Mieczysław Lubański
Zagadndenie istnienia w
matematyce, II
Studia Philosophiae Christianae 20/1, 147-154
walczących o teologię lepiej· zakorzenioną iw Piśm ie św. (np. Eraz ma) zniechęciły do m etody i trad y cji scholastycżnej. Przeiważa stop niowo historyczna konkretna teologia Opatrzności czyli wszechmocy bożej działającej jako potentia ordinata. Tylko człowiek n ad a je się do tego, by w jednej Osobie Logosu złączyć się z Bogiem, tw ierdzi Pico della M irandola idąc w ślad Tomasza z Akrwinu. T aki jest, moż na sądzić z ostatniego zdania omawianego tom u, kres piętnastoiwiecz- nych poszukiwań dróg dojścia do Boga.
MIECZYSŁAW LUBAŃSKI
ZAGADNIENIE ISTNIENIA W MATEMATYCE, II
W pierwszej części poświęconej sygnalizowanemu w ty tu le zagad nieniu 1 tło rozw ażań stanow iła algebra. Obecnie będzie 'nim geome tria. Weźmiemy pod uwagę te wypowiedzi z zakresu geometrii, w których jest mowa o istnieniu; będą nim i aksjom aty oraz tw ierdze nia. Przyjrzyjm y .się n ajp ierw aksjom atom geometrii, w których po stuluje się istnienie ipewnych obiektów, następnie twierdzeniom , w których explicite mówi się o istnieniu, wreszcie zwrócimy uwagę na twierdzenia m ówiące o .istnieniu im plicite. Zobaczymy co da się po wiedzieć na interesujący nas tem at n a podstaw ie analizy w ym ienio nych sform ułowań w ystępujących w geometrii.
Z 'metodologicznego punktu widzenia aksjom aty stanow ią fu n d a ment teorii. Z te j .racji wystarczyłoby w zasadzie ograniczyć się do nich. Jednakże analiza dowodów tw ierdzeń, w których jest mowa o istnieniu pew nych obiektów, w ydaje się prowadzić do in teresu ją cych winiosików; toteż nie będzie rzeczą niecelową zajęcie się także twierdzeniami geometrii.
Istnieje wiele m onografii poświęconych w ykładow i geometrii. Za podstawę analiz weźmiemy głównie jedną z nowszych książek z te j dziedziny2. W razie potrzeby skorzystam y również z innych pozycji. W rozważaniach ograniczym y się do geometrii absolutnej. Pom ijam y geometrię rzutow ą, gdyż z interesującego nas punktu widzenia aksjo- matyka te j ostatniej nie wnosi niczego istotnie nowego w porów na niu do alksjomatyki geom etrii absolutnej. W skazane natom iast bę dzie dopełnienie .analiz uw agą w odniesieniu dio geom etrii euklide- sowej oraz geom etrii Bolyai-Łobaezewstoiego.
Zamiennie posługujem y się :zwratami: „punkt p leży n a p ro stej L” oraz „prosta L przechodzi przez p u n k t p ”, jak rów nież: ,,punkt p leży na płaszczyźnie P ” oraz „płaszozyzna P przechodzi przez punkt p ”. Podobnie postępujem y w przypadku w iększej liczby .punktów.
Trzy .punkty przestrzeni nazyw a się współlimowymji, jeżeli istnie je prosta .przez nie przechodząca; podobnie cztery p u n k ty zw ie się współpłaszczyznowymi, jeżeli istnieje płaszczyzna przez nie przecho dząca. W .przypadku przeciwnym tró jk a punktów nazyw a się nde- współliniową, zaś czwórka punktów — niewspółpłaszczyznową.
1 Studia Philosophiae C hristianae 19 (1983) 2.
2 К. Borsuk li W. Szmielew, P odstaw y geometrii, W ydanie nowe, Warszawa 1970. Pozycję tę będziemy kró tk o oznaczać sym bolem PG.
