O pewnym problemie stateczności płyty pierścieniowej

Seria: M E C H A N IK A z. 115 N r koi. 1230

Stefan JO N IA K

Instytut M echaniki Stosow anej Politechnika Poznańska

O P E W N Y M P R O B L E M IE S T A T E C Z N O Ś C I PŁ Y T Y P IE R Ś C IE N IO W E J S treszczenie. W pracy rozw iązano zagadnienie u traty stateczności cienkiej płyty pierścieniow ej, obciążonej na brzegu w ew nętrznym m o m e n te m obrotow ym . O p a rto się na teorii Levy-M isesa, dotyczącej m ateriału o m odelu sztywno-plas- tycznym ze w zm ocnieniem . D o rozw iązania rów nania w yboczenia płyty zastosow ano m e to d ę ortogonalizacyjną. M a ono postać zw iązku m iędzy am plitudą m aksym alnego ugięcia a czasem i obciążeniem .

S O M E P R O B L E M S O F R IN G P L A T E S T A B IL IT Y

Sum m ary. T h e p a p e r deals with the solution of th e instability problem concerning a thin p late lo ad ed on th e internal boundary by a ro ta tio n a l m om ent.

T h e Levy - M ises theory o f plastic flow of a rigid-plastic m aterial w ith reinforcing has b e e n using. T h e solution has b een o btained w ith th e h elp o f the o rth o g o n alisatio n m ethod.

IIP O B JIE M A n O T E P H Y C T O H T H B O C T H KOJIbU,EBOH ILH A CTH H H P e 3ioMe. B p a ô o T e p e u ie iia n p o 6 tie M a n o T e p n y c r o fiu H B o c T H n n a cT H H H , K O Topoft M a T e p n a n 0 T B e> ia eT TpeboBaH HH M M o z te im JIp b h - M n c e c a r n i a c r m i e c K o r o T eneH H H . Y p a B n e r m e n o T e p n ycroHUHBOCTH p e iu a e T c n MPTQitoM B y 6 n o B a - T a jiep K H H a .

1. W S T Ę P

Płyta je st sztywno zam ocow ana na brzegu zew nętrznym , natom iast b rzeg w ew nętrzny m a jed y n ie m ożliw ość o b ro tu w okół punktu O (rys.l). Z takim przypadkiem płyty m am y do czynienia w je d n e j z p ró b w yznaczania zdolności do odkształceń plastycznych różnych m etali, zw anej p ró b ą M arciniaka. D o rozw iązania zagadnienia w ykorzystano teo rię

148 S. Joniak plastycznego płynięcia, o p a rtą na praw ie plastycznego płynięcia Levy-M isesa. Dotyczy to m ateriału o m odelu sztywno-plastycznym ze w zm ocnieniem liniowym. Zależności charak tery zu jące taki m ateriał o raz rów nania w yboczenia płyt przy obciążeniach dynam icznych m o żn a znaleźć w [1], W pracy wykorzystane zo stan ą te rów nania po ich odpow iednich przekształceniach i przystosow aniu do w arunków zadania.

2. P O D S T A W O W E R Ó W N A N IA Z A G A D N IE N IA I IC H R O Z W IĄ Z A N IE

Płyta je s t cienka i dlatego zakłada się istnienie w niej płaskiego stanu n ap rężen ia.

Jednym z p a ra m e tró w opisujących zachow anie m ateriału płyty je s t w spółczynnik skalarow y w stow arzyszonym praw ie płynięcia, któ re przedstaw ia się następująco:

c

R y s.l, F ig .l

(

)

gdzie: i xy - p ręd k o ść odkształceń postaciowych.

W spółczynnik skalarow y w praw ie płynięcia m a postać:

2 <J; ’

(2)

gdzie: Vj - intensyw ność prędkości odkształcenia, aj - intensyw ność nap rężeń .

O pew nym pro b lem ie stateczności płyty pierścieniow ej W p rzy p ad k u rozpatryw anej płyty jest:

a - x = o y = 0 , = r r4,

2 n r 2h 1

.

h - grubość płyty

o raz e = 0 , _{z ’ x y} e = v _{x y} = —v2 r<P

przy czym r 0< r < rr

W prow adzenie zm iennej bezwymiarowej p = r /r 0 daje:

= M° 1 = h .

r<p -y

9

2tcra h p P

(3)

(4)

przy czym l < p < k = r j / r 0.

