Od Redakcji

Od Redakcji

Studia Philosophiae Christianae 24/1, 158-162

m entów filozoficznych) jest otwarcie naszych oczu, stworzenie

nowej perspektyw y ujm owania zdarzeń” u.

Na teren pojętej równie liberalnie filozofii nie można, z

oczywistych powodów, rozciągać ograniczeń ukazyw anych przez

tw ierdzenia limitacyjne. Trudno jednak byłoby również wska­

zać, czym tak pojęta filozofia różni się od poezji czy ·— ogól­

niej — sztuki. W filozofii pojętej jako racjonalne i wolne od

sprzeczności tłumaczenie świata tw ierdzenia lim itacyjne uka­

zują nieprzekraczalne ograniczenia racjonalnego dyskursu.

Ograniczeń tych nie należy przeceniać z tych samych powo­

dów, jak nie należy przeceniać np. ograniczeń ukazywanych

przez zasadę nieoznaczoności Heisenberga. Znajomość tej zasa­

dy nie pozwala już jednak bronić determ inizm u w w ersji pro­

pagowanej ongiś przez Laplace’a. Uznanie, iż filozof nie dyspo­

nuje środkami, które byłyby w stanie wyeliminować ogranicze­

nia językowe ukazywane przez twierdzenia lim itacyjne, chroni

przed metafilozoficznym demonem Laplace’a. Jego obecność

w niektórych systemach filozofii miała gwarantować ostatecz­

ne i jedynie słuszne rozstrzygnięcie wszystkich dyskutowanych

zagadnień.

M ET A PH ILO S O P H IC A L CONSEQUENCES OF TH E LIM IT A T IV E THEOREM S

S u m m a ry

T he p a p e r ex p o u n d s th e thesis of th e m e tap h y sica l rele v an c e of u n d ec id a b ility an d n o n -ca teg o ric ity th a t are disclosed by th e lim ita tiv e th eo rem s of m etalogic. D eveloping th e ideas th a t w ere e a rlie r proposed, am ong others, by J. L ad rie re , H. DeLong, an d W. Y o u rg rau , th e a u th o r applies th e u p w ard v ersion of th e L öw enheim -S kolem th e o re m to fo r­ m alised philosophical arg u m e n ts. T he p o ssibility of a g en eral „philo­ so p h e rs’ accordance” is excluded b ecause non-dntended m odels can be fo u n d for an y cognitively v alu ab le fo rm a lisatio n of philosophical dis­ course.

O D R E D A K C J I

W p ółroczniku S tu d ia P hilosophiae C hristianae w n u m erze 22 (1986) 1 został zam ieszczony a rty k u ł ks. Jó zefa Ż ycińskiego: W ielość in te rp re ta ­

cji a jedność p ra w d y w filo zo fii, n a to m ia st w n u m erze 22 (1986) 2 tegoż

2 4 F. W aism ann, C o n tem p o ra ry B ritish P hilosophy: Personal S ta te m en ts,

470 n ; cyt. za P. K. B astable, Logic: D epth G ra m m a r of R atio n a lity, L ondon 1980, 367.

półrocznika u k az ał się a r ty k u ł A nny L em ań sk iej: T w ie rd zen ie S k o le m a -

-L ö w en h eim a i jego ko n se k w e n c je , w k tó ry m a u to rk a p o lem izuje z pew ­

n y m i tezam i z a rty k u łu J . Życińskiego. W zam ieszczonym pow yżej a r ty ­ k u le J. Ż yciński z kolei u sto su n k o w u je się do stw ie rd z eń z a w arty ch w a rty k u le A. L em ańskiej.

T w ierdzenia lim ita cy jn e m a ją zasadnicze znaczenie zarów no dla zro ­ zu m ienia istoty te o rii m atem aty czn y ch , ja k i dla ro zw ażań ogólnofilo- zoficznych. Z tego w zględu za g ad n ien ia poruszone w trze ch w sp o m n ia­ n ych a rty k u ła c h są n a ty le w ażne, iż w arto k o n ty n u o w ać n a d nim i dyskusję.

