Wykorzystanie algorytmów ewolucyjnych do rozwiązania wybranego problemu szeregowania zadań z ruchomymi realizatorami

(1)

ZESZYTY N A U K O W E POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: A U TO M A TY K A z. 134

2002 N r kol. 1554

Jerzy JÓ ZEFC ZY K , W ojciech THOM AS Politechnika W rocław ska

WYKORZYSTANIE ALGORYTMÓW EWOLUCYJNYCH DO ROZWIĄZANIA WYBRANEGO PROBLEMU SZEREGOWANIA ZADAŃ Z RUCHOMYMI REALIZATORAMI*

S treszczenie. W pracy je st rozw ażane specyficzne, proste zagadnienie szeregow ania zadań, w którym należy uw zględniać ruch realizatorów. O graniczono się do szeregow ania zadań niezależnych i niepodzielnych na realizatorach dow olnych w celu m inim alizacji długości uszeregowania. Do rozw iązania sform ułowanego problem u optym alizacyjnego zastosow ano i przedstawiono dwie w ersje algorytmu ew olucyjnego. Zaprezentowano wybrane rezultaty badań symulacyjnych, w których dokonano eksperymentalnej oceny rozpatrywanego algorytmu rozwiązania.

APPLICATION OF EVOLUTIONARY ALGORITHMS TO SCHEDULING OF TASKS ON MOVING EXECUTORS

S u m m a ry . Scheduling o f m anufacturing tasks on m oving executors for a sim ple case is considered in the paper. The problem o f independent and non-preem ptive tasks as w ell as unrelated executors w ith m akespan as the perform ance index is investigated.

T he corresponding optim ization problem is formulated and solved using two versions o f an evolutionary algorithm . The results o f sim ulation experim ents, w hich verify the quality o f the solution algorithm, are given.

1. Wstęp

Rozpatryw anie coraz bardziej złożonych i bliższych zastosow aniom praktycznym problem ów decyzyjnych z zakresu szeroko pojętych badań operacyjnych, w tym rów nież dla dyskretnych system ów produkcyjnych, wym aga poszukiw ania nowych, skutecznych m etod i

Praca została wykonana w ramach realizacji projektu badawczego nr 7 Tl 1A 039 20 pt. „Algorytmy podejmowania decyzji i uczenia w systemach niepewnych i kompleksach operacji”, finansowanego przez Komitet Badań Naukowych.

(2)

234 J. Józefczyk, W. Thomas

algorytm ów rozw iązania. M etody i algorytmy sztucznej inteligencji, a także tzw.

m etaheurystyki są obecnie pow szechnie stosowane do rozw iązyw ania takich problemów.

P rezentow ana praca odnosi się do system u operacyjnego, nazywanego dalej kompleksem operacji. System taki składa się z operacji (zadań, czynności) pow iązanych ze sobą na zasadzie kolejności czasowych. S ą form ułowane dla niego różne problem y decyzyjne zw iązane m .in. z w ykorzystaniem realizatorów (maszyn, procesorów) oraz innych zasobów niezbędnych do w ykonania w określony sposób operacji z danego kom pleksu. W pracy przedm iotem rozw ażań je s t specyficzny problem szeregow ania zadań, w którym czasy w ykonyw ania zadań nie s ą dane a priori. W ykonywanie operacji przez realizatory w iąże się z koniecznością ich ruchu (jazdy), tzn. realizatory w celu wykonania zadania m u sz ą dojechać do obiektu, na którym m a być ono wykonane. Poniew aż czas tego dojazdu nie m oże być z góry określony, stąd w spom niana nieznajom ość czasów wykonania zadań. D la takiego problem u rozw iązano szereg zagadnień szczegółowych, wyznaczając przy tym wiele algorytm ów rozw iązania, zarówno dokładnych (problem je st N P -trudny), ja k i heurystycznych, np. [2-5]. Rozw ażano m.in. zagadnienia szeregowania z takim i kryteriami jakości, jak : długość uszeregow ania, maksym alne opóźnienie i sum a m om entów zakończenia zadań. Z ostała rów nież podjęta próba rozszerzenia dotychczasowych badań w kierunku zastosow ania algorytm ów ewolucyjnych do rozwiązania, pow stałego w w yniku formalizacji zagadnienia, problem u optym alizacji dyskretnej. W rozdziale 2. je s t krótko sformułowany rozpatryw any problem szeregowania. N astępny rozdział je st pośw ięcony opisowi stosowanych algorytm ów rozw iązania. W kolejnych rozdziałach s ą prezentowane odpow iednio: wyniki badań symulacyjnych i uwagi końcowe.

