S. St r a s z e w ic z (Warszawa)
O podstawowych twierdzeniach trygonometrii Łobaczewskiego
Znane są różne sposoby uzasadnienia wzorów trygonometrii hiper- bolicznej. Jak wiadomo, Łobaczewski otrzymał te wzory rozważając geometrię na horysferze. Pierwszy dowód planimetryczny podał L. Gó- rard w swej tezie doktorskiej [2]. Opierając się na kilku lematach o trój
kątach i czworokątach płaszczyzny hiperbolicznej Górard uzyskuje twier
dzenie, że w trójprostokącie (tj. w czworokącie o trzech kątach prostych), którego jeden z boków przyprostokątnych ma stałą długość a, boki zaś przyległe dążą do zera, stosunek większego z tych boków do mniejszego dąży do cosh (a/h), gdzie stała h zależy od jednostki długości. Następnie uzasadnia związek cosh {a/h) — cosh (b/Ji) cosh (e/h) między bokami trój
kąta prostokątnego i na nim opiera dalsze rozwinięcie trygonometrii.
Praca Górarda jest elementarna, rozumowania są jednak długie i zawiłe.
H. Liebmann ([3] i [4]) dał dowód, w którym się najpierw wyznacza funk
cję Łobaczewskiego л(х) z rozważania łuków horycyklu, przy czym jed
nak pominięta jest kwestia przyjętego przez autora istnienia miary addy- tywnej tych łuków(x). Dwa inne dowody ogłosili W. H. Young [6] i O.
Perron [5]. W dowodzie Younga (korzystającym z niektórych lematów Gó
rarda) wykazuje się najpierw, że w trójkącie prostokątnym, o stałym kącie
a i bokach dążących do zera, stosunki boków dążą do funkcji trygonome
trycznych kąta a. Zarówno ten dowód, jak dalsze rozważania są dość skom
plikowane, autor posługuje się w szerszym zakresie aparatem analizy oraz twierdzeniami dotyczącymi długości łuków okręgów płaszczyzny hiperbolicznej, a dowody tych twierdzeń są żmudne. Znacznie prostsza jest praca Perrona, który obiera ten sam punkt wyjścia co Young, ale nie wprowadza okręgu i korzysta z elementarnych tylko twierdzeń o pochodnych Diniego. Zakładając istnienie kąta równoległości autor dowodzi twierdzenie Younga o funkcjach trygonometrycznych kąta,
P) Po oddaniu pracy niniejszej do druku ukazała się książka K. Borsuka i W. Szmielew [1], w której wyznaczenie funkcji я(х) oparto na precyzyjnej teorii horycyklu z zastosowaniem pojęcia defektu figury płaskiej.
270 S. S t r a s z e wi e z
następnie wyznacza funkcję n(x) i stąd otrzymuje związki trygonometrycz- ryczne.
Przedstawienie w niniejszej pracy jeszcze jednego sposobu ugrunto
wania trygonometrii hiperbolicznej wydaje się usprawiedliwione prostotą i naturalnością dowodów podstawowych twierdzeń, a także układu i do
wodów lematów (2).
Podstawa aksjornatyczna jest tu ta sama, co u Górarda, a węższa niż u pozostałych wymienionych autorów. Korzysta się z twierdzeń pla
nimetrii wynikających z aksjomatów grup Ij_3, II i III układu Hilberta i z aksjomatu Archimedesa oraz przyjmuje się aksjomat, że suma kątów trójkąta jest mniejsza od dwóch kątów prostych. Kie zakłada się natomiast pewnika Dedekinda ani istnienia kąta równoległości, tj. istnienia prostych równoległych w znaczeniu Łobaczewskiego.
1. Kilka własności trójprostokąta i trójkąta prostokątnego
1. Jeżeli w czworokącie ABGD kąty A, B, G są proste, wobec czego kąt D jest ostry (taki czworokąt nazywać będziemy trójprostokątem), to
( 1) A B < GB.
D ow ód . Na półprostej GD odmierzmy GE — BA. Czworokąt ABGE jest symetryczny względem symetralnej odcinka BG, zatem jego kąty przy wierzchołkach A i E są równe, wobec czego kąty te są ostre. Stąd wynika, że półprosta A E leży wewnątrz kąta BA D , więc punkt E leży wewnątrz odcinka GD i zachodzi nierówność (1).
2. №ech ABGD będzie trójprostokątem '(D — kąt osti^y), EG prosto
padłą do AB wystawioną w punkcie wewnętrznym E odcinka AB i prze
cinającą odcinek GD w punkcie G, wreszcie DF prostopadłą opuszczoną z punktu D na prostą EG. Ponieważ kąt EGG jest ostry, przeto punkt F leży na przedłużeniu odcinka EG.
Dowiedziemy, że
(2) DF/AE > DG/AB.
D ow ód. a. Bozpatrzmy najpierw przypadek, gdy A E = EB. Na półprostej BC odmierzmy BD' = AD-, otrzymamy czworokąt FEBD' symetryczny do F E A D względem prostej EF, punkty D, F i D' są zatem współliniowe i DF = FD'. Ponieważ DD' > DG, więc
DF/AE = DD'IAB > DG/AB.
(2) Porównaj pracę S. Straszewicza [7], w której ta sama metoda jest przed
stawiona wtnieco innym ujęciu.
O p o d s ta w o w y c h tw ie r d z e n ia c h tr y g o n o m e tr i i Ł o b a c z e w s k ie g o 271
b. Niech E x będzie punktem wewnętrznym odcinka AB, E 2 punktem odcinka FXB różnym od E x, a E 3 — środkiem odcinka E XE 2 (rys. 1).
