Oddzia ! ywania ! ! !

Oddzia!ywania

!  Zachowanie liczby leptonowej i barionowej

!  Diagramy Feynmana

Elementy kwantowej elektrodynamiki (QED)

!  Teoria Yukawy

Zasi"g oddzia!ywa# i propagator bozonowy

!  Równanie Diraca

Antycz$stki; momenty mgt. fermionów; sukces QED

!  Elementy oddzia!ywa# s!abych

Teoria Fermiego

!  Elementy oddzia!ywa# silnych

Rezonanse; czasy zycia

D. Kie!czewska, wyk!ad4

Zachowanie liczb leptonowych

Liczba leptonowa taonowa: +1 0 0 +1 Liczba leptonowa mionowa: 0 +1 -1 0

Np:

Liczba leptonowa taonowa: -1 0 0 -1 Liczba leptonowa elektronowa: 0 -1 +1 0

W oddzia!ywaniach zachowane s$:

Z obserwacji oscylacji neutrin wiemy teraz, %e neutrina mog$ zmienia&

zapach na skutek mieszania (ale nie w oddzia!ywaniach), ale dot$d nie stwierdzono, %eby

W

^-

W

⁺

D. Kie!czewska, wyk!ad4

kwarki antykwarki Liczba barionowa B: +1/3 -1/3

prawo zachowania: ! ^B=0

Zachowanie liczby barionowej

Obserwacje: proton jest stabilny!

Dlaczego nie

rozpada si"? ??

Dlatego w Modelu Standardowym:

Czas %ycia protonu: ! > b"8 # 10

³³

years

A co z rozpadem neutronu?

gdzie b to „stosunek rozga!"zie#” dla danego kana!u rozpadu

(procent rozpadów do tego kana!u)

n ! p + e

^"

+ #

_e ^Mproton jest ^{n > Mp} najl%ejszym

D. Kie!czewska, wyk!ad4

Oddzia!ywania

Oddzia!ywanie

zachodzi gdy nast"puje

a) wymiana energii i p"du mi"dzy cz$stkami b) kreacja lub anihilacja cz$stek

Cz$stka rzeczywista:

Swobodna, stabilna cz$stka o masie M, tzn ca!kowitej energii w jej uk!adzie spoczynkowym: E*=M,

po transformacji Lorentza do innego uk!adu inercjalnego ma energi":

Cz$stka wirtualna

W krótkim czasie znajduje si" pod wp!ywem jakich' oddzia!ywa#.

Wg zasady Heisenberga jej energia nie jest 'ci'le okre'lona:

Oddzia!ywania

elektromagnetyczne

Oddzia!ywania elektromagnetyczne:

mi"dzy cz$stkami na!adowanymi elektrycznie (lub posiadaj$cymi struktur")

za po'rednictwem kwantów γ.

Np:

D. Kie!czewska, wyk!ad4

Diagramy Feynmana

Podstawowy element:

wierzcho!ek

czas

emisja fotonu absorpcja fotonu

emisja fotonu przez pozytron

konwersja fotonu Regu!y:

•  w pojedynczym wierzcho!ku nie jest zachowana energia (co najmniej jedna z cz$stek musi by& wirtualna)

•  zachowany jest p"d, mom. p"du i dyskretne liczby kwantowe)

•  antyfermiony poruszaj$ce si" do przodu w czasie

maj$ strza!ki do ty!u Energia NIE moze

by& zachowana w procesach A-->A+B!

Diagramy Feynmana

Regu!y:

•  linie wewn"trzne (!$cz$ce wierzch.) reprezentuj$ cz$stki wirtualne

•  linie zewn"trzne reprezentuj$ cz$stki rzeczywiste (mierzalne) i dla nich oczywi'cie obowi$zuje zachowanie energii i p"du

tzw. rozpraszanie Bhabha anihilacja par

Ka%dy wierzcho!ek wnosi „e” do amplitudy prawd. oddzia!ywania,

czyli przekrój czynny dla 2 wierzch.:

albo

D. Kie!czewska, wyk!ad4

Diagramy Feynmana

Ze Ze

j$dro j$dro

Rozpraszanie elektronu na j$drze (bremsstrahlung) - promieniowanie hamowania.