2. Sformułowanie problemu

N a początku w prow adźm y podstaw ow e określenia i oznaczenia. Ruch realizatorów pow oduje, że operacje technologiczne, które odtąd będ ą określane jako zadania, są w ykonyw ane w różnych m iejscach - nazywanych dalej stanowiskam i. Ponadto zakładamy, że na każdym stanow isku, a w łaściw ie na zlokalizow anym tam obiekcie, realizator wykonuje tylko je d n o zadanie. O ba zbiory, tj. zadania i stanowiska, s ą oznaczane jako H= {1,2 gdzie H je s t liczb ą zadań bądź stanowisk. Dodatkow o w yróżnia się stanowisko, będące bazą dla realizatorów , z którego każdy realizator musi w yruszyć przed rozpoczęciem wykonywania pierw szego zadania i pow rócić po w ykonaniu ostatniego. B aza je s t oznaczana jako h = H + 1.

W tedy H = Hu { H +1} je s t zbiorem stanow isk w raz z bazą. Podobnie Ri R s ą odpowiednio zbiorem i liczb ą stanow isk. N ajw ażniejszą charakterystyką zadań s ą czasy ich wykonania

(3)

W y k o rzy stan ie a lg o ry tm ó w ew olucyjnych. 235

przez poszczególne realizatory. Czas w ykonania bieżącego zadania h przez bieżący realizator r, tj- r r<h= r r h +Trigth , r = 1,2, . . . , R h = 1,2, . . . , H g = 1,2, + je st sum ą czasu dojazdu tego realizatora ze stanow iska g, czyli i r,g,h > oraz czasu w ykonania czynności na stanowisku h, czyli f rj x. Ze w zględu na założenie, że każdy realizator musi zjechać do bazy po zakończeniu wykonyw ania w szystkich zadań, dodatkowo przez t r g f j +\ oznaczam y czas dojazdu realizatora r do bazy ze stanowiska g, g = l,2 H.

R ozw ażany problem szeregow ania m ożna sform ułow ać jako problem optymalizacji dyskretnej co najmniej na dw a rów now ażne sposoby. Jeden z nich prowadzi do tzw.

problem u wyjściow ego PW [2] z trójw ym iarow ą m acierzą binarną jako zm ienną decyzyjną o postaci y = [yr g h \ = \ 2 R > gdzie Yr g h = 1(0), jeżeli realizator r w ykonuje zadanie h

g,h’4 , 2,’...,tf+l

po dojeździe ze stanow iska g (w przeciw nym przypadku). Jako wskaźnik jakości szeregowania przyjęto długość uszeregowania. N a m acierz decyzyjną nałożono ograniczenia zapewniające, że każde zadanie będzie wykonane, trasy realizatorów są ciągłe, każdy realizator jed en raz w yjeżdża z bazy oraz trasy dla realizatorów s ą cyklami H am iltona [5].

Długość uszeregow ania m ożem y przedstaw ić w postaci następującego wyrażenia H + l H + l

Q(Y) ~ max Y j r , g , h ( * r . h + * r , g , h ) } - ( i)

r-1’2 R

^h=\

g=l

Szeregowanie zadań z ruchomym i realizatoram i polega na w yznaczeniu dopuszczalnej macierzy y tak, aby m inim alizow ać kryterium (1) - dla danych: zbioru zadań (stanowisk)

H , zbioru realizatorów R oraz macierzy czasów dojazdów i = [ i r^ <h]r=\,2, - , R 1

g,h = \a,’.:,ff + \

macierzy czasów wykonyw ania czynności na stanow iskach f = [ f r h ]r=12 r ■

h = H Z H

Faktycznym i w ynikam i szeregow ania są trasy przejazdów realizatorów, które m ożna określić na podstaw ie tych elem entów macierzy y , które są równe jeden. Tylko takie elementy dla ustalonego r s ą brane pod uwagę przy w yznaczaniu trasy dla realizatora r, r = 1,2,..., R . Trasy są w yrażone w postaci ciągów stanowisk o początkach i końcach w bazie. S ą oznaczane jako M r = (jnr { j ) ) j - \ 2 , . . . , M r ^ gdzie mr ( j ) i M r to odpowiednio j — ty elem ent trasy i jej długość. W artość bieżącego elem entu trasy M r , tj. m r ( j ) = h ,

