O pewnym zastosowaniu metody podziału i ograniczeń do rozwiązywania problemu szeregowania zadań

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚL ĄSKIEJ Serie: AUTOMA TY KA z. 63

________ 1982 Nr kol. 735

Lech OA MR OŹ

Politechnika Krakowska

o p e w n y m z a s t o s o w a n i u m e t o d y p o d z i a ł u i o g r a n i c z e ń DO ROZWIĄZYWANIA PROBLEMU SZEREGOWANIA ZADAŃ

S t r e s z c z e n i e . Optymalizacje zagadnienia szeregowania operacji Jest problemem pojawiaJęcym aię w bardzo wielu dyskretnych proc e­

sach produkcyjnych. Probiera ten Jeat szczególnie doniosły przy roz­

ważaniach praktycznych zag'adnień. W artykule przedstawiono metodę rozwięzanla problemu szeregowania bazujęcę na koncepcji metod po­

działu i ograniczeń.

1. UWAGI WSTĘPNE

Probiera optyraalizacji dyskretnych procesów produkcyjnych na poziomie ogólności praktycznych zsgsdnleń staje się trudny, spowodowane to Jest brakiem wclę ż efektywnych algorytmów. Problematyka ta więżę się przede wszystkim z zagadnieniem szeregowania operacji technologicznych na po­

szczególnych maszynach. Niniejszy artykuł poświęcony Jest rozwlęzywanlu zagadnienia szeregowania w ogólnyra procesie produkcyjnym, wyznaczaJęcego kolejność wykonywania poszczególnych operacji ralniraalizujęcę zadan.ę funk­

cję celu.

Kombinatoryezny aspekt zagadnienie szeregowania oraz zwlęzane z tyra trudności obliczeniowe Inspirowały nowy kierunek w teorii algorytmów, z w a ­ ny złożonościę obliczeniowę algorytmów. Złożoność obliczeniowa ro zpatry­

wa ne go zagadnienie 'jest NP-zupołna ponieważ NP-zupełny Jest probiera TRÓ3- PODZIAŁU, do którago redukowalny jeat problem o|3 lpAj " 1lcmax C10] •

W zwlęzku z tym do rozwięzanla problemu uzasadnione Jest wykorzystanie algorytmu opartego na koncepcji metod podziału i ograniczeń (b-a-b), w których wybór kolejnego rozwięzanla ze zbioru rozwięzań dopuszczalnych od­

bywa się zgodnie z ustalonym aposobera. W zasadzie istnieję trzy po dstawo­

we strategie przeszukiwania zbioru rozwięzań [l5].

i) w głęb drzewa rozwięzań (liniowe),

ii) ws ze rz drzewa rozwięzań (z węzła o minimalnej w a r t o ś c i ) , iii) heurystyczne.

Wybór konkretnej strategii do obliczeń numerycznych zależeć będzie od c h a­

rakteru rozwięzywanego problemu, na le ży zwrócić uwagę, że Jeżeli w s t r a ­ tegii i) zapotrzebowanie na panięć Jest funkcję l i n i o w ę , to w strategii

20 L. Oamroż

ii) Jest Już funkcję wykłednlczę. Modyfikacjo metody b-e-b obok al goryt­

mów heurystycznych sę najczęściej stosowanymi metodami v* rozwięzywaniu praktycznych zagadnień.

2. OGÓLNE P0DE3ŚCIE D O ZA GA DN IE NI A SZEREGOWANIA

Wyznaczanie rozwięzania zagadnienia szeregowania Jost głównie d z i e ­ dzinę optymalizacji ko mb in B t o r y c z n a J . Najwcześniejsze metody leżę u pod­

staw programowania ca łkowltollczbowego oraz technik płaszczyzn odcinaję- cych [l7]. Wówczas pojawiły się ważne numervcznie koncepcje, włęczajęc w to zarówno dekompozycję zagadnienia. Jak i pojęcie podziału i ogra ni cz e­

nia zbioru rozwięzań, które z powodzeniem wy ko rzystywano w późniejszych metodach.