Przypom nijm y n ajpierw pojęcia pierw otne gometrii. Są nim i p u n k ty, proste, płaszczyzny oraz dwie relacje zachodzące między p u n k ta m i Zbiór punktów zwie się zwykle przestrzenią; oznaczać ją będziemy lite rą S. P roste oraz płaszczyzny są podzbiorami przestrzeni S; ozna czać je będziemy, odpowiednio, literam i L oraz P. W spomnianymi re lacjam i są tirójargum entowa relacja „leżenia m iędzy” oraz cztęno- argum entow a re lacja „rów nej odległości”.
Przejdziem y obecnie do analizy aksjom atów geom etrii absolutnej. Rozpoczniemy od aksjom atów incydencji. Uczynimy to w dw u etapach, w yróżniając aksjom aty geom etrii płaskiej oraz geom etrii przestrzen nej. P rzyjm uje się cztery aksjom aty incydencji geom etrii p ła s k ie j3. Można im nadać następującą postać:
(1) Dla dowolnej prostej istnieją dwa różne p u n kty, które na niej
leżą.
(2) Dla dowolnych dum p u n któ w istnieje co najm niej jedna prosta,
która przez nie przechodzi.
(3) Jeżeli dane są dwa różne p u n k ty, to istnieje co n ajw yżej jedna
prosta, która przez nie przechodzi.
(4) Dla dowolnej płaszczyzny istnieją trzy niewspólliniowe p u n kty,
które na niej leżą.
A ksjom aty te w sposób wyraźmy imówią o istnieniu pew nych p u n k tów i pew nych prostych. Ponieważ interesuje mas znaczenie term inu ^istnieć”, przeto dokonamy przeredagow ania aksjom atów , aby móc ła t w iej w niknąć w treść rozważanego term inu. Powyższym aksjom atom można nadać postać okresu w arunkowego. Przypuśćm y, że nowa re dakcja ona postać następującą:
(1') Jeżeli dana jest dowolna prosta, to istnieją na niej dwa różne
punkty.
(2') Jeżeli dane są dw a p u n kty , to istnieje co najm niej jedna pro
sta przez nie przechodząca.
(3') Jeżeli dane są dwa różne p u n kty, to istnieje co n a jw yżej jedna
prosta przez nie przechodząca.
<4') Jeżeli dana jest dowolna płaszczyzna, to istnieją na niej trzy
niewspólliniowe p u nkty.
P rzyjm ując powyższą red ak cję aksjom atów zauw ażam y natychm iast, że aksjom aty wychodzą z założenia, że d an e są pewne obiekty, m ia nowicie, że dan a jest prosta, dane są punkty, dana jest płaszczyzna. P rz y w ym ienionym założeniu orzekają one o istnieniu punktów , pro stych, w zględnie prostej. Ale co to znaczy, że dana jest prosta, że dan a jest płaszczyzna, że dan e są punkty? Znaczy to nic innego, jak tylko to, że istn ieje prosta, że istnieje płaszczyzna, że istnieją pew ne punkty. A iwięc aksjom aty powyższe orzekają o istnieniu pewnych obiektów pod w arunkiem przyjęcia istnienia innych obiektów. Aksjo m aty te mogą więc zostać nazw ane relatyw nym i aksjom atam i istnie
nia.
Rozważymy te ra z aksjom aty incydencji geom etrii p rzestrzen n ej4. By w a ją one form ułow ane następująco:
(5) Dla trzech dowolnych p unktów istnie je co najm niej jedna płasz
czyzna przez nie przechodząca.
* PG 23—29. « PG 29.
(6) Jeżeli dane są trzy p u n k ty niewspółliniowe, to istnieje co n a j
wyżej jedna płaszczyzna przez nie przechodząca.
(7) Dla dowolnej prostej i dla dow olnej płaszczyzny, jeśli istnieją
dwa różne p u n k ty leżące zarówno na danej prostej i danej płaszczyź nie, to dana prosta leży na danej płaszczyźnie.