= 1,2,..., M r , je st rów na num erowi stanow iska (zadania), dla którego y r,mr(j-\),mr( j ) = 1 >

(4)

gdzie m r (0) = H + \ . Jeżeli realizator dojeżdża do stanowiska mr ( j ) , to m usi je również opuścić. W tedy r r,mr(j-\),mr( j) = 1 = > (3 ! mr U + l ) e H ) ( r r , m r (j),mrU + V =]) - Tak wi?c na podstaw ie m acierzy y trasy M r m o g ą być w yznaczone w sposób iteracyjny.

3. Algorytmy rozwiązania

O prócz opracow yw ania tradycyjnych algorytmów rozw iązujących problem optym alizacyjny sform ułowany w poprzednim rozdziale, podjęto rów nież próbę w ykorzystania algorytm ów ewolucyjnych. M im o swoich oczywistych w ad związanych głów nie z czasem uzyskiw ania rozw iązań są one ostatnio coraz częściej stosowanym narzędziem do w yznaczania optim ów globalnych różnych problem ów optymalizacyjnych - rów nież z zakresu optym alizacji dyskretnej. W dalszym ciągu przedstaw im y algorytm szeregow ania oparty na podejściu ewolucyjnym. W prow adzim y w pierw podstaw ow e pojęcia i oznaczenia w łaściw e dla takich algorytmów. Rozwiązanie dopuszczalne, będące w rozw ażanym przypadku trasam i poszczególnych realizatorów , je st zapisyw ane w form ie ciągu genów ( g j,g 2 > —>Sm ) 0 długości M = H + R . Ciąg ten je st podzielony na dw ie części.

P ierw sza składa się z H, a druga z R elementów. W drugiej części zapisano liczby zadań wykonyw anych przez realizatory r, r = 1,2,..., R , czyli g j y +r = M r . W pierwszej części kolejno dla poszczególnych realizatorów są zakodowane trasy przejazdów realizatorów w postaci num erów w ykonywanych przez nie zadań. Bieżący elem ent j = 1,2 ,...,M r trasy M r r-tego realizatora, będący num erem odpowiedniego stanow iska (zadania), jest

r-1

zapisany ja k o g m , gdzie m = j +

2 >

oraz M q = 0 . Trasy M r zaw ierają ciągi zadań i=0

wykonyw anych przez realizatory i s ą uzupełnione przez bazę H + 1, stanow iącą początek i koniec każdej trasy. Efektywność algorytm ów ewolucyjnych, polegająca na osiąganiu ekstrem ów globalnych funkcji, silnie zależy od wartości param etrów tych algorytmów, takich jak: liczność populacji I, liczba iteracji (liczba pokoleń) J, a przede wszystkim praw dopodobieństw o krzyżowania p t i praw dopodobieństw o m utacji p 2. Zastosowanie podstaw ow ego schem atu algorytm u genetycznego polega na urucham ianiu w kolejnych iteracjach podstaw ow ych operatorów genetycznych, tzn. selekcji, krzyżowania i m utacji. Do selekcji zastosow ano m etodę turniejow ą, a do krzyżow ania procedurę PM X. Jako funkcję

(5)

W ykorzystanie a lg o ry tm ó w ew olucyjnych.. 237

przystosowania w prost przyjęto kryterium jakości szeregowania, czyli długość uszeregowania. Zastosow anie podstawowego schem atu nie przyniosło zadowalających wyników, dlatego zaproponowano i opracowano nowe wersje algorytm u ewolucyjnego, w których w odm ienny sposób w stosunku do klasycznego schem atu algorytmu genetycznego, ustalano podstaw ow e jego parametry, jakim i są praw dopodobieństwo krzyżowania p ] i praw dopodobieństw o mutacji p 1 . W pierwszym przypadku dokonano adaptacji tych praw dopodobieństw w trakcie przebiegu algorytmu ewolucyjnego. Odpowiedni algorytm je st określany ja k o a l g o r y tm e w o lu c y jn y z a d a p ta c ją . Ponadto do wyznaczania tych prawdopodobieństw zastosow ano odpowiedni proces uczenia, a uzyskany algorytm rozwiązania nazw ano a l g o r y tm e m e w o lu c y jn y m z u c z e n ie m . W prowadźm y w pierw następujące oznaczenia:

