Naprężenia cieplne w modelu osiowo-symetrycznym połączenia tarczy kołowej z inkluzją pierścieniową

Seria: M E C H A N IK A z. 121 N r kol. 1266

G rzegorz G A LIN , Zbigniew O RŁO Ś

K ated ra M echaniki T eoretycznej i Wytrzymałości M ateriałów W ojskowa A k ad em ia Techniczna

N A P R Ę Ż E N IA C IE P L N E W M O D E L U O SIO W O -SY M E T R Y C Z N Y M P O Ł Ą C Z E N IA T A R C Z Y K O ŁO W EJ Z IN K L U Z JĄ P IE R Ś C IE N IO W Ą

S treszczenie. W pracy przedstaw iono badania stanu n ap rężen ia wywołanego obciążeniem cieplnym inkluzji pierścieniowej w tarczy kołow ej. M ateriałem tarczy była żywica epoksydowa, a inkluzji stop aluminium.

W bad an iach stosowano m etodę term oelastooptyczną oraz prow adzono obliczenia m e to d ą elem entów skończonych. Przedstaw iono wnioski dotyczące c h a rak te ru n ap rę żeń w obszarze połączenia inkluzji z tarczą kołową.

T H E R M A L STR ESSES IN T H E M O D E L O F T H E R IN G IN C L U S IO N IN T H E C IR C U L A R PLA TE

Sum m ary. A n investigation o f therm al stresses th a t a p p e a r around th e ring inclusion in th e circular p late m ade of photoelastic m aterial A raldite B is d es­

cribed. T h e inclusion w as m ade o f aluminium alloy-Dural. T h e effect o f th e r­

m al load was experim entally studied by m eans of phototherm oelasticity. T he results o f experim ental investigations have been com pared w ith th e results o f th e o re tic al investigations and num erical com putations with th e help o f F E M m odel.

TEMnEPATYPHHE HAI1PHXEHH2 B MOflEJIH COEBHHEHUH KOJIbUA H HHCKA ilOCTOSIHHOH TOJIDIHHU

P e a riu e . B paboTe paccuaTpnaaeTcsi HCJienoBanHH T eunepaT ypnax HanpstxeHHB b cn y v a e coeflHaeBHH K pyrnoro nypaneB oro K onm a H M e g a nocTOflHEoft toiuuhbh, HcroTOBnennoro H3 anoKCHiiBOfl cuojih Apajit>nnB B . UenbD npencTaBneBoit paooTu HBJiaeTca HCcnenoBaHHe xapaK Tepa HanpflMeBBOrO COCTaHHHB B OIIH3H KpaeB BKHDUCBHH CTaUHOHapHOB H HGCTauHOHapBOM pacnpeneBGHHH TeiinepaTypH.

IIccnenoBaHHH BHnonHeHO ueTonou Tepuoi|oToynpyrocTH h ueTonou KoneuHux sneueHTOB.

1. W S T Ę P

Z ag ad n ien ie analizy nap rężeń cieplnych w elem entach płaskich i złożonych z części w ykonanych z m ateriałów o różniących się właściwościach było rozpatryw ane w pracach [1-3]. W e wcześniejszych badaniach doświadczalnych stosowano często m eto d ę term oela-

104 G. G alin, Z. O rłoś

stooptyczną prześw ietlania światłem spolaryzowanym m odeli płaskich podlegających obciążen io m cieplnym . W przypadkach badania m odeli bardzo cienkich m ożna przyjąć, że w yznaczone rzędy izochrom określają wartości różnic n ap rę żeń głównych, k tó re to n a p rę ż e n ia nie zm ieniają zarów no wartości ja k i kierunków w punktach znajdujących się n a tej sam ej prostej p rostopadłej do płaszczyzny środkowej m odelu.

W przy p ad k ach elem entów płaskich o grubościach większych, tj. porównyw alnych z ro zm iaram i gabarytow ym i w płaszczyźnie środkowej m odelu oraz w szczególności z p ro m ie n iam i krzywizn pow ierzchni granicznych m odelu należy wziąć po d uw agę możliwość p ojaw ien ia się stanów nap rężen ia o charakterze przestrzennym w obszarach w pobliżu inkluzji. T e n fakt należy uwzględniać w analizie nap rężeń cieplnych w u kładach złożonych z części w ykonanych z m ateriałów o różnych własnościach fizycznych.

W pracy p o d ję to p róbę oceny wymienionych stanów naprężenia w przypadku inkluzji pierścieniow ej połączonej nierozłącznie z tarczą kołową. O dpow iedni m odel tej inkluzji n a d a je się d o b rze zarów no do b adań eksperym entalnych m eto d ą term oelastooptyczną, ja k i do realizacji obliczeń m e to d ą elem entów skończonych.

