MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN 1896-771X 36, s. 335-342, Gliwice 2008
DRGANIA UKŁADU MECHATRONICZNEGO
Z UWZGLĘDNIENIEM ŚCINANIA WARSTWY ŁĄCZĄCEJ
A
NDRZEJB
UCHACZ, M
AREKP
ŁACZEKInstytut Automatyzacji Procesów Technologicznych i Zintegrowanych Systemów Wytwarzania, Politechnika Śląska
e-mail: andrzej.buchacz@polsl.pl, marek.placzek@polsl.pl
Streszczenie. Praca dotyczy analizy drgań układu mechatronicznego w postaci belki wspornikowej oraz przytwierdzonego do jej powierzchni, za pomocą warstwy łączącej, przetwornika piezoelektrycznego. Układ ten obciąŜony jest siłą harmonicznie zmienną, działającą w kierunku prostopadłym do osi belki, przyłoŜoną na jej swobodnym końcu. Wyznaczono dynamiczne równania ruchu analizowanego układu z uwzględnieniem ścinania warstwy kleju, a takŜe charakterystykę dynamiczną układu na podstawie przybliŜonej metody Galerkina.
Przebieg wyznaczonej podatności dynamicznej przedstawiono na wykresie.
1. WSTĘP
Proste i odwrotne zjawisko piezoelektryczne znajduje obecnie coraz szersze zastosowanie w układach mechatronicznych stosowanych w róŜnych dziedzinach techniki. Proste zjawisko piezoelektryczne, polegające na indukowaniu ładunku elektrycznego na powierzchni przetwornika piezoelektrycznego pod wpływem działania napręŜeń mechanicznych, wykorzystywane jest między innymi w czujnikach siły, ciśnienia, przyspieszeń, czy teŜ w sonarach i mikrofonach. Odwrotne zjawisko piezoelektryczne, polegające na odkształceniu się przetwornika piezoelektrycznego pod wpływem działania napięcia elektrycznego wykorzystywane jest szeroko w stabilizatorach i filtrach częstotliwości, silnikach piezoelektrycznych, a takŜe mikromanipulatorach oraz pozycjonerach o wysokiej precyzji działania.
Wszystkie aplikacje wykorzystujące fizyczne działanie przetwornika piezoelektrycznego na dany układ mechaniczny wiąŜą się z koniecznością połączenia przetwornika piezoelektrycznego z obiektem w taki sposób, aby w pełni wykorzystać jego właściwości i uzyskać poŜądane działanie układu. Aby w pełni określić skuteczność zastosowania przetwornika piezoelektrycznego w danej aplikacji oraz wyznaczyć jej charakterystykę dynamiczną, konieczne staje się uwzględnienie, w równaniach opisujących ruch analizowanego układu, warstwy pośredniczącej pomiędzy przetwornikiem piezoelektrycznym a współpracującym z nim elementem oraz przenoszonych przez nią obciąŜeń.
W dostępnej literaturze tematu, związanego z wykorzystaniem przetworników piezoelektrycznych jako czujniki, bądź teŜ jako aktuatory, stosowane zarówno do wzbudzania, jak i stabilizacji i tłumienia drgań mechanicznych, najczęściej wpływ warstwy łączącej kleju jest pomijany. Zakłada się w nich idealne połączenie elementów [1].
Pozycje literaturowe uwzględniające wpływ warstwy pośredniczącej pomiędzy przetwornikiem a elementem, na który on oddziałuje, ujmują jednak zagadnienie wyłączne mechanicznie, pomijając elektryczne właściwości charakteryzujące przetwornik piezoelektryczny [2,3].
Uproszczenia dotyczące przyjęcia idealnego połączenia elementów układu są zasadne w przypadku małej grubości przetwornika piezoelektrycznego oraz warstwy kleju, a takŜe przy pominięciu właściwości spręŜystych warstwy łączącej, a więc załoŜeniu jej doskonałej sztywności. W rzeczywistych przypadkach właściwości stosowanej warstwy łączącej mają wpływ na charakterystykę dynamiczną układu i, aby dokonać dokładnej jego analizy, powinny zostać uwzględnione.
W niniejszym opracowaniu dokonano więc analizy drgań układu mechatronicznego w postaci belki wspornikowej oraz przetwornika piezoelektrycznego z uwzględnieniem właściwości warstwy łączącej te elementy, wykorzystując przy tym równania opisujące ruch układu, uwzględniające równieŜ właściwości elektryczne przetwornika piezoelektrycznego.