Elektron !$cz$cy wierzcho!ki jest wirtualny.

oznacza (ród!o fotonów i dorzuca sta!$ sprz"%enia: Ze do diagramu.

Ze

albo

Por. d!ugo'&

radiacyjn$

z wyk!adu 3:

Diagramy Feynmana

Z Z

Promieniowanie

hamowania Konwersja gammy

Na wyk!adzie 3 by! bliski zwi$zek mi"dzy d!ugo'ci$ radiacyjn$

oraz 'redni$ drog$ gammy na konwersj":

D. Kie!czewska, wyk!ad4

Diagramy wiod$ce maj$ najmniejsz$ mo%liw$ liczb" wierzcho!ków

Kazdy dodatkowy wierzcho!ek zmniejsza przekrój czynny o czynnik

"

^{= 1/137}

Diagramy wiod$cego i wy%szych rz"dów

Zasi"g oddzia!ywania

W uk!adzie spocz. cz$stki A (pocz$tkowej):

Energia niezachowana o:

Czyli dla ka%dego p:

ale z zasady nieoznaczono'ci:

! " !

#E albo R " ! M_X

R -zasi"g propagacji X lub zasi"g oddzia!.

Np. dla oddz. elmgt: Oddz. s!abe:

a promie# protonu: 1.2 fm

D. Kie!czewska, wyk!ad4

Teoria Yukawy

W 1935 Yukawa postulowa! wyja'nienie rozpraszania proton-neutron poprzez wymian" masywnych kwantów pola.

Wyobra(my sobie nukleon jako (ród!o wirtualnych masywnych bozonów.

Równanie Kleina-Gordona dla masywnych bozonów (o masie m):

gdzie opisuje albo amplitud" fali skojarzon$ z kwantami swobodnych bozonów albo potencja! w odleg!o'ci r od (ród!a

Dla potencja!u statycznego oraz sferycznego dostaje si" r-nie:

- Dostaje si" z:

oraz zast"puj$c:

wida&, %e dla m=0 (fotony) dostajemy r-nie Laplace’a

niekoniecznie

Teoria Yukawy c.d.

opisuje si!" punktowego (ród!a

Mo%na sprawdzi&, %e rozwi$zaniem tego równania:

jest:

Dla fotonów m=0 dostajemy:

czyli sta!a ma sens !adunku e dla pola kulomb.

z dowoln$ sta!$

Przyjmujemy, %e dla dla masowych bozonów

Potencja! Yukawy

D. Kie!czewska, wyk!ad4

Teoria Yukawy c.d.

p

p p

p p p

p p

n

n n n

Wymiana pionów dobrze opisuje oddzia!ywania nukleonów

przy odleg!o'ciach >1.5 fm, ale nie sprawdza si" przy mniejszych odleg!o'ciach (tzn. wi"kszych przekazach p"dów).

Ponadto ani nukleony ani piony nie s$ fundamentalnymi, punktowymi cz$stkami. Yukawa wprowadzi! koncepcj" oddzia!ywa# przez wymian"

bozonów, ale w Modelu Standardowym oddz. silne zachodz$ przez

wymian" gluonów mi"dzy kwarkami (QCD – kwantowa chromodynamika).

Propagator bozonowy

Rozpraszanie w potencjale Yukawy

Chcemy opisa& jako przekaz czterop"du q przenoszony przez po'rednicz$cy bozon do rozpraszanej cz$stki. Przechodzimy z przestrzeni po!o%eniowej do przestrzeni p"dów za pomoc$

transformaty Fouriera potencja!u Yukawy:

!f(q) =

"

!(r)e^{iqrr2dr =} _q^{2 g}_{+ m}^{0 2}

Propagator bozonu o masie m.