2. M O D E L

W analizie sta n u odkształcenia i naprężenia rozpatryw anego przypadku m odelu osiow o-sym etrycznego układu inkluzji pierścieniowej w tarczy kołowej przyjęto układ w spółrzędnych walcowych r, tp, z, w którym oś z pokrywała się z osią sym etrii m odelu.

N a ry s.l p rzedstaw iono przekrój osiowy m odelu składającego się z tarczy kołowej 2 i inkluzji pierścieniow ej 1 w raz z zaznaczonymi rozm iaram i ogólnymi. C harakterystyki w łasności m echanicznych i cieplnych zastosowanych m ateriałów m odelow ych p rzed staw io n o w ta b l.l.

T ablica 1 C harakterystyki własności mechanicznych i cieplnych m ateriałów m odelow ych

C harakterystyka m eteriałow a M ateriał

MAT1 D ural

M A T 2 A raldin B

M oduł sprężystości wzdłużnej E [MPa] 72090 3770

W spółczynnik P oissona v 0.335 0.367

W spółczynnik przew odzenia ciepła A. [W/mK] 165 0.2

C iep ło w łaściw e cp [J/kg K] 673 1050

G ęsto ść p [kg/m3] 2650 1200

W spółczynnik rozszerzalności liniowej cieplnej fl [ K 1]

0.0000236 0.00006

Przyjęto, że inkluzja jest nierozłącznie połączona z tarczą ściankam i cylindrycznymi o prom ieniu b. Z a k ła d a się również, że w początkowej te m p eratu rze odniesienia T0 w

układzie inkluzja-tarcza nie występują naprężenia.

n p P i m

a = 5 mm, b = 10 mm, c = 50 mm, h = 10 m m R ys.l. Przekrój osiowy m odelu

F ig.l. Axial section of the model

Z e względu na założenie osiowej symetrii tem peratura Tg, składow e przem ieszczenia u i w, o ra z n ap rę żen ia a„ a r az i r n są zależne od współrzędnych r i z oraz czasu t .

W rozw ażaniach teoretycznych przyjęto trzy warianty A, B i C m odeli, które scharakteryzow ano następująco:

A - m odel tarczowy oparty n a założeniu, że występuje w nim płaski stan naprężenia określony naprężeniam i ar i a, (oz = 0, r n = ),

B - m o d el osiowo-symetryczny znajdujący sie w płaskim stanie odkształcenia (ez = 0. yrz = 0),

C - m odel osiowo-symetryczny przestrzenny, w którym na wszystkich zew nętrznych ściankach granicznych nie ma obciążeń mechanicznych, na ściankach płaskich az

= 0 i r n = 0, n a ściankach cylindrycznych a, = 0 i r re = 0.

M odel A odpow iada przypadkowi płaskiego stanu naprężenia w cienkiej tarczy o grubości h -* 0. M odel B m oże odpowiadać sytuacji, w której nie w ystępują przem ieszczenia w w kierunku osi z; będzie to rura o ograniczonej sw obodzie przem ieszczeń przekrojów poprzecznych. Wreszcie m odel C jest najbardziej zbliżony do rozpatryw anego badanego m odelu połączenia inkluzji z tarczą kołową o grubości h.

3. B A D A N IA D O ŚW IA D C ZA LN E

W bad an iach doświadczalnych wyznaczano efekty dwójłomności wymuszonej w tarczy 2 m odelu (rys.l), przy prześwietlaniu światłem spolaryzowanym w układzie optycznym specjalnego zestawu filtrów, który umożliwiał równoczesną rejestrację izochrom o rzędach całkowitych i połówkowych. M odel posiadał osłony z polim etakrylanu metylu zapobiegające w ymianie ciepła płaskich ścianek modelu z otoczeniem .

O bciążenie cieplne m odelu było przyłożone do w ewnętrznej walcowej ścianki pierścienia za pośrednictw em grzałki zasilanej prądem elektrycznym regulowanym za

106 G. G alin, Z. O rłoś

p o m o cą u kładu sterow anego kom puterem .

T e m p e ra tu rę w wybranych punktach m odelu m ierzono term o elem en tam i oraz o kreślan o jej rozkład n a powierzchni m odelu m etodą termowizyjną.

P om iary ułam kowych rzędów izochrom wykonywano kom pensatorem liniowym firmy P hotoelastic. P odczas b ad a n ia rejestrow ano izochromy za pom ocą kam ery telewizyjnej i a p a ra tu fotograficznego. N a rys.2 przedstaw iono przykładowo układ izochrom w czasie 360s od początku obciążenia cieplnego.