2. ANALIZA UKŁADU
Analizowanym układem drgającym jest układ mechatroniczny tworzony przez belkę wspornikową o stałej powierzchni przekroju poprzecznego, długości l i module spręŜystości wzdłuŜnej E oraz przytwierdzonego do jej powierzchni przetwornika piezoelektrycznego o długości lp i grubości hp. Przetwornik piezoelektryczny przymocowany jest do powierzchni belki za pośrednictwem warstwy łączącej o skończonej grubości hk i module spręŜystości poprzecznej G, jednorodnej na całej długości przetwornika. Układ ten obciąŜony jest siłą harmonicznie zmienną, działającą w kierunku prostopadłym do osi belki i przyłoŜoną na jej swobodnym końcu. Drgająca belka wspornikowa oddziałuje na przetwornik piezoelektryczny za pośrednictwem ścinanej warstwy łączącej, który w wyniku odkształcenia generuje ładunek elektryczny. Postać analizowanego układu mechatronicznego przedstawiono na rys.1.
Rys.1. Postać analizowanego układu
Dynamiczne równanie ruchu belki z uwzględnieniem wpływu warstwy kleju wyznaczono, wykorzystując warunek równowagi dynamicznej sił działających na elementarny odcinek belki o długości dx, zgodnie z zasadą d’Alemberta, przy załoŜeniu jednoosiowego, jednorodnego stanu odkształcenia przetwornika piezoelektrycznego oraz ścinania w warstwie kleju [2]. Dynamiczne równanie ruchu belki opisane jest zaleŜnością:
( )
( , )( ) (
,[ ) ( ) ]
1 () 02 2
) 1 , ( ,
2 4 1
4 2
2
=
−
− − −
+
∂
− ∂
∂
− ∂
∂ + ∂
∂
∂ f t
bl x h
x H x x H t x x u
t x y h h Gbh x b x h
t x y b h
J E t
t x y
b b b
k b b
b b
b b b
ρ ρ
ρ ,
(1)
gdzie G i E oznaczają odpowiednio moduł Kirchhoffa ścinanej warstwy kleju oraz moduł Younga belki, Jb moment bezwładności przekroju poprzecznego belki, zaś ρb gęstość materiału, z którego wykonana jest belka. Funkcja Heaviside’a oznaczona H(x) wprowadzona została w celu ograniczenia oddziaływania przetwornika piezoelektrycznego na układ do przedziału (x1,x2). Korzystając z własności funkcji Heaviside’a, moŜna zapisać:
( ) ( )
x xx
H =δ
∂
∂ , (2)
gdzie δ(x) oznacza funkcję Diraca, której model wyraŜony jest w postaci granicy ciagu:
2 0 2
lim1 )
( ε
ε δ π
ε ⋅ +
= → x
x . (3)
Dynamiczne równanie ruchu przetwornika piezoelektrycznego połączonego z belką za pośrednictwem warstwy kleju opisane jest zaleŜnością:
( )
l t t v l dh dt
dU
p p
k ,
31 ∂
⋅∂
= ⋅ , (4)
gdzie d31 jest stałą piezoelektryczną przetwornika, Ep oznacza wartość modułu Younga przetwornika, zaś Cp stanowi całkowitą pojemność elektryczną przetwornika piezoelektrycznego. Funkcja v(lp,t) stanowi funkcję opisującą rzeczywiste przemieszczenie przetwornika piezoelektrycznego, odpowiadające przemieszczeniu powierzchni belki z uwzględnieniem róŜnicy wynikającej z właściwości ścinanej warstwy łączącej.