I j - j - ta iteracja (populacja) algorytmu ewolucyjnego,

i, i = 1,2,..., / - num er osobnika w populacji o liczności I (przyjmujemy, że wszystkie populacje s ą tak samo liczne),

Oj0 - w artość kryterium (funkcji przystosowania) dla r-tego osobnika w j - tej iteracji,

Q j , Q j , Q j - odpow iednio m inim alna, maksym alna i średnia wartość kryterium w j - tej iteracji.

3.1. A lg o ry tm ew olucyjny z a d a p ta c ją

W tym przypadku praw dopodobieństw a krzyżowania i m utacji s ą ustalane na podstawie w artości funkcji przystosowania w iteracjach bieżącej i poprzedniej, czyli

P I J = < K Q .f, Q f , Q f , Q % , Q j \ ,.... Q % ), I = 1,2 j = 2,3,..., J

( 2 )

W pracy [4] podano kilka w ersji ustalania tych prawdopodobieństw. N ajskuteczniejsza z nich, wykorzystująca propozycję przedstaw ioną w pracy [6], je st następująca

P I J P\

f i ) - 6 ;

Q j - Q , ⁽³⁾

P u

dla

Q' j >Qj ,

(6)

gdzie Q'j je s t w artością kryterium dla rodziców ; j , / 2 e / y , obliczoną według jednego ze w zorów Q'j = 0,5(£?j'l) + Q {-Jn)) lub g j = m in{g}',), g j '2)} oraz /j,,/? , e ( 0 , 1] s ą danymi w spółczynnikam i. Praw dopodobieństw a m utacji dla osobników są w yznaczone w edług wzoru

qV - q

.

" - d l a (4)

P 2 J = ] P l

Q j ~ Q : P2, dla Q f > Q j ,

gdzie P i , P i e (0,1] s ą danym i w spółczynnikam i. Proponowany sposób ustalania obu praw dopodobieństw zapew nia, że do następnej populacji s ą przenoszone osobniki (rozw iązania) o najlepszych w artościach kryterium. Pozostałe rozw iązania uczestniczą w poszukiw aniu rozw iązań w now ych obszarach zbioru rozw iązań dopuszczalnych.

3.2. A lg o ry tm ew olucyjny z uczeniem

Innym sposobem w yznaczania obu praw dopodobieństw lub tylko jednego z nich jest zastosow anie uczenia. P unktem w yjścia przy uzasadnianiu celowości stosowania uczenia w rozw ażanym przypadku je s t w łaściw ość polegająca na tym, że wartości p , i p 2 m ają z jednej strony w pływ na jakość uzyskiwanego w yniku optymalizacji, ale z drugiej strony zależą od danych problem u optym alizacyjnego i (lub) innych param etrów algorytm u ewolucyjnego. W przypadku szeregow ania z ruchom ym i realizatoram i danym i tymi s ą przede wszystkim czasy dojazdów realizatorów do stanowisk, ale także czasy wykonyw ania czynności na stanow iskach. Param etrem algorytm u ewolucyjnego, mającym istotny w pływ na wartości p, i p 2, je s t w ielkość populacji I. Podam y teraz prosty przykład wyznaczania praw dopodobieństw krzyżowania i m utacji w procesie uczenia w wersji bez nauczyciela.

W kolejnych cyklach uczenia n, n - 0,1,... wartości p , , l = 1,2 są m odyfikowane w sposób rekurencyjny na podstaw ie wartości kryterium jakości szeregowania, oceniającego kolejne zm iany p t i p 2. W każdym cyklu uczenia n je st urucham iany algorytm ew olucyjny w celu w yznaczania w artości kryterium, ale za każdym razem dla nowych, generowanych losowo i niezależnych od w artości z poprzednich iteracji, danych problem u optym alizacyjnego i (lub) param etrów algorytm u ewolucyjnego. M ożna zaproponować różne algorytm y uczenia.

W rozpatryw anym przypadku sprawdzono dwie ich wersje

(7)

W ykorzystanie algorytm ów ewolucyjnych... 239

Pl O +1) = Pl («) - Ml (« W « ) .