Rys.2. R ozkład izochrom w m odelu dla r = 360 s Fig.2. P hototherm oelastic stress pattern for th e m odel r = 360 s

4. O B L IC Z E N IA N U M E R Y C Z N E

W analizie odkształceń i nap rężeń cieplnych wykonywano obliczenia num eryczne m e to d ą elem entów skończonych (M ES) zarówno dla stanów stacjonarnych, ja k i niestacjonarnych. W stanie stacjonarnym przyjmowano ustalony rów nom ierny przyrost te m p e ra tu ry A T = Tk - Tg. W stanie niestacjonarnym zakładano na zew nętrznej cylindrycznej ściance inkluzji wymianę ciepła zgodnie z w arunkiem brzegowym trzeciego rodzaju przy danym współczynniku przejm ow ania ciepła a = 1 0 0 W /m 2K , określonym u p rze d n io dośw iadczalnie. D la pozostałych ścianek m odelu przyjęto w arunek doskonałej izolacji ( a = 0). Jak o w arunek początkowy przyjęto, że w chwili początkowej r 0 w każdym punkcie m odelu w ystępuje stała tem peratura początkowa T 0 = 20°C i nie m a n ap rę żeń ani odkształceń w stępnych. Przyjęto ponadto Tk = 50°C. W obliczeniach stosow ano program y dla płaskiego stanu naprężenia odpow iadające tarczow em u m odelow i A oraz program y dla osiow o-symetrycznego zagadnienia przestrzennego dla m odeli w w ariantach B i C.

5. A N A L IZ A W Y N IK Ó W BADAŃ

W celu porów naw czej oceny wyników uzyskanych m etodą elem entów skończonych o raz bad a ń dośw iadczalnych wykorzystano zależności o p arte na związkach wynikających z teorii sprężystości odpow iednio przystosowanych do rozpatryw anego tu p roblem u osiowo- symetrycznego.

D la m o d e lu wersji A przyjęto, że m odel składa się z dwóch cienkich pierścieni 1 i 2, z których pierścień 1 posiada prom ienie a i b, a pierścień 2 - prom ienie b i c.

N a podstaw ie rozw iązania zagadnienia Lam ego m ożna uzyskać dla rów nom iernej zm iany te m p e ra tu ry A T wzór na naprężenie norm alne a, w ystępujące na granicy p ołączenia pierścieni:

£ , ( p j - p , ) A r a 2+b2

--v ,+E\ ( b 2+c2 b 2- a 2 1 E\ c 2- b 2

+v. (1)

gdzie: E lt E 2 - m oduły sprężystości wzdłużnej odpowiednio m ateriałów pierścienia 1 (M A T1) i tarczy 2 (MAT2),

v;, v 2 - współczynniki Poissona,

B„ B2 - współczynniki rozszerzalności liniowej.

Z n ając a m ożna obliczyć naprężenia prom ieniow e a, i obwodowe a, odpow iednio ze wzorów:

o . = b 2<j b 2- a 2

b 2o b2- a 2

(2)

w pierścieniu 1,

a , = b 2a i - —

r 2

b o 2- b 2 1+£1

(3)

w tarczy 2.

W celu wykorzystania wzorów (1), (2) i (3) do analizy płaskiego stanu odkształcenia w ystępującego w m odelu B należy we wzorze (1) w miejsce w ystępujących ta m stałych m ateriałow ych podstawić: zam iast E j wyrażenie E ,r , zam iast v2 -

l - v f

w yrażenie — — oraz zam iast Bi wyrażenie 13,(1 = oL), gdzie i = 1,2. N astępnie l - v .

108 G . G alin, Z. O rłoś

n a p rę ż e n ia n o rm aln e ań i aii obliczamy odpow iednio ze wzorów (2) i (3), podstaw iając w nich w yznaczone n ap rężen ie a oraz c r = ań i a, = ct„.

N a p rę ż e n ie osiow e ań wyznaczamy z zależności:

° z i = v ,<crd + 0 t f ) - £ :i P lA 7 ’ W

dla i = 1, 2 odpow iednio w pierścieniu 1 i tarczy 2.

W typow ych badaniach doświadczalnych płaskiego stanu n ap rę żen ia m etodą elasto o p ty czn ą wykorzystuje się prześwietlanie na wskroś m odelu płaskiego. W yznaczony w b ad a n ia ch tych rzą d izochromy m określa różnicę naprężeń głównych zgodnie ze w zorem :

gdzie: K a - elastooptyczna stała m ateriałow a, h - grubość m odelu,

a¡, a 2 - n ap rę żen ia norm alne główne.

