Podstawy automatyki Podstawy automatyki

Podstawy automatyki Podstawy automatyki

Wykład 2 Wykład 2

Obiekty regulacji

Układ regulacji Układ regulacji

Obiekt w układzie regulacji

obiekt regulacji

w e u y

y y_m

z

regulator urządzenie

wykonawcze obiekt regulacji

element pomiarowy _

Obiekt regulacji Obiekt regulacji

Obiektem regulacji może być urządzenie, zespół urządzeń lub proces technologiczny, w którym w wyniku zewnętrznych oddziaływań realizuje się pożądany algorytm działania.

Na obiekt regulacji oddziałują:

- zmienne wejściowe nazywane sygnałami nastawiającymi u,

- zmienne szkodliwe nazywane sygnałami zakłócającymi z, Na wyjściu z obiektu regulacji otrzymujemy sygnały wyjściowe nazywane:

zmiennymi regulowanymi y.

Obiekty regulacji Obiekty regulacji

Do prawidłowego zaprojektowania układu regulacji niezbędna jest znajomość właściwości obiektów regulacji, to znaczy zależności pomiędzy wielkościami wejściowymi i wyjściowymi.

Stany ustalone, w których wielkości te pozostają niezmienne w czasie określa się charakterystykami statycznymi,

Stany nieustalone (wielkości zmienne w czasie) opisywane są przy pomocy charakterystyk dynamicznych.

Charakterystyki te (statyczne i dynamiczne) można

wyznaczyć analitycznie lub doświadczalnie.

Metody wyznaczania charakterystyk Metody wyznaczania charakterystyk

statycznych statycznych

• Metoda analityczna polega na graficznym przedstawieniu zależności między sygnałem wejściowym i wyjściowym y = f(x), przy wykorzystaniu matematycznego opisu procesów fizycznych zachodzących w obiekcie.

• Metoda doświadczalna polega na wprowadzaniu do rzeczywistego układu kolejnych, niezmiennych w czasie, wartości sygnału wejściowego x¹ do xⁿ oraz pomiarze odpowiadających im wartości sygnału na wyjściu y¹ do yⁿ. Po uzyskaniu odpowiedniej ilości par (x,y) nanosi się je na wykres współrzędnych, aproksymuje otrzymując w ten sposób charakterystykę statyczną obiektu.

Przykładowa charakterystyka statyczna Przykładowa charakterystyka statyczna obiektu regulacji zawór + wymiennik ciepła obiektu regulacji zawór + wymiennik ciepła

• Charakterystyki statyczne: a – zaworu regulacyjnego

(stałoprocentowa), b – wymiennika ciepła, c – wymiennika ciepła wraz z zaworem regulacyjnym (obiekt regulacji)

• Charakterystyki te wykorzystano przy opracowywaniu zasad doboru zaworów regulacyjnych !

h/h_s m a h

m/m_s

Q/Q_s

m b Q

h/h_s

h ^Q/Qs

m

Q/Qs

m/m_s

Charakterystyki dynamiczne obiektów Charakterystyki dynamiczne obiektów

regulacji regulacji

• Charakterystykę dynamiczną elementu lub układu otrzymuje się jako odpowiedź sygnału wyjściowego y(τ) na wymuszenie w postaci zmiennego w czasie sygnału wejściowego x(τ).

Przed podaniem wymuszenia sygnały x(τ) i y(τ) są w stanie ustalonym. Po podaniu wymuszenia i upływie odpowiednio długiego czasu układ ponownie znajdzie się w stanie ustalonym.

Charakterystyka dynamiczna jest funkcją

przejścia (transmitancją) pomiędzy dwoma

stanami ustalonymi.

Analityczne wyznaczenie charakterystyki Analityczne wyznaczenie charakterystyki

dynamicznej dynamicznej

Analityczne wyznaczenie funkcji przejścia wymaga rozwiązania równania różniczkowego, opisującego model układu.

W przypadku układów opisanych równaniami różniczkowymi liniowymi powszechnie wykorzystywane są metody operatorowe.

Idea tej metody polega na:

znalezieniu przekształcenia, które pozwala zastąpić równania różniczkowo-całkowe zwykłymi równaniami algebraicznymi.