(5)

gdzie /j[ (n ) = c l n b , c , b > 0 je st zm iennym w spółczynnikiem o w łasnościach Ml(n ) > 0,

00 00

Pl (« + !) = Pi O ) + Ml («)<*/ ( n ) a , (» ),

( ⁶ )

gdzie /r /( n ) = c / l n b' dla O, 0 7 («) = s g n |W / ( n - l ) - d / ( « ) ] oraz do w yznaczania dj (n) s ą wykorzystyw ane w artości funkcji przystosowania, tzn.

gdzie Q («) = m in { Q $ (« )} .

—m (=1,2,...,/

4. Badania symulacyjne

W celu w eryfikacji proponowanych w ersji algorytmów ewolucyjnych przeprow adzono badania sym ulacyjne. D la algorytm u ewolucyjnego z uczeniem przeprowadzono dw a rodzaje badań: badanie procesu uczenia oraz badanie efektu uczenia. W yniki badań przedstawiono m.in. w [4]. W pierw szym przypadku określano w pływ param etrów problem u szeregowania, np. liczby zadań H oraz liczby realizatorów R, a także param etrów algorytmu uczenia, np.

w spółczynników c oraz b na liczbę cykli uczenia N, po której zostanie osiągnięte kryterium stopu

gdzie £ e ( 0, 1], L i e to odpowiednio zadany współczynnik, liczba cykli uczenia uwzględnionych przy obliczaniu dokładności i dokładność uczenia. Innym em pirycznym w skaźnikiem oceniającym proces uczenia był względny czas w ykonyw ania obliczeń PT = T / T , gdzie T - c z a s obliczeń, a T - czas obliczeń problem u o najm niejszym rozmiarze.

L 2

(9)

(8)

Zaobserw ow ano znaczący w pływ liczby zadań H na czas obliczeń T (rys. 1). Jest to spow odow ane m.in. wydłużonym czasem selekcji dla problem ów o w iększych rozmiarach.

O kazało się rów nież, że proces uczenia dla różnych rozm iarów problem u wym aga zbliżonej liczby cykli (rys. 2). Sprawdzono rów nież wpływ param etrów algorytm u uczenia n a jego wynik, czyli praw dopodobieństw a p \ i p 2. Otrzymywano praw idłow e ich w artości dla szerokiego zakresu param etrów , np. rys. 3. Ocenę efektu uczenia, rozum ianego w sensie kryterium jakości szeregow ania, przeprow adzono wykorzystując losowo w ygenerowany ciąg testujący o długości D. Elem entem d , d = 1,2 D takiego ciągu była instancja rozw ażanego problem u z określonym i losowo: liczbą zadań, liczb ą realizatorów oraz m acierzam i czasów f i f . Problem szeregow ania dla każdej instancji rozwiązano dw ukrotnie, tzn. z wykorzystaniem algorytm ów ewolucyjnych z uczeniem oraz bez uczenia.

Rys. 1 . Zależność P t od H dla różnych R Fig. 1. Dependence o f P t on H for different R

Rys. 2. Zależność A' od H dla różnych R Fig. 2. Dependence o f N on H for different R

W przypadku uczenia praw dopodobieństw a p \ uzyskane wartości kryteriów jakości Q {y\p \) oraz Q { y \ p \ ) odpow iednio dla algorytm u z uczeniem oraz bez uczenia, gdzie p\ i p, to odpow iednio w artości praw dopodobieństw a krzyżowania uzyskane w w yniku uczenia oraz przyjęte a priori - zostały wykorzystane do w yznaczenia em pirycznych w skaźników jakości oceny algorytm u ew olucyjnego z uczeniem . Zaproponow ano trzy następujące form y takich w skaźników

D

d=l

m in {1Wd }, ci=1,2,.... D

W = m ax {W p},

d = \,2,...,D

(

¹⁰

)

gdzie W j = ( Q ( y ; p \ ' ) - Q ( y ; p \ ) ) I Q ( y , p \ ) . Podobnie ja k w przypadku badania procesu uczenia, określano w pływ zm ian param etrów problem u szeregow ania i algorytm u uczenia na

(9)

W ykorzystanie a lg o ry tm ó w ew o lu cy jn y ch .. 241

wskaźnik w yrażający cel badania - w tym przypadku na (10). Przykładowe wyniki przestawiono na rys. 4. Zastosow anie uczenia m ożna uznać za skuteczne, gdy wartości wskaźników w (10) są ujemne. Im m niejsze s ą to wartości, tym lepiej. Wyniki przedstawione na wykresie w skazują na m ożliw ość kilkuprocentowej poprawy działania algorytmu ewolucyjnego w w yniku uczenia prawdopodobieństw krzyżowania.