W diagramach Feynmana przypisujemy go odpowiednim liniom bozonowym

Je'li diag Feynmana opisuje oddz mi"dzy cz$stkami punktowymi:

x x

to przekrój czynny:

D. Kie!czewska, wyk!ad4

Diagramy Feynmana a przekroje czynne

Ze

Czterowektor przekazu p"du:

Rozpraszanie elektronu

na j$drze Propagator fotonu:

Czyli przekrój czynny wynosi

( dorzucamy %eby zgadza!y si" miana):

A dok!adniej – tzw. wzór Motta: ^gdzie:

Diagramy Feynmana a przekroje czynne

Je'li energia w 'rodku masy:

s ! 2m_µ Zgadujemy ca!kowity przekrój czynny („analiza wymiarowa”):

! " #²!²

s ! = 4"

3

#²!²

a dok!adnie: s

Podobnie: rozpraszanie Comptona:

Z analizy wymiarowej znów mamy:

! " #²!² s

Dla bardzo ma!ych energii:

dostajemy:

! " 8# 3

$²!² m_e²

D. Kie!czewska, wyk!ad 1 18

Analiza wymiarowa

Jednostka:

1 mb = 10

^-3

b 1 µb = 10

^-6

b 1 nb = 10

^-9

b 1 pb = 10

^-12

b

Przyk!ad analizy wymiarowej:

Dok!adnie:

gdzie " to sta!a bezwymiarowa

1 fm = 1

200 MeV

Równanie Diraca

Równanie Diraca dla cz$stek o spinie 1/2 :

ma 2 rozwi$zania:

Mieli'my:

•  r-nie Schrodingera dla cz$stek nierelat

•  r-nie Kleina-Gordona dla cz$stek relat. ale bezspinowych.

Dirac szuka! r-nia dla fermionów, które by!oby zgodne z r-niem:

oraz ze szczeg. teori$ wzgl"dno'ci.

Okaza!o si", %e aby ten warunek spe!ni& funkcja falowa musi by& spinorem (co najmniej 2 skladowe dla 2 rzutów spinu).

jest 4 sk!adnikowym spinorem

niekoniecznie

D. Kie!czewska, wyk!ad4

Antycz$stki wg. Diraca

Obraz pró%ni wg. Diraca

-m m 2 rozwi$zania:

odpowiadaj$ 2 warto'ciom w!asnym energii: E i -E

zape!nione

E, !p, !s, -e

Ka%demu stanowi odpowiada zape!niony stan elektronu:

Je'li usuniemy 1 elektron z morza to tak jakby'my zostawiali dziur":

nierozró%nialn$ z pozytronem (wkrótce odkrytym)

Ka%da cz$stka o spinie 1/2 musi mie& antycz$stk"

o przeciwnym !adunku i tej samej masie E

Jeszcze o teorii Diraca...

m m

-m -m

!

!

produkcja i anihilacja par

Moment magnetyczny Diraca

punktowej cz$stki o spinie ),

masie m i !adunku elektrycznym q:

Natomiast dla protonu i neutronu

zmierzono co oznacza, %e nie s$ to

E

D. Kie!czewska, wyk!ad4

Moment magnetyczny elektronu

Wg teorii Diraca moment mgt elektronu:

Jednak poprawki radiacyjne powoduj$ drobn$ zmian":

B

wirtualna para e+e- (polaryzacja pró%ni)

B B B

Moment mgt wyra%a si"

przez czynnik g:

µ = gµ_Bs gdzie s=1/2 g=2,0023...

sukces QED !

(Quantum

ElectroDynamics)

Oddzia!ywania s!abe

W

⁺

W

^-

W

^-

W

⁺

zapach (np. dziwno'&) nie jest zachowany!

(z wyk!adu 1)

D. Kie!czewska, wyk!ad4

Oddzia!ywania s!abe

W Z⁰

Np:

W

d W

d u d

u u

Generacje leptonów zachowane.

Teoria Fermiego

d !

dq

²

! g

₁

f (q)g

₂ ²

" g

₁

g

₂

M

_W²

#

$ % &

' (

2

) G

_F²

Sta!a sprz"%enia Fermiego z pomiarów:

oddzia!ywanie kontaktowe

Propagator bozonu po'rednicz$cego:

Dla ma!ych

przekazów p"du q:

D. Kie!czewska, wyk!ad4

Troch"

oddzia!ywaniach silnych o

Diagramy Feynmana dla oddzia!ywa# silnych

W przypadku oddzia!ywa# silnych (i elektromagnetycznych) zapachy kwarków s$ zachowane.