Najczęściej stosowanym narzędziem

matematycznym jest przekształcenie Laplace’a.

Transmitancja Transmitancja

• Transmitancja (funkcja przejścia) jest definiowana jako stosunek transformaty Laplace’a sygnału wyjściowego (funkcji odpowiedzi) do transformaty Laplace’a sygnału wejściowego (funkcji wymuszającej), przy założeniu, że wszystkie warunki początkowe są zerowe.

• Transmitancja operatorowa jest szeroko wykorzystywana w analizie i projektowaniu układów automatycznej regulacji.

Znając transmitancję operatorową układu, można wyznaczyć odpowiedź układu y(t) na dowolne wymuszenie x(t) na wejściu do układu.

Przekształcenie

Przekształcenie Laplace’a Laplace’a

Jeżeli zależność pomiędzy sygnałem wyjściowym i wejściowym układu liniowego opiszemy przy pomocy równania różniczkowego o stałych współczynnikach, przy czym n≥m,

dokonując przekształceń Laplace’a obydwu stron równania u dt b

u b d

dt u b d

y dt a

y a d

dt y

a d _m

m m m

m m

n o n n n

n

n 1 0

1 1 1

1

1 +...+ = + +...+

+ ₋ ⁻_{− −} ⁻₋







 + + +

=





 + ₋ ⁻₋ + + ₋ ⁻₋ b u

dt u b d

dt u b d

L y

dt a y a d

dt y a d

L _m

m m m

m m n o

n n n

n

n 1 0

1 1 1

1

1 ... ...

Przekształcenie

Przekształcenie Laplace’a Laplace’a

Transmitancja Transmitancja

• otrzymamy równanie w postaci:

• Stosownie do przyjętej definicji transmitancji, jako stosunku transformaty Laplace’a sygnału wyjściowego (funkcji

odpowiedzi) do transformaty sygnału wejściowego (funkcji wymuszającej),

(

)

(

)

[ ] [ ] ^{( ( ) )}

)

( U s

s Y u

L y s L

G = =

Transmitancja operatorowa Transmitancja operatorowa

• Po przekształceniach równania otrzymamy wymierną

funkcję zmiennej zespolonej {s} nazywaną transmitancją operatorową

0 1

1 1

0 1

1 1

...

...

) (

) ) (

( a s a s a s a

b s

b s

b s

b s

U s s Y

G

n n

n

m m

m m

+ +

+ +

+ +

+

= +

=

−

− −

Transmitancja Transmitancja

W praktyce stosuje się przekształcenie powyższego wzoru do postaci zawierającej następujące parametry:

• współczynnik wzmocnienia K,

• stałe czasowe (zastępcze stałe czasowe): T, Tz,

• czas opóźnienia (liczba tłumienia): Tt, To,

• zmienną zespoloną {s}, (s=b+jω),

Transmitancja przykładowego obiektu regulacji (obiekt inercyjny wyższego rzędu)

0 1

1 1

0 1

1 1

...

...

) (

) ) (

( a s a s a s a

b s

b s

b s

b s

U s s Y

G

n n

n

m m

m m

+ +

+ +

+ +

+

= +

=

−

− −

sT0

e

) 1

( ⋅

+

≅ ⋅

s T

s K G

z

Doświadczalne metody wyznaczania Doświadczalne metody wyznaczania

charakterystyk dynamicznych charakterystyk dynamicznych

• Doświadczalne metody identyfikacji stosowane są w przypadku niedostatecznej znajomości zjawisk zachodzących w obiekcie regulacji.

• Najczęściej jest stosowana metoda oceny transmitancji obiektu na podstawie odpowiedzi na wymuszenie skokowe nazywana charakterystyką skokową.