Przyjmując oznaczenia:
b h
J a E
b b
b b
= ρ , (5)
k b b
b
h b h c Gbh
ρ 2
= , (6)
bl d h
b
ρb
= 1 , (7)
( ) ( )
[
H x x1 H x x2]
D= − − − , (8)
( ) ( )
[
x x1 x x2]
x
D = − − −
∂
∂ δ δ , (9)
p k
l d
h
= ⋅
31
α , (10)
moŜna zapisać układ równań ruchu analizowanego układu mechatronicznego w postaci:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
∂
⋅∂
=
+
⋅
+
∂
⋅∂
∂ − + ∂
∂
− ∂
∂ =
∂
t t l v dt
dU
t df D t x x u
t x h y
c x x
t x a y
t t x y
p
b
,
) ( , ,
2 ,
,
4 4 2 2
2
α
. (11)
ObciąŜenie układu siłą harmonicznie zmienną powoduje, Ŝe równieŜ napięcie generowane przez przetwornik piezoelektryczny, w wyniku odkształcenia belki, ma charakter harmonicznie zmienny i moŜe zostać opisane zaleŜnością:
( )
t Bcos( t)U = ω . (12)
Na podstawie wykorzystanej metody Galerkina rozwiązanie poszukiwane jest w postaci sumy funkcji własnych układu, odpowiadających zmiennym przemieszczenia oraz czasu, które są ściśle przyjęte i spełniają załoŜone warunki brzegowe w postaci:
0 ) , 0 ( t =
y , 22
( )
0, =0∂ t
x
∂ y
(13)
Zakłada się więc, Ŝe przemieszczenie belki opisuje zaleŜność:
) 2 cos(
) 1 2 ( sin )
, (
1
l t n x A
t x y
n
π ⋅ ω
−
=
∑
∞=
, (14)
natomiast odkształcenie przetwornika piezoelektrycznego:
( )
t Bh x t d U h x
t d x u
p p
ω sin )
( )
,
( = 31 ⋅ ⋅ = 31 ⋅ ⋅ ⋅ . (15)
W celu wyznaczenia charakterystyki dynamicznej analizowanego układu konieczne jest wyznaczenie odpowiednich pochodnych równań (14), (15) i (12) oraz podstawienie ich do układu równań (11). Po podstawieniu wyznaczonych pochodnych oraz przyjęciu, Ŝe podatność dynamiczna wyznaczona zostanie w miejscu obciąŜenia układu (x = l), uproszczony układ równań dynamicznych, opisujących ruch układu mechatronicznego przyjmuje postać:
( ) ( ) ( )
( )
=
− − ⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
⋅ ⋅
∂
− ∂
⋅
−
+
∂
⋅∂
⋅
+
−
+
−
0 )
2 sin(
2 cos sin
cos 2 cos
2 2
2 cos 2
31
0 31
31 2
4 2 2
ω α
ω π ω
ω π α ω
ω π ω
π ω π
ω
p p p
b
p p
b b
h l t d
B l l
h l t A
t dF h x
d x c D h cD d t x B
D l ch l cDh a l
t A
.
(16) Wykorzystując twierdzenie Eulera oraz traktując wszystkie elementy układu równań (16) jako wielkości rzeczywiste, układ równań dynamicznych ruchu układu mechatronicznego moŜna przekształcić do postaci:
=
− − ⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅ ⋅
∂
− ∂
⋅
−
⋅
+
∂
⋅∂
⋅
+
−
+
−
⋅
−
−
2 0 2 cos
2 2 2
2 2
2 31 2
0 31
31 2
4 2 2
ω α
π ω ω π
α
π π
ω π
ω π ω π
ω ω
ω
p p i
p b
i
t i
p p
t i b
b t
i
h l e d
B l l
h l e
A
e dF h x
d x c D h cD d e
x B D l ch l cDh a l
e A
. (17)
Stosując zaleŜność:
e e
e
i t i i t
i
ω π ω
π
− 2 =
2
, (18)
oraz dzieląc przez wartość eiωt , otrzymano układ równań opisujących ruch analizowanego układu, w którym wyeliminowano funkcję czasu w postaci:
=
− − ⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅ ⋅
∂
− ∂
⋅
−
+
∂
⋅∂
⋅
+
−
+
−
1 0 cos 2
2 1
2 2 2
2 2
31
2 2
0 31
31 2
4 2 2
ω α
π ω ω π
α
π π
ω π
π
π p
i p p
b i
p p
b b
h l d e
B l l
h l e A
dF h x
d x c D h cD d x B
D l ch l cDh a l
A
. (19)
Dokonane przekształcenia pozwalają zapisać dynamiczne równania ruchu układu w postaci macierzowej:
=
⋅
− − ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅
∂
− ∂
⋅
−
∂
⋅∂
⋅
+
−
+
−
0 1
cos 2 2 1
2 2 2
2
2 0
31
2 2
31 31
2 4
2 2
dF B A h l
d e
l l h l
e
h x d x c D h cD d x
D l ch l cDh a l
p i p
p b
i
p p
b b
ω α
π ω ω π
α
π π
ω π