(8) Dla dowolnych dw u płaszczyzn, jeżeli istnieje p u n k t leżący jed
nocześnie na jednej i drugiej płaszczyźnie, to istnieje in n y p u n k t róż n y od tamtego, któ ry także leży na obu płaszczyznach jednocześnie.
i(9) Istnieją cztery niewspółpłaszczyznowe punkty.
Pierwsze cztery aksjom aty d a ją się przeredagow ać do postaci ok resu warunkowego (ściśle biorąc w ystarczy to uczynić tylko w odnie sieniu do trzech z nich, bowiem aksjom at (6) już ta k ą postać posia da). Przyjm ijm y, że w spom niana re d ak cja przedstaw ia się n astęp u ją co:
(5') Jeżeli dane są trzy dowolne p u n kty , to istnieje co najm niej
jedna płaszczyzna przez nie przechodząca.
<6') = (6)
(7') Jeżeli dana jest dowolna prosta i dana jest dowolna płaszczyzna
i jeżeli istnieją dw a różne p u n k ty leżące zarówno na danej prostej i danej płaszczyźnie, to dana prosta leży na danej płaszczyźnie.
(8') Jeżeli dane są dw ie dowolne płaszczyzny i jeżeli istnieje p u n kt
leżący na obu płaszczyznach jednocześnie, to istnieje ta kże drugi p u n kt różny od pierwszego, k tó ry ta kże leży na obu płaszczyznach jedno cześnie.
W odniesieniu do aksjom atu (9) mowa re d ak cja jest dbędna.
Aksjomaty (S'), (6'), i (8') głoszą istnienie pew nych tw orów geome trycznych pod w arunkiem istnienia innych tw orów . Aksjom at (7') orzeka o re la c ji zachodzącej m iędzy prostą i płaszczyzną w przypadku istnienia na pro stej i n a płaszczyźnie dwu p unktów w spólnych. Aksjo m at ten, z interesującego nas p u n k tu widzenia, nie w nosi nic nowego do meritum spraw y. Toteż zostanie pom inięty w daiszych rozważaniach. Aksjomaty (5'). (6') i (8') mogą zostać nazw ane, podobnie jak cztery aksjomaty incydemcji dla geom etrii płaskiej, relatyw nym i aksjom atam i istnienia.
Aksjomat (9) jest, pod rozważanym wzgledem. odmienny od pozos tałych aksjom atów . Orzeka w prost istnienie czterech niewspółpłasz- czvzoowych 'Punktów. Głosi więc n ie tylko, że istnieją czterv różne punkty, a le iż punkty te nie leża w jednej 'Płaszczyźnie. M a m v tu wiec dm czynienia zarówno ze stw ierdzeniem istnienia czterech nun- k ń w . iak też orzeczeniem new nej w łasności im przysługującej. Aksjo mat, ten może w iec zostać nazw any bezw zględnym a k s j o m a t e m ist- wionin.
widzieliśmy orzed chwila, że nie w szystkie aksiom atv in'wdn-'cji geometrii przestrzennej sa wypowiedziam i o istnieniu pewnych obie któw geometrycznych. Podobna sytuacja zachodzi w odniesieniu do drugiej grupy aksjom atów , m ianowicie aksjom atów uporządkow ania. Mówiąc nieco dokładniej dwa tvliko aksjom aty uporzadteowandia po stulują istnienie pew nych obiektów geom etrycznych. Należą one do grupy tzw. liniowych aksjom atów uporządkow ania. Mogą one zostać sformułowane następująco 5:
(10) Jeżeli p u n k ty a oraz b są różne, to istnieje p u n k t с taki, że
<ΓΪ) Jeżeli p u n k ty a oraz b są różne, to istnieje p u n k t с leżący m ię
d zy p unktam i a oraz b.
