 t h e n t e l s e d w a p i - t ; e n d a n g l e ( k ) ;
y [ 0 ] i = v ; y [ 1 ] : = v 1 ;
y p r i m [ 0 ] : = w ; y p r i m [ l ] : = w 1 ; x = u + k r o k ;
STARTC YK L: i= 0; angle(i); angle(i+1);
CYKL: i— i + 1 ;
f . ~ f u n k c j a ( x , y [ i ] , - y p r i m [ i ] ) ; q = y p r ± m [ i - 1 ] + 2 . 0 x k r o k x f ; c = y [ i ] + . 5 x k r o k x ( y p r i m [ i ] + q ) ; p ~ y C i - 1 ] + 2 . 0 x k r o k x y p r i m [ i ] ;
d = y p r i m[ i] +. 5xk ro kx (f +f un kc; ja (x +k ro k, p, -q));
y [ i + 1 ] = c - . 2 x ( c - p ) ; yprim[i+1]*=d-.2x(d-q);
X i = x + k r o k ; a n g l e ( i + 1 ) ; i f i + 1 > n
t h e n b e g i n u ~ x ;
vsy[i]; v 1 = y [ i + 1 ];
w=yprim[i]; w1~yprira[i+1 ];
te=n+
50
;go to START;
en d i+1 > n
else if alfa[i] > a l f a [ i + 1 ] t h en go to CYKL;
if ab s( sq rt (y [ i + 1 ] t 2 + y p r i m [ i + 1 ] t2)
-s qr t( y[ 0] t2 +yp ri m[ 0] t2 )) < dokladnos t h e n
b e g i n
i n t e g e r k,my,myprim;
setinput(O); s e t o u t p u t ( O ) ;
p r i n t ( ‘ ? ? C z y > J d r u k o v 1r a c ' - ' t a b e l e > - i c y k l u i-|g r a n i c z n e g O ' - i ' )
110 Do fiat ek B
o u t c h a r ( 68);print( ‘ ?je sliutak, ‘->napisz‘-»dowolna^liczbe>-'dodatnia, *) print( * Tjesli^nie ,«-‘toi-‘liczbe<-'ujemna<-':L-'‘);
if i n r e a l < 0 t h e n go to DRUKWYKRESU;
D R U K T A B E L I : se t output (1);
print ( ‘
? huMJMERYCZNE'-jWY' ZNACZ AlHEuOB S ZARIM3 TABII1T0S CI^GLOB ALiJE Jf-JH
? -: -i_ « j u tj L J u ip a r a ra e t r y u o b s z a r u ' - m a ' - ' p l a s z c z y z n i e u f a z o v / e j >-«-»-» ■» »
? ? ^LJl-ll-H-ILJL-IL-mL-Hir»-» ».I«-» «.11—.« II «.jyu-ll-n.» II « H-K.JLJLJt.Jl-IL J-iyprim ?? 1) ; f o r m a t ( *
2 3l*-■»■■!f-t-f-0.123tJ4 5 6 10- ^ 1 .1 23lj4 5 6io+ 1 2? ‘) ;
fo r k=0 step 1 un ti l i+1 do p r i n t ( k , y [ k ] ,- y p r i m [ k ] );
D R U K W Y K R B S U : s e t i n p u t ( 0 ) ; s e t o u t p u t ( O ) ;
print( * ?? ?C z
3
^-'drukowac>-»wykres^-'cykl^>-'granicznegO'->,);® u t c h a r ( 68);
p r i n t (* ?jesli*-,tak,Mnapiszi-'dowolna>-'liczbe'-idodatnia, *) pr in t ( ‘ ?j es liLjn i e ‘-*->-‘toi-'liGzbe'-'Utienina'-':'-'‘) ;
if i n r e a l < 0 t h e n go to KONIEC;
p r i n t ( ‘
?Podaj^cyfreudziesiatekL4punktovsMwykresui-j:LJw'-iosi'-'yi-':i-<1) ; read(my); line(1); space(37);
p r i n t ( ‘ v / u o s i ' - ' y p r i m M i i - ' * ) ; r e a d ( m y p r i m ) ;
b e g i n i n t e g e r 1;
i n t e g e r a r r a y p h a s e s o u r f [ 0 : 10xnayprim,0:10xmy], Icolurana [0:1 Oxmyprim ];