π π
. (20)
Amplitudę drgań układu A wyznaczono, wykorzystując zaleŜność:
A W
W
= A , (21)
gdzie W oznacza wyznacznik główny macierzy:
− − ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅
∂
− ∂
⋅
−
∂
⋅∂
⋅
+
−
+
−
ω α
π ω ω π
α
π π
ω π
π
π p
i p p
i b
p p
b b
h l d e
l l h l
e
h x d x c D h cD d x
D l ch l cDh a l
31 2
2
31 31
2 4
2 2
1 cos 2
2 1
2 2 2
2 2
, (22)
natomiast WA wyznacznik macierzy pomocniczej wyznaczonej poprzez zastąpienie pierwszej kolumny kolumną wyrazów wolnych:
⋅
⋅
⋅
⋅
∂
⋅∂
⋅
+
−
+
−
2 0 2 cos 1
2 2 2
2 2
2
0 2
4 2 2
p i b
b b
l l h l
e
x dF D l ch l cDh a l
π ω π
α
π π
ω π
π
. (23)
Amplituda drgań analizowanego układu mechatronicznego przyjmuje więc postać:
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅
∂
− ∂
⋅
−
⋅
−
− − ⋅
⋅
∂
⋅∂
⋅
+
−
+
−
⋅
− − ⋅
⋅
⋅
=
p b
p i p
p p b
b i
p i p
l l h l
h x d x c D h cD d e h l d x
D l ch l cDh a l
e
h l d e
dF A
cos 2 2 1
2 2 2 2 2
1
1
31 31
2 31
2 4
2 2
2
31
2 0
π ω π
α ω
α π ω
π ω π
ω α ω
π π
π .
(24) Po podstawieniu otrzymanej amplitudy drgań układu do zaleŜności opisującej przemieszczenie belki (12) otrzymano:
( )
( )
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅
∂
− ∂
⋅
−
⋅
−
− − ⋅
⋅
∂
⋅∂
⋅
+
−
+
−
⋅
⋅
− − ⋅
⋅
⋅
=
p b
p i p
p p b
b i
p i p
l l h l
h x d x c D h cD d e h l d x
D l ch l cDh a l
e
t h l
d e
dF t
x y
cos 2 2 1
2 2 2 2 2
1
1 cos ,
31 31
2 31 2
4 2 2
2
31
2 0
π ω π
α ω
α π ω
π ω π
ω ω α ω
π π
π .
(25) Podatność dynamiczną Y, zgodnie z definicją, wyznaczono z zaleŜności [4]:
( )
( )t F Y l l h l
h x d x c D h cD d e h l d x
D l ch l cDh a l
e
t h l
d e
dF
p b
p i p
p p b
b i
p i p
π ω ω π
α ω
α π ω
π ω π
ω ω α ω
π π
π
cos cos2
2 1
2 2 2 2 2 1
1 cos
0 31
31
2 31 2
4 2 2
2
31
2 0
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅
∂
− ∂
⋅
−
⋅
−
− − ⋅
⋅
∂
⋅∂
⋅
+
−
+
−
⋅
⋅
− − ⋅
⋅
⋅
(26) Upraszczając równanie (26), podatność dynamiczną układu mechatronicznego moŜna zapisać w postaci:
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅
∂
− ∂
⋅
−
⋅
−
− − ⋅
⋅
∂
⋅∂
⋅
+
−
+
−
⋅
− − ⋅
⋅
⋅
=
p b
p i p
p p b
b i
p i p
l l h l
h x d x c D h cD d e h l d x
D l ch l cDh a l
e
h l d e
d Y
cos2 2 1
2 2 2 2 2
1
1
31 31
2 31 2
4 2 2
2
31
2
π ω π
α ω
α π ω
π ω π
ω α ω
π π
π
(27) W celu wyeliminowania liczb zespolonych wykorzystano zaleŜności matematyczne:
i i i
ei = + =0+ =
sin 2 cos2
2 π π
π
, (28)
i i i
i i
i i ei i
−
− =
−
= −
−
= −
⋅
−
= −
= ( ) ( 1)
1 1
2 2
π . (29)
oraz wyznaczając moduł liczb zespolonych stanowiących licznik i mianownik równania, uzyskano ostateczną zaleŜność opisującą podatność dynamiczną analizowanego układu mechatronicznego z uwzględnieniem ścinania warstwy kleju, w miejscu obciąŜenia układu, przy pierwszej częstości drgań, którą moŜna zapisać w postaci:
2 31
31 31
2 4
2 2
2 31
cos 2 2 2
2 2 2
2
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅
∂
− ∂
⋅
−
−
− − ⋅
⋅
∂
⋅∂
⋅
+
−
+
−
−
− − ⋅
⋅
−
=
p b
p p
p p b
b
p p
l l h l
h x d x c D h cD d h l
d x
D l ch l cDh a l
h l d d
Y
π ω π
α ω
α π ω
π ω π
ω α
ω
(30) Graficzne rozwiązanie równania podatności dynamicznej układu mechatronicznego z uwzględnieniem ścinania warstwy kleju przy pierwszej częstości drgań, w miejscu obciąŜenia układu (x = l) wyznaczono dla wartości parametrów geometrycznych oraz materiałowych układu przedstawionych w tabeli 1, a jego przebieg przedstawiono na rys. 2.