Obecnie, najczęściej do rozwięzywsnia tych problemów stasowano sę al­

gorytmy oparte na następujęcych metodach:

i) podziału i ograniczeń £l, 4. 15, 19, 13], ii) programowania dynamicznego £3, 17, 13], iii) heurystycznych [3, 6. 20] ,

iv> optymalizacji aubgradientowej [14].

Przeględ wymienionych metod przedstawiaję w szczególności prace [ó, 13, 17].

Natomiast ze względu ns zwiększenie ofektywncści obliczeniowej algo­

rytmów stosowane obecnie podejścia należy zakwalifikować d o następujęcych klas :

i) etapowa konstrukcja rozwięzania.

Algorytm generuje rozwięzania poprzez sukeesywno dodawanie wiol- kości (^{o d}. łuku, wierzchołka) będęcej komponentem zagadnienie.

Dopuszczalne rozwięzanle znane Jest do piero po zakończeniu obli­

czeń (greedy algorlthm) [8, 9] . ii) kolejne ulepszenia rozwięzania.

Startujęc z do pu sz cz al ne go rozwięzania kolejne Jego uleoszenia lub zmiana dokonywano sę poprzez tzw. procedurę 3,-optlmum £20].

iii) dekompozycja oroblemu na cięg oodproblemów, w których do rozwię­

zania następnego korzystamy z rozwięzanls poprzedniego £3,18.26], iv) relaksacja zagadnienia, która polega na pominięciu pewnych klas

ograniczeń w modelach zagadnienie w celu otrzymywania korzystnych wa runków uzyskania globalnego rozwięzania £l2. 13, 19, 22].

v) ograniczanie przestrzeni dopuszczalnych rozwięzań.

W konkretnych zagadnieniach możliwo Jest zawężenie zbioru rtrzwię- zań dopuszczalnych do takiego zbioru, dla którego istnieje ef ek­

tywny algorytm £2 1. 24] .

D pewnym zastosowaniu matody podziału.. 21

3. MODEL FORMALNY OGÓL NE GO PROCESU DYSKRETNEGO

Deny Jest zbiór zadań D « (o,,02.0 R ) , który jast wy ko ny wa ny za pomocę zbioru maszyn M ■ (Mj ,M2 ,... ,MB ) . Każde zadanie 0 Jl e 0 składa się z sekwencji tni niepodzielnych operacji >°2i * ’°m i^ wykonywanych

/ 1 2 ■<. *

ze pompcę sekwencji maszyn ,£1^,... . 1 ). Dana maszyna w tej sa­

mej Jednostce czasu wykonuje co najwyżej Jednę operację. Każda operacja O > . wykonywana Jest nieprzerwanie w p .. Jednostek czasowych.

Ola ułatwienia przeindeksujemy dwuwskaźnikowe operacje w Jednowskeźni- kowe wg następujęcej zależności:

{ ° k l } - ~ { ° u } 1 " 1 - n - k " x ’m f « - ¿ V k - i-i

(1)

J-l J

W celu ustalania uwagi wprowadzimy dwie fikcyjne operacje, poczętkowę 0 Q oraz końcowę O p o zerowych czasach w y k o n y w a n i a , przy założeniu, że Og bezoośrednio poprzedza wszystkie operoeja 0^ , natomiast O p bezpośred­

nio następuje po ostatnich operacjach 0^ każdego zadania 0^ « O.

Wówczas otrzymujemy zbiór ogółu operacji

n

o - (o B , o1 K “2 " j ( 2 )

J-l

połączonych zb iorem łuków, będęcy zbiorem relacji między operacjami

- Ag U At U af , <3)

gdzie :

a b « | (B. + - zbidr łuków | (0B .01 1 )j f\ « O |

l j»i l

A t - | (u ,u+l)| u - 'y '«^ + 1,... . 1 • l.n

1 j-i

- zbiór łuków będęcych wymaganiami technologicznymi

a f C y m i ,F) - zbiór łuków

I

j A

* 3 j

J-l ' 1

22 L. Jamroż

m

(u.v)| ^ ¿ ( o u ) u ł v “ zbiór łuków reprozentujęcy l-ll

możliwe uozorogowania operacji no wspólnej maszynie.