Weźmy pod uwagę trójprostokąty A E XF XI), A E 2F 2D, A E 3F 3D o kątach ostrych w T). Wykażemy, że jeżeli
(3) DFXIAEX > DF2jA E 2,
to
(4) DF3IAE3 > R F 2IAE2.
Istotnie, odcinek D F 3 przecina odcinek EXF X w punkcie Gx, gdyż kąt E XGXI) jest rozwarty; przedłużenie
odcinka I)F 3 przecina przedłużenie odcinka E2F 2 w punkcie. G2 syme
trycznym do punktu Gx względem prostej E 3F 3, przy czym DFX < DGX, a D F 2 < DG2. W takim razie uwzglę
dniając (3) mamy
DF3 _ DGxĄ-DG2 DFxĄ D F t A E3 A ExA~AE2 A ExA~AE2
d f2
> AE, ’ tj. zachodzi nierówność (4).
c. Z przesłanek a i b wynika przez indukcję nierówność (2 ) dla przypadku gdy А Е = (Tcl2n)A B , gdzie n i Tc < 2n są liczbami naturalnymi.
Istotnie, gdy A E = (1/2n)A B , nierówność (2) wynika bezpośrednio z a. Przypuśćmy, że dla pewnego n nierówność (2) jest prawdziwa, gdy AE = (k!2n)A B i T c< 2 n. Niech AE = (Tcl2n+1)A B , gdzie Tc < 2n+1.
Jeśli Tc < 2n, to AE = ^(Jc/2n)A B i nierówność (2) jest prawdziwa na mocy a; jeśli zaś Tc > 2n, to AE = -|(l +{Тс—2n)l2n)A B i nierówność (2) zachodzi na mocy b.
d. W przypadku ogólnym istnieje takie naturalne n0, że A E > AB/2n°.
Niech n będzie liczbą naturalną > nQ, wówczas istnieje takie naturalne Tc, że
Tc /c+1
r AB < A E ^ - ^ - A B .
Odmierzmy na odcinku A E odcinek AE' = (Tc/2n)AB i niech A E'F'D będzie trójprostokątem o kącie ostrym w Z); odcinek DF prze-
272 ft. S t r a s z e w i c z
cina prostą E'F', wobec czego D F > D F '. Zatem
AE A E '+ E 'E ^ AE' AB ^ AB AB D F = DF ! ) ¥ ' + 2nDF K DC + 2nB F '
Nierówność powyższa zachodzi dla każdego naturalnego n > n0, więc
'D FjAE > DC/AB.
Aby wykazać, że zachodzi nierówność ostra (2), obierzmy między punktami E i В punkt E " w ten sposób, że A E " = (kx/2ni)AB (nx i kx — liczby naturalne) i niech A E "F "D będzie trójprostokątem o kącie ostrym w D. W myśl nierówności powyżej udowodnionej DF/AE > D F " /АЕ", a że według c jest D F " /АЕ" > DC/AB, więc istotnie zachodzi nierów
ność (2).
3. Jeżeli w trójprostokącie ABCD (D — kąt ostry) FE jest prostopadłą, opuszczoną z punktu wewnętrznego F boku DC na bok AB, to
FC/EB < DC/AB.
D ow ód . Jeśli C jest spodkiem prostopadłej opuszczonej z punktu D na prostą EF, to według własności 2 jest DGjAE > DCfAB, a ponie
waż DF > DC, więc
DF/AE > DCI A B , stąd zaś wynika teza twierdzenia.
4. Niech ABC będzie trójkątem prostokątnym (C — kąt prosty), a DE prostopadłą opuszczoną z punktu wewnętrznego D boku AB na bok AC. Wówczas
(5) AD/DE > ABIBC.
D o w ó d tego twierdzenia przebiega zupełnie podobnie do dowodu twierdzenia (2).
a. Stwierdzamy najpierw, że nierówność (5) zachodzi, gdy D jest środkiem boku AB. Jeśli mianowicie BF jest prostopadłą opuszczoną z punktu В na prostą ED, to trójkąty ADE i BDF są przystające, wobec czego ED = DF, zatem AD/DE — AB/EF > ABfBC.
b. Niech D x będzie punktem wewnętrznym boku AB, D 2 punktem odcinka D XB różnym od D x, a Z>3 środkiem odcinka D XD 2 i niech E x, E2, E 3 będą spodkami prostopadłych opuszczonych z D x, D 2, D z na bok AC. Jeśli wówczas A D xjDxEx > A D 2{D2E2, to również A D 3/D3E 3 >
> A D 2/D2E 2.
O p o d s t a w o w y c h tw ie r d z e n ia c h t r y g o n o m e tr i i Ł o b a c z e w s k ie g o 273
Istotnie, opuszczając z B x i B 2 prostopadłe BJ} i B 2H na prostą E3B 3 otrzymujemy trójkąty prostokątne przystające B XGB3 i B 2H B3, punkt B 3 jest więc środkiem odcinka GH. Biorąc pod uwagę, że GE3 <
< B XE X i H E3 < B 2E 2 mamy
A B 3 A B XĄ-AB2 ^ A B 1-\-AB2 ^ A B 2 B3E 3 = GE3+ H E 3 > B 1E 1Jr B 2E 2 > B 2E 2'
c. Na podstawie a i b wnioskujemy, jak w twierdzeniu (2), że nierów
ność A B (BE > ABjBC zachodzi dla A B = kAB(2n, gdzie n i к < 2n są liczbami naturalnymi.
d. W przypadku ogólnym istnieje takie naturalne n0, że BB > А В /2n°.