A ksjom aty powyższe w yraźnie stw ierdzają, przy założeniu istnienia dwu różnych punktów , istnienie dalszego, trzeciego pumiktu posiada jącego określoną własność. Pirzy .postulowanym tu istnieniu m am y do czynienia z pewnego rodzaju jednorodnością. Chodzi m ianow icie o to, że wspom niane postulow anie odnosi się do te j sam ej kategorii tw o rów geometrycznych, do punktów . We wcześniejszych ośmiu aksjom a tach m ieliśm y do czynienia ze związkam i między tw oram i geometrycz nym i należącym i do różnych kategorii; były to punkty, proste, płasz czyzny.
Sform ułow anie aksjom atów (10) i (11) sugeruje, że mogą one zo stać .nazwane relatyw nym i aksjom atam i istnienia. Trzeba jednakże zwrócić uw agę n a to, że relatyw ność tych aksjom atów n ie jest iden tyczna z relatyw nością wcześniej rozważanych .aksjomatów. P rzyjm u jąc dziewięć pierwszych aksjom atów nie jesteśm y zm uszeni wyjść poza postulow ane w pew niku (9) istnienie czterech punktów niew spół- płaszczyznowych. Te cztery punkty niewspółpłaszczyzruowe można in terpretow ać jako cztery dowolne przedm ioty i nazywać je punktam i, każdą p arę tych przedm iotów — prostą, każdą .trójkę — płaszczyzną. Zauważymy bez trudności, że przy zaproponow anej tu in terp retacji dzie więć .pierwszych aksjom atów będzie spełnionych. Gdy idzie zaś o a k sjom aty (10) ii (11), to w ym agają one poszerzenia, nazw ijm y je, ontycz nego tw orów geom etrycznych. Przyjęcie tych aksjom atów powoduje, że ilość p unktów przestrzeni S w zrasta inieograndczenie. Każde zastoso w anie aksjom atu (10) i aksjom atu (11) do dw u różnych puiniktów po większa o jeden .punkt ilość (punktów już istniejących na prostej w y znaczonej przez dw a wzdęte początkowo punkty. Przeto w śród ak sjo m atów relatyw nych istnienia należy wyróżnić dw ie grupy: relatyw ne
aksjom aty istnienia w znaczeniu słabym oraz relatyw ne aksjom aty istnienia w znaczeniu m ocnym . Do tych ostatnich Zaliczymy aksjom a
ty (10) i /11), pozostałe natom iast aksjom aty — do relatyw nych aksjo m atów w znaczeniu słabym.
Uzasadnieniem dokonanego przed chw ilą w yróżnienia dwu rodza jów relatyw nych aksjom atów istnienia mogą służyć tw ierdzenia o ist nieniu. Jeżeli w nioskujem y wychodząc jedynie z .dziewięciu pierwszych aksjom atów , to dają się udowodnić następujące tw ierdzenia ·:
(Tl) Dla dowolnego p u n k tu p leżącego na prostej L istnieje różny
od niego p u n k t q również leżący na prostej L.
(T2) Dla dow olnych dw u różnych p unktów p oraz q leżących na
płaszczyźnie P istnieje niew spółliniow y z nim i p u n k t r rów nież leżący na płaszczyźnie P.
(T3) Dla dowolnych trzech niew spólliniow ych p u n któ w p, ą oraz r
istnieje niew spółpłaszczyznow y z nim i p u n k t s.
Tw ierdzenia te będą spełnione w podanej nieco wyżej in terp retacji, a w ięc przez układ dowolnych czterech .przedmiotów, iktóre izwać bę dziemy .punktami niewspółpłaszczyznowymii, iza.ś .przez iprostą, w zględ nie płaszczyznę, rozum ieć się będzie .parę, względnie trójkę, danych przedmiotów.
Jeżeli natom iast dołączymy liniow e .aksjomaty uporządkow ania, to
można udowodnić zachodzenie następującego tw ie rd z e n ia T:
• PG 31. 7 PG 34.