Z każdą operację zwięzano Jest trójka wielkości (p^, ¿1^ . 3^) przypo- rzędkowujęca Jej odpowiednio czas wykonania, maszynę oraz zwięzek z kon­

kretnym zadaniom. Rozwiązaniem problemu Jest określenie takiego usze re go­

wania D 6 $ operacji na poszczególnych m a s z y n a c h , który minimalizuje na­

stępującą funkcję calu

C ( Om ^ ) - czas zakończenia realizacji operacji Om ^ ,

f(t) » t - liniowa, niemalejęce funkcje czasu.

Funkcja celu zapewnia efektywne wy korzystanie maszyn oraz realizację pla­

nu w możliwie najkrótszym czasie.

Powyższy model wygodnie sformułować w terminach grefu dysjunkcyjnego (]ł, 24] G >= ( v , $ u ¿9) w którym zbiór wi er zc ho łk ów reprezentuje zbiór ope­

racji, natomiast zbiór łuków sumę mnogościową zbiorów A oraz ćiB.

Graf y dysjunkcyjne pozwalają modelować zagadnienia mające stopień z ł o­

żoności ogólnych zagadnień typu Job-shop. W terminach grafu dyojunkcyjne- go, wykorzystując Jego własności, budowane są algorytmy oparto na jczęś­

ciej na metodach podziału i ograniczeń [4 , 12, 13, 19, 2 4 J.

Przedstawiony model pozwala uwzględniać:

- seryjną produkcję w y ro bó w w i e l o a s o r t y n e n t o w y c h ,

- określonym wyrobem wp ro wadzonym do ciągu technologicznego dysponuje się po zadanym czasie,

- maszyna przygotowano do wykonania poszczególnej operacji wykonuje całą serię. W związku z tym pojęcie operacji odnosić się będzie do całej se­

rii wyrobów, ,

- przezbrojenia mogą być wykonywano na granicsch cz as ów harmonogranowa- nia. W celu zmniejszenia liczby przezbrojeń wyznacza się optymalne d ł u­

gości serii, przy których czas przezbrojeń Jest minimalny 1 pomijany.

W praktycznych dyskretnych procesach produkcyjnych tego typu za gadnie­

nia występują w taśmowej produkcji wyrobów seryjnych [1 6, 25j w przemyśle (4)

gdzie t

O pewnym zastosowaniu metody podziału.. 23

4. OPIS M E TO DY ROZW IĄ ZA NI A PROBLEMU

Ogólna koncopcja rozwięzania problemu polega na relaksacji zagadnienia wy jś ciowego do zagadnień J e d n o m a a z y n o W y c h , uwzględniając w zbiorze <£T lu­

ki odnoazęco 3ię do aktualnie rozpatrywanej maszyny.

Podejście takie jeat powszechnie 3to30wane w wielu problemach kombina- torycznych • pozwalajęc z Jednej strony rozwiązywać praktyczne z a ­ gadnienia a z drugiej w prosty eooeób wyznaczać dolne ograniczenia na w a r ­ tość funkcji celu (ji.9 , 22, 24],

Uszeregowania operacji na poszczególnych maszynach wyznaczane sę po­

przez podzbiór D o takiej własności, żo Jeżeli (u,v) e o, to wówczas ( u ) € ST -0. Podzbiór D, korespondujęc z wi er zc ho łk ie m drzewa rozwię- zań, wyznacza częściowe rozwięzania, poprzez kolejne jego rozszerzenia o- trzymujomy globalne rozwięzanie. Uszeregowania wyznaczsne podzbiorem D sę dopuszczalne, je że li graf G(d) = ( v , $ u 0) jest acykliczny. I3tnleje kilka praktycznych sposobów sprawdzania scykliczności grafów [?].