Poniżej zam ieszczam y isto tn e fra g m e n ty z d y sk u sji toczonej ko resp o n ­ d en c y jn ie m iędzy A. L e m ań sk ą i J. Ż ycińskim na te m a t a p lik a c ji w filozofii tw ie rd z en ia S kolem a-L öw enheim a.

A n n a L e m a ń s k a : ,,Nie w y su w am zastrzeżeń do w y k o rz y sty w an ia poza m a te m a ty k ą tw ie rd z eń lim ita cy jn y c h G ödla, C hurcha, Tarskiego. N ato m iast nie zostałam p rzekonana, aby głoszone przez K siędza poglądy, w y n ik ały w łaśn ie z tw ie rd z en ia S kolem a-L öw enheim a. W ydaje m i się, że m iędzy tw ie rd z en ia m i lim ita c y jn y m i z pierw szej g ru p y a tw ierd zen iem S kolem a-L öw enheim a istn ie ją pew ne zasadnicze różnice pow odujące, iż ty c h tw ie rd z e ń nie pow inno się tra k to w a ć jednakow o. M ianow icie tw ierdzenia" G ödla, C hurcha, T arskiego m ów ią o ,,w e w n ętrz n y ch ” w ła s­ nościach teo rii sform alizow anych: n ie k tó re te o rie sform alizow ane są niezupełnie, nie da się w nich udow odnić ich niesprzeczności, nie m ożna w nich zdefiniow ać p raw dy. T w ierdzenie S kolem a-L ö w en h eim a n a to ­ m ia st m ów i o i s t n i e n i u czegoś zew nętrznego w sto su n k u do teo rii sform alizow anej, a m ianow icie m odeli dla te j teorii.

W sw oim a rty k u le niezbyt u d olnie próbow ałem ukazać, ja k ie środki są niezbędne, ab y to istn ien ie pokazać. N iezbędność ty c h środków je st o ty le istotna, że bez nich być może n ie je ste śm y w sta n ie tego tw ie rd z en ia udow odnić, a w k aż d y m raz ie trz e b a to zrobić inaczej, jeśli je st to m ożliw e. W ażne w dowodzie, ja k m i się w y d aje, je st k o ­ rzy sta n ie ze znacznego fra g m e n tu te o rii m nogości. J e s t to „znaczny fra g m e n t” w ty m sensie, żć za w iera te o rię zbiorów dow olnych mocy nieskończonych oraz a k sjo m a t w yboru, pow odujący, iż k o n stru k c je m o­ deli są nieefek ty w n e. P ozostaje w ięc dla m nie w dalszym ciągu p ro b ­ lem em czy w tedy, gdy w k ra cz am y w zupełnie odm ienny obszar w sto­ su n k u do teo rii mnogości, a w ięc gdy m ów im y o bycie jako bycie, czy o biektach fizycznych itp. je ste śm y w sta n ie dla teo rii niesform alizow anej lu b sform alizow anej opisu jącej ta k ą dziedzinę pokazać an alo g o n tw ie r­ dzenia S kolem a-L öw enheim a.