Niech n będzie liczbą naturalną > n0, wówczas istnieje takie naturalne k, że
^ p ^
— z~ A B < AD < ——A B .
2 2
Odmierzmy na prostej AB odcinek AB' — {k(2n)AB\ punkt B' leży między В i B. Opuśćmy z punktu B' prostopadłą B'E' na prostą AG, wówczas
AD A D '- D D ' A D ' A B ^ A B A B BE = B E > BE' ~ 2nB E > BG 2nBE '
Nierówność powyższa zachodzi dla każdego naturalnego n > n0, więc A B (BE > ABjBG.
Nierówność ostrą (6) uzyskujemy jak w ustępie 2.
5. Jeżeli w trójkącie prostokątnym ABG (G — kąt prosty) B E jest prostopadłą opuszczoną z punktu wewnętrznego В boku A B na bok AG, to
(6) A B (A E < A B (AG.
D ow ód . Jeśli EL jest spodkiem prostopadłej opuszczonej z punktu D na bok BG, to na mocy twierdzenia poprzedniego BB/BH > AB (AG, a ponieważ B H > EG (ust. 1), więc
BB(EG > A B (AG, skąd wynika nierówność (6). II.
II. Funkcja <p(x)
6. W dalszym ciągu korzystać będziemy z następującej własności równania funkcyjnego
(7) f{oc + y) = 2 f ( x ) f ( y ) - f ( x - y ) .
Roczniki P . T. M. - Prace M atem atyczne II 18
274 S. S t r a s z o w i c z
M ech f x{x) i f z(x) będą funkcjami określonymi dla x = (kJ2n)a, gdzie a > 0, a w i < 2й oznaczają dowolne liczby całkowite nieujemne, przy czym fx(x) ^ 0, f z(x) > 0. Jeżeli f x(x) i f 2(x) spełniają równanie (7) dla x ^ y i jeżeli / 1(0) = / 2(0) i f x(a) — f 2(a), to
dla dowolnych całkowitych nieujemnych n i к < 2n.
D o w ó d tego twierdzenia uzyskujemy łatwo przez indukcję. Mia
nowicie z przyjętych założeń wynika od razu, że
ш « ) = = m « ) -
Stosując indukcję otrzymujemy stąd dla dowolnego naturalnego n fi(a/2n) = h(a/2n).
Przypuśćmy, że równość (8) zachodzi dla pewnego naturalnego n i każ
dego naturalnego к < 2n i niech к < 2n+1 będzie liczbą naturalną. W ta
kim razie, gdy к < 2n, to
gdy zaś к > 2n, to k —2n 2n i 2n+1 — k < 2n, więc
wobec czego równość (8) zachodzi dla dowolnych całkowitych nieujem
nych n i к < 2n.
7. Obierzmy określoną jednostkę długości i niech A B będzie odcin
kiem o długości x. W punktach A i В poprowadźmy proste a i Ъ prosto
padłe do prostej AB. M ech M będzie dowolnym różnym od A punktem prostej a, a, N spodkiem prostopadłej opuszczonej z punktu M na prostą 6. Stosunek AM/BN jest według własności 3 funkcją malejącą długości A M ) istnieje zatem granica tego stosunku, gdy punkt M dąży do punktu A. Granica ta nie zależy od położenia odcinka A B na płaszczyźnie, a tylko od jego długości x ; oznaczymy ją symbolem <p(x). Ponieważ według włas
ności 1 A M > ВЖ, więc <p(x) > l j dodatkowo określimy 9?(0) = 1.
O p o d s ta w o w y c h tw ie r d z e n ia c h tr y g o n o m e t r i i Ł o b a c z e w s h ie g o 275
TwiERDZEmE.
(9) ' cp(x) = cosh (х/h), gdzie /&=l/arccosh<p(l).
D ow ód . a. Dowiedziemy, że gdy x ^ y , wtedy (10) y {n + y ) = 2ę{x)<p{y) — <p{x—y).
Załóżmy najpierw, że x > y. 1ST a przedłużeniu odcinka A B = x odmierzmy odcinek BG = у, a na odcinku A B — odcinek BD = у (rys. 2).
W punktach А, В, C, D poprowadźmy proste a, b, e, d prostopadłe do prostej AB. Ъ punktu M prostej b
(różnego od B) opuśćmy prostopadłą M A X na prostą a, a z punktu A x pro
stopadłą A 1C1 na prostą c. Ponieważ kąt A A XGX jest ostry, więc A XGX leży wewnątrz kąta prostego A A XM i przecina prostą b w punkcie B x leżą
cym między punktami В i M. W trój
kącie A XB XM kąty przy wierzchołkach Bx i M są ostre, przeto spodek jB2 prostopadłej opuszczonej z punktu A x na prostą b leży między punktami Bx i Ж . Opuśćmy z punktu B x prosto
padłą B XD X na prostą d; czworokąt BBXB XD jest symetryczny do czworo
kąta BBXGXG względem prostej b, w o
bec czego D D X = GGX i A:B BXD X = <£ B B XCX = A XB XB 2. Kąt B B XJDX jest ostry, półprosta B XD X leży więc wewnątrz kąta rozwartego B B XA X, a jako prostopadła do prostej d nie przecina prostej AB, wobec czego przecina odcinek A A X w punkcie wewnętrznym A 2. Opuśćmy wreszcie z punktu A 2 prostopadłą A 2B3 na prostą b; ponieważ kąt B B XA 2 jest ostry, więc punkt B 3 leży między punktami В i B x.