Posłużymy się sposobem wy zn aczania podzbiorów krytycznych operacji, których uszere go wa ni a wp ływaję na wartość funkcji celu w zwięzku z tym dla każdej pary operacji ruzpatrywanej maszyny w y zn ac za my następujęcy zbiór

E X (D) - | ( u , v ) [ c u + P u > cv , cv + p ^ > c u , ( l„ ( 0 v ) ’ [ l f o j , (5)

j c v + pv |(u,v) s i} U o c Q = O - Jest na jw cz eś ni ej sz ym cza-

^ sam rozpoczęcia w y k o n y w a ­

nia operacji O^.

t gdzie :

c u => mox

Korzyatajęc ze zbioru E^(o) określamy w stosunku do tych par w s p ó ł c z y n ­ nik kary AfjJv . będęcy miarę zmian wartości funkcji celu.

* c u + p u " C v -'

Cv ~ Pv |^u ,v ) 6 ^ U D [ C F “ C F - Jost najpóź ni ej sz ym cza-

' B f l s i r n 7 n n r ? f i " - -i a w u t r n n v / w D _

g d z i e : Cy « min

aem rozpoczęcia w y k o n y w a ­ nia op er ac ji 0y .

5. WYZNACZANIE DO LNYCH ORAZ GÓ RN YC H OGRANICZEŃ

Globalne dolna ograniczenie LB (o) na wa rtość całkowitego us ze re go wa­

nia wy zn ac za ne jest po przez rozwlęzywanlo zagadnień Jednomaazynowych, o- trzywanych w wy ni ku rolakaacji polegajęcej na pominięciu ws zy st ki ch łuków

24 L. Jamroż

dysjunkcyjnych, z wyjątkiem dotyczących rozoatrywanej maszyny. W związku z tym wa rtość LB (d) wyznacza aię z następującej zależności

L8 (d) = maxjcp, max LB^(D)j (7)

g d z i e :

1 € L - Jeat zbiorem w s ka źn ik ów nierozoatrywanych dotąd maszyn.

Globalne górne ograniczenia Ub(d) na wa rt oś ć całkowitego uszeregowania wyznaczane Jest z uszeregować otrzymanych w procesie obliczeń L B (d).

Niech G (du v ) » g(d (u.v)) będzie grsfem otrzymanym w wyniku p r z y ł ą ­ czenia łuku (u,v) c E^(d).

Przy rozszerzeniu podzbioru D nie maleją wartości c u oraz LB (Ou v ) (U8 (d cP + A f1 dla A f 1 > 0 ) .

' ' uv F uv uv

6. WYZNACZANIE RE G U Ł PODZIAŁU I OGRANICZEŃ

Stosowanie reguł podziału i ograniczeń zawężamy do podzbioru operacji, których zmiana uszeregowania powoduje zmianę wartości, funkcji celu. Roz- oatrywać będziemy te maszyny, dla których |e*(d)| ^ 1.

Niech LB(o) , U B (d) , A f * v będzie odpowiednio globalnym do ln ym og ra­

niczeniem. globalnym górnym ograniczeniem, ws pó łc zy nn ik ie m kary.

Ozna cz my przez

LB(D)

L(uv) ( s )

A u(uv)

UB(o) - f.1,.

(91

. i i 1 - a 1 A L(uv) + " U(uv)

A,,

w

Z a sa dy podziału i ograniczenia zbioru rozwiązań zostaną określone na pod­

stawie powyższych parametrów.

Ola każdej pary łuków ze zbioru E^io) zoetoje w y e l i m in ow an y ten łuk r s « (rs.ar) z każdej pary łuków d y s j u n k c y j n y c h . dla których spełniona Jest następująca zależność zwana regułą ograniczającą

mi n I^U(rs) ” ^uisr)!, I \ ( r s ) ~ ^ L ( s r ) t H Ara " A (1 1)

O pewnym za st osowaniu metody podziału. 25

Z zależności (li) otrzymujemy zred uk ow an y oodzbiór łuków £ * (d) . w st os un­

ku do którego o k re śl am y regułę podziału, określona naetępujęcę za le żn oś­

ci?

“ 2 ’

Do kolejnego D o d z i a ł u wybiera się ten luk, dla kt órego spełniona Jeat za- lożność (12).

Reguły eliminacyjne (ll). (12) moga służyć w zakresie metod programowania dy na mi cz ne go do rozwiązywanie innych zagadnień k o n b i n a t o r y c z n y c h , np; z a ­ gadnienia flowshop czy listonosza [3].