R y s. 3 . Z a le ż n o ś ć p t od i , d la ró ż n y c h ó 2 ^ s‘ Z a le ż n o ś ć IV, IV, IV^odH

F ig . 3 . D e p e n d e n c e o f p , on 6 , fo r d if f e re n t b² ^{F iE} - D e p en d en c e o f IV, W ,W on f f

5. Uwagi końcowe

W pracy przedstaw iono zastosowanie algorytmu ewolucyjnego do rozw iązania trudnego problem u optym alizacji dyskretnej, powstałego w w yniku formalizacji nieklasycznego zagadnienia szeregowania zadań, w którym je st konieczne uwzględnianie przem ieszczania się realizatorów , traktowanych jako podm ioty w ykonujące zadania. W stępne wyniki badania algorytm u rozw iązania w skazały na jego przydatność, ale z drugiej strony na konieczność dalszych m odyfikacji, przede w szystkim w celu skrócenia czasu obliczeń. Prace takie, w których je s t stosowany inny sposób kodow ania oraz udoskonalone operatory reprodukcji, s ą obecnie prowadzone. Stosow anie takich technik rozwiązywania trudnych problem ów optym alizacyjnych ja k algorytmy ewolucyjne, czy algorytmy hybrydowe, powstałe z połączenia różnych szczegółowych podejść, na przykład algorytm ów ewolucyjnych i algorytm ów sym ulowanego w yżarzania - je st szczególnie przydatne w przypadku rozpatryw ania bardziej złożonych problem ów szeregowania zadań z uw zględnieniem ruchu realizatorów.

(10)

LITER ATU RA

1. Baeck T.: Evolutionary A lgorithm s in Theory and Practice. Oxford U niversity Press, New Y ork 1996.

2. Józefczyk J.: Szeregow anie zadań w kom pleksie operacji z uw zględnieniem ruchu realizatorów . O ficyna W ydawnicza Politechniki W rocławskiej, W roclaw 1996.

3. Józefczyk J.: Scheduling tasks on m oving executors to m inim ise the m axim um lateness.

European Journal o f Operational Research, vol. 131,2001, pp. 171-187.

4. Józefczyk J.: A pplication o f genetic algorithm s for solving the scheduling problem with m oving executors. System s Science, vol. 2 7 ,2 0 0 1 , pp. 87-95.

5. Józefczyk J.: W ybrane problem y podejm ow ania decyzji w kom pleksach operacji. Seria

„M onografie K om itetu Automatyki i Robotyki PAN” , tom 2., O ficyna Wydawnicza Politechniki W rocław skiej, W arszaw a-W rocław 2001.

6. Srinivas M ., Patnaik M.: A daptive probabilities o f crossover and m utation in genetic algorithm s. IEEE Trans, on SMC, vol. 24, 1994, pp. 656-666.

Recenzent: Prof. dr hab. inż. Jerzy Klamka

A b s tra c t

T he paper concerns the decision m aking in a com plex operation system with application to discrete m anufacturing systems. The sim ple problem o f scheduling o f tasks on m oving executors is considered. The case o f independent non-preem ptive tasks as well as unrelated executors w ith m akespan as the perform ance index is investigated. The scheduling problem is stated as the discrete optim ization problem . For solving this problem the approach based on evolutionary com putations is used. Two versions o f m odified genetic algorithm called as evolutionary algorithm s are presented. For both cases, standard genetic operators are applied, i.e. the selection w ith the tournam ent m ethod and PM X procedure for the crossover.

The first evolutionary algorithm uses during the calculations the different values o f crossover and m utation probabilities, w hich are obtained via the process o f their adaptation. For the second version, these probabilities are results o f the learning process perform ed before starting the optim ization procedure. The solution algorithms are verified during simulation experim ents. The results concerning the second version are presented in the paper. The learning process and the results o f learning are evaluated. The second ones are understood as m akespan and both probabilities. The param eters o f the scheduling problem , i.e. the number o f tasks and the num ber o f executors as well as param eters o f the learning process are the basis for the evaluation