• Metoda umożliwia proste wyznaczenie współczynnika wzmocnienia obiektu (statycznego!), równego stosunkowi wartości ustalonej odpowiedzi skokowej do wartości sygnału wejściowego

u K y

∆

= ∆

Przykład doświadczalnego sposobu Przykład doświadczalnego sposobu sporządzania charakterystyki skokowej sporządzania charakterystyki skokowej

• Metoda rejestracji odpowiedzi obiektu regulacji (temperatury powietrza w ogrzewanym pomieszczeniu) na wymuszenie skokowe

2

τ u

Δu t_i

τ

T

t_i=f(τ)

))

odpowiedź skokowa wymuszenie skokowe

3 z₄ 1

z₅

z₁ z₂ z₃

y=t_i

Przykładowa charakterystyka skokowa Przykładowa charakterystyka skokowa

• Uzyskana eksperymentalnie odpowiedź obiektu regulacji (temperatury powietrza w ogrzewanym pomieszczeniu) na wymuszenie skokowe.

u, (h)

Δu = Δh

y, (t_i)

τ

τ₀ τ

Δy = Δt_i

T₀ T_z

u K y

∆

= ∆

sT0

e

) 1

( ⋅

+

≅ ⋅

s T

s K G

z

Inercyjny kształt odpowiedzi skokowej Inercyjny kształt odpowiedzi skokowej

• Kształt odpowiedzi obiektu regulacji na wymuszenie skokowe można zrozumieć analizując przebieg ciągu procesów zachodzących podczas eksperymentu:

1. Wymuszona zmiana stopnia otwarcia zaworu powoduje skokową zmianę strumienia czynnika grzejnego.

Wynikająca stąd zmiana mocy grzejnika przebiega z pewnym opóźnieniem.

2. Z opóźnieniem zachodzą także kolejne procesy: wymiana ciepła pomiędzy grzejnikiem a pomieszczeniem za pośrednictwem powietrza oraz transport ciepła od otoczenia do czujnika temperatury.

3. Te wszystkie wpływy razem wyjaśniają inercyjny kształt odpowiedzi skokowej.

Inercyjny kształt odpowiedzi skokowej Inercyjny kształt odpowiedzi skokowej

• Po zrównaniu nowej wartości strat ciepła pomieszczenia (przy zmienionej różnicy temperatury wewnętrznej i

zewnętrznej) z ilością ciepła dostarczanego przez grzejnik powstaje nowy stan równowagi i od tego momentu

temperatura powietrza utrzymuje się na stałym poziomie.

Rodzaje charakterystyk dynamicznych Rodzaje charakterystyk dynamicznych

obiektów regulacji obiektów regulacji

Obiekty regulacji klasyfikuje się zwykle ze względu na ich własności dynamiczne.

Podstawowym kryterium podziału obiektów regulacji jest samodzielne osiąganie stanu trwałej równowagi po wprowadzeniu skokowego wymuszenia sygnału wejściowego.

Zgodnie z tym kryterium rozróżnia się dwie grupy obiektów:

• Obiekty astatyczne (bez samowyrównania), których wartość odpowiedzi skokowej dąży do nieskończoności.

• Obiekty statyczne (z samowyrównaniem), których odpowiedzi skokowe dążą do wartości skończonej.

Obiekty statyczne i astatyczne Obiekty statyczne i astatyczne

u, (h)

Δu = Δh

y, (t_i)

τ

τ₀ τ

Δy = Δt_i

T₀ T_z

Δu_s u

τ

τ₀

0

τ y

Δτ

Δy A_u

Obiekty astatyczne (bez Obiekty astatyczne (bez

samowyrównania) samowyrównania)

• Obiekty, których wartość odpowiedzi na wymuszenie skokowe dąży do nieskończoności i nie osiąga nowego stanu ustalonego nazywane są astatycznymi (bez samowyrównania).

• Własności dynamiczne idealnego obiektu całkującego można opisać równaniem różniczkowym:

• transmitancją operatorową:

) ) (

( τ

τ

τ K u

d

dy = ⋅

s K )

s ( U

) s ( ) Y

s (

G = =

Δu_s u

τ

τ₀

0

τ y

Δτ

Δy A_u

Astatyczny obiekt regulacji Astatyczny obiekt regulacji

• Astatyczny obiekt regulacji jakim jest zbiornik wody z regulowanym poziomem

Δu_s u

τ

τ₀

0

τ y

Δτ

Δy A_u

y = h u = h_s→ V

Au

y d

u

K y = ∆

⋅

= ∆

∫

Obiekty statyczne (z samowyrównaniem) Obiekty statyczne (z samowyrównaniem)

Odpowiedzi obiektów cieplnych na

wymuszenie skokowe można podzielić na :

• proporcjonalne,

• inercyjne pierwszego rzędu,

• inercyjne pierwszego rzędu z opóźnieniem,

• inercyjne wyższego rzędu.