7. UWAGI KOŃCOWE

W artykule pr zedstawiono model formalny oraz metodę rozwiązania ogól­

nego dyskretnego procesu produkcyjnego. Podano również najczęściej sp o t y ­ kane w literaturze podejścia do rozwiązywanie tego typu zagadnień.

Odpowiednio określone za sa dy podziału i ograniczeń bazuję na regule hęurystycznoj , charakteryzującej się:

26 L. Jamroi

- prostą a l g o r y t m i c z n o ś c i ę ,

- pr zystosowaniem do licznego zbioru rozwiązań.

W obecnej chwili nie ma Jednolicie opracowanej metody rozwiązywania problemów e z e r e g o w a n i a , wyważone korzystanie z d o ty ch cz as ow yc h podojóć da­

ją zado wa la ją ce wy ni ki z praktycznego punktu widzenia.

8. LITERATURA

[lj Balas E . : Machine sequencing problem via di sj unctive graphs an om- pliclt en um er at io n algorithm. Opns. Res. Vo 17, 1969.

[2] Ball M . , Magazine M. : The do sl gn and analysis of he ur is ti cs Clasifi- cation of heuristic approach. Networks. Vo. 11, No 2, 1981.

[3] Biondi E . , Palermo P . C . : A heuristic approach to co mb inatorial opti­

mization problems. 5-th Confer en ce on Opti mi za ti on Techniques. S p r i n ­ ger Verlag 1973.

[ńj Charlton O.M. , Death C. C . : A ge ne ra li ze d machine scheduling a l g o ­ rithm. Op er at io na l Res. Quqnrtorly. Vo. 21, No. 1, 1970.

[5 3 Cieśliński O . , Gościński A . : Za st osowanie p r zy bl iż on eg o planowania ka le nd ar zo we go do szeregowania operocji na odcinku st alownia-wslco- wnie. Arch iw um Au to ma ty ki i Te lemechaniki, z. 3, 1977.

[ó3 Oannenbring D . G . : A n ev al ua ti on of flow-Bhop sequencing heuristics.

Management Science. Vo. 23, No. 11, 1977.

[73 Deo N . : Teorie gr afów i jej za st os ow an ie w technice i informatyce.

PWN, Wa rs za wo 1980.

0 3 Edmonds O . : Me tr oi ds and the greedy algorithm. M a th em at ic al pr o g r a m ­ ming. Vo 1, 1971.

[93 Fisher M . L . : Worst- ce se an alysis of heuristic a l g o r i t h m s . Management Scienc. Vo 26, No. 1, 1980.

[l03 Gare y M . R . , Oohnson O.S. , Sehti R. 1 The co mp le xi ty of flowshop and job shop scheduling. Ma te me ti cs of operation research. Vo. 1, No. 2, 1976.

[ll3 Gl az e b r o o k K.D. , Gi ttins 3.C.: On si ngle-machine scheduling with pre­

cedence relations and linear or discounted costs. Opns. Res. Vo. 29, No. 1, 1981.

[123 Grab ow sk i 0. : Uogólnione zagadnienia optyma li za cj i kolojnoóci oper a­

cji w d y s k re tn yc h systemach produkcyjnych. Prace Naukowe ICT P o l i ­ techniki Wrocławskiej 50(9), 1979.

[133 Hammer P.L. (ed.): Oiscrete optimization. Annals of di screte ma t h e ­ matics. Vo. 4, 5, 1979.

[143 Held M. , Wolfe P. , Cr ow de r H. : Valida ti on o f subgradient o p ti mi za­

tion. M a th em at ic al programming. Vo. 6, 1974,

¡153 Ibaraki T . : Th eo re tl ea l .compariaion of search strategies in branch- -end-branch algorithms. Intern. Dournal of Comp, end Information Scie n­

ce. Vo. 5, No. 4, 1976.

[163 3ank ow ek a- Zo ry ch ta Z. : Mo de le sekwencyjna i ich zast os ow an ia w pla­

nowaniu optymalnej or ga ni za cj i w dy sk re tn yc h procesach produkcyjnych.