W trójkątach prostokątnych A XB XB 2 i A 2B XBS jest <£ A XB XB 2 =
= <£ A 2B XB3 i A 2B3 < A XB 2 (ponieważ <£ B 3A 2A X jest rozwarty), zatem
(11) B3BX < B xB 2f
a na mocy własności 5 %
(U ') ВгВа < ^ А ± - B & .
Weźmy pod uwagę stosunek A A X/GGX. Według własności 3 A A XJBB2<
< B M jA A x, zatem
A A X A A X B B 2 ^ ВЖ B B x-\-BxB 2 CGX = BB 2 CCX < X i 7 Щ . * ’
276 S. S t r a s z e w i c z
a z uwagi na nierówność ( l l ')
A A X B M lBBx A XB X B3BX\
~GG~X < A A X [ с е й + а Ж ’ c c j '
Uwzględniając, że В3ВХ — ВВХ —ВВ3, a BBZ/GGX = (BBZ/AA2) • (A A 2fI)D l)y otrzymujemy stąd
А А Х B M ВВХ1 А ХВХ\ В М А ХВХ BBZ А А 2 СС^ < ~АЛХ * ~GG~X \1 + AŹBX / ~ АЛ Х * ~ЛЛ% ’ Р А ’
Gdy punkt Ж dąży do punktu В, stosunek A A XIGGX dąży do <p(x+y), stosunki BM JAAX i A A 2/BBZ dążą do <p{x), BBXIGCX dąży do <p(y), A A 2IDDx do <p(x—y ), a A XB X/A2B X do 1; z powyższej nierówności otrzy
mujemy nierówność
(12) <p{x+y) < 2<p(x)<p(y)—<p(x—y).
Z drugiej strony biorąc pod uwagę nierówność (11) mamy A A X A A X BB 2 A A X BBX ( A A X B XB 2 ^
~GG~X = BB^~GG^ = Ш^2 '~<Хи + BB2 ' ~GG-~ >
^ A A X BBX A A X B ZB X
> ~Ш2 '~сах + ~вв2 ' ggx ’
przekształcając stosunek B zB xfGGx, jak poprzednio, otrzymujemy stąd A A X ^ o A A X B B X A A X BB Z A A 2
~GGl > 2 'шГ2 ' ~GG[
Przejście do granicy, gdy punkt A x dąży do punktu A, daje stąd nierówność
(13) p(® +y) > 2<p(so)(p{y) — <p(x—y).
Z nierówności (12) i (13) wynika równość (10).
Gdy x —y, powyższy dowód równości (10) pozostaje w mocy z tą jedynie modyfikacją, że prosta d pokrywa się wtedy z prostą a, a punkty D i D x z punktami A i A 2. Wzór (10) przybiera w tym przypadku postać:
(14) . <p{2x) = 2 f e ( ® ) f - l .
b. Jeśli x > у ^ 0, to <p{x) > <p(y)- Istotnie, jeżeli у = 0, nierówność ta wynika z definicji liczby 95(0). Jeżeli zaś у > 0, to odmierzając na od
cinku A B — x odcinek BG = y, prowadząc w punktach A , B, G prosto
padłe a, by c do prostej A B , a z punktu M prostej a (różnego od A) prosto
padłą M N do prostej b, która przetnie prostą c w pewnym punkcie P, przy czym <£ GPM jest rozwarty, mamy A M > GP, zatem A M jBN >
O p o d s ta w o w y c h tw ie r d z e n ia c h tr y g o n o m e tr i i Ł o b a e z e w s k ie g o 277
> CP/BN-, gdy punkt M dąży do punktu A, otrzymujemy stąd <p(x) >
c. Przesłanki a i b prowadzą łatwo do twierdzenia (9). Istotnie,
<£>(0) = coshO, biorąc zaś h — 1 /arccosh99(1) mamy 99(1) = cosh(l/fr).
Ponieważ funkcja cosh (х /h) spełnia dla każdego x równanie funkcyjne (10), więc cp{2) = cosh(2/ft), i ogólnie: <p{2n) = eo&h(2n/h) dla każdógo naturalnego n. Funkcje cp(x) i cosh (х/h) spełniają założenia twierdze
nia (8) w każdym przedziale (0, 2n), zatem dla dowolnych całkowitych nieujemnych n i к jest
(p(k/2n)- = cosh.(k/2nh).
Jeśli n jest dowolną Uczbą naturalną, а к taką liczbą całkowitą nie- ujemną, że к/2n < x < (fc+ l)/2n, to wobec powyższej równości i b
Ponieważ cosh ж jest funkcją ciągłą, więc przy n -> 00 otrzymujemy stąd cp(x) = e o s h ( xfh).
8. Wn io s e k. W trójprostokącie ABCD (D — kąt) ostry zachodzi nie
równość
(15) cosh (В О Д < DC/AB < cosh(AD/h).
Istotnie, gdy punkty В i O są stałe, a punkt D dąży do punktu C, stosunek DC/AB maleje (ust. 3), dążąc według 7 do cosh(BC/h), zatem
с о в Щ В С / П ) < DC/AB.
Dla uzasadnienia drugiej części nierówności (15) poprowadźmy w punkcie D prostopadłą do prostej A D i obierzmy na niej w pasie między prostymi A D i BC punkt G, opuśćmy następnie z punktu G prostopadłą GE na prostą AB, a z punktu D prostopadłą D F na prostą GE. Wówczas D F < DG, zatem
DF/AE < DG/AE.
JeżeU punkt G dąży do punktu D, to E -> A ; wówczas DF/AE rośnie (ust. 2), a DGIAE dąży do cosh (AD/h) (ust. 7), zatem
D F D F AD
— < lim —— < cosh —— , A E G-+D A E h więc z uwagi na (2)
DC/AB < cosh(AD/h).