(T4) Odcinek prostej je st zbiorem nieskończonym , czyli zaw iera nie skończenie w icie punktów.·
Analogiczne tw ierdzenie zachodzi d la prostej, płaszczyzny i całej przestrzeni S. Przyjęcie zaitem aksjom atów i(10) oraz (11), gdyż one to interw eniują przy dowodzie tw ierdzenia (T4) i jego analogonów dla prostej, płaszczyzny oraz całej przestrzeni S spośród liniowych aksjo matów uporządkow ania, w spoisób widoczny poszerza moc zbioru pu n k tów przestrzeni. Układ czterech punktów niewspółpłaszczyznowych nie będzie w ty m przypadku stanow ił in te rp re ta c ji idla w szystkich aksjo matów łącznie, a więc izarówmo dla aksjom atów incydencji, jak i aksjo matów uporządkow ania. Mamy tu przeto do czynienia ze zwiększeniem miocy zbioru S w porów naniu do m ocy tegoż zbioru w przypadku za kładania tylko aksjom atów incydencji.
Trzecia grupa aksjom atów, zw ana aksjom atam i przystaw ania, poda je związki zachodzące w odniesieniu do odległości między różnym i punktami. Dwa spośród w spom nianej grupy postulują istnienie w od- sieniu do punktów . Można je wypowiedzieć n a stę p u ją c o 8:
(12) Dla dowolnej półprostej A o początku w punkcie a i dla do
wolnego odcinka pą istnieje dokładnie jeden p u n k t b leżący na pół prostej A taki, że odcinek ab je st przystający do odcinka pą.
(13) Niech dana będzie półpłaszczyzna W o brzegu K, odcinek ab po
łożony w К oraz tró jką t pąr. Jeżełi odcinki ab oraz pą przystają do siebie, to wówczas istnieje dokładnie jeden p u n k t с łeżący w pół- płaszczyźnie W taki, że odcinek ac przystaje do odcinka pr oraz od cinek be przystaje do odcinka ąr.
Nie będziemy przeredagowywać tych laksjomatów, aby otrzym ać w y raźną postać im plikacyjną. Bez w iększej trudności widać, że aksjom a ty te należy zaliczyć do relatyw nych aksjom atów istnienia W znaczeniu mocnym. Postulują bowiem istnienie nowych punktów w skazując za razem na stru k tu rę przestrzeni S. Można powiedzieć, że mówią one o ' pewnego rodzaju jednorodności przestrzeni, pozw alają bowiem do konywać przesunięć przy zachowaniu przystaw ania odnośnych odcin ków do siebie.
Do ostatniej, czw artej grupy aksjom atów należy tylko jeden aksjo mat izwany aksjom atem •ciągłości. Może on być w ypowiedziany nas tępująco
(14)Nieeh dane będą dwa niepuste zbiory p u n któ w X oraz Y. Jeżeli
istnieje p u n k t a taki, że z przynależności p u n ktu p do zbioru X oraz przynależności p u n k tu ą do zbioru Y w ynika, że p u n k t p leży m iędzy punktami a oraz ą, to istnieje p u n k t b taki, że z przynależności p u n ktu p do zbioru X —b oraz przynależności p u n ktu ą do zbioru Y —b w y nika, że p u n kt b leży m iędzy p u n kta m i p oraz q.
Aksjomat ten, jak nie tru d n o zauważyć, należy zaliczyć do re la tywnych aksjom atów istnienia w znaczeniu mocnym. Jego konsekw en cją jest przyjęcie istnienia nowych, dalszych punktów w przestrzeni S, podobnie jalk to m a m iejsce w czterech ostatnich aksjom atach, w raz z nadaniem przestrzeni S .struktury spójnej.
