lim lim

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych.

Zbiór wszystkich uporządkowanych układów (x1,x2,…..,xn) n liczb rzeczywistych ( n ≥ 1) nazywamy przestrzenią n – wymiarową Rⁿ.

Zbiór Rⁿ

z metryką







 ⁿ

i

i

i q

p Q

P d

1

)2

( )

,

( nazywamy n -wymiarową przestrzenią

kartezjańską.

n n n

n

n P p p p Q q q q Q q q q R

p p

p

P( ₁, ₂,..., ) ( ₁, ₂,..., ), ( ₁, ₂,..., ) ( ₁, ₂,..., ) . Odwzorowanie ^{f :D R DRn} nazywamy funkcją rzeczywistą n zmiennych. D dziedzina funkcji

) ,...., , ( )

,...., ,

(x₁ x₂ x_n z f x₁ x₂ x_n .

Przykład. (x,y)zx²y² DR². ^{( , , )} 2 ¹2 _z2  ³ ^(0,0,0)



 

 D R

y u x

z y

x .

Wykres funkcji

^{f :D R DRn} jest to zbiór punktów w przestrzeni R^n1 o współrzędnych D

x x

x x

x x f x x

x , ,...., _n, ( , ,...., _n)) ( , ,...., _n)

( _{1 2 1 2 1 2} .

Granica i ciągłość funkcji.

Ciąg punktów P_k (p₁^(k),p₂^(k),...,p_n^(k)) k 1,2,3.... jest zbieżny do punktu P₀ (p₁⁽⁰⁾,p₂⁽⁰⁾,...,p_n⁽⁰⁾) wtedy i tylko wtedy gdy

n l

p p

P P

d

_l^k _l

k k

k

,...., 2 ,1 0

) ,

(

₀

lim

^{( ) (0)}

lim

_

^{ }

_

^{ }

^.

Przykład. ,0,1)

3 ( 1 1)

1, 2, 3

( 3   ₀ 



 P

k k k k

P_k k Liczbę g nazywamy granicą funkcji _{f :DR} w punkcie P0

i piszemy

f P g

P P





)

lim (

0

jeżeli dla każdego ciągu

 

P_k zbieżnego do P0 ciąg



f(P_k)



jest zbieżny do g. Przykład.

3 2

2 ) 1 , 2 ( ) ,

(

lim

_{ }

_x ^x _{ y} ^

y x

. Funkcja _{f :DR} jest ciągła w punkcie

P0 jeżeli

lim ( ) (

₀

)

0

P f P f

P P





. Funkcja _{f :DR} jest

ciągła w zbiorze Z jeżeli jest ciągła w każdym punkcie zbioru Z.

Pochodne cząstkowe

Niech ^{f :D R DRn} oznacza funkcję n zmiennych określoną w otoczeniu punktu )

,..., ,

( ₁⁽⁰⁾ ₂^{(0) (0)}

0 x x xn

P  . Niech xi oznacza przyrost zmiennej ^xi ⁱ1,2,....,ⁿ taki, że )

,..., ,....,

,

(x₁⁽⁰⁾ x₂⁽⁰⁾ x_i⁽⁰⁾ x_i x_n⁽⁰⁾

P  należy do otoczenia

P0 .

Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji

^f

względem zmiennej

xi

w punkcie

P0

nazywamy granicę właściwą

i x

x i

x

P f x f

P f P f

i

i



 

 







) ) (

( ) (

0 0 '

lim

0 ^.

Znajdowanie pochodnych cząstkowych nie jest niczym nowym w stosunku do znajdowania pochodnych funkcji jednej zmiennej. Rozpatrujemy funkcję ^f jako funkcję zmiennej xi a pozostałe zmienne traktujemy jako parametry i obliczamy pochodną względem zmiennej xi korzystając ze wzorów i twierdzeń wprowadzonych dla funkcji jednej zmiennej.

Pochodną funkcji ^{f :D R DRn} jest wektor

f

^'

  f

x₁^'

^, f

x^'₂

^,..., f

x^'_n



utworzony z pochodnych cząstkowych.

Przykład. a). f(x,y)x²2xy y DRxR_ 



(x,y):x,yR,y0



y

x x f

f

x^' 2 2

 

 ^_y^{f  fy' 2x}₂¹_y

b). ^{f(x,y)xy ln(xy) D}



^{(x,y):x,yR,x0,y0}



yx x

xy y yx

x f

f _{y y}

x

1

1 ₁

1

'    

 

 _{ }

^_^f_y ^{ fy' xylnx}_xy^{1 xxylnx1}_y .