Prace Oo PAN, PWN, Warszawę 1973.

[173 Korbut A . A . , Finkelsztejn 3.0. : Pr og ramowanie dyskretne. PWN, War­

szawa 1974.

[l83 Krone M.O. , S t ei gl it z K. : H e u r i s t i c- pr og ra mmi ng solu ti on of a flow­

shop scheduling problem. 5-th Confer en ce on O p ti mi za ti on Techniques.

S p ri ng er Verlag. 1975.

O pewnym zastosowaniu Metody podziału.. 27

[l9] Legeweg 8.3. , Lenatra O.K.. Rinnooy Kan A.H. : Oob-ahop scheduling by implicit enuneratlon. Management Ściance. Vo. 24, No. 4, 1977.

f2Ó] Lin S.: Heuristic Programming at an aid to Network design. Networks.

Vo. 5. 1975.

(2lj Maffioli F . : The complexity of combinatorial op ti mi za ti on algorithm»

and the challenge of heuristics, in Chriatofides N(ed.) C o mb in at o­

rial Optimization. Oo hn Wi l e y 1979.

(223

[233

[243

Rea. Vo. 25, No. 6, 1977.

[253 Sprawozdania z prac Instytutu Obróbki Skrawaniem, Mate ri ał y 1.03.3,3/

0.5 1.4-7, K r a k ó w 1979.

[263 Uekup E. , Smith S.8. : A brapch-and-bound algorithm for two-atage pro­

duction-sequencing problems. Operations Reeaarch. Vo. 23, No. 1,1975.

[273 Wala K . ; Symulacyjna metody optymalizacji dy ak ratnych proc es ów pro­

dukcyjnych. ZN AGH, o. Autpaatyka z. 21, 1979.

Recenzent: Prof, dr hab. ini. Antoni N X E D E R L I ŃSKI

Wp łynęło do Redakcji 15.05.1982 r.

0 HEKOTOPGM HPHMEHEHHH METOAA BETBEH H rPAHHIJ AHfl PEDEHHH HP0EJIEM HOCJIEJIOBATEJIŁHOCTH 3AJUH

P e 3 » m e

B p a ó o i e n p e f l C T a B J ie H O H a T e u a i H H e c K y » u o ^ e z a o O q e r o , ą n c x p e T H o r o n p o K 3 B 0 j ( - c i B e K K o r o n p o q e c c a a x a x x e a . i r o p K T u a < < e c K H - e B p a c i x '< e c K H i i u e t o a » d a a x p y m a t t H a H fle K M e z o A O B B e i B e i i h r p a H H i u P a c c x a T p H B a e u a H n p o C j t e x a H B J i H e t c a o a h o » h s iH n H H H H X K O M Ó H H a T o p H u x n p o & a e x . e 6 p e m e K H H n p e j y i o s c e H O n p a B H J i o a e i B e i ł h r p a H H H , A n a u n o x e c T B a f l o n y c T H i m x p e n e m : » H a o c u o B e n a p a x e x p a . I I p a B H z o a e i - B e ii h r p a H H H o r p a H H x e h o k u H o x e c x s y o x n o p a ^ n a K O T o p m c a a s n c H T c t o h m o c t b i i y w K ip m i j e j i H . n p e A c x a B j t e H o x a x x e n a c x o B c x p e n a e x u e b J i a x e p a x y p e u b i o ą u p e - m eH H H 3 T x x n p o ó a e u .

2R L. Jamroi

ONE A P P L IC AT IO N OF THE BRANCH -A ND -B OU ND ME TH OD TO THE DO B- SH OP PROCESSES

/ S u m m a r y

This paper concerns the formal de sc ri pt io n of general discrete pr oc es­

ses of the job-shoo tyne and scheduling methods based on the concept of branch-and-bound method. The problem of minimizing the maximum job com­

plete time is NP-comolete. For computational effectivness the branch-and- -bound rules defined within the set of feasible oolutions ere described.

These rules are restricted to the set of operations whoso schedules in­

fluence the objective function. A d d i ti on al y the nBper outlines some other aoproaches to this problem.