- Drgania własne

(1)

Dynamika i Stateczność

1 |

S t r o n a

dr inż. Hanna Weber

m

k

1 3

u(t)

k2

k3

kg m m N k m N k m N k 2 3 2 1 494 1 / 2 / 3 / 4



   

Drgania własne układów o jednym dynamicznym stopniu swobody

Zadanie 1.:

Wyznaczyć równanie ruchu drgań własnych dla układu z rysunku w postaci

) sin( ) cos( ) (t A t B t

u 







, jeżeli przemieszczenie początkowe masy wynosiło 5cm, a prędkość

początkowa 3m/s.

Sztywność połączenia sprężyn:

Sprężyny k₁, k₂, k₃są połączone szeregowo:

3 2 1 1 2 3 1 3 2 3 2 1 123

1

1 k

k

















m N k k k k k k k k k k / 13 12 26 24 3 4 2 4 2 3 2 3 4 1 2 3 1 3 2 3 2 1 123                  

Wyznaczenie sztywności całego połączenia - sprężyny górne i dolna są połączone równolegle: m N k k k / 13 38 2 13 12 3 123    

Częstość kołowa drgań własnych układu:

]

/

[

38

1

494

13

38

2

s

rad

m

k



_









Równanie ruchu:

Warunki początkowe: u(0)5cm0,05m - przemieszczenie u(0)3m/s- prędkość

Wyznaczenie stałych całkowania:

05 , 0 ) 0 sin( ) 0 cos( ) 0 ( ) sin( ) cos( ) ( 0 1       A t B t u A___ B___ t u



A0,05

Pochodna równania ruchu :

u(t)A



sin(



t)B



cos(



t) 3 ) 0 cos( ) 0 sin( ) 0 ( 1 0     ___ ___  A



B



u

0,025 38 3 3 _ _  





B Równanie ruchu ma postać:

) 38 sin( 025 , 0 ) 38 cos( 05 , 0 ) (t t t u 



 





(2)

Dynamika i Stateczność

2 |

S t r o n a

dr inż. Hanna Weber

u(t) [m]

t [s]

0,75

0 1,75

3,75

-0,3

2,75

4,75

Zadanie 2.: Wyznaczyć równanie ruchu drgań własnych dla układu o jednym dynamicznym stopniu

swobody w postaci

u(t) Acos(



t)Bsin(



t)

, dla przebiegu drgań opisanego na rysunku. Określić

wartość masy jeżeli sztywność połączenia wynosi 10N/m.

4 ) (







tg

Dane odczytane na podstawie rysunku:

- okres drgań – czas jednego pełnego wahnięcia układu: T 2s; - warunki początkowe: - przemieszczenie u(0)0,3m

- prędkość 4 ) ( ) 0 ( tg







u

Wyznaczenie częstości kołowej drgań własnych wykorzystując okresu drgań:

] / [ 2 2 2 s rad T





  

Wyznaczenie stałych całkowania na podstawie warunków początkowych:

3 , 0 ) 0 sin( ) 0 cos( ) 0 ( ) sin( ) cos( ) ( 0 1        A t B t u A___ B___ t u



A0,3

Pochodna równania ruchu :

u(t)A



sin(



t)B



cos(



t)

4 ) 0 cos( ) 0 sin( ) 0 ( 1 0





    ___ ___  A B u

0,25 4 4     







B Równanie ruchu ma postać:

) sin( 25 , 0 ) cos( 3 , 0 ) (t t t u 



 





Wyznaczenie wartości masy na podstawie wzoru na częstość kołową drgań własnych: