Drgania własne powłoki walcowej (ANSYS, Bugaj [4])

Algorytmy analizy nieliniowej i dynamicznej

Wykład 5 z SOKI, specjalość BIM

Jerzy Pamin

e-mail: Jerzy.Pamin@pk.edu.pl

Katedra Technologii Informatycznych w Inżynierii Politechnika Krakowska

Podziękowania dla A. Wosatko i A. Winnickiego

SOKI, BIM, 2020

Nieliniowy problem statyki

Wykład 4 z MKwIL: Rozwiązywanie zagadnień nieliniowych cz.1 K_Tdˇu = r_i = f_ext^t+∆t − f_int,i^t+∆t

n

V t

ρb

Su

St

z

x y

Równowaga (notacja Voigta) L^Tσ + ρb = 0 w V

σn = t na S_t u = ˆu na Su

Zasada prac wirtualnych (liniowe związki kinematyczne) Z

V

δ^Tσ dV = Z

V

δu^Tb dV + Z

S

δu^Tt dS ∀δu Dyskretyzacja przemieszczenia u (δu analogicznie, δ = Lδu)

u(x) = N(x)ˇu

Macierzowe równanie równowagi modelu w każdej chwili procesu f = f

Nieliniowy problem statyki [1,2]

Jeśli model liniowo sprężysty σ = D^e

f_int(ˇu) = Kˇu = f_ext → ˇu = K⁻¹f_ext Jeśli model fizycznie nieliniowy:

σ = D() , σ = D˙ _T˙

σ^t+∆t = σ^t + ∆σ , ∆σ_i+1 = ∆σ_i+ dσ

∆σ - przyrost naprężenia wywołany przyrostem obciążenia dσ - korekta przyrostu w iteracji

Residuum (nieliniowa funkcja ˇu; założono, że f_ext nie zależy od ˇu) r(ˇu) = f_ext− f_int(ˇu) = 0

Część liniowa rozwinięcia w szereg Taylora (metoda Newtona) r(ˇu + dˇu) ≈ r(ˇu) + ∂r

∂ˇudˇu = 0 K_T dˇu = r(ˇu) → dˇu = K⁻¹_T r(ˇu) → dσ K_T = −_{∂ ˇ}^∂r_u = ^∂f_{∂ ˇ}^int_u - macierz styczna

SOKI, BIM, 2020

Liniowy problem dynamiki - powtórzenie [3]

Wykład 2 z MKwIL: Równania MES dla dynamiki ośrodka ciągłego cz.2 M¨d(t) + C ˙d(t) + Kd(t) = F(t)

plus kinematyczne warunki brzegowe + warunki początkowe Rozwiązanie w dziedzinie czasu (t₀, t_u)

Problem drgań własnych bez tłumienia

M¨d(t) + Kd(t) = 0 → K − ω²M
dA = 0

Rozwiązanie w dziedzinie częstotliwości: ω_i, d_Ai; i = 1, . . . , n; n << N Wykład prof. C. Felippy nt. dynamiki układu o 1 stopniu swobody Drgania niepodpartej belki - notatka M. Caresty i prezentacja

eksperymentu http://www.youtube.com/watch?v=XkmgMkDKAyU Zmiana oznaczeń:

d = ˇu , ˙d = ˇv , ¨d = ˇa , F = f_ext

Drgania własne powłoki walcowej (ANSYS, Bugaj [4])

f₁ = 90.8 Hz f₅ = f₆ = 114.2 Hz

SOKI, BIM, 2020

Drgania wymuszone powłoki walcowej (ANSYS, Bugaj [4])

Nieliniowy problem dynamiki [1,2]

n

V t

Su

St

z

x y

ρb ρ¨u

Równowaga (pominięte tłumienie) L^Tσ(t) + ρb = ρ¨u(t) w V

σ(t)n = t(t) na S_t u(t) = ˆu(t) na S_u u(t₀) = u₀, u(t˙ ₀) = v₀ Zasada prac wirtualnych

Z

V

δu^Tρ¨u dV + Z

V

δ^Tσ dV = Z

V

δu^Tb dV + Z

S

δu^Tt dS ∀δu Dyskretyzacja MES

u(x, t) = N(x)ˇu^e(t) , ˇu^e = A^euˇ Równanie bilansu pędu w każdej chwili czasu

Mˇa + f_int = f_ext Macierz mas

M =X

e

(A^e)^T Z

V^e

ρN^TNdV A^e

SOKI, BIM, 2020

Nieliniowy problem dynamiki

Algorytm niejawny (implicit) całkowania po czasie Równanie bilansu pędu w chwili t + ∆t