P roszę zwrócić uw agę, że n iesform alizow ane te o rie m atem aty czn e o p e ru ją bardzo ubogim zak resem pojęć. P oza ty m s tr u k tu r a języka n ie je st zbyt skom plikow ana. Ł atw o je st w ięc dokonać fo rm a liz ac ji t a ­ k ich te o rii np. w logice I rzędu. T eo rie p rzyrodnicze czy filozoficzne p osłu g u ją się znacznie szerszym a p a ra te m pojęciow ym i językow ym . D okonyw anie w ięc w ty c h p rzy p a d k ach form alizacji analogicznych do ty c h w m atem aty c e n a p o ty k a n a coraz w iększe tru d n o ści, w zależności od tego ja k bo g atą teo rię p ró b u jem y form alizow ać. Z am iast te o rii I rzędu m ożna w ykorzystyw ać innego ty p u form alizacje. P o w sta je je d n ak pytan ie, czy dla ta k ich fo rm a liz ac ji jesteśm y w stan ie udow odnić g órną w e rsję tw ie rd z en ia S kolem a-L öw enheim a. P oza ty m istn ie n ie m odeli niezam ierzonych (nieizom orficznych) w ynika z tego, że m odele, k tó ry c h istn ien ia się dowodzi, m a ją różne moce. S tą d w zięły się m oje roz­

w aż an ia n a te m a t istn ie n ia nieskończoności a k tu a ln e j. N iestety nie do­ pow iedziałam w yraźnie, że n ie tylko chodzi o istn ien ie nieskończoności a k tu a ln e j, lecz o to, że zbiory nieskończone m u szą m ieć ró ż n e m oce nieskończone. A to je d n a k w y d a je się w cale n ie ta k ie oczyw iste.

Nie je st dla m n ie ja sn e i oczyw iste, że gdy a k sjo m a ty zu je m y (for- m aiizujem y) ja k iś fra g m e n t te o rii p rzyrodniczej czy filozoficznej, to jesteśm y w sta n ie zaw sze w skazać ma m odele n iezam ierzone. A w łaś­ ciw ie co będzie znaczyć, że ta k ie m odele istn ieją, o ja k i ty p istn ien ia tu chodzi. Je że li te m odele, in te rp re ta c je sform alizow anych arg u m e n tó w filozoficznych m ogą być dow olnym i naszym i k o n stru k c ja m i, to ta k ie m odele będ ą istniały. W ystarczy ta k ą te o rię tra k to w a ć ta k sam o ja k sfo rm alizo w an ą a ry tm e ty k ę czy te o rię g ru p i in te rp re to w a ć ją w dzie­ dzinie liczb n a tu ra ln y c h lu b w innego ty p u zbiorach. Tu tw ie rd z en ie S kolem a-L öw enheim a m ożna w ykorzystać.

Je że li je d n a k te o rie p rzyrodnicze o raz filozoficzne, ta k ja k ja to w idzę, m a ją za zad an ie w y ja śn ia ć o taczający n as św iat, m ów ić o jego istocie, o istocie tego czym sam i je s te ś m y i czym je s t to, co n as otacza (otacza w b ard z o szerokim sensie), to u w ażam , że trz e b a szukać in te r­ p re ta c ji teorii, k tó re istn ie ją re a ln ie , niezależnie od n as, od poznającego podm iotu. Jeżeli ograniczym y się do obiektów istn iejący c h rea ln ie, to w y d aje m i się, że n ie zm iern ie rza d k o dla odpow iednio do b rąn ej fo rm a ­ liz ac ji m ożem y n a tk n ą ć się n a m odele niezam ierzone. Nie je s t w cale ja sn e i n ie w y n ik a z tw ie rd z en ia S kolem a-L öw enheim a, że różne m iędzy sobą m odele będą istn ia ły w ty m re a ln y m sensie. S zu k an ie w tym p rz y p a d k u niezam ierzonych in te rp re ta c ji może okazać się tw orzeniem czegoś, co re a ln ie nie istn ie je . M ożna oczyw iście m ów ić coś n a te m a t isto ty k rasn o lu d k ó w , lecz czy o to chodzi w filozofii? O baw iam się zaś, że k o n stru o w an ie n ie zam ierzo n y ch m odeli, in te rp re ta c ji może być ta k im tw o rzen iem św ia ta k rasn o lu d k ó w .

Z d aję sobie spraw ę, iż m ój p o stu lat, aby in te rp re ta c je dla sfo rm a li­ zow anej te o rii filozoficznej istn ia ły rea ln ie, je st b ard z o k o n tro w ersy jn y . Je steśm y bow iem n ie ste ty n ie jak o skazani n a u jm o w a n ie św ia ta poprzez p ry z m a t naszego a p a r a tu poznaw czego i ta k n a p ra w d ę nie w iem y, co oznaczać m a istn ien ie rea ln e. Je steśm y ciągle w k rę g u naszych w łasnych w yobrażeń, m odeli, k o n stru k tó w otaczającego n a s św ia ta i chyba nie je ste śm y w sta n ie poza n ie w yjść ta k nap raw d ę. T ym co piszę, w k ra ­ czam w to, co stw ie rd z a K siądz n a stro n ie 153, n a te m a t n ie istn ien ia jednego p a ra d y g m a tu w filozofii. C hyba rzeczyw iście ta k jest, że po p ro stu p rzy jm o w a n e są ró żn e założenia ontologiczne, czyli in aczej w idzi się św iat. W szystko to jednak, ja k m i się w ydaje, odbyw a się ciągle na poziom ie poznania, w erbalizow anego w zw ykłym n a tu ra ln y m języku. E w e n tu a ln a fo rm a liz ac ja p o ja w ia się znacznie później w tedy, gdy już m am y ja k ą ś n ie fo rm a ln ą teorię. T ak w ięc różne p a ra d y g m a ty w filozofii b io rą się z odm iennego w id ze n ia św iata, p rzy p isy w a n ia p ew nym o biek­ tom innych w łasności. Tej odm ienności, ja k m i się w ydaje, nie u sunie fo rm alizacja arg u m en tó w , gdyż co innego w k aż d y m p rzy p a d k u będzie się form alizow ać. U zyska się w ięc odm ienne te o rie sform alizow ane. Czy b ęd ą one m iały w ogóle m odele, czy b ęd ą m ia ły m odele n ie za­ m ierzone, czy będ ą niesprzeczne, je st ju ż in n ą g ru p ą zagadnień.

To co w ięc pisze K siądz n a stro n ie 156 o te rm in ie „ s u b stra t fizyczny” w tym kontekście, w y d aje m i się nie ta k ie oczyw iste. W tedy bow iem , gdy będziem y chcieli w łączyć to pojęcie w obręb te o rii sform alizow anej, za trac i ono sw oją treść, zostanie n a to m ia st opisane p rzy pom ocy pew nego u k ła d u aksjom atów , w k tó ry c h zaw rą się w łasności tego pojęcia. Sądzę,

że gdy te n te rm in p rzy pom ocy ak sjo m a tó w opisyw ałby m a te ria lista , to u zyskałby odm ienne co do form y a k sjo m a ty niż sy m p a ty k m yśli W schodu. B yłabym zdziw iona, gdyby uzyskali ta k ą sam ą ak sjo m a ty k ę, gdyż „odw iecznej m a te rii” m a te ria lista przypisze p rz y n a jm n ie j część o d m iennych w łasności niż sy m p a ty k m yśli W schodu „złudnej m a ja ”. T en pro b lem pró b o w ałam zasygnalizow ać n a stro n ie 108 sw ego a r ty ­ k ułu .