Intensyw ność n a p rę ż e ń je st równa:

o,- = = f i xr(p (5)

Intensyw ność prędkości odkształceń:

(vi - v v>2 - (v v- v / + (vz - v z)2 + ^ ( v ; ł v ; l t v ; )

ty_{* r<p}

f i

' 2 ^ ( v >- v / + (vz- v x)2 3 ' - 2 - 2 - 2 -

_

fi' - fi.

2~Zxy 4

(6)

W [1] p o d a n e je s t za G o o d ierem w yprowadzenie rów nania w yboczenia płyty. Przy jego w yprow adzaniu założono m ałe przyrosty n aprężeń, obejm ujące k rótki odcinek charakterystyki a y - e i o raz brak odciążeń. W rów naniu w yboczenia D .89 w [D pom inięto człon bezw ładnościow y, gdyż zagadnienie to je st zagadnieniem statycznym . D la naszego p rzypadku p o w prow adzeniu w spółrzędnych biegunowych i zm iennej bezw ym iarowej rów nanie m a postać:

h 2 34vv 1 3 3vv 1 32vi> 1 dw 2 d 2 w 2 33vv 6 Xr04 v 3 p 4 p 3 p 3 p 2 3 p 2 p 3 3 p p4 dip2 p 2 3 p 3 (p 2

I 3 w p 2 3 p 23<p2 (

E hh 2 _1_ 33w _ 2 d2w + 2 dw + 6 d2w 18ro P 3 p 3 p2 3 p 2 p 3 d p p 4 3<p2

4 3 w 1 d*w

p 3 3 p 3 (p 2 p2 3 p 23<p2 (

^ o _ L

„2 2 P r0

1 3 w _ I 3vv s P 9p5<P p2 dip

0

,

(7)

gdzie: w = w + w 0 - ugięcie całkow ite, wQ - ugięcie początkow e (im perfekcje),

150 S. Joniak E h - m o d u ł w zm ocnienia,

w =3w/(3t,

N a b rzegach płyty m uszą być spełnione następujące w arunki brzegow e:

r - r0 i r = r i w - 0 oraz

lub po w prow adzeniu zm iennej bezwymiarowej p = 1 i p = k

S pełniają takie w arunki funkcje w i w0o postaci:

d w 0 d r

w = 0 oraz = 0 . d p

w = A ( t) ( p - l ) 2 sin2 — p s in (— p + m ip) ,

k k

wo = A>(P “ l ) 2 sin2 j p s i n ( - j p + m<p) ,

(

)

(9)

(

) (

)

gdzie: A (t) - n iezn a n a funkcja czasu, A 0 - stała.

R ów nanie (7) rozw iązyw ano m eto d ą B ubnow a-G alerkina. W prow adzono więc w lewą stronę tego rów nania w yrażenia ( 10) i ( 11), a następnie ortogonalizow ano je czynnikiem

( p — 1) sin — p s i n ( — p + mcp) p d p d ip .

k k

W wyniku ortogonalizacji otrzym ano rów nanie:

" i 6X d t 18 o

A * z0H 3( A + A 0) = 0 (12)

Jest to rów nanie różniczkow eowe pierw szego rzędu am plitudy funkcji ugięcia w. M ożna je rozw iązać m e to d ą rozdziału zmiennych. P rzedtem je d n a k należy ustalić p a ra m e tr X. W tym celu przyjęto funkcję przem ieszczeń obwodowych w postaci:

voro ( r i 1 (p atrz rys. Ib )

Dstatnia zależność jest p o tr2?ebifti do wyznaczenia k ąta odkształcenia postaciow ego Zgodnie^ z rysunkiejnr lb

1 0 r -2 lub po w prow adzeniu zm iennej bezw ym iarow ej p

' rf ~dv

8 = d r v k u r r r0

tg ’ a s t i id

r0( k - 1)

arc tg v0k

P2

K ąt odkształcenia postaciow ego je st funkcją czasu. W w yrażeniu (13) od czasu zależy tylko vQ. Przyjm ując, że vQ= c t, otrzymujemy:

d t 1 + x 2

k -2

p

0 k - 1 k - 1

(14)

gdzie: u>Q= c /r0 - p rędkość k ą to w a o b ro tu brzegu w ew nętrznego w zględem m ianow niku w yrażenia (14) je st x <1.