278 S. S t r a s z e w i c z
III. Funkcje C(x) i 8(x)
9. Przypiszmy kątowi prostemu miarę |t:, wówczas każdemu kątowi odpowiada określona miara. Niech x będzie miarą kąta ostrego utworzo
nego przez półproste m, n wychodzące z punktu A. Z punktu В ramienia m opuśćmy prostopadłą BG na ramię n. Gdy długość A B maleje, stosunek А С IAB rośnie (ust. 5) pozostając mniejszym od jedności, a stosunek BG/AB maleje (ust. 4); istnieją zatem granice tych stosunków, gdy В -> A, są one funkcjami zmiennej x. Oznaczymy
Wówczas (16)
AG
llm = W »
b->a AB
lim —— = 8 (x). BC B—yA AB
AG/AB < C{x) < 1, 1 > B C /A B > 8(x).
Określimy ponadto 0(0) = 8(%-k) = 1, СЦu) = 8(0) = 0.
Wykażemy w dalszym ciągu, że G(x) = cosx, a 8 (x) = sina?. W tym celu udowodnimy najpierw kilka twierdzeń pomocniczych.
10. Dowiedziemy, że
(17) 8 (x) = C ( j n - x ) .
D o w ó d . Wobec definicji podanych w 9 dowodu wymaga tylko przy
padek, gdy 0 < x < \tc.
Używając tych samych oznaczeń co w 9 poprowadźmy przez punkt A prostą prostopadłą do prostej n i opuśćmy na tę prostą z punktu В prostopadłą BD. Wówczas (ust. 8)
cosh (AC/h) < BC/AD < cosh(DB/h).
Jeżeli punkt В dąży do punktu A, to AG -> 0, DB -> 0, zatem cosh (AC/h) -> 1, cośh.(DB/h) -* 1, więc
Otóż
hm BG
b-+a A D = 1 . BG BG A D A B ' A D ' A B ' Ponieważ miara kąta BAD równa się — x, więc
BG BG v AD
8 (x) — hm —— = hm • lim
v A B в^л AD в-уа AB G ( f a x — x ) .
B—>A
Z (16) i (17) wynika, że G(x) < 1-
11. Jeśli x , у są miarami kątów i 0 x < у ^ to C ( x ) ^ C ( y ) , B ( x ) ^ 8 ( y ) .
O p o d s t a w o w y c h tw ie r d z e n ia c h t r y g o n o m e tr i i Ł o b a c z e w s h ie g o 279
D ow ód . Ponieważ dla 0 < x < Ąu jest C(|7r) < C{x) < C(0), a druga nierówność tezy wynika na mocy (17) z pierwszej, więc wystarczy udowod
nić pierwszą nierówność dla przypadku 0 < x < у < \тх.
Niech półproste m, n, p wychodzące z punktu A tworzą kąty (m, n) i (p , n) o miarach x i y, przy czym półprosta m leży wewnątrz kąta (p , n).
Z punktu D półprostej p opuśćmy prostopadłą DC na półprostą -я; przet
nie ona półprostą m w pewnym punkcie B. Wówczas A B < AD, zatem АСIAB > AC!AD-,
gdy D -> A otrzymujemy stąd żądaną nierówność C(x) ^ C(y).
12. Funkcje C(x) i 8(x) są ciągłe dla każdego x z obszaru ich określo- ności.
D ow ód . Wystarczy udowodnić prawostronną ciągłość funkcji C{x) i 8 {x), gdy 0 < x < %тг, gdyż lewostronna ciągłość każdej z tych funkcji, gdy 0 < x < frc, wynika na mocy (17) z prawostronnej ciągłości drugiej z nich, gdy 0 < x < -Jtc.
Niech 0 < x < obierzmy dowolne e > 0. Zachowując oznaczenia z ustępu 9 weźmy punkt В na półprostej m tak blisko punktu A, że (18) A C / A B > C (x )-± e , BC/AB < S{x) + %e.
Obierzmy następnie na przedłużeniu odcinka CB (poza B) punkt D w* ten sposób, że
(19) BD [AB < \e,
i niech 6 oznacza miarę kąta DAB. Niech xĄ-h będzie miarą kąta utworzo
nego przez półproste n i p , przy czym półprosta p leży po tej samej stro
nie .n co m. Jeśli 0 < h < <3, to półprosta p leży wewnątrz kąta BAD, przecina zatem odcinek BD w pewnym punkcie В л. Wówczas na mocy (16). (18) i (19)
\ C {x+h )-C {x)\ = C ( x ) - C ( x + h ) < - 4tt + ł e AC A B A B X<
< AC B B X
A B X A B + < 2e ł e — e
|$(a?-f-h) — 8(x)\ = 8 { x + h ) - S ( x ) <
< B XC BC
A B X A B \e < BB X
AB +•§£ < 2e — £ >
funkcje C(x) i 8(x) są więc prawostronnie ciągłe dla 0< x < łbr.
280 S. S t r a s z e w i c z
Ciągłość tych funkcji dla x = 0 wynika z uwagi, że gdy w rozważa
nej figurze półprosta m dąży do półprostej n, a punkt 0 jest stały, to AC/AB -> 1, BCjAB -> 0, więc ze względu na (16)
limC(®) = l = C(0), lim$(;r) = 0 = $ (0).
X—>0 x->0
13. Niech a będzie miarą kąta ostrego utworzonego przez półproste n i p wychodzące z punktu А , В — punktem leżącym wewnątrz kąta (n , p ), C — spodkiem prostopadłej opuszczonej z Б na półprostą n, a x miarą kąta ВАС.