r e a l y m in ,y m a x ,y p rim m in ,y p rim m a x , s k o k y ,s k o k y p ri m ; f o r k‘-=0 s t e p 1 u n t i l 10xmyprim do
f o r
l’-Og t e p
1u n t i l
10xm ydo p h a s e s o u r f [ k ,
13— 0;
yrain:=ymax’-=y [0 ]; yprimmin:=yprimmax:=yprim[0 ];f o r k==1 s t e p 1 u n t i l i+1 do b e g i n
i f y [ k ] < y m i n t h e n y m i n : = y [ k j ; i f y l k j > y m a x t h e n y m a x ~ y [ k ] ;
D o d a te k B 1 1 1 if -y primfk] < y p r i m m i n t h e n y p ri mm iK =- yp rim [k ];
if -y prim[k] > y p r i m m a x t h e n y p r i m m a x = - y p r i m [ k ] ; e n d k;
skoky=(ymax-yain)/(lOxiHy) ;
sk©kyprin?=(yprimmax-yprimmin)/( 10xmyprim) ; f o r k=0 atep 1 un ti l i+1 do
phases ® u r f [(y p r i m m a x + y p r i m [ k ])/s k o k y p r i m ,
(y[k]-ymin )/ sko ky ]= 38 ; p h a s e s o u r f [ y p r i m m a x / s k o k y p r i m , - y m i n / s k o k y ] = 6 9 ; s e t ® u t p u t ( 1 );
p r in t ( *
??5uGRAFICZHEuWYZNACZàNIBu0BSZARUijSTÆHN0SCI'-jGL0BAL]IEJ<-'=
T i-M - iP a r a m e tr y v jr y s u n k u u îi- « 1 ) ; foimat( ‘
?uiijtJLJijyujinln'-i=*j-0.1 23w+12^«-^>-*<*jy>-«max*-*=»-»-Q»123»+12?
m.i> j n « » ij ednos t k a ^ ^ - O > 1 2 3 w + 1 2 * ) ; print (yrain, y m a x ,s k o k y );
f o r m a t ( ‘
?>->yprim'-nninMa*j-0.1 2 3 «+1 2u-*>-yprlmMmaX“ =“ - 0 . 123w + 1 2?
i-itju tJu iJL X Ju ijL jjed n o B tk a M = » -« -0 .1 2 3 io + 1 2??<-!*) ; p r i n t
e
y p r i m m i n , y p r i m m a x , s k o k y p r i m ) ;, f o r 1=0 step 1 un ti l my-1 dob e g i n
f o r m a t e * 1 , , , , 4 , , , , » ) » p r i n t ( l ) ;
en d 1;o u t c h a r e if my=10 th e n 65 e l s e ny) ; l i n e ( 1 ) ; k o lu a n a [ 0 ] » l6 ;
k o lu a n a [1Q xm yprlm ]=if myprim=10 th e n 65 e l s e myprim;
f o r k=1 s t e p 1 u n t i l 10xmyprim-1 do kolum na[k]=27;
f o r lo=1 s t e p 1 u n t i l m yprim -1 do kolum na[10xk]=k;
f o r k=5 s t e p 10 u n t i l 10xmyprlm-5 do kolum na[k]=32;
f o r lc=0 s t e p 1 u n t i l 10xmyprlm do
1 12 D o d atek B b e g i n
o u t c h a r ( k o l u m n a [ k ] ) ;
fo r 1=0 step 1 un ti l 1O x m y do o u t c h a r ( p h a s e s o u r f [ k , 1]);
© u t c h a r ( k o l u m n a [ k ] ) ; line(1);
e n d k;
s p a c e ( 1 );
f o r 1=0 step 1 un ti l my-1 do be gi n
f c r m a t i ' 1 ; p r i n t (1);
end 1;
ou tc ha r( if my =1 0 t h e n 65 else n y ) ; l i n e (3) 5
end DRUKWYKHESU;
KOKIECistop;
end
elaft c o p y ( 2 , y [ i ] , y [ 0 ] ) ;
c o p y ( 2 , y p r im [ i ] , y p r i m [ 0 ] ) ; c o p y ( 2 , a l f a [ i ] , a l f a [ 0 ] ) ; g© t o STARTCYKL;
end STARI;