Pochodna cząstkowa pierwszego rzędu pochodnych cząstkowych xi

f



 nazywamy pochodnymi

cząstkowymi drugiego rzędu funkcji ^f co zapisujemy i j n x

x f x

f

x_{j i i j}  





 



 











 1 ,

2

.

Przykład. ^{z f(x,y)sin(xy2) DR2} z^' cos(x y²) x

z

x  

 

 ^z_y ^z'y ^2ycos(x ^y2)





) sin(

2 ))

(cos( ^{2 ' 2}

'' ' 2

y x y y

x f

y z x

z

y xy

xy     

 





) sin(

2 )) cos(

2

( ^{2 ' 2}

'' ' 2

y x y y

x y f

x z y

z

x yx

yx     

 





) sin(

))

(cos( ^{2 ' 2}

'' '' 2 2 2

y x y

x f

x z z x x

z

x xx

xx     

 









) sin(

4 ) cos(

2 )) cos(

2

( ^{2 ' 2 2 2}

'' '' 2 2 2

y x y y

x y

x y f

y z z y y

z

y yy

yy       

 

 







Twierdzenie (Schwarza) Jeżeli funkcja z f(x₁,x₂,....,x_n)

ma w pewnym obszarze ciągłe pochodne

cząstkowe mieszane drugiego rzędu

i j j

i x x

f x

x f











^{2 2}

oraz

to w każdym punkcie tego obszaru

i j j

i x x

f x

x f





 





^{2 2}

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Mówimy, że funkcja z  f(x,y) określona w otoczeniu punktu P₀ (x₀,y₀) ma w punkcie P₀ (x₀,y₀) maksimum ( minimum), jeżeli dla wszystkich punktów ^{P(x,y )} tego otoczenia zachodzi f(P₀) f(P)

)) ( ) (

(f P₀  f P Twierdzenie

Jeżeli funkcja z  f(x,y) ma pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu w punkcie P₀ (x₀,y₀) oraz

1^o f_x^'(x₀,y₀)0 ⁽ 0^, 0^{) 0}

' x y 

f_y

2⁰ W(x₀,y₀)0 gdzie

'' ''

'' ''

), (

yy yx

xy xx

ff yx ff

W 

to funkcja ^f na w punkcie P₀ (x₀,y₀) ekstremum lokalne. Ponadto a). Gdy f_xx^''(x₀,y₀)0to występuje maksimum lokalne ( f_max(x₀,y₀) f(x₀,y₀)) b). Gdy f_xx^''(x₀,y₀)0 to występuje minimum lokalne ( f_min(x₀,y₀) f(x₀,y₀))

W przypadku gdy W(x₀,y₀)0 i spełniona jest własność 1^o to nie występuje ekstremum lokalne (tzw.

punkt siodłowy). Gdy W(x₀,y₀)0 i spełniona jest własność 1^o to problem jest nierozstrzygnięty.

Przykład. Wyznaczyć ekstremum lokalne funkcji _z  _f(x,y) _y3_12x2_y_24xy

_{D R}²

f  )

1 ( 24 24

' 24xy y  y x

z_x

^{zy 3y 12x 24x}

2 2

'   

. Znajdujemy punkty podejrzane o występowanie

ekstremum zgodnie z własnością 1^o twierdzenia

0 24 12

3

0 ) 1 ( 24

2 2 ' '















x x

y z

x y z

y x

Rozwiązując układ równań mamy a). y0 to 12x(x2)0 to A(0,0) B(2,0) b). ^{x1 to 3y2123(y-2)(y2)0 to C(1,2) D(1,2)}

zxy^'' ⁽²⁴y⁽x^1)'y ²⁴⁽x¹⁾ zyx^{'' z}yy^'' (3^y2 12^x2 24^x)^'y 6^y

6 ) 1 24(

)1 24(

),( 24

y x

x yx y

W 

 

Sprawdzając spełnienie własności 2⁰ twierdzenia mamy

Dla A(0,0)

0576 0 24- 24- 0

)0,0( W 

nie występuje ekstremum.