Dowiedziemy, że dla każdego e > 0 istnieje takie d > 0, że jeżeli AC < ó i a — x < ó, to
(20) \AC/CB-C(a)/8(a)\ < e.
D o w ó d . Obierzmy na półprostej p punkt D 0 różny od A i niech C0 będzie spodkiem prostopadłej opuszczonej z D Q na półprostą n. Jeśli AC < AC0, to prostopadła w C do prostej n przecina odcinek A D 0 w pew
nym punkcie D. Gdy C->A, to również D-> A, stosunki AG /AD i CD/AD dążą odpowiednio do 0(a) i 8(a), a stosunek ACjCD dąży do C(a)/8(a), przy czym wobec (16) jest AC/CD < C(a)/8(a). Dla obranego dowolnie e > 0 istnieje zatem takie <5X > 0, że gdy AC < <51? to
AC/CD > C (a )/ S (a )-e.
Jeżeli punkt В leży wewnątrz odcinka CD, to GB < CD, zatem jeżeli AC < ój, to
(21) AC/CB > C (a )/ 8 (a )-e.
Funkcja C(x)/8(x) jest malejąca i jest ciągła dla x — a, więc istnieje takie d2, że jeśli miara x kąta ВАС spełnia warunek 0 < а — ж < д 2, to
C(x)/S(x) < C(a)/8(a)-\- £,
a ponieważ według (16) AC/CB < C(x)j8(x), więc poprzednia nierówność daje
(22) AC/CB <C (a)/8(a) + e.
Niech ó = min(jK70, S1} ó2); jeśli AC < ó i a — x < 3 , to spełnione są nierówności (21) i (22), zatem zachodzi (20).
14. Jeżeli x > у > 0, x + y < |7c, to
(23) • C(x + y) = 2C (x)C(y) — C(x — y).
D ow ód . Gdy у — 0, równość (23) jest oczywista, gdyż 0(0) = 1, założymy więc w dalszym ciągu, że у > 0.
a. Rozważymy najpierw przypadek, gdy x > y, x-\-y <
O p o d s ta w o w y c h tw ie r d z e n ia c h tr y g o n o m e t r i i Ł o b a c z e w s h ie g o 281
Poprowadźmy z punktu O półproste m, n, p, q w ten sposób, że kąty (m ,n ), (71, p), (тп,р), (m ,q ) mają odpowiednio miary x, y, xĄ-y, x — y, przy czym półprosta q leży w kącie
(m, n) (rys. 3).
Z punktu A półprostej тп (А Ф O) opuśćmy prostopadłą AG na pół- prostą p, która przetnie półprostą n w pewnym punkcie B, oraz prosto
padłą A B X na półprostą n. Ponieważ kąt A B B X jest ostry, więc B x leży na przedłużeniu odcinka OB. Opuśćmy następnie z punktu В prostopadłą BD na półprostą q; ponieważ <£ OBD <
< тс/2, a <£ OBA > 7t/2, więc prze
dłużenie BD przetnie odcinek OA w pewnym punkcie A x. Punkty C i D są symetryczne względem prostej OB, więc OG = OD i <£ OBD = OBC =
= <^BXBA-, miarę tych. kątów oznacz
my przez z. Wreszcie opuśćmy z A x
prostopadłą A XB 2 na półprostą n-, ponieważ w trójkącie A xOB kąty przy 0 i В są ostre, przeto punkt B2 leży między punktami 0 i B. Wówczas (24) OG
ÓA OG 0 A X
OG OB
Ób ‘ Ó A
о с OB OB 0 A X
OG OBx- B B x
OB OA OB
OG. 0 B X OG 0 B Z 0 в ' 0 А + 0в'Ъ ~Ах
ОС i B 2B B 2A X
ó b \b 2a x'~ó j ó
0G ОВ2+ В 2В 0 А Х ВВХ В ХА
ВХА ОА
Gdy punkt A dąży do punktu 0, wówczas punkty A x, B, B x, B2, C, D dążą również do 0, wobec czego (według 9)
OC OA 0 B X
ÓA ~
-> C(x-\-y), OG OD
G(x), OB,
0 A X 0 A X
C(x),
- > C ( x - y ) , OC
B2Ax
-> S(x), OB
B XA -> S(x), 0 A X /7 0 A X ' /7 OA
Zauważmy dalej, że z dąży wówczas do — y (s), skąd wnioskujemy na
(3) Istotnie, defekt A (OBC) trójkąta OBC, tj. różnica między тс a sumą kątów trójkąta, dąży wówczas do 0. Aby to uwidocznić, poprowadźmy ze środka M odcin
ka OC prostopadłą do OC do przecięcia z OB w punkcie N. Wówczas A (OBC) —
= A(OMN) + A(NM C) + A (N BC ), a że A (OMN) — A(N M C), więc A (O M N )<
< i A (OBC) •
282 S. S t r a s z e w i c z
mocy ustępu 13, że
B 2B jB 2A 1 -+ С (Ъ к -у )1 Щ ж -у ) = S(y)jC(y) i tak samo
BBXIBXA ->S(y)/C(y).
Wobec tego z równości (24) otrzymujemy przez przejście do granicy A -> 0 równość
C ( x + y ) + C ( x - y ) = 2C (x)C (y), tj. związek (23).
b. Gdy a? = у, x + y < \тг, dowód powyższy pozostaje w mocy, z tym jedynie, że półprosta q pokrywa się z półprostą m, a punkt D z punk
tem A x.
c. Gdy wreszcie x ^ y, x-\-y = wówczas dla każdego natural
nego n zachodzi według a i b równość
4 ^ 4
=
skąd wobec ciągłości funkcji C{x) wynika przy n -> o o wzór (23).