P oza ty m , w y d aje m i się, co szczególnie ja sk ra w o było w idać w p oprzednim a rty k u le , że używ a K siądz pojęcia in te rp re ta c ja w trzech odm iennych znaczeniach, nie zaw sze s ta ra n n ie je odróżniając. Raz bo­ w iem pisze K siądz o in te rp re ta c ji otaczającego n a s św ia ta p rzy pom ocy p ew nych teorii, m odeli itp., a w ięc m am y tu k ie ru n e k : św ia t — teoria. D rugi ra z n a to m ia st używ a K siądz tego pojęcia ta k ja k w logice czy w te o rii m odeli, pisząc o in te rp re ta c ji te o rii w pew n ej dziedzinie p rze d ­ m iotow ej: te o ria — dziedzina p rzedm iotow a. I w reszcie trze ci ra z pisząc o in te rp re ta c ji je d n ej te o rii w dru g iej: te o ria — te o ria. U w aga, k tó rą zakończyłam sw ój a rty k u ł, odnosiła się do tego w szystkiego, co w iąże się z pojęciem in te rp re ta c ji w ty m p ierw szym sensie i dlatego p o d trzy m u ję sw oją kon k lu zję, iż istn ien ie różnych in te r p re ta c ji otacza­ ją ce j n a s rzeczyw istości n ie m a nic w spólnego z tw ie rd z en ie m S kolem a- -L öw enheim a, k tó re m ów i o in te rp re ta c ji tylk o w ty m d ru g im znacze­ niu.

I jeszcze je d n a uw aga n a m arginesie. M oja k ry ty k a była sk iero w an a głów nie przeciw ko w y k o rz y sty w an iu tw ierd zen ia S kolem a-L ów enheim a do języka n atu ra ln eg o , używ anego w filozofii, co K siądz postu lo w ał w sw ym p oprzednim a rty k u le (str. 29)”.

J ó z e f Ż y c i ń s k i : „Serdeczne dzięki za dodatkow e in fo rm acje. W i­ dzę z nich, że różnice m iędzy n am i dotyczą nie tyle m e r itu m co o d ­ m ienności zastosow ań tw ierd zen ia. Z gadzam się oczywiście, że m ożliw e b yłyby fo rm alizacje odm ienne dla każdego sy stem u i nieobciążone ró ż­ n icam i treśc i łączonych z tą fo rm alizacją. M nie chodzi je d n a k o od­ m ien n ą sytuację, niż o tę, w k tó re j m a teria liśc i m a ją sw oją a k s jo m a ­ ty k ę zaś sp iry tu a liśc i sw oją. P isząc o skolem izacji m y ślałem o p rzy ­ szłym system ie m etafizyki, k tó ry — np. w sposób podobny do m e tafiz y k i W h iteh ead a — zyskałby uznanie m atem aty k ó w , przyro d n ik ó w , filozo­ fów u k az u ją c a tra k c y jn ą w izję filozoficzną. G dyby sy stem te n w do­ d a tk u (przew aga n a d W hiteheadem ) sform alizow ano, istn ia ła b y p o k u sa in te le k tu a ln a u zn a n ia go za n ajw łaściw szą m etafizykę. W m ej opinii, skolem izacja w yklucza m ożliw ość takiego ro zstrzygnięcia, gdyż ze sfo r­ m alizow aną te o rią now ej m e tafiz y k i m ożna łączyć głęboko zróżnico­ w ane treści, zaś k o lejn e rozszerzenie ak sjo m a ty k i nie będzie w stanie p rzeciw działać w ielości stanow isk. M ym celem b yło w ięc fu tu ry sty c z n e w ykluczenie pew nych złudzeń, że uda się osiągnąć je d en sy stem filo ­ zoficzny, w k tó ry m fo rm a liz ac ja położy k res w cześniejszym dysputom . Z gadzam się, iż pojęcie „dowolnie w ysokich m ocy nieskończonych” nie je st szczególnie p otrzebne w ty m w yw odzie. Co n ajw y ż ej sa n k cjo n o w a­ łoby ono pew ne w y ra fin o w a n e k o n stru k c je (dotyczące nieskończonej podzielności dow olnych cząstek fizycznych, ap ro k sy m aty w n eg o c h a ra k te ­ ru w szelkich k w an to w ań , etc.), k tó re n ie należą do isto ty te m a tu . Isto tn y je s t fa k t m o ż l i w o ś c i istn ie n ia m odeli niezam ierzonych, n ie sta n ­ dardow ych, w ty m ta k że nieizom orficznych.