Korzystając z aksjom atu ciągłości można wykazać, ż e 10:
» PG 81. ■ '
* PG 140. Bor. także: D. H ilbert i S. Cohn-Vossem, Geometria poglą
dowa, Warszawa 1956, 220, gdzie zn ajduje się bardziej intuicyjnie u ję
t y aksjomat ciągłości. i" PG 141.
(T5) K ażdy odcinek jest zbiorem spójnym .
Do chw ili obecnej rozważyliśm y aksjom aty geom etrii absolutnej po stulujące istnienie pewnych obiektów geometrycznych. Wyróżndliśrny w śród nich jeden aksjom at bezwzględny oraz szereg relatyw nych ak sjo m atów istnienia. W śród tych ostatnich odróżniliśm y dw ie jeszcze g ru py: relaty w n e aksjom aty w znaczeniu słabym oraz relaty w n e aksjom a ty w znaczeniu mocnym. N adto podaliśm y M ika prostych tw ierdzeń będących konsekw encjam i pew nych 'grup aksjom atów . Twierdzenia (Tl), <(T2) oraz (T3) dowodzi się na podstawie aksjom atów incydencji. Aczkolwiek tw ierdzenia te m ówią o isltndjeniu, to rzecz ściśle biorąc nie m ówią one niczego więcej niż aksjom aty incydencji. Nie w ym aga ją w iększej liczby punktów od 4 d la sw ej prawdziwości. Można je nazwać słabym i tw ierdzeniam i o istnieniu. T w ierdzenia (T4) oraz (T5), w odróżnieniu -od poprzednich, mogą zostać nazw ane m ocnym i tw ie r dzeniam i o istnieniu. Nic w tym dziwnego. Ich dowody w spierają się na relatyw nych aksjom atach istnienia w znaczeniu mocnym. A ksjom aty te, jak sygnalizowaliśm y, postulują powiększenie liczby elem entów przestrzeni S, jak też u stan aw iają pew ną stru k tu rę przestrzeni.
Zanotujm y jeszcze k ilk a tw ierdzeń orzekających istnienie pewnych obiektów geometrycznych. Tw ierdzenia te tra k tu je m y jako ilustrację wypowiedzi geometrycznych o istnieniu. Poprzestajem y n a sform uło w aniach podręcznikowych. Nie będziemy ich przeredagowywać tak, aby zawsze m iały ta k ą postać, w k tó rej term in „istnieje” w ystępowałby explicite. W ydaje się to zbędne, gdyż sform ułow ania -podręcznikowe są dostatecznie w yraźne. Oto prostsze ze w spom nianych tw ie rd z e ń 11:
(T6) Dowolny odcinek ma dokładnie jeden środek. (T7) Dowolny kąt ma dokładnie jedną dwusieczną.
(T9) Dana jest płaszczyzna P i p u n k t a. Istnieje dokładnie jedna
prosta К przechodząca przez p u n k t a i prostopadła do płaszczyzny P.
(T10) Przestrzeń S jest m ocy continuum
Analiza dowodów tw ierdzeń o istnieniu (zacytowanych wyżej, jak również w szystkich innych, w ystępujących w w ykładzie geometrii) poz w ala sform ułow ać wniosek następujący. Istnieć w geometrii znaczy
bądź w skazyw ać obiekt o określonej własności, bądź też postulować istnienie obiektu o danej własności. Pryncypialnie odnosi się to do
punktów. Dysponując -dostatecznie obszernym zbiorem pu-nktów moż na wyróżniać -podzbiory o pewnych, niesprzeoznych własnościach. Każ da figura geometryczna przecież to nic innego, jak określony zbiór punktów . Spełnia on pewne w arunki i tylko on te W arunki spełnia. Należy dodać, że w geom etrii nic się nie mówi -co znaczy istnieć, a w ięc -co znaczy, że istn ieje p unkt, prosta, czy też dowolna jakaś figura. Rozważanie „natury” istnienia jest problem em pozageometrycz- ny-m.