Podstawowe charakterystyki skokowe Podstawowe charakterystyki skokowe

obiektów statycznych obiektów statycznych

1. Obiekt proporcjonalny

Charakterystyka (odpowiedź) skokowa Transmitancja operatorowa ( K- współczynnik wzmocnienia),

y

Δy

τ

)

( u

K y s

G ∆

= ∆

=

u, (h)

Δu τ

Podstawowe charakterystyki skokowe Podstawowe charakterystyki skokowe

obiektów statycznych obiektów statycznych

2. Obiekt inercyjny pierwszego rzędu

Charakterystyka (odpowiedź) skokowa

Transmitancja operatorowa

T- stała czasowa,

K – współczynnik wzmocnienia

T

Δy

τ

y

T s 1

) K s (

G = ⋅ +

u K y

∆

= ∆

u, (h)

Δu τ

Podstawowe charakterystyki skokowe Podstawowe charakterystyki skokowe

obiektów statycznych obiektów statycznych

3. Obiekt inercyjny pierwszego rzędu z opóźnieniem

Charakterystyka skokowa Transmitancja operatorowa

Tt –czas opóźnienia (opóźnienie transportowe). T – stała czasowa.

K – współczynnik wzmocnienia

T

T_t τ

y

Tt s

e

1 s

T ) K

s (

G ⋅

+

= ⋅

u K y

∆

= ∆

u, (h)

Δu

τ

Δy

Podstawowe charakterystyki skokowe Podstawowe charakterystyki skokowe

obiektów statycznych obiektów statycznych

4. Obiekt inercyjny wyższego rzędu

Charakterystyka skokowa Transmitancja operatorowa

To – opóźnienie zastępcze, Tz - zastępcza stała czasowa

sT0

e

) 1

( ⋅

+

≅ ⋅

s T

s K G

z

u, (h)

Δu

y, (t_i)

τ

τ₀ τ

Δy

T₀ T_z

Przykłady charakterystyk dynamicznych Przykłady charakterystyk dynamicznych

obiektów cieplnych obiektów cieplnych

1. Obiekt proporcjonalny - odcinek przewodu z zaworem regulacyjnym oraz czujnikiem przepływu

Wielkością charakteryzującą proporcjonalny obiekt regulacji przepływu jest współczynnik wzmocnienia

V

u = h y = V

u

τ₀ τ

Δu

y

Δy = K·Δu

τ₀ τ



 





∆

= ∆

∆

= ∆

%

3 / h m

h V u

K y

2. Obiekt proporcjonalny z 2. Obiekt proporcjonalny z

opóźnieniem opóźnieniem

a. Przewód z mieszającym zaworem regulacyjnym oraz czujnikiem temperatury – równanie opisujące charakterystykę skokową:

y(τ) = K· u(τ – T

)

T

τ₀ τ

Δu u

u = h A

B

AB

T_t y

τ₀ τ

Δy = K·Δu

y = t_c

s T_t

e K )

s (

G = ⋅

2. Obiekt proporcjonalny z 2. Obiekt proporcjonalny z

opóźnieniem opóźnieniem

b.Taśmowy podajnik węgla

• Grubość warstwy paliwa y w odległości l od początku podajnika będzie równa

• grubości warstwy na początku podajnika u (K = = 1) po upływie czasu Tt =

v

l

u y

h

u y

∆

∆

v l

3. Obiekt inercyjny pierwszego rzędu 3. Obiekt inercyjny pierwszego rzędu

Podgrzewacz ciepłej wody z trójdrogowym zaworem regulacyjnym Równanie charakterystyki jako odpowiedź na wymuszenie skokowe:

lub w postaci transmitancji operatorowej:

T

Δu=Δh u

τ

y

τ Δy=K·Δu

τ₀ T τ₀

) 1

( ) ( )