W zór (5) dotyczy przypadku rów nom iernego rozkładu n ap rę żeń w zdłuż grubości m odelu.

W b ad a n ia ch term oelastooptycznych w przypadku zmieniających się w zdłuż grubości m o d e lu n a p rę ż e ń w zględne przesunięcie fazowe spolaryzowanych składowych prom ieni p rzechodzących p rze z m o d el równa się sum ie przesunięć wywołanych p rzez stan n a p rę ż e n ia w poszczególnych w arstewkach modelu.

Przy założeniu, że w poszczególnych punktach leżących n a przechodzącym przez m odel w zdłuż pro stej równoległej do osi z prom ieniu światła m onochrom atycznego kierunki w tórnych n a p rę ż e ń głównych a ,' w a 2’ punktach m odelu nie zm ieniają się, m ożna wyrazić w artość m rzę d u izochrom y wzorem :

m = r r J (ai~a2)dz (6)

o 0

W in te rp re tac ji wyników pom iarów elastooptycznych m ożna zastosow ać zależność (5) przy założeniu, że wartości a , i a 2 odpowiadają średnim wartościom a ¡ i a 2 naprężeń n orm alnych głównych, wyznaczonym wzdłuż norm alnej do pow ierzchni m odelu, tj.: a I =

a j i a2 = o 2- _ _

N a rys.3 przedstaw iono wykresy funkcji a , - i a ¡ - a 2 obliczonych odpow iednio dla w ariantów A i C m odeli teoretycznych oraz zaznaczono kółkam i w artości uzyskane na pod staw ie p om iarów elastooptycznych.

N a rys.4 przedstaw iono wykresy zależności o ; od z przy granicy połączen ia tarczy z inkluzją (p atrz, ry s.l) dla różnych czasów t d początku obciążenia cieplnego o raz dla sta n u stacjo n arn eg o odpow iadającego A T = 30°C.

<T r - a , 0

, -

,

[MPaJ

Rys.3. W ykresy (oj - a j i ( o j - o j w funkcji (r - b ) odpow iednio dla w ariantu A i C oraz wyniki badań elastooptycznych

Fig.3. C urves o f ( aI • o j and ( o t • a J as th e functions o f (r - b) and phototherm oelastic results

[»*1

Rys.4.Rozkłady naprężeń o / t ) w funkcji z Fig.4. D istributions of stresses o/t) as th e function of z

6. W N IO SK I

P rzeprow adzone badania naprężeń cieplnych w m odelach połączenia inkluzji pierścieniow ej z tarczą kołow ą wskazują na wystąpienie koncentracji n ap rę żeń na granicy połączenia. W szczególności w przekroju środkowym (z= 0 ) m odelu C nap rężen ia az osiągają znaczne wartości.

B ad an ia dośw iadczalne naprężeń m etodą elastooptyczną dają wyniki zgodne z

110 G . G alin, Z. O rłoś

obliczeniam i num erycznym i dla m odelu C i wyjaśniają fakt lokalnego wpływu połączenia p ierścienia inkluzji i tarczy ze względu n a różnice współczynników rozszerzalności cieplnej m ateriałó w tych elem entów . W obszarze połączenia w ystępuje przestrzenny stan n ap rężen ia, który należy uwzględnić przy in terpretacji wyników b adań term oelastooptycznych.

W yznaczone w tym obszarze w artości rzędów izochrom określają średnią wartość bezw zględną różnicy n ap rę żeń a 1 i o # które zm ieniają się w zdłuż grubości m odelu. W pew nej odległości od granicy połączenia inkluzji z tarczą przestrzenny stan naprężenia zanika i sta n n ap rę żen ia m ożna traktow ać jako płaski.

l i t e r a t u r a

[1] O rło ś Z., C udny W., Tomaszewski K-: M odelowe badania stanu n ap rę żen ia w połączeniach elem entów konstrukcyjnych o różnych własnościach fizycznych. Inż.

M ateriałow a, 3, 1991

[2] G alin G., O rłoś Z.: Influence of the rectangular p arallelepiped inclusion on tran sie n t th e rm al stresses, M echanika Teoretyczna i Stosowana, No. 1, vol. 31,1993 [3] O rło ś Z. i inni: N ap rężenia cieplne. PW N, W arszawa 1991

R ecenzent: prof, d r hab. inż. W. Nowacki

W płynęło do R edakcji w grudniu 1994 r.