Dla uniknięcia ew entualnego nieporozumiemia dodajm y, ze zwrot „wskazywać obiekt o określonej w łasności” należy rozumieć możliwie szeroko. W spomniane „Wskazywanie” może -polegać (i zw ykle ta k bv- wa) na w ykonaniu szeregu konstrukcji dozwolonych na -podstawie przyjętych aksjom atów i prow adzących -do rozważanego obiektu.
W geom etrii absolutnej definiuje -się prostokąt jako płaski czwo
rokąt abed. któreao w szystkie k ą ty sa p ro ste 1!. Można także w yka
zać. że zachodzą następujące tw ierdzenia: 11 PG 93. 94, 116, 126, 174.
(Tli) Jeżeli czw orokąt abcd jest prostokątem , to bok ab przystaje
do boku cd.
(T12) Jeżeli czw orokąt abcd jest prostokątem , zaś p u n k ty e oraz
f spełniają w arunki:
a) punkt d leży m iędzy p u n k ta m i a oraz e,
b) punkt с leży m iędzy p u n kta m i b oraz f,
c) odcinek ad przystaje do odcinka ed, d) odcinek be przystaje do odcinka je,
to czworokąt efed je st także prostokątem .
Zwróćmy uw agę na to, że powyższe tw ierdzenia nie pociągają za sobą istnienia prostokąta. W geom etrii absolutnej można mówić ty l ko o pojęciu prostokąta, a tak że dowodzić pewinych w łasności jemu przysługujących. Nie można natom iast w ykazać istnienia prostokąta.
Przypuśćmy teraiz, że przyjęliśm y jeden jeszcze dalszy aksjom at n a stępującej tr e ś c i13:
(15) Dla dow olnej płaszczyzny P, dow olnej prostej L położonej w
płaszczyźnie P oraz dowolnego p u n k tu a leżącego w P -L istnieje co najwyżej jedna prosta К położona w płaszczyźnie P przechodząca przez punkt a oraz rozłączna z prostą L.
Teoria o p arta n a w szystkich aksjom atach geom etrii absolutnej oraz na aksjomacie i(15) izwie się geom etrią euklddesową.
Okazuje się, że w geom etrii eulklidesowej można w ykazać istnienie prostokąta. Oo w ięcej, teza „istnieje p ro sto k ąt” jest rów now ażna aksjo matowi (15). Je st to fak t dobrze znany. Sygnalizuje on konieczność odróżniania posiadania jakiegoś pojęcia od zagadnienia istnienia jego desygnafeu (w rozw ażanej dziedzinie). Innym i słowy sygnalizuje po trzebę odróżnienia syntaktyfci oraz sem antyki.
Z powyższych uw ag w ydaje się płynąć w niosek głoszący, że aksjo m at (15) może zostać nazw any aksjom atem istnienia w odniesieniu do struktury przestrzeni. A ksjom at te n n ie zwiększa ilości punktów , k tó re zawiera przestrzeń geom etryczna, orzeka natom iast o jej stru k tu rze głosząc, za pośrednictw em w niosku zeń płynącego, (istnienie w prze strzeni prostokątów.
Rozważmy jeszcze zdanie n a stę p u ją c e 14:
(16) Dla pew nej płaszczyzny P, pew nej prostej L położonej w pła
szczyźnie P oraz pewnego p u n ktu a leżącego w P -L istnieją co n a j mniej dwie różne proste J oraz К położone w płaszczyźnie ‘P przecho dzące przez p u n k t a oraz rozłączne z prostą L.
Jeżeli do aksjom atów geom etrii absolutnej dołączymy zdanie (16) jako row y aksjom at, to otrzym am y afcsjomatykę geom etrii Bolyai- -Łobaczewslriego. W geom etrii te j zachodzi następujące tw ierdzenie:
(T13) Żaden czworokąt nie jest prostokątem .
Innymi słowy w geom etrii В ol yai-Łobaczewskiego można wykazać, że prostokąty n ie istnieją. W ydaje się, że fak t te n jest interesujący metodologicznie. Możliwe isą tw ierdzenia o nieistnieniu.