( K u e ^T

y

τ τ

τ = ⋅ ⋅ − ⁻

1 s T ) K s (

G = ⋅ +

4. Obiekt inercyjny pierwszego rzędu z 4. Obiekt inercyjny pierwszego rzędu z

opóźnieniem opóźnieniem

Przewód z trójdrogowym zaworem regulacyjnym oraz czujnikiem temperatury w obudowie ochronnej

Transmitancja operatorowa obiektu inercyjnego pierwszego rzędu z opóźnieniem e^-Tts

1 s T ) K s (

G ^⋅

+

= ⋅

T

τ₀ τ

Δu u

u = h A

B

AB

T_t y

τ₀ τ

Δy = K·Δu

y = t_c

T

5. Obiekt inercyjny wy ższego rzędu.

5. Obiekt inercyjny wy ższego rzędu.

Kocioł z palnikiem, instalacją c.o., grzejnikiem oraz pomiarem temperatury w pomieszczeniu.

Charakterystyka obiektu składa się z: charakterystyki proporcjonalnej palnika, proporcjonalnej z opóźnieniem przewodów instalacji, inercyjnej pierwszego rzędu kotła, grzejnika i czujnika temperatury oraz inercyjnej pierwszego rzędu z opóźnieniem pomieszczenia

T0

τ₀ τ

Δy=K·Δu T_z

y

τ₀

Δu τ u

T

palnik kocioł przewody grzejnik pomieszczenie czujnik

u y

b

Obiekt inercyjny wyższego rzędu Obiekt inercyjny wyższego rzędu

• Zastępcza transmitancja obiektu inercyjnego wyższego rzędu zapisywana jest w postaci

lub

gdzie: Tz - zastępcza stała czasowa, To – opóźnienie zastępcze,

n – rząd inercyjności (n jest funkcją stałych czasowych).

s T - z

e

1 s

T ) K

s (

G

+

= ⋅

s T - n

e

) 1 s

T ( ) K s (

G

+

= ⋅

Obiekty inercyjne wyższego rzędu Obiekty inercyjne wyższego rzędu

• Charakterystyki skokowe obiektów regulacji o różnych rzędach inercyjności

T Tz2

Tz3

Tz4

T_z5 y

T₀₂ T03

T04

T05

n=0

n=1 n=2

n=3 n=4 n=5

τ

Przydatność znajomości charakterystyk Przydatność znajomości charakterystyk

dynamicznych obiektów regulacji dynamicznych obiektów regulacji

• Uzyskane z wykresów charakterystyk skokowych wartości stałych czasowych oraz opóźnień obiektów regulacji są wykorzystywane do:

• oceny stopnia trudności regulacji,

• doboru typu regulatora

• optymalizacji jego nastaw dynamicznych.

Stopień trudności regulacji obiektu Stopień trudności regulacji obiektu

Stopień trudności regulacji S w zależności od typu obiektu oblicza się:

• obiekty inercyjne pierwszego rzędu z opóźnieniem transportowym,

• obiekty inercyjne wyższego rzędu,

T S = T

0

T

S = T

Stopień trudności i regulacyjność Stopień trudności i regulacyjność

Stopień trudności i regulacyjność obiektów regulacji przy zastosowaniu regulatorów dwustanowych oraz regulatorów typu P

• Stopień trudności S Regulacyjność

≤ 0.1 dobra

≈ 0.2 zadowalająca

≥ 0.3 zła

Dobór typu regulatora Dobór typu regulatora

W zależności od wartości stopnia trudności S

obiektu regulacji zaleca się wybór następującego typu regulatora:

• S < 0,2 - regulator typu P lub dwustanowy,

• S = 0,2 do 0,3 - regulator typu PI, PD, PID,

• S > 0,3 - regulator PID, P-PI - kaskadowe połączenie regulatora P (regulator główny – np. w wentylacji: t

) oraz regulatora PI (regulator

pomocniczy – np. w wentylacji :t

).

Stopień trudności regulacji obiektu Stopień trudności regulacji obiektu

Stopień trudności regulacji obiektu można w sposób przybliżony określić także w zależności od stopnia jego inercyjności n:

Dane niezbędne w projektowaniu układów automatycznej regulacji uzyskiwane są najczęściej na podstawie badań eksperymentalnych.