Tabela 1. Parametry geometryczne i materiałowe analizowanego układu Parametry geometryczne Parametry materiałowe
l 0,24 [m] ρb 7850 [kgm-3]
b 0,04 [m] Eb 210000 [MPa]
hb 0,002 [m] Ep 86000 [MPa]
hp 0,002 [m] d31 -60*10-12 [CN-1]
hk 0,0001 [m] e31 -1,9 [Cm-2]
x1 0,01 [m] G 1000 [MPa]
x2 0,06 [m]
Rys.2. Przebieg podatności dynamicznej układu przy pierwszej częstości drgań
Przeprowadzona analiza drgań układu mechatronicznego z uwzględnieniem ścinania warstwy łączącej przetwornik piezoelektryczny z belką umoŜliwia uwzględnienie jej wpływu na przebieg charakterystyk dynamicznych układu. Wykazano tym samym, iŜ pomijanie wpływu parametrów zarówno geometrycznych, jak i materiałowych, a takŜe oddziaływania na układ warstwy pośredniczącej, w analizie drgań układów mechatronicznych tworzonych
przez elementy łączone warstwą kleju, wpływa niekorzystnie na dokładność uzyskanych wyników. Uwzględnienie parametrów geometrycznych i materiałowych nie tylko samych elementów tworzących układ, ale równieŜ warstwy pośredniczącej pomiędzy nimi i łączącej je, w znacznym stopniu wpływa na dokładność analizy projektowanych układów, a tym samym umoŜliwia, poprzez odpowiedni dobór parametrów warstwy pośredniczącej, projektowanie układów o wymaganej charakterystyce dynamicznej z jeszcze większą dokładnością.
LITERATURA
1. Kurnik W.: Damping of mechanical vibrations utilising shunted piezoelements. “Machine Dynamics Problems” 2004, Vol. 28, No 4, p. 15 – 26.
2. Osiński Z.: Tłumienie drgań. Warszawa: PWN, 1997.
3. Pietrzakowski M.: Wpływ właściwości połączenia elementów piezoelektrycznych na skuteczność aktywnego tłumienia drgań. Kraków – Krynica, 2001, s. 233 – 240.
4. Bishop R. E. D., Gladwell G. M. L., Michaelson S.: Macierzowa analiza drgań.
Warszawa: WNT, 1972
VIBRATION OF MECHATRONIC SYSTEM INCLUDING PURE SHEAR OF CONNECTION LAYER
Summary. The paper presents analysis of flexural vibrating machatronic system.
Considered system is compounded of cantilever bending beam and a strip-like piezoelectric transducer. The transducer is bonded on the beam surface by connection layer which has homogeneous properties on all its length. This mechatronic system is loaded with harmoniousness variable force operates perpendicular to the beam’s axis on the end of the beam. Beam’s vibrations affect piezoelectric transducer through the agency of connection layer which generates electric charge and produces additional stiffness.
Dynamic equations of considered mechatronic system were assigned on the basis of elementary beam’s and transducer’s section dynamic equilibrium.
Transducer’s dynamic equation was assigned using transducer’s piezoelectric properties.
Dynamic characteristic of considered mechatronic system, including pure shear of the connection layer was assigned on the basis of approximate Galerkin’s method and illustrated on the chart with giving consideration to beam’s and transducer’s geometrical and material parameters.