Aksjomatowi (16) można przypisać te n sam charakter, oo aksjom a tow i (15). Może on być nazw any aksjom atem istnienia w odniesieniu do struktury przestrzeni.
Zauważmy jeszcze, że zdania (15) oraz (16) w ykluczają się w za jemnie. Każde z nich jest zaprzeczeniem drugiego. Toteż niic
dzlwne-13 PG 180. 14 Tamże.
go, że w odniesieniu · dio zagadnienia istnienia prostokąta geom etria eruklidesową oraz geom etria Bolyai-Łobaczewskiego dają prizediwne względem isiehie rozwiązania.
Jest rzeczą dobrze znaną, że w geom etrii euklidesow ej dowolny odcinek można m ierzyć przy pomocy każdego innego odcinka. Innym i słowy w geom etrii euklidesowej nie istnieje w yróżniona n atu raln a jed nostka długości. Za jednostkę długości można przyjąć dowolny od cinek.
W arto w tym m iejscu przypomnieć, że sytuacja ta inaczej w yglą da w geom etrii Bolyai-Łobaczewskiego. T u taj istnieje n atu ra ln a je dnostka d ługości15. Faikt te n [wydaje się być interesujący zarówno od strony m erytorycznej, jak też metodologicznej oraz filozoficznej.
Podsum ujm y: przeprow adzona przez nas analiza aksjom atów (oraz tw ierdzeń) geom etrii zarówno absolutnej, jak również euklidesowej i Bolyai-Łobaczewskiego, pozwoliła wyróżnić absolutne aksjom aty ist nienia oiraz relatyw ne aksjom aty istnienia; w śród tych ostatnich moż na mówić o relatyw nych aksjom atach istnienia w znaczeniu słabym oraz w znaczeniu mocnym; nadto w skazane okazuje się w yróżnie nie jeszcze aksjom atów istnienia odnośnie do istiruiktury przestrzeni. Dodajmy, że żaden aksjom at nie orzeka nic odnośnie do „natury” istnienia. Zakłada się istnienie pewnych obiektów bez wchodzenia w to, oo ten term in oznacza. N ajbardziej jest to widoczne w stosunku do punktów , a więc, nazw ijm y to tak, elemenów bazowych rozważanej przestrzeni.
KAZIMIERZ SZAŁATA
RECEPCJA ARYSTOTELESA W KULTURZE EUROPEJSKIEJ JAKO WSTĘP DO ARYSTOTELIZMU POLSKIEGO ODRODZENIA WEDŁUG
WIKTORA W ĄSIKA
Wstęp, 1. Koncepcja historii filozofii stosowana przez W. W ąsika w b a daniach nad dziejam i arystotelizm u, 2. Dzieje tekstów Arystotelesa. Przekłady, 3. Twórczość kom entatorów , H istoria Problematów, 4. Za kończenie.
WSTĘP
Filozofia, jako nauka staw iająca sobie iza cel poznanie realnej rze czywistości, jest podstawową dziedziną k u ltu ry rozum ianej, jako zes pół dzieł d dziedzin ludzkiego m yślenia utrw alonego w wytw orach, do których należą m iędzy innym i teorie naukowe. Stąd w badaniach nad k u ltu rą um ysłow ą różnych epok w ażne m iejsce zajm uje historia fi lozofii. Być może dlatego w łaśnie autor, którego poglądam i zam ierza my się zająć — W iktor Wąsik i interesując się różnym i dziedzinami
« PG 242.
1 W iktor Wąsik urodził się 23 grudnia 1883 roku w Warszawie. Studiow ał na U niw ersytecie W arszawskim oraz w Wiedniu i K rako wie, gdzie n a podstaw ie rozpraw y pisanej pod kierunkiem S tefana Pawlickiego Kategorie A rystotelesa pod w zględem historycznym i