Mˇa + f_int = f_ext Wektor sił wewnętrznych

f_int =X

e

(A^e)^T Z

V^e

B^Tσ^t+∆tdV , B = LN Przyrost naprężenia

σ^t+∆t = σ^t+ ∆σ , ∆σ = D_TB∆ˇu Układ równań dla przyrostu

Mˇa^t+∆t+ K_T ∆ˇu = f_ext^t+∆t− f_int^t Macierz styczna

K_T =X

e

(A^e)^T Z

V^e

B^TD_TBdV A^e

Nieliniowy problem dynamiki

Algorytm niejawny (implicit) całkowania po czasie Układ równań dla przyrostu w iteracji 1

Mˇa^t+∆t+ K^t_T ∆ˇu = f_ext^t+∆t− f_int^t Algorytm całkowania po czasie (np. Newmark) → ˇa^t+∆t

K_T0∆ˇu₁ = r₀ = f_ext^t+∆t− f_int,0^t+∆t− Mˇa^t+∆t

∆ˇu₁ = K⁻¹_T0r₀ W kolejnych iteracjach poprawki dˇu_i+1

K_Tidˇu_i+1 = r_i = f_ext^t+∆t− f_int,i^t+∆t− Mˇa^t+∆t dˇu_i+1 = K⁻¹_Tir_i

∆ˇu_i+1 = ∆ˇu_i + dˇu_i+1

Iteracje wykonywane do spełnienia kryterium zbieżności (równowaga zachowana z dokładnością do normy błędu).

SOKI, BIM, 2020

Rozciąganie pręta żelbetowego - model uszkodzenia (2D)

Wpływ procentu zbrojenia

A

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006

Elongation at point A [mm]

t [s]

0.5 % 1 %2 %

Historia przemieszczenia p. A

0.5%

1%

2%

Ewolucja miary odkształcenia ¯ dla 1%

Nieliniowy problem dynamiki

Algorytm jawny (explicit) dla małych kroków ∆t Równanie bilansu pędu w chwili t

Mˇa^t = f_ext^t − f_int^t

Wektor sił wewnętrznych przeniesiony na prawą stronę f_int = X

e

(A^e)^T Z

V^e

B^Tσ^tdV , B = LN Podstawić wzór z metody różnic skończonych, obliczyć ˇu^t+∆t

ˇ

a^t = uˇ^t+∆t− 2ˇu^t+ ˇu^t−∆t (∆t)²

Stosuje się diagonalną macierz mas skupionych (lumped) M_kk =

N

X

l=1

M_kl, ˇa^t_k = r_k^t M_kk

Jeśli trzeba uwzględnić tłumienie (np. typu Rayleigha C = αM + βK), korzysta się też ze wzoru różnicowego na prędkość ˇv^t.

SOKI, BIM, 2020

Nieliniowy problem dynamiki

Algorytm jawny (explicit) dla małych kroków ∆t

Warunek stabilności Couranta na długość kroku czasowego

∆t < ∆t_stab = 2 ω_max

Krytyczną długość kroku można oszacować dla elementu

∆t_stab ≤ min

e

h^e

c^e , c = E ρ

0.5

Metodę charakteryzuje odejście od ścieżki równowagi.

Zastosowanie: procesy szybkie lub trudno zbieżne.

Literatura

[1] R. de Borst, M.A. Crisfield, J.J.C. Remmers and C.V. Verhoosel. Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Second Edition, J. Wiley & Sons, Chichester 2012.

[2] T. Belytschko, W.K. Liu and B. Moran. Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures. John Wiley & Sons, Chichester 2000.

[3] G. Rakowski, Z. Kacprzyk. Metoda elementow skończonych w mechanice kostrukcji.

Oficyna Wyd. PW, Warszawa, 2005.

Zadania i pytania

1. Jaka jest definicja sił niezrównoważonych w problemie nieliniowym mechaniki? Wyprowadzić wzór na operator styczny w metodzie Newtona-Raphsona.

2. Jak oblicza się wektor sił wewnętrznych f_int w elemencie

izoparametrycznym, dla którego element macierzysty jest opisany funkcjami kształtu Nk(ξ, η, ζ)?

3. Zapisać macierzowe równanie różniczkowe drgań układu

zdyskretyzowanego MES z przykładowymi warunkami brzegowymi i początkowymi. Objaśnić występujące w nim wielkości. Jak się je rozwiązuje numerycznie?

4. Dla układu o 1 stopniu swobody zapisać równanie drgania wywołanego ruchem podłoża. Z równania drgania własnego wyprowadzić wzór na jego okres.

5. Dla układu o 1 stopniu swobody zapisać równanie drgań własnych tłumionych. Przedstawić możliwe rozwiązania tego równania.

SOKI, BIM, 2020