Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje – cykl grudniowy,
Poziom: gimnazjum, punktacja: 10 punktów za każde zadanie
Zadanie 1.
Funkcja f(n) dla każdej liczby naturalnej n większej od 0 jest taka, że:
a
f(1) oraz f(km) f(k) f(m) dla każdych liczb naturalnych k i m. Zapisz wzór funkcji f(n).
Rozwiązanie.
Mamy f(1)a. Następnie liczymy:
a a a f
f f
f(2) (11) (1) (1) 2 a a a f
f f
f(3) (21) (2) (1)2 3 a a a f
f f
f(4) (31) (3) (1)3 4 itd….
Można zauważyć, że dla kolejnych liczb naturalnych wartość funkcji zwiększa się o a.
Stąd wniosek f(n)na
Zadanie 2.
Kran A napełnia pół basenu w czasie o 5 godzin dłuższym, a kran B w czasie o 3 godziny krótszym niż trwa to wtedy, gdy oba krany napełniają cały basen jednocześnie. W jakim czasie napełni basen każdy z kranów osobno?
Rozwiązanie.
Jeśli oba krany napełniają cały basen w ciągu t godzin, to w ciągu jednej godziny napełniają 1/t basenu. Wówczas kran A napełnia basen w ciągu 2(t+5) godzin, a kran B w ciągu 2(t-3) godzin. Wobec tego w ciągu 1 godziny napełnią odpowiednio
) 5 ( 2
1
t i
) 3 ( 2
1
t basenu.
Zatem razem napełnią część basenu będącą sumą powyższych wartości. Stąd otrzymujemy równanie
t t
t
1 ) 3 ( 2
1 )
5 ( 2
1
, którego jedynym rozwiązaniem jest liczba 15. Kran A napełni basen w ciągu 40 godzin, a kran B w ciągu 24 godzin.
Zadanie 3.
W trójkąt prostokątny wpisano okrąg. Punkt, w którym okrąg jest styczny do przeciwprostokątnej oznaczono literą P. Punkt P dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki o długościach a i b, jak na rysunku.
Uzasadnij, że pole tego trójkąta jest równe ab.
P
b a
Rozwiązanie.
Zauważamy, że punkty styczności dzielą przyprostokątne na odcinki a i r oraz b i r.
Pole trójkąta można zapisać jako sumę pól 4 trójkątów prostokątnych i kwadratu:
br ar br r
br ar r ar
P 2 2
2 2 2 2
Z twierdzenia Pitagorasa:
ar
2 br
2 ab
22 2
2 2
2
2 2ar r b 2br r a 2ab b
a
ab br r
ar 2 2 2
2 2
ab br ar r
P 2
Zadanie 4.
Objętość ziemi wydobytej po wykopaniu rowu w kształcie prostopadłościanu wynosi 48 metrów sześciennych. Jakie są wymiary tego rowu, jeżeli jego długość jest o 6 m większa od głębokości, a szerokość rowu jest o 2m krótsza od jego głębokości?
Rozwiązanie.
Oznaczmy: a – szerokość, b – długość, h – głębokość rowu.
Z warunków zadania mamy:
6
h
b , a h2 oraz 48abh
Stąd 48(h2)(h6)h(h26h2h12)hh34h2 12h, co po przeniesieniu na jedną stronę prowadzi do równania h34h212h480.
Grupując wyrażenia pierwsze z drugim i trzecie z czwartym otrzymujemy
0 ) 4 )(
12 )(
12 (
) 4 )(
12 (
) 4 ( 12 ) 4 ( 48 12
4 2 2 2
3
h h
h
h h
h h
h h
h h
Jedynym dodatnim rozwiązaniem jest h 12 2 3. Stąd a2 32, b2 36.
Zadanie 5.
Suma długości ramion trapezu równoramiennego stanowi 3
1 sumy długości jego podstaw, a stosunek długości jego podstaw jest równy 7:5. Wyznacz miary kątów tego trapezu.
P
b a
b a
r r
Rozwiązanie.
Oznaczmy: a - dłuższa podstawa, b - krótsza podstawa, c - ramię, - kąt przy dłuższej podstawie.
Z warunków zadania otrzymujemy równości: 6cab oraz 5
7 b a .
Stąd c a b a a a
7 12 7
6 5 , czyli c a 7
2 , zaś a
a b a
a
7 1 2
7 5
2
.
Wobec tego 60. Zatem kąty naszego trapezu mają miary: 60,60,120,120.