M ając y w yznaczam y intensyw ność prędkości odkształcenia

p u n k tu O. W

y/3 4 3r

p -2 4 ¿ - 1

(15) D o w yznaczenia X należy wykorzystać jeszcze intensyw ność n a p rę ż e ń a j = / 3 r r i

w tedy ł

8 t 0( * - l )

(16)

Po uw ględnieniu X rów nanie (12) przyjmie postać:

CjT* — + C ,Z + C3 t ' 0 4 + Z 0) = 0 HA

d tn (17)

gdzie: r = r pa p , t0 = u ot,

Cj - stale zalezne od m i właściwości m ateriału płyty.

W ykorzystanie w arunku początkow ego to = 0 . A = A 0 daje n astęp u jącą całkę rów nania (17):

a + 2 t ' -exp

bx"

(18)

gdzie: a, b - stałe.

W rów naniu powyższym znajduje się p a ra m e tr czasu t = 0 , który w ym aga osobnego określenia. Z e w zględu na zm ienność nap rężeń r r w załuż m-om ienia pfyty rów nież intensyw ność n ap rężeń jest zm ienna. M am y więc * j = / 3 r Qp o raz z drugiej strony ch arakterystykę m ateriału sztyw no-plastycznego ze w zm ocnieniem liniowym CT~ap + E hCj.

n ap ręzen jest :

~v -,v ’kę m ateriału sztyw..„ ~ p .

W aru n k iem uplastycznienia je st osiąganie przez intensyvvność n a p rę ż e n w płycie intensyw ności w ynikającej z charakterystyki m ateriału. D zięki tem u m am y:

!, = j r [ s / 3 x oP-2 - a p ) T a sam a intensyw ność wynosi z drugiej strony

v/3 ^3

e . = —— y = —— 2 r,> 2

Z p o ró w n an ia w yrażeń (19) i (20) otrzymujemy:

k - 1

k - 1 P ' ‘ tg

[o P ~

(19)

(

)

(

)

W o statn im w zorze należy wstawić p = k , gdyż je st to w arunkiem uplastycznienia całej płyty i w takiej p o staci w prow adzić t0 do am plijudy m aksym alnego ugięcia płyty w funkcji p a ra m e tru obciążenia brzegu w ew nętrznego ^t . Należy w tym celu przyjąć v ^ m iary płyty o raz d a n e m ateriałow e.

N a podstaw ie następujących danych: r0 =21 mm, h/ro =0.03 o ra z charakterystyki m ateriału = 300+ 1680e:,dla rożnych w artości k p rzep ro w ad zo n o obliczenia p ozw alające ustalić krytyczną liczbę m tal w yboczenia w kierunku obw odu płyty oraz w yznaczać vy sposób wykreślny odpow iadającą danej am plitudzie ugięcia w artość p a ra m e tru r .

152 S. Joniak

L IT E R A T U R A

[1] G ryboś R.: Stateczczność konstrukcji pod obciążeniem uderzeniow ym . W arszaw a - P o ­ znań: W N T, 1980.

R ecenzent: Prof, d r hab. inż. E ugeniusz Switoński W płynęło do R edakcji w grudniu 1993 r.

A b stract

T h e p ro b lem o f the plastc instability o f a ring p la te (F ig .l) w as considered w ithin the Levy-M ises plastic flow theory. T h e basic equation (7) w as solved with th e h elp o f the ortho g o n alizatio n m ethod using exact form s of the deflection ( 10) and im perfection ( 11) functions. T h e se functions have to satisfy th e boundary conditions (9). T h e p a ra m e te r k in (7) which com es from the associated plastic flow rule m ust be d eterm in ed . It may be done using p articu lar form o f th e circum ferential displacem ent function and d eterm in atio n o f the sh e a r strain (13) as well as determ in atio n of th e stress intensity. As a result o f the solution o f (7) w e obtain the equation (17). T h e integral o f la tte r one gives the deflection am plitude as a function o f th e internal loading.