Np. podstawowy graf QCD (Quantum ChromoDynamics - teoria oddz.silnych):

Gluon zmienia tylko kolor (a nie zapach) kwarków - o tym na nast"pnych wyk!adach.

Dla uproszczenia mo%emy rysowa&

„przep!ywy” kwarków np:

albo

zachowanie dziwno'ci S

D. Kie!czewska, wyk!ad4

Rezonanse w oddzia!ywaniach

W do'wiadcz. stwierdzono, %e 2 zderzaj$ce si" cz$stki

szczególnie „lubi$” ze sob$

oddzia!ywa& w stanach o pewnych okre'lonych energiach w uk!adzie cms – rezonuj$ ze sob$. Stany te nazwano rezonansami albo

cz$stkami rezonansowymi o

bardzo krótkich czasach %ycia.

!⁺ p" #⁺⁺ " !⁺ p

!⁺n" #⁺ " !⁰p

!^$ p" #⁰ "!⁰n

!^$n" #^$ " !^$n Np. rezonans:

!

s = (E_! + M)^{2 " p!2 = m!2 + 2M T}( ^{! + m!})^{+ M2}

Energia kinetyczna * wyznacza mas" niezmiennicz$ uk!adu (*p):

M – masa protonu

Rezonanse mezonowe

Rozk!ady masy

niezmienniczej

D. Kie!czewska, wyk!ad4

Krzywa rezonansowa

Breita-Wignera

Szeroko'& rezonansu o czasie %ycia

Funkcja falowa nietrwa!ego stanu o energii W_r w uk!adzie cms:

wtedy:

Amplitud" w funkcji energii dostajemy z transformaty Fouriera:

Przekrój czynny na utworzenie stanu o energii W:

czyli + jest miar$ prawd

rozpadu (w jakikolwiek kana!)

Krzywa rezonansowa

Breita-Wignera

masa niezmiennicza

-

szeroko'& po!ówkowa

-

masa rezonansu Je'li rezonans rozpada si" do kilku kana!ów:

Stosunki rozga!"zie# albo prawdop.

rozpadu w dany kana!:

!⁺ "#⁺n

!⁺ "#⁰p

Np:

D. Kie!czewska, wyk!ad4

Rezonanse: produkcja i rozpady

!( i

"

# R # f ) = !_max

$ _f$ 4

(W %W_r)² + $² 4

Przekrój czynny na formacj" rezonansu R w w zderzeniu dowolnych 2 cz$stek i dowolny rozpad (wysumowane po mo%liwych stanach pocz$tkowych i oraz ko#cowych f) :

Przekrój czynny na formacj"

a+b " R " c+d

w zderzeniu dowolnych 2 cz$stek a,b i konkretny rozpad f (mno%ymy przez Γ_f/Γ):

Przekrój czynny na formacj" R w zderzeniu cz$stek i (mno%ymy przez Γ_i/Γ) oraz rozpad f:

Z niezmienniczo'ci czasu:

Czasy %ycia hadronów

Przyk!ad formacji i rozpadu rezonansu:

Z pomiarów szeroko'ci rezonansów stwierdzono, %e hadrony, które mog$ rozpa'& si" przez oddz. silne do innego stanu hadronowego, %yj$

tylko ok

Hadrony, które ze wzgl"dów energetycznych nie mog$ rozpa'& si"

przez oddz. silne (zachowuj$c liczby zapachowe np. dziwno'&) rozpadaj$ si"

•  albo elektromagnetycznie z czasami %ycia ok.

•  albo s!abo z czasami %ycia ok.

J$dra oraz neutron maj$ du%o d!u%sze

Np: kaony sa najl%ejszymi

dziwnymi mezonami

! " N +#

(

!^$,!⁰,!⁺,!⁺⁺

)

M_! = 1232 MeV

%_! = 120 MeV