Przybliżone wartości parametrów opisujących charakterystyki niektórych obiektów regulacji można znaleźć także w literaturze z zakresu automatyki.

10

− 1

= n

S

Przykładowe wartości stałych czasowych oraz stopnia trudności regulacji Przykładowe wartości stałych czasowych oraz stopnia trudności regulacji

Wielkość regulowana Opóźnienie

zastępcze T₀

Stopień trudności regulacji ⁰

Tz

S = T

Temperatura wody w kotle 1÷5 min 0,05÷0,15

Ciąg kominowy 1÷3s 0,3÷1

Temperatura wody za zaworem mieszającym 5÷20s 0,2÷0,5 Temperatura powietrza w pomieszczeniu 3÷5 min 0,1÷0,3 Temperatura ciepłej wody za wymiennikiem 5÷30 s 0,1÷0,8 Temperatura wody basenowej:

- zasilanie - powrót

10÷60 s 6÷8 h

0,1÷0,3 Temperatura na wyjściu z wymiennika c.o. 10÷60 s 0,1÷ 0,6 Temperatura powietrza za układem

przepustnic mieszających

1 s 0,3÷0,8

Temperatura powietrza nawiewanego 15 s ÷ 4 min O,2÷0,6 Temperatura powietrza w wentylowanym

pomieszczeniu

0,5÷3 min 0,1÷ 0,3 Temperatura powietrza wywiewanego 0,5÷ 3 min 0,2÷0,4 Wilgotność powietrza w pomieszczeniu 0,5÷ 3 min 0,2÷0,5

Strumień powietrza < 1 s 0,1÷ 0,5

Dobór typu regulatora Dobór typu regulatora

Tabela 2.4 Przybliżone parametry charakterystyki obiektu regulacji i zalecane typy regulatorów (S – zalecane, Sw – stosowane warunkowo, 0- nie stosowane) wg. [1], [3].

Wielkość regulowana Obiekt regulacji

Czas opóź- nienia

T₀

Zastę- pcza stała czasowa

T_z

Stopień trud- ności

regulacji

S

Zakres propor-

cjonal-

ności

X_h

Współ- czynnik wzmoc-

nienia K

Regulator

Dwustanowy P

I

PI

5 – 15 min

1 – 2,5 h

0,05–0,2 20 – 30 K

0,2 – 0,3 K/%

S S 0 Sw

10 – 20 s

30 – 60 s

0,2 –0,4 20 – 80 K

0,2 – 0,8 K/%

0 Sw Sw S

y

T Temperatura wewnętrzna

y T

Temperatura wody zasilającej

Dobór typu regulatora Dobór typu regulatora

0,5 – 2 min

10 – 30 min

0,05–0,2 30 – 60 K

0,3 – 0,6 K/%

S S 0 Sw

10 – 40 s

30 – 120 s

0,15-0,4 20 – 50 K

0,2 – 0,5 K/%

0 S Sw S

1 – 5 min

10 – 60 min

0,1 – 0,3 15 – 25 K

0,15-0,25 K/%

0 S 0 S

Temperatura ciepłej wody

T

y

T T

Temperatura nawiewu

y

Temperatura wywiewu

+

y T

Dobór typu regulatora Dobór typu regulatora

0,5 – 1,5 min

2 – 10 min

0,15-0,4 15 – 25 K

0,15-0,25 K/%

0 Sw 0 S

20 – 50 min

10 – 40 h

0,02-0,1 10 – 25 K

0,1-0,25 K/%

S S 0 0

+ - ^T y

Temperatura wody basenowej

y T Temperatura punktu rosy

Wniosek końcowy Wniosek końcowy

• Jak wynika z powyższej tabeli dla większości

obiektów regulacji w systemach ogrzewania i

klimatyzacji wartość stopnia trudności regulacji

mieści się w przedziale od 0,02 do 0,4. Dlatego

najczęściej do automatyzacji tych systemów są

stosowane regulatory typu PI, P oraz regulatory

dwustanowe.

KONIEC

KONIEC