By nie sk ład ać p latońskiego w y zn an ia w iary lu b opow iadać się za P o p p ero w sk ą te o rią św iata n r 3, sądzę, iż w y sta rc za sam f a k t uw zględ-

n ie n ia m o ż l i w o ś c i istn ie n ia n ie sta n d ard o w y c h in te rp re ta c ji. Obo­ ję tn e je s t w tedy, czy będ ą one istnieć w u m y słac h filozofów, czy w p u b lik a cjac h . W ażny pozostaje fa k t, iż ich s tr u k tu r a re la c y jn a będzie spełniać ak sjo m a ty sfo rm u ło w an e w odnośnej form alizacji.

P rz y zn a ję, iż sto su ję te rm in „ in te rp re ta c ja ” w trze ch znaczeniach, co mogło u tru d n ić zrozum ienie m ego w yw odu. S ądzę je d n ak , iż n ie popełniłem błęd u qu aternio te rm in o ru m , gdyż — w o stateczn y m roz­ r a c h u n k u m iędzy zd an iam i in te rp re ta c ji u in te r p re ta c ji 2 i in te rp re ta c ji 3

zachodzi ściśle o k reślo n y zw iązek logiczny, k tó ry decyduje, iż n asz p rz e ­ k ła d z języka logiki n a język filozofii pozostaje n ie n ag a n n y pod w zglę­ dem fo rm aln y m . Ściśle b iorąc, poniew aż rzeczyw istość fizyczna jest ty lk o jedna, n a poziom ie in te rp re ta c ji i (św iat — teoria) będzie w y stę­ pow ać różnica praw dziw ości poszczególnych in te rp re ta c ji; nie będzie m ożna jej je d n a k ściśle odkreślić, gdyż nie istn ie ją śro d k i um ożliw iające jednoznaczne stw ierdzenie, co stanow i w istocie o b ie k ty w n ą rzeczy­ w istość.

S ądzę — podobnie ja k P a n i — iż w n i e k t ó r y c h p rzy p a d k ach k o n stru k c ja m odeli niezam ierzonych p rzy p o m in a p o sz u k iw an ie k ra sn o ­ ludków . S ą je d n a k dziedziny, gdzie zaw odzi in tu ic ja i n ie w iadom o, czy hip o tety czn y k ra sn o lu d e k m oże ta m jeszcze istnieć, czy też n ależy sto­ sow ać do niego b rzy tw ę O ckham a. K iedy dochodzim y np. do w izji św ia ta prop o n o w an ej w absu rd y zm ie S a r tre ’a czy d estru k c jo n iz m ie D erridy, u lo g ik a w izje te w y w o łu ją o d ru c h p ro testu , zaś a rty śc i z n a jd u ją w nich p asjo n u ją c ą koncepcję. P ro b le m w tym , iż w szelka w iedza su p o n u je przedw iedzę, k tó rą ak c e p tu je m y w nieskom ceptualizow anej p ostaci p rze­ n ik a ją c e j n aszą psyche. T a w ła śn ie p rzedw iedza będzie sk łan iać do poszukiw ania m odeli niezam ierzonych przez tw ó rcó w fo rm a liz ac ji”.

Isto tę k o n tro w e rsji m iędzy J . Ż ycińskim a A. L e m a ń sk ą m ożna u jąć n astęp u jąco . J. Ż yciński tw ierd zi, że w y n ik i u zy sk an e w tw ie rd z en iu L öw en h eim a-S k o lem a m ożna e k stra p o lo w ać n a obszar rozw ażań filozo­ ficznych, a w ięc stosow ać, je poza m e ta m a te m a ty k ą . A. L em ań sk a u w aż a zaś, że ta k czynić m ożna jedynie pod w a ru n k ie m p rze p ro w a­ dzenia dow odu, że i w ty m now ym obszarze d an e tw ie rd z en ie będzie w dalszym ciągu obow iązyw ać. Tego J. Ż yciński nie pokazał.