Dla B(2,0)

0576 0 24 24 0

)0,2( W 

nie występuje ekstremum.

y x

y

z_xx^'' (24 ( 1)_x^' 24

Dla C(1,2)

0576 12 0 0 48

)2,1( W 

występuje ekstremum. Ponieważ z_xx^'' (1,2)480

to występuje minimum f_min(1,2) f(1,2)16

Dla D(1,2)

0576 12 0 0 48

)2,1( 



 

W

występuje ekstremum. Ponieważ z_xx^'' (1,2)480

to występuje maksimum f_max(1,2) f(1,2)16

Funkcja uwikłana

Załóżmy, że dane jest równanie F(x,y)0 przy czym funkcja zF(x,y) jest określona w pewnym obszarze D do którego należy punkt P₀(x₀,y₀).

Twierdzenie Jeżeli funkcja zF(x,y) ma ciągłe pochodne F , x^' Fy^' w pewnym otoczeniu punktu P0 oraz F(P₀)0 , _{( ) 0}

0

' P 

F_y to istnieje otoczenie punktu

x0 w którym równanie F(x,y)0 określa dokładnie jedną funkcję uwikłaną y y(x) ( tzn. F(x,y(x))0 dla x z otoczenia x0 } spełniającą warunek y(x0)  y0 i mającą pochodną określoną wzorem

) , (

) , ) (

(

' _'

'

y x F

y x x F

dx y dy

y

 x



 _.

Przy założeniu ciągłości pochodnych cząstkowych drugiego rzędu funkcji F u obszarze D mamy

'3

'2 '' ' ' 2 ''

'

'' 2

) ( ''

y

y yy y x xx y

xx

F

F F F F F F

x F

y  



 .

Uwaga. Obliczając całki stosując metodę podstawiania t g(x) można związek ten przekształcić do równoważnej zależności h(t)s(x) między tymi zmiennymi. Daje to równanie F(t,x)h(t)s(x)0 dla której funkcja podstawienia t  g(x) jest funkcją uwikłaną tego równania. Wtedy F_t^.(t,x)h'(t)

) ( ' ) ,

'(t x s x

F_x   a więc '( )

) ( ) '

(

' h t

x s dx x dt

g   czyli h'(t)g'(x)s'(x) i h'(t)dt  s'(x)dx









^f(^g(^x))^s'(^x)^{dx f}(^g(^x))^h'(^t)^g'(^x)^{dx f}(^g(^x))^h'(^g(^x))^g'(^x)^dxztwnapodstawian^ ie ^f(^t)^h'(^t)^dt

.

.

Twierdzenie . a). Jeżeli funkcja zF(x,y) ma ciągłe pochodne F , x^' Fy^' w pewnym otoczeniu punktu P₀(x₀,y₀) oraz F(P₀)0 , to równanie F(x,y)0 określa krzywą na płaszczyźnie OXY do której należy punkt P0 ( funkcja uwikłana jest częścią tej krzywej ). Równanie prostej stycznej do tej krzywej i do wykresu funkcji uwikłanej w punkcie P₀(x₀,y₀) ma postać ^{( )( ) (} 0⁾⁽ 0^{) 0}

' 0 0

' P xx F P yy 

F_{x y} .

Stąd wektor pochodnych ^{( )}



^{( ), (} 0⁾



' 0 ' 0

' P F P F P

F  _{x y}

jest prostopadły do prostej stycznej a więc i do krzywej w

P0 .

b). Jeżeli funkcja uF(x,y,z) ma ciągłe pochodne F , x^' Fy^' , F_z^' w pewnym otoczeniu punktu )

, ,

( _{0 0 0}

0 x y z

P oraz F(P₀)0 , to równanie F(x,y,z)0 określa powierzchnie w przestrzeni OXYZ ( jako zbiór punktów których współrzędne spełniają to równanie ) do której należy punkt P0 . Równanie płaszczyzny

stycznej do tej powierzchni w punkcie P₀(x₀,y₀) ma postać 0

) )(

( ) )(

( ) )(

( _{0 0} ^' _{0 0} ^' _{0 0}

' P xx F P yy F P zz 

F_{x y z} .

Stąd wektor pochodnych ^{( )}



^{( ), ( ), (} 0⁾



' 0 ' 0 ' 0

' P F P F P F P

F  _{x y z}

jest prostopadły do płaszczyzny stycznej a więc i do powierzchni w punkcie P0 .