15. Tw i e r d z e n i e. Jeżeli 0 < x < to (25) . C{x) = cosa?, 8(x) = sina;.
D o w ó d . Funkcje C(x) i cos ж spełniają założenia twierdzenia (8) w przedziale (0 , |тг), zatem dla dowolnych całkowitych nieujemnych n i Tc < 2W zachodzi równość
Biorąc pod uwagę, że C(x) jest funkcją monofoniczną, a cos a? — funkcją ciągłą, wnioskujemy stąd jak w dowodzie wzoru (9), że
Wobec tego
G(x) = cosa?.
$(a?) = тс —a?) = cos(|?t —a?) = sina?.
IV. Związki między elementami trójkąta prostokątnego
16. W trójkącie prostokątnym ABC (kąt C — prosty) oznaczymy A B = с, BC = a, CA = &, <£ — a, <£ J.B(7 = /?, przy czym dla krótkości te same litery oznaczać będą również miary odpowiednich bo
ków i kątów.
O f o d s t a w o w y c h tw ie r d z e n ia c h tr y g o n o m e t r i i Ł o b a c z e w s k ie g o 283
Z (16), (17) i (25) wynikają nierówności:
(26) a/c > sina, b/e < cosa.
17. Tw i e r d z e n i e. W trójkącie prostokątnym ABC między przy prosto
kątną a kątami ostrymi zachodzi związek
a cosa . . b cos/?
(27) cosh— = --- i analogicznie cosh — = —;---.
h sin/? h sina
D o w ó d . Na przedłużeniu boku AC poza punkt C (rys. 4) obieramy punkt M, a na przedłużeniu boku CB poza punkt В obieramy punkt N tak blisko punktu B, żeby punkt B x, w którym odcinek M N przecina przedłu
żenie boku AB, spełniał waru
nek BBX < A B ; zauważmy, że
<3c А В гМ > ^ B XB N — /?. Przy pół- prostej B XA odmierzamy w kącie A B XM kąt równy /3; ponieważ dru
gie ramię tego kąta nie przecina prostej BC, więc przecina odcinek.
CM w punkcie wewnętrznym D Odmierzamy na półprostej B XA odcinek B 1A 1 — B A ; punkt A x leży między A i B. Budujemy przy półprostej A XB X w kącie CAB kąt równy a; drugie ramię tego kąta przecina odcinek B XD w pun
kcie wewnętrznym Cx, a odcinek BC w punkcie wewnętrznym D x;
trójkąt A 1B 1C1 jest przystający
do trójkąta ABC, А ХСХ = AC, B XCX = BC, A xCxl.BxCx. Opuszczamy z punktu A x prostopadłą A XE na prostą AC; punkt E leży wewnątrz odcinka AC. Wykażemy, że
(28) D xCx < A E < CD.
Istotnie, AE-\-EC = AxDx+DxCx', kąty w punktach C i E są proste, więc AxDx > ЕС, stąd D xCx < AE. Z drugiej strony, w czworokącie AxCxDE kąt D jest ostry, gdyż suma kątów trójkąta A B XD jest mniejsza od sumy kątów trójkąta <£ Е А хСг jest rozwarty, gdyż <£ Е А гСхЛ-
E A xA-\- СХА ХВ = тс, a<)c E A xA-\- CXA XB = E A xA-\- <^.EAAx<^.
< | 7t; stąd wynika, że A xCx jest mniejsze od odległości punktu E od pro
stej CXD, ta odległość zaś z kolei jest mniejsza od ED, wobec czego А хСг < ED, więc też AC < ED, skąd A E < CD.
284 S. S t r a s z e wi c z
Ze środka 8 odcinka BBX opuśćmy prostopadłą 8К na prostą BC i prostopadłą 8L na prostą BXCX. Punkt К leży wewnątrz odcinka BN (gdyż w trójkącie BB XN kąty В i N są ostre), punkt L leży wewnątrz odcinka B XCX. Trójkąty B 8 K i B X8L są przystające, więc punkty K, 8, L są współliniowe. W otrzymanej figurze mamy według (28)
CD CD BBX ^ AE B8
KL “ ~BBX ~KL > Z I 7 * ~K8 ‘ Na mocy własności 8
CD LD , B XD л B C + B B X + CD
— — < cosh —— < cosh — — < cosh--- --- ,
K L h h h
zatem
cosh B C + B B 1 + CD h
A E
~AAX B8 K 8 '
Jeżeli punkt M dąży do punktu C, to D -> C , B x -> B, A x A, stosunki AE/AAX i BS/K8 dążą odpowiednio do cos a i 1/sin/S; z powyż
szej nierówności wynika zatem, że
(29) cosh(a/7ł) > cosa/sin/7.
Z drugiej strony uwzględniając (28) i (26) mamy D XCX D XCX BBX ^ A E В8 ^ cos a
K L = BBX K L < A A X ' K Ś < sin ft ’ a według własności 8
DJCi
K L > coshLCX
= coshB XCX- B XL
_____ cosh:B C -B K więc
, B C - B K cosh--- --- <
Ti
cos a sin/? ’ JeżeU M ->C, to BK -* 0, zatem
(30) cosh-^ cos«
< --- . sin/?
Z nierówności (29) i (30) wynika lewa równość (27), a przez zmianę ozna
czeń — prawa.
18. Stosując wzory (27) do trójkątów ACD i BCD, na jakie wyso
kość CD dzieli trójkąt prostokątny ABC i rugując z otrzymanych czte
rech równań CD, AD, DB = e —AD, <£ ACD i DC В — <$.ACD, otrzymujemy wzór
cosh — = ctg actgjS. c
(3 1 ) h
О p o d s ta w o w y c h tw ie r d z e n ia c h tr y g o n o m e tr i i Ł o b a c z e w s k ie g o 285
Wzory (27) łącznie ze wzorem (31) stanowią pełny układ nieza
leżnych związków między elementami trójkąta prostokątnego.
19. Jeżeli w trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątna BC = a jest stała, a przyprostokątna AG — b rośnie nieograniczenie, to miara a kąta BAG dąży do zera. Aby to uwidocznić, wystarczy zauważyć, że gdy na przedłużeniu boku GA odmierzyć A l) — AB, to miara kąta BBC jest mniejsza od fa. Miara fi kąta ABC rośnie, pozostając mniejszą od dąży zatem do pewnej granicy co. Ze wzoru (27) otrzymujemy
skąd
cosh (a/h) = 1 /sin co, co = 2 arctge~w/71 = л {a), gdzie л(а) jest tzw. funkcją Łobaczewskiego.
Jeśli przyjąć pewnik ciągłości Dedekinda, od którego dotychczasowe rozważania tej pracy były niezależne, wówczas wynik powyższy oznacza, że ж (a) jest miarą kąta równoległości odpowiadającego odcinkowi BC = a, tzn. kąta nachylenia do BG prostych równoległych w znaczeniu Łoba
czewskiego do AG i przechodzących przez punkt B.
Prace cytowane
[1] K. B orsu k i W. S zm ielew , Podstawy geometrii, Warszawa 1955.
[2] L. G erard, Sur la geometrie non euclidienne, Paris 1892.
13] H. L ie b m a n n , Elementargeometrischer Beweis der Parallellenkonstruktion und neue Begriindung der trigonometrisehen Form eln der hyperbolischen Geometrie,
Math. Annalen 61 (1905), str. 185-199.
[4] — Elementare Ąbleitung der nichteuklidischen Trigonometrie, Leipziger Berichte 59 (1907), str. 18*7-210.
[5] O. P e rro n , N euer A ufbau der nichteuklidischen (hyperbolischen) Trigono
metrie, Math. Annalen 119 (1943), str. 247-265.
[6] W. II. Y o u n g , On the analytical basis of non-Euclidean geometry, Amer.
Journal of Math. 33 (1911), str. 249-286.
[7] S. S tr a s z e w ic z , Sur la trigonometrie de Lobatschevsky, Ann ales Polon.
Math. I ll (1957), str. 225-239.
С. Ст р а ш е в и ч (Варшава)
ОБ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМАХ ТРИГОНОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
РЕЗЮМЕ
В статье дано простое обоснование гиперболической тригонометрии. Осно
вное соотношение (27) между катетом и острыми углами прямоугольного тре
угольника получается путем применения: а) теоремы (Gerard [2]), что в четы
рехугольнике ABCD с 3 прямыми углами А, В , С, в котором длина А В — х
286 S. S t r a s z e w i c z
постоянная, a AD -> О, отношение A D /ВО стремится к пределу q>(x) = cosh(х /h), где h постоянная, зависящая от единицы длины, и Ъ) теоремы (Young [6]), что в прямоугольном треугольнике А В С (<£(7 = -|тс) с постоянным углом BA G = х, в котором А В -> 0, отношения А С /А В и В О /А В стремятся соответственно к пре
делам С{х) = со зх и 8 {х ) = since. Изложенные доказательства обеих теорем аналогичны и сводятся в основном к выводу, что q>(x) и 0(х) являются решениями функционального уравнения (7). Из (27) следует, что если в прямоугольном треугольнике A BG катет ВО = а постоянен, а катет АО -*■ оо, то мера угла А ВО стремится к пределу л {а) — 2arctge~a/fe.
В работе применяются теоремы абсолютной геометрии, вытекающие из аксиом Ii_ s, II, III и Vi (аксиома Архимеда) системы Гильберта и используется одно только предложение гиперболической геометрии, что дефект треугольника больше нуля. Ни аксиома У2, ни существование гиперболических параллелей не предполагаются.
S. St r a s z e w i c z (Warszawa)
ON THE BASIC THEOREMS OF LOBACZEVSKI’S TRIGONOMETRY
S U M M A R Y
The paper contains a simple proof of the formulas of hyperbolic trigonometry.
The basic relation (27) between the acute angles, a, /3 of a right-angled triangle, and its side a opposite of a is obtained by applying a) the proposition (G erard [2]) that in a quadrangle ABOD with three right angles A ,B , G in which the length A B = x is constant and A D -> 0 the ratio AD /ВО tends to the limit ip(x) = cosh (x/h) where h is a constant dependent on the unit of length, and b) the proposition (Y o u n g [6]) that in a right-angled triangle A B G {<£ О = |тг) in which <£ BA G = x is constant and A B -> 0 the ratios A C /A B and B G /A B tend to the limits C{x) = oosx and 8(x) =
= sina? respectively, The two theorems, a) and b), are established in an analogical manner, which consists essentially in proving that <p{x) and 0{x) are solutions of func
tional equation (7). It follows from (27) that if in a triangle ABO with the right angle G the side BO = a is constant and AG -> oo, then the measure of the angle A B C tends to the limit л (a) — 2arctge~a/ft.
The proofs are based on theorems following from the axioms I i _3, II, III and Yj (Archimedes’ axiom) of the Hilbert system and on the proposition that the defect of a triangle is positive. Neither axiom V2 nor the existence of hyperboliq parallels is assumed.
